浙江省錢塘聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省錢塘聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故，，即C正確.故選：C.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.3.命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】“，”的否定是“，”.故選：D.4.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，且，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：例如，滿足題意，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.已知是定義在上的增函數(shù)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，且，則，解得，所以的取值范圍是.故選：A.6.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知，互相矛盾，錯(cuò)誤；對(duì)于B，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知，互相矛盾，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，符合題意，正確；對(duì)于D，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，錯(cuò)誤.故選：C.7.正數(shù)，滿足，則的最小值為（）．A.4 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】因?yàn)闉檎龜?shù)，且，所以有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知函數(shù)，記，則下列關(guān)于函數(shù)的說法不正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.函數(shù)的最小值為C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則或【答案】C【解析】由，或，由，或，所以，因此選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值為，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞增，選項(xiàng)C不正確；函數(shù)圖象如下圖所示：因?yàn)殛P(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此有或，因此選項(xiàng)D正確.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且值域?yàn)榈挠校ǎ〢. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即值域不為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，可知為偶函數(shù)，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知的值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，可知為偶函?shù)，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，即值域不為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.受亞洲飛人蘇炳添勇奪東京奧運(yùn)百米決賽第四并破亞洲記錄的影響，甲、乙、丙三名短跑運(yùn)動(dòng)員同時(shí)參加了一次百米賽跑，所用時(shí)間分別為，，.甲有一半的時(shí)間以速度米/秒奔跑，另一半的時(shí)間以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.則下列結(jié)論中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意知：，所以，，，由基本不等式可得，所以，所以故，當(dāng)且僅且時(shí)等號(hào)全部成立，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；又由，故易知，即C項(xiàng)正確；，，取，此時(shí)，所以D選項(xiàng)不一定成立.故選：AC．11.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.的值域是；B任意且，都有；C.任意且，都有；D.規(guī)定，其中，則.【答案】ABD【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以有，因?yàn)椋?，因此?dāng)時(shí)，；因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以的值域是，故A正確；對(duì)于B：函數(shù)是增函數(shù)，由A可知：奇函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，∴在時(shí)也單調(diào)遞增，所以該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)任意且時(shí)，令，則有，，顯然，因此不成立，故C不正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，，于是有，因此，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.計(jì)算：____________.【答案】【解析】由題意可得：.13.已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)，且，則不等式的解集為______．【答案】【解析】由題意可得在上為單調(diào)減函數(shù)，且，則時(shí)，時(shí)，時(shí)或；由可得或，則或，故不等式的解集為．14.已知，集合，集合，若中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，且，當(dāng)中有負(fù)整數(shù)時(shí)，若負(fù)整數(shù)小于等于-2，根據(jù)對(duì)稱性可知：也符合題意，此時(shí)整數(shù)集不止2個(gè)，所以恰有2個(gè)整數(shù)只能為，則，解得；當(dāng)中沒有負(fù)整數(shù)時(shí)，則恰有2個(gè)整數(shù)，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合為全體實(shí)數(shù)集，集合或，．（1）若，求和；（2）若，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以或，又或x>5，所以.（2）由題可得，當(dāng)時(shí)，則，即時(shí)，此時(shí)滿足，②當(dāng)時(shí)，則，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)，求b的取值范圍；（2）若的解集為，求關(guān)于x的不等式的解集．解：（1）當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，由于函數(shù)在上單調(diào)，所以或，解得或，所以的取值范圍是.（2）由于的解集為，所以，即，所以，所以不等式，即，所以，，解得或，所以不等式的解集為.17.一直重視生態(tài)環(huán)境保護(hù)，十八大以來多次對(duì)生態(tài)文明建設(shè)作出重要指示，在不同場合反復(fù)強(qiáng)調(diào)“綠水青山就是金山銀山”，隨著中國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，環(huán)保問題已經(jīng)成為一個(gè)不容忽視的問題.某污水處理廠在國家環(huán)保部門的支持下，引進(jìn)新設(shè)備，新上了一個(gè)從生活垃圾中提煉化工原料的項(xiàng)目.經(jīng)測算，該項(xiàng)目月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的化工原料的價(jià)值為400元.（1）當(dāng)時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利，如果獲利，求出最大利潤.（2）該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？解：（1）當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)目獲利為S，則，當(dāng)時(shí)，則，可得，因此該項(xiàng)目會(huì)獲利，當(dāng)時(shí)，S取得最大值.（2）由題意可知，生活垃圾每噸平均處理成本為：，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值240；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值200，因?yàn)?，所以?dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．18.已知是定義在上的函數(shù)，若滿足且.（1）求的解析式；（2）判斷單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)都有成立，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，可知為奇函?shù)，則，即，且，即，則，且，可知為奇函數(shù)，即，符合題意，所以.（2）函數(shù)在上為單調(diào)遞增，證明如下：對(duì)任意，且，則，因?yàn)?，則，，可得，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增.（3）對(duì)都有成立，可知，由（2）可知在單調(diào)遞增，則，可得在1,2上有解，只需在1,2上有解，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，可知在1,2上的最小值為，可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.對(duì)于數(shù)集M，定義M的特征函數(shù)：，對(duì)于兩個(gè)數(shù)集，定義.（1）已知集合，（i）求的值，并用列舉法表示；（ii）若用表示有限集合M所包含的元素個(gè)數(shù)，已知集合X是正整數(shù)集的子集，求的最小值（無需證明）；（2）證明：.解：（1）對(duì)于兩個(gè)數(shù)集，若，則，即，；若，則，即，；若，則，即，；若，則，即，