2024年新東方初中數(shù)學(xué)初二年級寒假第8講 分式方程（易）含答案

2024年新東方初中數(shù)學(xué)初二年級寒假第8講分式

方程（易）含答案第8講分式方程

目標(biāo)層級圖

課前檢測

1.(1)當(dāng)機為何值時，方程二一+工=4!_會產(chǎn)生增根.

A+i1-xx2-l

⑵當(dāng)，〃為何值時'方程展+言r號無解?

(3)已知關(guān)于X的方程號一2=幽的解為正數(shù)‘求，〃的取值范圍.

2.解方程:

x+112,

(1)—=—(2)------------;-----=1

x+13xx+3X2-9

課中講解

一、分式方程的定義及解法

1.分式方程的定義：含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解：求出使分式方程中令等號左右兩邊—且的未知數(shù)的值，

這個值叫分式方程的解.

注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

3.解分式方程的步驟

①去分母(即在方程兩邊都乘,把分式方程化為);

②求出整式方程的解；

③檢驗(驗根，把整式方程的根代入最簡公分母；①____________一是原方程的根；

②___________一是原方程的).

增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的

值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程

的增根.

④得出結(jié)論.

例1.下列各式中分式方程有()個.

(1)x2-x+-；(2)［一3=々+4；(3)3-/=3；(4)---------=1.

xay/xx+yx-y

A.1B.2C.3D.以上都不對

過關(guān)檢測

1.下列關(guān)于x的方程①七口=5,②L=，一，③④三=」_中，是分式

3xx-1xab-\

方程的有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

x+14x8x+2

(3)-----+=1(4)----------1---------T=--------

x-11-x2x+24-x~x-2

14x2

(5)---------1-3=-------

x+2x-4x-2

二、分式方程含參

（1）若關(guān)于x的方程匕2m

例4.=0有增根,則〃!的值是（)

x-3x-3

A3

A.-B.--C.3D.-3

23

（2）若分式方程3?一“1.2有增根，則文數(shù)a的取信是

、J/4-1〃/、/4J-t+1iJ，曰］，z>J.Zs?“HJ,TAILLX-rV()

X2-2Xx-2X

A.0或2B.4C.8D.4或8

6m

(3)若方程——-------二1有增根，則它的增根是（)

(x+l)(x-l)x-l

A.0B.1C.—1D.1和一1

過關(guān)檢測

1.關(guān)于”的方程主二-旦=1有增根，則方程的增根是（）

x+\x+1

A.-1B.4C.-4D.2

2.關(guān)于x的方程2+=上有增根，則。=（）

x-5r-25x+5

A.TO或6B.一2或一10C.一2或6D.一2或一10或6

3.分式方程一匚-1=--——有增根，則/〃的值為()

x-1(x-1)(x4-2)

A.0和3B.1C.1和一2D.3

例5.(1)若關(guān)于x的方程上--4=0無解，則，〃的值是(

x-44-x

A.-2B.2C.-3D.3

(2)若關(guān)于x的分式方程空4-1=2無解，則，〃的值為(

)

x-3x

A.-1.5B.1C.一1.5或2D.-0.5或一1.5

過關(guān)檢測

若關(guān)于的分式方程號=】無解'則

I.xM+〃，的值是()

A.〃?=2或"?=6B.m—2C.m=6D.〃z=2或，〃=-6

2.若關(guān)于x的分式方程展+含=后無解，則公

例6.(I)已知關(guān)于x的方程4+2=上有解，則〃的取值范圍是_______.

x-22-x

(2)關(guān)于x的分式方程』=—乙有解，則字母"的取值范圍是()

xx-2

A.。=5或a=0B.awOC.D.且。工0

(3)若分式方程上心=上有正數(shù)解，則左的取值范圍是.

x-55-x

過關(guān)檢測

1.已知關(guān)于x的方程上上+2=」一有解，則&的取值范圍是_____.

x-22-x

2.已知關(guān)于x的分式方程」一+三竺=2有解，則機應(yīng)滿足的條件是()

x-22-x

A.〃2=1且〃？工2B.in*2C.〃？=1或/力=2D.，〃工1或〃-2

3.若關(guān)于x的分式方程」--1=—，有負(fù)數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍是_______.

