清單04 基本平面圖形（12個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（解析版）-25學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（北師大版2024）

清單04基本平面圖形（12個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

【清單01】直線、射線與線段

1.直線、射線與線段的概念注意：直線是可以向兩邊無限延伸的，射線受端點的限制，只能向一邊無限延伸；線段不能延伸，所以直線與射線不可測量長度，只有線段可以測量2.基本事實（1）經(jīng)過兩點有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點確定一條直線（2）兩點之間的線段中，線段最短，簡稱兩點間線段最短3.線段的性質(zhì)兩點之間的線段中，線段最短，簡稱：兩點間線段最短。4.基本概念（1）兩點間的距離：兩個端點之間的長度叫做兩點間的距離。（2）線段的等分點：把一條線段平均分成兩份的點，叫做這個線段的中點5.雙中點模型：C為AB上任意一點，M、N分別為AC、BC中點，則

【清單02】角的概念1.角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：注意：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．【清單03】多邊形

1.多邊形的定義多邊形概念：在平面內(nèi)，由一些線段首位順次相接組成的圖形叫做多邊形。（2）正多邊形概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形

2.多邊形的對角線n邊形一個頂點的對角線數(shù)：n-3；n邊形的對角線總數(shù)：3.截角問題n邊形截去一個角后得到n/n-1/n-2邊形【清單04】圓1.圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個備注：圓心確定圓的位置，半徑長端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓。這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點：在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。度確定圓的大小?！狙a充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。2.圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。知識點6：圓心角的概念圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角?；　⑾?、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等。【考點題型一】直線﹑射線和線段

【典例1】下列說法正確的是（

）A．點O在線段AB上 B．點B是直線AB的一個端點C．射線OB和射線AB是同一條射線 D．圖中共有3條線段【答案】D【分析】此題考查直線、線段、射線，關(guān)鍵是根據(jù)直線、線段、射線的含義逐一分析判斷即可．【詳解】解：A、點O在線段AB外，選項說法錯誤，不符合題意；B、點B是直線AB的一個點，直線沒有端點，選項說法錯誤，不符合題意；C、射線OB和射線AB不是同一條射線，選項說法錯誤，不符合題意；D、圖中共有3條線段，選項說法正確，符合題意；故選：D．【變式1-1】下列說法錯誤的是（

）A．直線AB和直線BA是同一條直線 B．兩點之間，直線最短C．射線AB和射線BA不是同一射線 D．兩點確定一條直線【答案】B【分析】本題考查的是直線，射線，線段的含義，根據(jù)定義逐一分析判斷即可，熟記基本概念是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：直線AB和直線BA是同一條直線，故A不符合題意；兩點之間，線段最短，故B符合題意；射線AB和射線BA不是同一射線，故C不符合題意，兩點確定一條直線，故D不符合題意；故選B【變式1-2】下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的有（

）

①直線a、b相交于點A；②射線CD與線段AB沒有公共點；③延長線段AB；④直線MN經(jīng)過點A.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用線段、直線和射線的語言描述逐一判斷即可解題．【詳解】①直線a、b相交于點A，描述正確；②射線CD與線段AB有公共點，描述錯誤；③延長線段AB，描述正確；④直線MN不經(jīng)過點A，描述錯誤；故選B．【點睛】本題考查線段、射線和直線的語言描述，熟練把圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】如圖，下列表述不正確的是（

）

A．直線AC和直線BC相交于點CB．點D在直線AB外C．線段BD和射線AC都是直線CD的一部分D．直線BD不經(jīng)過點A【答案】C【分析】根據(jù)直線、射線與線段的定義，結(jié)合圖形解答．【詳解】解：A、直線AC和直線BC相交于點C，此選項正確，故不符合題意；B、點D在直線AB外，此選項正確，故不符合題意；C、線段BD是直線CD的一部分，射線AC不是直線CD的一部分，此選項錯誤，故符合題意；D、直線BD不經(jīng)過點A，此選項正確，故不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了直線、射線、線段，解題的關(guān)鍵是掌握直線、射線、線段的定義，注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系．【考點題型二】直線和線段的性質(zhì)【典例2】下面兩個生活中的現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)知識解釋是（

