《直線與平面垂直和直線與平面所成的角》教學(xué)設(shè)計(jì)一

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《直線與平面垂直和直線與平面所成的角》教學(xué)設(shè)計(jì)一教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入問題：直線與平面平行的判定方法有幾種？教師出示問題，學(xué)生回答.生：可用定義判斷，也可依據(jù)判定定理判斷.復(fù)習(xí)舊知，為學(xué)習(xí)新知做好知識上的準(zhǔn)備.探索新知一、直線與平面垂直的定義1.如果直線a與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面垂直，記作.直線a叫作平面的垂線，平面叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足.2.畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的邊垂直，如圖.例1證明:如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面.已知:(如圖).求證:.分析只要證明與平面內(nèi)任意一條直線都垂直.證明設(shè)是內(nèi)的任意一條直線.,則.二、直線與平面垂直的判定1.實(shí)驗(yàn):如圖,過的頂點(diǎn)翻折紙片,得到折痕,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上與桌面接觸）.（1）折痕與桌面垂直嗎?（2）如何翻折才能使折痕與桌面所在平面垂直?2.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.用符號表示為（如圖）：若，,則.思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為“一條直線或兩條平行直線”？三、直線與平面垂直的性質(zhì)定理1.如圖,在長方體中,棱所在直線都垂直于平面,它們之間具有什么位置關(guān)系?2.已知直線和平面,如果,那么直線一定平行嗎?已知：.求證：.證明如圖,假設(shè)不平行于,設(shè)是經(jīng)過點(diǎn)與直線平行的直線.直線與確定平面,設(shè).因?yàn)?所以.又因?yàn)?所以,這樣在平面內(nèi),經(jīng)過直線上同一點(diǎn),就有兩條直線與垂直,顯然不可能.因此.3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.簡化為：線面垂直線線平行.4.（1）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.（2）從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.（3）一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離.例2已知:.求證:直線上各點(diǎn)到平面的距離相等.證明過直線上任意兩點(diǎn)分別作平面的垂線,垂足分別為(如圖).因?yàn)?所以.設(shè)經(jīng)過直線和的平面為,則與的交線為直線.因?yàn)?所以,從而四邊形是平行四邊形，所以.故直線上各點(diǎn)到平面的距離相等.四、直線與平面所成的角一條直線與一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面垂直,這條直線叫作這個(gè)平面的斜線,斜線與平面的交點(diǎn)叫作斜足.斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段.如圖,過平面外一點(diǎn)向平面引斜線和垂線,那么過斜足和垂足的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影,線段就是斜線段在平面內(nèi)的射影.平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角.如果一條直線垂直于平面,那么稱它們所成的角是直角;如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi),那么稱它們所成的角是角.所以直線與平面所成的角的取值范圍是.例3如圖,已知分別是平面的垂線和斜線,分別是垂足和斜足,,求證:.分析因?yàn)槠矫?所以只要證明平面.證明.例4如圖,已知在平面內(nèi),.求證:點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在的平分線上.證明作,垂足分別為,連接,同理.在Rt和Rt中,,所以,從而.故點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在的平分線上.師：日常生活中我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識，如旗桿與地面、橋柱與水面等，你能舉出更多的例子嗎？師：在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關(guān)系如何？生：旗桿與地面內(nèi)任意一條經(jīng)過它與地面交點(diǎn)的直線垂直.師：那么旗桿所在直線與平面內(nèi)不經(jīng)過它與地面交點(diǎn)的直線位置關(guān)系如何，依據(jù)是什么？生：垂直，依據(jù)是異面直線垂直的定義.師：你能嘗試給線面垂直下定義嗎？學(xué)生嘗試給出線面垂直的定義.師：能否將任意直線改為無數(shù)條直線？學(xué)生找一反例說明.教師出示例1，學(xué)生思考，嘗試回答，教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行板書.教師提問：例1利用定義證明了直線與平面垂直，使用不便，限制較多.除了定義之外，我們是否還有證明線面垂直的其他方法呢？請同學(xué)們想一想！師：下面請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的小紙片,我們一起來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)（投影實(shí)驗(yàn)).學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn),然后回答問題.生:當(dāng)且僅當(dāng)折痕是邊上的高時(shí),所在直線與桌面所在平面垂直.