/+3x+3

三、分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題步驟

（1）審（審題，明確已知量和未知量）

（2）設(shè)（設(shè)出未知數(shù)）

（3）列（找出等量關(guān)系，列出分式方程）

（4）解（解這個分式方程）

（5）驗（檢驗根是否滿足原分式方程且符合題意）

（6）答（寫出答案并作答）

例7.（I）A,8兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至8地，又立即從8地逆流

返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千

米/時，則可列方程（）

、4848八4X48

A.----+----=9DB.----+----=9n

x+4x-44+x4-x

廠48,八n9696八

xx+4x-4

（2）在臨桂新區(qū)建設(shè)中，需要修一段全長2400〃?的道路，為了盡量減少施工對縣城交通工

具所造成的影響，實際工作效率比原計劃提高了20%,結(jié)果提前8天完成任務(wù)，求原計劃

每天修路的長度.若設(shè)原計劃每天修路,〃，則根據(jù)題意可得方程.

過關(guān)檢測

1.A,8兩地相距180初I,新修的高速公路開通后，在A,8兩地間行駛的長途客車平均

車速提高了50%,而從A地到〃地的時間縮短了功.若設(shè)原來的平均車速為x切則根

據(jù)題意可列方程為（）

180180_180180

A.1B.

X(l+50%)x(1+50%)xX

180180,180180

C.D.

X(l-50%)x(l-50%UX

2.某商場銷售一種商品，第一個月將此商品的進(jìn)價提高20%作為銷售價，共獲利1200元,

第二個月商場搞促銷活動，將商品的進(jìn)價提高15%作為俏售價，第二個月的俏售量比第一

個月增加80件，并且商場第二個月比第一個月多獲利300元.設(shè)此商品的進(jìn)價是X元，則

可列方程

例8.列方程解應(yīng)用題

今年1月下旬以來，新冠肺炎疫情在全國范圍內(nèi)迅速蔓廷，而比疫情蔓延速度更快的是口罩

恐慌.企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn)急需口罩，某大型國有企業(yè)向生產(chǎn)口罩的A、△兩廠訂購口罩，向A廠

支付了1.32萬元，向8廠支付了2.4萬元，且在8廠訂購的口罩?jǐn)?shù)量是A廠的2倍，B「

的口罩每只比A廠低0.2元.求A、8兩廠生產(chǎn)的口罩單價分別是多少元？

例9.某快餐店欲購進(jìn)A、4兩種型號的餐盤，每個A種型號的餐盤比每個4種型號的餐

盤費用多10元，且用120元購進(jìn)的A種型號的餐盤與用90元購進(jìn)的4餐盤的數(shù)量相同.

(1)八、8種兩型號的餐盤單價為多少元？

(2)若該快餐店決定在成本不超過3000元的前提購進(jìn)A、8兩種型號的餐盤80個，求最

多購進(jìn)A種型號餐盤多少個？

過關(guān)檢測

1.某商家預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進(jìn)了一批這種襯衫，面市后果然

供不應(yīng)求，商家又用28800元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍，但

單價貴了10元.

（1）該商家購進(jìn)的第一批襯衫是多少件？

（2）若兩批襯衫按相同的標(biāo)價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售

完后利潤率不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標(biāo)價至少是多少元？

2.某校利用暑假進(jìn)行田免場的改造維修，項目承包單位派遣一號施工隊進(jìn)場施工，計劃用

40天時間完成整個工程：當(dāng)一號施工隊工作5天后，承包單位接到通知，有一大型活動要

在該田徑場舉行，要求比原計劃提前14天完成整個工程，于是承包單位派遣二號與一號施

工隊共同完成剩余工程，結(jié)果按通知要求如期完成整個工程.

（1）若二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？

（2）若此項工程一號、二號施工隊同時進(jìn)場施工，完成整個工程需要多少天？

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.在下列方程中，關(guān)于X的分式方程的個數(shù)有()

?-X2--X+4=0；?-=4；(3)-=4：=@^—=6；?—+—=2.

