綿陽南山中學(xué)2023年三月月考數(shù)學(xué)(理科)試題含答案解析

2023年3月第第頁綿陽南山中學(xué)2023年春三月月考數(shù)學(xué)（理科）試題命題人：石智文審題人：青樹國（時間：120分鐘分值：150分）注意事項：答卷前，考生務(wù)必將自己的班級、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時用2B鉛筆將考號準(zhǔn)確填涂在答題卡“欄目”內(nèi).回答選擇題時，選出每小題答案后，考生用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．等比數(shù)列的前n項和為，已知，=9，則=（

）A． B． C． D．4．某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取1000個零件進(jìn)行質(zhì)量指標(biāo)的檢測，整理檢測結(jié)果得此項質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)為45C．估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標(biāo)的中位數(shù)為60D．從這批產(chǎn)品中隨機選取1個零件，其質(zhì)量指標(biāo)在的概率約為0.55．為得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建設(shè)和搬遷很方便，適用于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.小明對蒙古包非常感興趣，于是做了一個蒙古包的模型，其三視圖如圖所示，現(xiàn)在他需要買一些油氈紙鋪上去（底面不鋪），則至少要買油氈紙（

）A．0.99π B．0.9πC．0.66π D．0.81π2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司openAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．72 B．74 C．76 D．788．如圖所示，，是雙曲線：的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支分別交于A，兩點．若，則雙曲線的離心率為（

）A.B.C.D．9．已知，則（

）A． B． C． D．10．函數(shù)是（）A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為11．若函數(shù)滿足對一切實數(shù)恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．12．如圖，在三棱錐中，平面，，，M為中點，H為線段上一點（除的中點外），且.當(dāng)三棱錐的體積最大時，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B．C． D．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知向量，，且，則t=____.14．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則_______.15.已知函數(shù)，若對任意正數(shù)，當(dāng)時，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是_________．16．已知拋物線，其焦點為點，點是拋物線上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，則的最小值為___________.解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.必考題：共60分.（12分）第24屆冬季奧運會于2022年2月在北京和張家口舉辦，為了普及冬奧知識，京西某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機選取了20名學(xué)生作為樣本，得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計如下：分?jǐn)?shù)段[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人數(shù)1228331我們規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀.（1）從這20名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的概率是多少？（2）將上述樣本統(tǒng)計中的頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機抽取2人，以X表示這2人中優(yōu)秀人數(shù)，求X的分布列與期望.18．（12分）在①，②，③的面積為，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且______．(1)求角A；(2)若，的內(nèi)切圓半徑為，求的面積．19．（12分）如圖甲，在矩形中，為線段的中點，沿直線折起，使得，如圖乙.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點的位置.20．（12分）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．21.（12分）橢圓的離心率為，右頂點為A，設(shè)點O為坐標(biāo)原點，點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，面積的最大值為．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線交x軸于點P，其中，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，若O、A、M、N四點共圓，求t的值．選考題:共10分.請考生在22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)（ρ≥0,0≤θ＜2π）23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知正實數(shù)滿足．(1)求的最小值；(2)當(dāng)取得最小值時，的值滿足不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．綿陽南山中學(xué)2023年春3月月考數(shù)學(xué)（理科）試題答案選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.1—5ABCCD6—10DBCAC11—12CB11題解析【詳解】由，對上式求導(dǎo)可得，即，所以關(guān)于對稱，因為，所以圖像的開口向上，對稱軸為，由，得，解得.故選：C.12題解析【詳解】在中，因為M為中點，故，且，因為，，所以平面，故，又因為，所以平面，因此，故平面，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，即只需底面面積最大即可.因為，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.在中，，故，過點C作，取，的中點T，N，連接，，過點T作的平行線交于點O.由平面知平面.又平面，故平面.因此O為三棱錐的外接球的球心，由，因為，所以，故，即三棱錐的外接球表面積為.故選：B填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.14.5015.16.16題解析：【詳解】將已知直線化為，當(dāng)時，可確定直線過定點，記為M點.∵過點F做直線的垂線，垂足為Q，∴直線，即，故Q點的軌跡是以FM為直徑的圓，半徑，其圓心為FM的中點，記為點H，∴，∵P在拋物線上，其準(zhǔn)線為，∴等于P到準(zhǔn)線的距離.過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為R.要使取到最小，即最小，此時R、P、Q三點共線，且三點連線后直線RQ過圓心H.如圖所示，此時.故答案為：解答題：共70分.（一）必考題：60分（12分）解：（1）記恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的事件為，則.（2）抽到一名優(yōu)秀學(xué)生的概率為，X的取值為，,,,故X的分布列為：

18．（12分）解：（1）若選①，由及正弦定理，得，即，即，所以，因為,所以，所以，又,所以．若選②，由，得，∴，因為,所以，當(dāng)時，不存在，所以，又,所以．若選③，因為的面積為，所以，即，所以，又,所以．（2）由（1）知，，∵內(nèi)切圓半徑為，∴，即，由余弦定理，得，即，所以，聯(lián)立，得，解得，所以．19．（12分）解：（1）證明：連接，取線段的中點，連接，在Rt中，，，在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又平面∴平面平面，在中，，∵平面平面平面，平面.（2）過作的平行線，以為原點，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，平面的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，設(shè)的坐標(biāo)為，則，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，由已知，解之得：或9（舍去），所以點是線段的中點.（12分）解：（1）根據(jù)題意可知的定義域為，，令，得．當(dāng)時，時，，時；當(dāng)時，時，，時．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意，，即在上恒成立，令，則．對于，，故其必有兩個零點，且兩個零點的積為，則兩個零點一正一負(fù)，設(shè)其正零點為，則，即，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即．令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以實數(shù)的取值范圍為．(12分)解：（1）由題意，設(shè)橢圓半焦距為c，則，即，得，設(shè)，由，所以的最大值為，將代入，有，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，因為點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，則直線BC不與x軸重合，設(shè)直線BC方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，可得，由韋達(dá)定理可得，直線BA的方程為，令得點M縱坐標(biāo)，同理可得點N縱坐標(biāo)，當(dāng)O、A、M、N四點共圓，由相交弦定理可得，即，，由，故，解得．（二）選考題:共10分.22.（10分）（1）（1）∵C1的參數(shù)方程為∴（x－4）2＋（y－5）2＝25（cos2t＋sin2t）＝25，即C1的直角坐標(biāo)方程為（x－4）2＋（y－5）2＝25