《直線與平面垂直》第2課時(shí)同步學(xué)案

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《直線與平面垂直》第2課時(shí)同步學(xué)案問題情境導(dǎo)入生活中處處都有直線和平面垂直的例子，如豎立的旗桿和地面、路燈和地面等在判斷線面平行時(shí)我們有判定定理，那么判斷線面垂直又有什么好辦法呢？本節(jié)我們就來研究這一問題.自學(xué)導(dǎo)引1.直線與平面垂直的判定定理：_____.符號(hào)語言：_____.2.如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條_____.答案1.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直a2.也垂直于這個(gè)平面預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不確定2.下列說法中，正確的是（）A.若直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直,則B.若直線垂直于平面,則與平面內(nèi)的直線可能相交,可能異面,也可能平行C.若,則D.若,則3.在長方體的棱上任取一點(diǎn),作于,則與平面的關(guān)系是（）A.平行B.平面CC.相交但不垂直D.相交且垂直答案1.答案：B解析：直線和三角形兩邊垂直，由直線與平面垂直的判定定理知,直線垂直于三角形所在的平面,則直線垂直于第三邊.2.答案：C解析：當(dāng)l與內(nèi)的任何一條直線都垂直時(shí)，，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，l與內(nèi)的直線可能相交或異面，但不會(huì)平行，故B錯(cuò)；C顯然是正確的；而D中，a可能在內(nèi)，所以D錯(cuò)誤.3.答案：D解析:如圖,在長方體中,有平面,又面,所以,由已知有,且,所以平面也可由“如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面”直接得出結(jié)論.新知合作探究探究點(diǎn)直線與平面垂直的判定定理知識(shí)詳解直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.簡化為：線線垂直線面垂直圖形語言表示：符號(hào)語言表示：.[特別提示]（1）直線與平面垂直判定定理的本質(zhì)是由線線垂直得到線面垂直判定定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.（2）判定直線與平面垂直還有下面結(jié)論可用：如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.典例探究例1下列說法正確的有_____.（填序號(hào)）①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直；③如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直；④若l與平面不垂直，則平面內(nèi)一定沒有直線與l垂直.解析因?yàn)榭臻g內(nèi)與一條直線同時(shí)垂直的兩條直線能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確；由直線與平面垂直的定義可得，故②正確；因?yàn)檫@兩條直線可能是平行直線，故③不正確；如圖，與不垂直，但，，故④不正確.答案=2\*GB3②方法歸納判定定理?xiàng)l件中的“兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語,此處強(qiáng)調(diào)“相交",若兩條直線平行,則直線與平中不一定悉直.變式訓(xùn)練1(1)若三條直線兩兩垂直,則直線垂直于（）A.平面B.平面C.平面D.平面(2)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：=1\*GB3①三角形的兩邊;=2\*GB3②梯形的兩邊;=3\*GB3③圓的兩條直徑;=4\*GB3④正五邊形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是_____(填序號(hào)).答案（1）C（2）=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③點(diǎn)撥（1）因?yàn)?平面,所以手面.（2）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的,=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③中給定的兩直線一定相交,能它們互相平行,不滿足定理?xiàng)l件.例2如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面分別是的中點(diǎn).證明:平面.解析結(jié)合題意求得,結(jié)合直線與平面垂直的判定定理可得證.答案如圖,連接.在利中,，所以,即是等腰三角形.又是的中點(diǎn),所以.又,是的中點(diǎn),所以.變式訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱底面，為的中點(diǎn).求證:平面.答案因?yàn)槠矫妫?又,所以.而,所以平面.又平面,所以.由已知計(jì)算得.所以,所以.又因?yàn)镃,所以平面.方法歸納證明“線面垂直”的方法：（1）“線線垂直”證明“線面垂直”：①定義法（由“線線直”可得出“線面垂直”）；②判定定理最常用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線（有時(shí)作輔助線）；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)（如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等）及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結(jié)論來論證“線線垂直”，進(jìn)而得出“線面垂直”.（2）平行轉(zhuǎn)化法（利用推論）.=1\*GB3①;=2\*GB3②.易錯(cuò)易混解讀例下列五個(gè)正方體圖形中，是正方體的一條體對(duì)角線，點(diǎn)M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出面MNP的圖形的序號(hào)是_____.（寫出所有符合要求的圖形序號(hào)）錯(cuò)解由于在所在的面內(nèi)的投影分別為各面正方形的對(duì)角線,由正方形的性質(zhì)可得,,所以中面中在下底面的投影與垂直,所以,所以面中取的中點(diǎn),連接,因?yàn)樵谙碌酌娴耐队按怪庇?所以,所以面,所以,可理,所以面中在面上的投影與垂直,所以,所以面;(5)中取中點(diǎn),連接在面,面內(nèi)的投影分別與垂直,所以,所以面,所以面,得面.綜合知,本題的答案是.錯(cuò)因分析直線與手面垂直的判定有誤,要證一條直線與一個(gè)平面垂直，應(yīng)該證明這條直線與該平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而錯(cuò)解中只證了與一條直線垂直（如（2）只證明了),所以出錯(cuò).正解(1)中在面內(nèi)的投影分別為,而,所以,又,所以面中若,則取的中點(diǎn),連接在面內(nèi)的投影為,而,所以,結(jié)合,得面,所以,這顯然不可能,所以與不可能垂直,所以與面不垂直;(3)類似(2)的證明,可得與面不垂直;(4)中易證,而,所以,所以面中取中點(diǎn),連接,可證得面,所以,同理可證,所以面.綜上知,本題的正答案是(1)(4)(5).糾錯(cuò)心得在判斷“線面垂直”的過程中,一定要嚴(yán)格按照判定定理證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,從而得到“線面重直”.課堂快速檢測(cè)1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是（）A.垂直.B.相交但不垂直C.平行D.不確定2.PA垂直于以為直徑的圓所在的平面,為圓上異于的任一點(diǎn),則下列關(guān)系不正確的是（）A.PAB.平面C.D. 3.已知垂直于平行四邊形所在平面,若,則平行四邊形一定是_____.4.如圖,在正方體中,分別是棱的中點(diǎn),是底面的中心,則與平面的位置關(guān)系是_____.（填“平行”或“垂直”）答案1.答案：A解析:梯形的兩腰所在直線相交