23冗xx+3x+2717t

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.將分式方程1=二一去分母后得到的整式方程，正確的是(

)

xx-2

A.x-2=2xB.JC-2x=2xC.x-2=xD.x=2x-4

3.分式方程上一1二——有增根，則機的值為()

X-1(x-l)(x+l)

A.0和2B.1C.1和一2D.2

4.當(dāng)機_____時，方程忙1=/L無解.

x-3x-3

5.要使方程_匚=二_有正數(shù)解，則4的取值范圍是_________

x-1x-a

6.甲、乙兩地相距1(X)0岳?，如果乘高鐵列車從甲地到乙地比乘特快列車少用3〃，已知高

鐵列車的平均速度是特快列車的1.6倍，設(shè)特快列車的平均速度為.如〃〃?，根據(jù)題意可列方

程為.

7.解分式方程：

x4A+l,1

(1)——-1=^^=——(2)-----1=----

x-2x2-4x+4x2-x

21

(3)-----+-----=4(4)

2x-33-2xx+52x-1

736

(5)+------=——7

x2+x-x-1

8.某文化用品商店用2000元購進(jìn)一批學(xué)生書包，面市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，商店又購進(jìn)第二批

同樣的書包，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的3倍，但單價貴了4元，結(jié)果第二批用了6300

元.

(1)求第一批購進(jìn)書包的單價是多少元？

(2)若商店銷代i文兩批書包時，每個代價都是120元，全部件出后，商店共福利多少元？

第8講分式方程

目標(biāo)層級圖

分式方程

分式方程的定義及解法分式方程的應(yīng)用

課前檢測

1.(1)當(dāng)機為何值時，方程二一+工=4!_會產(chǎn)生增根.

(2)當(dāng)機為何值時，方程2_+*-=——無解.

x-2x+2%--4

(3)已知關(guān)于x的方程一一-2="-的解為正數(shù)，求，〃的取值范圍.

x-3x-3

【解答】解：(1)?.?方程二一+工=二一會產(chǎn)生增根，

x+1l-xx2-\

.?.丁-1=0,

.*.x=±l,

分式方程化為整式方程后得，2(x-1)-5(x+1)=m,

當(dāng)j=l時,m=—10;

當(dāng)文=-1時，m=~4；

...當(dāng)〃10或T時，方程二_+工=萼會產(chǎn)生增根；

x+\\-xx2-\

(2)分式方程化為整式方程后得，3(x+2)+/〃(x-2)=12,整理得，(3+〃?)x=2/〃+6,

當(dāng)3+〃?工0時，x=2,經(jīng)檢驗x=2是分式方程的增根，

當(dāng)〃7=-3時，方程有無數(shù)個解，

二當(dāng)〃?工一3時，方程二—=無解；

x-2x+2x2-4

(3)分式方程化為整式方程后得，x-2(x-3)=m,

整理得，—X=ni—6>

x=6-,

?.?關(guān)于x的方程」--2=*-的解為正數(shù)，

x-3x-3

且6—/3>

<6,且/〃w3,

m的取值范圍m<6?且〃zH3；

2.解方程：

(1)—=—；

x+13x

(2)—--^-=1.

x+3X2-9

【解答】解：(1)去分母得：3x=4.r+4,

解得：x=T,

經(jīng)檢驗x=-4是分式方程的解；

(2)去分母得：(X+1)(X-3)-12=X2-9,

整理得：X2-3X+X-3-12=X2-9,

解得：x=-3,

經(jīng)檢驗工=-3是增根，分式方程無解.

課中講解

一、分式方程的定義及解法

1.分式方程的定義：0n生含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解：求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值,

這個值叫分式方程的解.

注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

3.解分式方程的步驟

①去分母（即在方程兩邊都乘最簡公分母,把分式方程化為整式方程）:

②求出整式方程的解；

③檢驗（驗根，把整式方程的根代入最簡公分母；①最簡公分母衛(wèi)一＞是原方程的根;②最

簡公分母二&一是原方程的增根）?

增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的

值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程

的增根.

④得出結(jié)論.

例1.下列各式中分式方程有()個.

2

(1)X-A+-;(2)1-3=?+4;(3)-J=-x=3；(4)————=1.