師:此時(shí)垂直于桌面上的一條直線還是兩條直線?生:垂直于桌面上的兩條直線,而且這兩條直線相交.師:怎么證明?生:折?,翻折之后垂直關(guān)系不變,即.……師：直線與平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.教師給出線面垂直的符號表示和圖形表示，學(xué)生體會(huì)、識記.教師提出思考題供學(xué)生思考，幫助學(xué)生理解判定定理的核心詞——“兩條相交直線”，學(xué)生思考，舉反例.生:借助長方體模型發(fā)現(xiàn),所在直線都垂直于平面,它們之間相互平行.師:怎么證明呢？由于無法把兩條直線歸入到一個(gè)平面內(nèi),故無法應(yīng)用平行直線的判定知識,也無法應(yīng)用基本事實(shí)4,有這種情況下,我們采用“反證法”.教師邊分析邊板書.師:在的條件下,如果平面外的直線與直線垂直,你能得到什么結(jié)論?生:直線與平面平行.師:在的條件下,如果平面與平面平行,你能得到什么結(jié)論?生:直線與平面垂直.教師給出線面垂直的性質(zhì)定理，學(xué)生識記.師：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有幾條直線與已知直線垂直？生：有且只有一條.師：將這一結(jié)論推廣到空間，過點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條？為什么？師：點(diǎn)到直線的距離與直線和平面的距離有何區(qū)別與聯(lián)系？教師出示例2，學(xué)生思考、回答.待學(xué)生思考、回答完后，教師進(jìn)行板書.教師出示斜線、斜足和斜線段等概念，并讓學(xué)生在圖中指出上述三個(gè)元素.學(xué)生回答:斜線為,斜足為點(diǎn),斜線段為線段.教師進(jìn)一步給出射影和直線與平面所成的角的概念,讓學(xué)生接著在圖中找上述元素.學(xué)生回答:圖中射影為,所成的角為.教師提問:左圖中,與平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)的直線所成的角中,哪個(gè)角最小?是嗎?你如何證明呢?學(xué)生嘗試回答并完成證明.教師出示例3,并提問:要證明,可以轉(zhuǎn)化為證明什么?生:可以轉(zhuǎn)化為證明平面.教師繼續(xù)追問:要證明平面需要怎么做?生:在平面中找到兩條相交直線都與垂直就可以了.學(xué)生根據(jù)上述思路寫出證明過程,全班講評.教師出示例4,并提問:審題,如何證明結(jié)論?生:作,垂足分別為,連接,.證明.教師請學(xué)生板演,并巡視課堂,發(fā)現(xiàn)、指出學(xué)生中存在的問題,對個(gè)別學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo).學(xué)生板演或者草稿紙上進(jìn)行解答.教師對學(xué)生的答案進(jìn)行點(diǎn)評,并提醒學(xué)生注意答題格式及規(guī)范性.完成例4后教師提問:你能設(shè)計(jì)一個(gè)四個(gè)面都是直角三角形的四面體嗎?試試看!多利用實(shí)際生活中的例子幫助學(xué)生理解線面垂直的定義，提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)并要注意“任意條”和“無數(shù)條”的區(qū)別，避免出錯(cuò).利用定義給出線面垂直的證法，體會(huì)其證明的方法，為引出線面垂直的判定定理做鋪墊.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和動(dòng)手實(shí)踐能力，使他們在動(dòng)手活動(dòng)、直觀感知、操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上，理解線面垂直的判定定理，從本質(zhì)上理解定理，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).通過對判定定理中條件的改變，明確定理中“兩條相交直線”的重要性.借助長方體模型來學(xué)習(xí)線面垂直的性質(zhì)定理.復(fù)習(xí)反證法的證明步驟，體會(huì)其在解決幾何證明問題中的作用，提升邏輯推理核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)兩個(gè)“距離”的相關(guān)知識，為后續(xù)距離的計(jì)算打好理論基礎(chǔ).通過例2鞏固直線到平面距離的知識，提升直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).本部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)采取教師給出概念，學(xué)生識記，并通過對應(yīng)圖形找相應(yīng)元素的方式進(jìn)行理論與實(shí)操相結(jié)合，輔之以具體的圖形范例，能夠起到較好的記憶效果.本例題通過教師一系列的提問，從最終要求證的結(jié)果出發(fā)，一步一步倒推，尋找證明的條件，最后在已知條件中找到，向?qū)W生滲透分析法解決證明題的思路，之后再將這個(gè)分析過程反過來，從已知一步一步推導(dǎo)出最后的結(jié)果，又體現(xiàn)了綜合法的思想.這是一道典型的利用分析法分析證明思路，再用綜合法寫出具體證明過程的題目，值得學(xué)生仔細(xì)研究.本題綜合性較強(qiáng)，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合應(yīng)用了線垂直和全等三角形的知識，提升了學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).歸納總結(jié)1.直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理.2.直線與平面所成的角定義與求解.學(xué)生歸納總結(jié)，教師補(bǔ)充完善.鞏固學(xué)習(xí)成果，使學(xué)生逐步養(yǎng)成愛總結(jié)、會(huì)總結(jié)的習(xí)慣和能力.布置作業(yè)1.教材第171頁練習(xí)第5題.2.教材第173頁練習(xí)第2題.學(xué)生獨(dú)立完成，教師批閱.強(qiáng)化知識，提升能力.板書設(shè)計(jì)第2課時(shí)直線與平面垂直和直線與平面所成的角1.直線與平面垂直的定義如果直線a與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那