Xay/xx+yx-y

A.1B.2C.3D.以上都不對

【解答】解：（1）d—x+_L不是等式，故不是分式方程;

x

(2)--3=^+4是分式方程；

a

j=-x=3是無理方程，不是分式方程;

(4)———3-=1是分式方程.

x+yx-y

故選：R

過關(guān)檢測

1.下列關(guān)于X的方程①口=5,②L=」_,③l(x—l)+x=l,④二=_L中，是分式

3xx-\xab-\

方程的有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【解答】解：關(guān)于x的方程②,=」一，③!(x-1)+I=1中，分母中都含有字母，都是分

xx-1X

式方程；

關(guān)于X的方程①匚=5,④2=_L中，程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程.

3ab-\

綜上所述，是分式方程的有②、③，共2個.

故選：C.

例2.解分式方程」--2=—,去分母得()

x-\\-x

A.l-2(x-l)=-3B.l-2(x-l)=3C.l-2x-2=-3D.l-2x+2=3

【解答】解：分式方程整理得：—--2=--,

x-\x-\

去分母得：l-2(x-l)=-3,

故選：A.

例3.解方程：

23

(1)---=—;

x-3x

(2)—--2=^-

x-2x-2

25-10

(3)+=

-x-+-\7；\-x~x"~-1；

(4)—--1=--------

X-1(x-l)(x+2)

73,7-x2

(5)—7=1+—―-

x~+xx-x~x~-1

【解答】解：

(1)2x=3x-9,

解得％=9,

經(jīng)檢驗x=9是方程的根.

(2)3-2(x-2)=-x

解得x=7

經(jīng)檢驗：X=7是原方程的根

???原方程的解是x=7.

(3)2(l-x)+5(l+x)=10

解得x=l

檢驗：把x=l代入到(x+l)(x—l)中,

得：(l+l)x(l-l)=O

.原分式方程無解.

(4)Mx+2)-(x+2)(x-l)=3,

解得x=l,

經(jīng)檢驗工=|是?方程的增根.

/.方程無解.

⑸原方程可變形為：高+高，蕓

7(x—1)+3(x+1)x(x2—1+7—)

左右兩邊分別通分得:

x(x+l)(x-l)x(x+l)(x-I)

10x—46x

整理得:

x(x4-l)(x-l)-x(x+l)(x-l)

去分母得：10X-4=6AT,

解得：x=l.

檢驗：將x=l代入Mx+l)(x-l)=o.

得：x=l是增根,

二原方程無解.

過關(guān)檢測

I.解分式方程」一-3=」時，去分母可得()

x-22-x

A.l-3(x-2)=4B.l-3(x-2)=^C.-l-3(2-x)=-4D.l-3(2-x)=4

【解答】解：去分母得：1一3(工一2)=4

故選：B.

2.解方程：

2x-5.3x-3

(1)-----+3=-----

x-2x-2

6_x+5

(2)

x+1x(x+l)

(3)

x8x+2

(4)-----1------=----.

x+24-x2x-2

14x2

(5)----+-=----

x+2x~-4x-2

【解答】解：

(1)去分母,得：2x-5+3(x-2)=3x-3,

去括號，得：2x-5+3x-6=3x-3,

移項，合并，得：2x=8,

系數(shù)化為1，得：x=4,

經(jīng)檢驗，當(dāng)x=4時，*-2工0,即x=4是原分式方程的解，

所以原方程的解是.r=4.

(2)去分母得：6x=x+5,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗x=l是分式方程的解.

(3)去分母得：(1+1)(工+1)-4=/一］,

解得：x=1,

經(jīng)檢驗X=1是分式方程的增根，

???原分式方程無解.

(4)方程兩邊同乘。+2)*-2)得，

x(x-2)-8=(x+2>,

解這個方程，得工=-2,

把工=-2代入原來的分母，有一個分母等于0,所以工=-2不是原分式方程的解,

即x=-2是原方程的增根，原方程無解.

(5)方程兩邊同乘(x+2)(x-2),

得：x-2+4x=2(x+2),

整理解得x=2.

經(jīng)檢驗x=2是增根，

故原方程無解.

二、分式方程含參

例4.(1)若關(guān)于"的方程牝三一二"二0有增根，則〃,的值是()

x-3x-3

32

A.-B.--C.3D.-3

23

【解答】解：由3-包=0得6-X-2"?=X-3,

x-3x-3

?.,關(guān)于x的方程與e-衛(wèi)■=()有增根，

x—3x-3

1?x=39

當(dāng)x=3時，6-3-2/n=3-3,

解得〃7=3，

2

故選：A.

(2)若分式方程工二巴+_!_=2有增根，則實數(shù)〃的取值是()

x-2xx-2x

A.0或2B.4C.8D.4或8

【解答】解：方程兩邊同乘x(x-2),得3x-a+x=2(x-2),

由題意得，分式方程的增根為。或2,

當(dāng)x=0時，-a=-4,

解得，6T=4>

當(dāng)x=2時，6-。+2=0,

解得，〃=8,

故選：D.

h

(3)若方程——-----------L=1有增根，則它的增根是()

(X4-1)(X—1)X—1

A.0B.1C.—1D.1和一1

【解答】解：方程兩邊都乘(x+l)(x-l),得

6-/??(x+l)=(x+l)(x-l),

由最簡公分母(x+l)(x—1)=0,可知增根可能是x=l或一1.

當(dāng)x=1時，m=3,

當(dāng)工=一1時，得到6=0,這是不可能的，

所以增根只能是x=l.

故選：B.

過關(guān)檢測

1.關(guān)于x的方程主心-」上二1有增根，則方程的增根是()

X+lX+I

A.-1B.4C.-4D.2

【解答】解：由分式方程有增根，得到x+l=O,

解得：x=-l.

故選：A.

2.關(guān)于x的方程,+=上有增根，則。=()

x—5x—25x+5

A.TO或6B.一2或一10C.一2或6D.一2或一10或6

【解答】解：原方程去分母得：

5(x+5)+or=3(x-5)

因為分式方程的增根為不=±5,

所以50+5。=0或-5。=-30

得a=—10或。=6.

故選：A.

3.分式方程上-1=—巴——有增根，則/〃的值為()

x-1(3一1)(大十2)

A.0和3B.1C.1和一2D.3

【解答】解：?.?分式方程上-1=——-——有增根，

x-\(x-l)(x+2)

/.x-1=0?x+2=0,

/.X]=1,x,=-2.

兩邊同時乘以(大一1)。+2),原方程可化為Mx+2)--l)(x+2)=m，

整理得，in=x+2,

當(dāng)x=l時，代入得：〃?=1+2=3,

當(dāng)x=—2時，代入得：m=—2+2=0?

當(dāng)〃?=0時，方程為——1=0?

x-\

此時1=0,

即方程無解,

〃z=3時，分式方程有增根,

故選：D.

例5.(I)若關(guān)于％的方程/-一上±=0無解，則用的值是()

x-44-x

A.-2B.2C.-3D.3

【解答】解：?.?方程一^--口=0無解，

x-44-x

.?」=4是方程的增根，

/./H+l-x=0>

.，./〃=3.

故選：D.

(2)若關(guān)于x的分式方程網(wǎng)這一1=2無解，則/〃的值為()

x-3x

A.-1.5B.1C.一1.5或2D.-0.5或一1.5

【解答】解：方程兩邊都乘以Mx-3)得：(2W+X)X-A-(X-3)=2(X-3),

即(2m+l)x=-6?

分兩種情況考慮：

①,丁當(dāng)2加+1=0時,此方程無解,

/.此時m=-0.5>

②???關(guān)于x的分式方程空匕-1=2無解，

x-3x

.,」=0或工一3=0,

即x=0,x=3,

當(dāng)x=0時，代入①得：(2/n+O)xO-Ox(O-3)=2(0-3),

解得：此方程無解；

當(dāng)x=3時，代入①得：(2w+3)x3-3(3-3)=2(3-3),

解得：/n=-1.5>

二.二的值是-0.5或一1.5,

故選：D.

過關(guān)檢測

1.若關(guān)于x的分式方程旦"無解，則加的值是()

4-x-x-2

A.〃?=2或"2=6B.m—2C.m=6D.〃?=2或〃z=-6

【解答】解：去分母得：-x-m+x(x+2)=(x+2)(x-2),

由分式方程無解，得到x=2或x=-2,

把x=2代入整式方程得：〃z=6：

把x=-2代入整式方程得：“7=2.

故選：A.

2.若關(guān)于x的分式方程二一+毋匚=二—無解，則Y或6或1.

x-2X2-4x+2

【解答】解：(1)1二一2為原方程的增根，

此時有2(x+2)4-mx—3a—2),即2x(-2+2)—2m=3x(-2—2),

解得〃7=6.

(2)x=2為原方程的增根，

此時有2(x+2)+mx=3(x-2),即2x(2+2)+2m=3x(2-2),

解得〃z=-4.

(3)方程兩邊都乘(x+2)(%-2),

得2(x+2)4-nix=3(x-2),

化簡得：(/n-l)x=-10.

當(dāng)機=1時，整式方程無解.

綜上所述，當(dāng)機=-4或陽=6或=1時，原方程無解.

例6.(I)已知關(guān)于x的方程口+2=—J有解，則A的取值范圍是k/l.

x-22-x~~

【解答】解：去分母得：17+2(工一2)=-2，

1-x+2A—4=-A,

x-3--k,

x=3—k，

?.?關(guān)于x的方程4+2=上有解，

x-22—x

.,」一2W0,

：3-k手2，

解得：攵工1,

故答案為：k*1.

（2）關(guān)于x的分式方程』二，一有解，則字母〃的取值范圍是（）

xx-2

A.。=5或a=0B.4=0C."5D.且4Ho

【解答】解：2=，_,

XX-2

去分母得：5（x-2）=ax,

去括號得：5x-10=ar>

移項，合并同類項得：

（5-g=10,

?.,關(guān)于x的分式方程-=—有解，

xx-2

5-〃/0,xw0且x工2,

即aw5,

系數(shù)化為1得：x=—,

5-a

.??也工。且也工2,

5—a5-a

即a工5,aw0,

綜上所述：關(guān)于x的分式方程工=，一有解，則字母。的取值范圍是。工5,〃工0,

xx-2

故選：D.

（3）若分式方程三心=上有正數(shù)解，則人的取值范圍是_k<6且狂1_.

x-55-x

【解答】解：去分母得：x—6=—k,

解得：x=6—k,

由分式方程有正數(shù)解，得到6-Q0且6-人工5,

解得：攵<6且&H1,

則k的取值范圍是A<6月.Aw1；

故答案為：女<6且Awl.

過關(guān)檢測

1.己知關(guān)于X的方程口+2=—絲有解，則々的取值范圍是—攵

x-22-x

【解答】解：去分母得：1一工+25-2)=-2,

l-x+2x-4=—&，

x—3=一&?

x=3-k，

?.?關(guān)于x的方程±±+2=上-有解，

x-22-x

/.x-2^0>

:.3—k手2,

解得：攵工1,

故答案為：k工1.

2.已知關(guān)于x的分式方程1|三*=2有解，則小應(yīng)滿足的條件是()

X—22—x

A.，〃工1且〃？工2B.〃?h2C./〃=1或"?=2D.1或〃2工2

【解答】解：方程兩邊同時乘以@-2)得：

1一(3-=2(x-2)>

解得：x=—,

2-m

二?分式方程有解，

2

〃7工2,----工2

2-m

/〃工2且，〃工1，

故選：A.

3.若關(guān)于x的分式方程」--1=—,有負(fù)數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍是_。>-2旦

x+3x+3

awl

【解答】解：J_—i

x+3x+3

分式方程去分母得：1-x-3=a,

移項合并得：—x=〃+2,

解得：x=—a—2>

分式方程的解為負(fù)數(shù)，

—ci-2<0且—ci-2+3w0，

解得：。>-2且。工1.

故答案為：a>-2且awl.

三、分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題步驟

（1）審（審題，明確已知量和未知量）

（2）設(shè)（設(shè)出未知數(shù)）

（3）列（找出等量關(guān)系，列出分式方程）

（4）解（解這個分式方程）

（5）驗（檢驗根是否滿足原分式方程且符合題意）

（6）答（寫出答案并作答）

例7.（1）A,8兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至8地，又立即從8地逆流

返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千

米/時，則可列方程（）

A4848c「4848八

A.------+-------=9B.------+-------=9

x+4x-44+x4-x

C.竺+4=9D.匹+及=9

Xx+4r-4

【解答】解：順流時間為：—;逆流時間為：—.

x+4x-4

所列方程為：—+—=9.

x+4x-4

故選：A.

（2）在臨桂新區(qū)建設(shè)中，需要修一段全長2400，〃的道路，為了盡量減少施工對縣城交通工

具所造成的影響，實際工作效率比原計劃提高了20%,結(jié)果提前8天完成任務(wù)，求原計劃

240024(X)0

每天修路的長度.若設(shè)原干劃每天修路”〃，則根據(jù)題意可得方程----------------=O

Xx(l+20%)

【解答】解：原計劃用的時間為：—,實際用的時間為：240。.所列方程為:

Xx(l+20%)

24002400_

-----------------=O，

xM1+20%)

24002400

故答案為:

-r--x(l+20%)一?

過關(guān)檢測

1.A,4兩地相距l(xiāng)80k〃，新修的高速公路開通后，在4,4兩地間行駛的長途客車平均

車速提高了50%,而從4地到8地的時間縮短了訪.若設(shè)原來的平均車速為八力77〃7,則根

據(jù)題意可列方程為()

4180180,八180180.

A.---------------=1B.---------------=1

x(1+50%)x(1+50%)xx

「180180,、180180,

C?-----------------------=1D?------------------------=1

x(l-50%)x(l-50%)xx

【解答】解：設(shè)原來的平均車速為雙〃//7,則根據(jù)題意可列方程為：

180180-

"x"-(1+50%).」?

故選：A.

2.某商場銷售一種商品，第一個月將此商品的進(jìn)價提高20%作為銷售價，共獲利1200元，

第二個月商場搞促銷活動，將商品的進(jìn)價提高15%作為銷售價，第二個月的銷售量比第一

個月增加80件，并且商場第二個月比第一個月多獲利300元.設(shè)此商品的進(jìn)價是x元，則

可列方程_費J20：；300一go一

iooAibo'

……―12001200+300cc

【解答】解：方程為：萬一=—F-----80,

--XX

1C0'100'

故答案為：要」20：;300_80

iooAiooA

例8.列方程解應(yīng)用題

今年1月下旬以來，新冠肺炎疫情在全國范圍內(nèi)迅速蔓廷，而比疫情蔓延速度更快的是口罩

恐慌.企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn)急需口罩，某大型國有企業(yè)向生產(chǎn)口罩的A、△兩廠訂購口罩，向A廠

支付了1.32萬元，向8廠支付了2.4萬元，且在8廠訂購的口罩?jǐn)?shù)量是A廠的2倍，B「

的口罩每只比A廠低0.2元.求A、8兩廠生產(chǎn)的口罩單價分別是多少元？

【解答】解：設(shè)B廠生產(chǎn)的口罩單價為尤元，則A廠生產(chǎn)的口罩單價為(x+0.2)元，

住面在因24000。13200

依題意，得：-----=2x------,

xx+0.2

解得：x=2,

經(jīng)檢驗，x=2是原方程的解，且符合題意，

/.x+0.2=2.2.

答：A廠生產(chǎn)的口革單價為2.2元，4廠生產(chǎn)的口罩單價為2元.

例9.某快餐店欲購進(jìn)A、8兩種型號的餐盤，每個A種型號的餐盤比每個8種型號的餐

盤費用多10元，且用120元購進(jìn)的A種型號的餐盤與用90元購進(jìn)的8餐盤的數(shù)量相同.

(1)4、8種兩型號的餐盤單價為多少元？

(2)若該快餐店決定在成本不超過3000元的前提購進(jìn)A、8兩種型號的餐盤80個，求最

多購進(jìn)A種型號餐盤多少個？

【解答】解：(1)設(shè)A型號的餐盤單價為x元，則8型號的餐盤單價為3-10)元，

由題意可列方程效=一雙一，

xx-10

/=40.

經(jīng)檢驗：x=40是原分式方程的根.

則10=40-10=30.

答：A型號的餐盤單價為40元，8型號的餐盤單價為3()元；

(2)設(shè)購進(jìn)A種型號餐盤m個，

由題可知40m+30(80-in\y3(X)0,

解得60.

答：最多購進(jìn)4種型號餐盤60個.

過關(guān)檢測

1.某商家預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進(jìn)了一批這種襯衫，面市后果然

供不應(yīng)求，商家又用28800元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍，但

單價貴了10元.

（1）該商家購進(jìn)的第一批襯衫是多少件？

（2）若兩批襯衫按相同的標(biāo)價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售

完后利潤率不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標(biāo)價至少是多少元？

【解答】解：（1）設(shè)該商家購進(jìn)的第一批襯衫是x件，則購進(jìn)第二批這種襯衫是2工件，依

題意有

13200,八28800

----+10=-----,

x2%

解得x=120,

經(jīng)檢驗，x=120是原方程的解，且符合題意.

答：該商家購進(jìn)的第一批襯衫是120件.

（2）3x=3xl20=360,

設(shè)每件襯衫的標(biāo)價y元，依題意有

（360-5O）y+50x0.8y.（13200+28800）x（1+25%）.

解得y..150.

答：每件襯衫的標(biāo)價至少是150元.

2.某校利用暑假進(jìn)行田徑場的改造維修，項目承包單位派遣一號施工隊進(jìn)場施工，計劃用

40天時間完成整個工程：當(dāng)一號施工隊工作5天后，承包單位接到通知，有一大型活動要

在該田徑場舉行，要求比原計劃提前14天完成整個工程，于是承包單位派遣二號與一號施

工隊共同完成剩余工程，結(jié)果按通知要求如期完成整個工程.

（1）若二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？

（2）若此項工程一號、二號施工隊同時進(jìn)場施工，完成整個工程需要多少天？

【解答】解：（1）設(shè)二號施工隊單獨施工需要x天,

40-1440-5-14,

根據(jù)題意得:-----+--------=I,

40x

解得：x=60>

經(jīng)檢驗，x=60是原分式方程的解.

答：若由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要60天.

（2）根據(jù)題意得：l+（-L+-!-）=24（天）.

4060

答：若由一、二號施工隊同時進(jìn)場施工，完成整個工程需要24天.

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.在下列方程中，關(guān)于x的分式方程的個數(shù)有()

X2-9

2

@-X--X+4=0；?-=4；(3)-=4：④1：⑤—=6；?￡Z!+±Z!=2

23Jixx+3x+2717t

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解答】解：①L/二%+4=0是一元二次方程,

23

②土=4,乃是數(shù)字不是未知數(shù)，是一元一次方程:

n

③工=4是分式方程;

x

二=1是分式方程;

④

x+3

⑤6是分式方程；

x+2

⑥=1+匕1=2是一元一次方程.

冗冗

故選：B.

2.將分式方程L=:一去分母后得到的整式方程，正確的是(

)

xx-2

A.x-2=2xB.x2-2x=2xC.x—2=xD.x=2x-4

【解答】解：去分母得:x-2=>

故選：A.

3.分式方程上—1=有增根,則m的值為()

x-1(X-1)(A+1)

A.0和2B.1C.1和一2D.2

【解答】解：方程兩邊都乘(x-l)(x+l),得x(x+l)-(x-l)(x+l)=〃?,

方程有增根,

..最簡公分母(x-l)(x+l)=O,即增根是x=l或一1,

把x=l代入整式方程，得，"=2,

把x=T代入整式方程，得〃7=0,方程無解,

：.m=2.

故選：D.

4.當(dāng)小=2—時，方程言二號無解.

【解答】解：原方程化為整式方程得，x-\=m

因為無解即有增根，

一3=0,

x=3，

當(dāng)x=3時，^=3-1=2.

故答案為：=2

5.要使方程_匚=二—有正數(shù)解，則〃的取值范圍是。＜2且

x-\x-a~~

【解答】解：方程去分母得1=2"-〃），解得x=2-〃.

因為方程有解，