）A．兩點之間，線段最短B．兩點確定一條直線C．現(xiàn)象1：兩點之間，線段最短；現(xiàn)象2：兩點確定一條直線D．現(xiàn)象1：兩點確定一條直線；現(xiàn)象2：兩點之間，線段最短【答案】C【分析】本題考查了兩點確定一條直線，兩點之間線段最短．直接利用線段的性質(zhì)以及直線的性質(zhì)分別分析得出答案．【詳解】解：現(xiàn)象1：把彎曲的河道改直，可以縮短航程可用“兩點之間線段最短”來解釋，現(xiàn)象2：木板上彈墨線，可用“兩點確定一條直線”來解釋；故選：C．【變式2-1】在下列現(xiàn)象中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)原理“兩點確定一條直線”的是（填序號）．【答案】①②③【分析】本題考查了直線的性質(zhì)，根據(jù)直線的性質(zhì)，逐一判斷即可解答．【詳解】解：①平板彈墨線，體現(xiàn)了基本事實“兩點確定一條直線”；②建筑工人砌墻，體現(xiàn)了基本事實“兩點確定一條直線”；③會場擺直茶杯，體現(xiàn)了基本事實“兩點確定一條直線”；④彎河道改直，體現(xiàn)了基本事實“兩點之間線段最短”；所以，在上列現(xiàn)象中，體現(xiàn)了基本事實“兩點確定一條直線”的有①②③，故答案為：①②③．【變式2-2】期中考試布置教室時，老師總是先把每一列最前和最后的課桌擺好，然后再依次擺中間的課桌，很容易就整整齊齊了．這其中蘊含的數(shù)學(xué)道理是．【答案】兩點確定一條直線【分析】本題考查的是直線的性質(zhì)，直接利用兩點確定一條直線可得答案．【詳解】解：期中考試布置教室時，老師總是先把每一列最前和最后的課桌擺好，然后再依次擺中間的課桌，很容易就整整齊齊了．這其中蘊含的數(shù)學(xué)道理是：兩點確定一條直線；故答案為：兩點確定一條直線【變式2-3】墨斗被認(rèn)為是“百作手藝祖師爺”魯班的發(fā)明，是木匠用來彈、放各種線記的重要工具，以其“繩之以墨”的功能成為了文人墨客心中正直的化身．如圖，經(jīng)過刨平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是．【答案】兩點確定一條直線【分析】本題主要考查兩點確定一條直線，熟練掌握這一知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是兩點確定一條直線．故答案為：兩點確定一條直線．【考點題型三】線段和與差運算

【典例3】線段AB長7cm，在直線AB上畫長為2cm的線段BC，則線段AC的長為（A．9cm B．5cm C．2cm或7cm 【答案】D【分析】本題主要考查了線段的和差計算，分當(dāng)點C在線段AB上時，當(dāng)點C在線段AB的延長線上時，兩種情況根據(jù)線段的和差關(guān)系討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)點C在線段AB上時，則AC=AB?BC=5cm當(dāng)點C在線段AB的延長線上時，則AC=AB+BC=9cm故選：D．【變式3-1】在直線l上順次取三點A、B、C，使線段AB=8cm，BC=3cm，則線段AC的長為（A．5cm B．8cm C．10cm【答案】D【分析】本題考查了線段的和差運算，根據(jù)在直線l上順次取三點A、B、C，得出AC=AB+BC，再代數(shù)計算，即可作答．【詳解】解：∵在直線l上順次取三點A、B、C，∴AC=AB+BC，∵AB=8cm，BC=3∴AC=8+3=11(cm故選：D．【變式3-2】如圖，已知B，C兩點把線段AD分成2:5:3三部分，M為AD的中點，BM=6cm，求CM【答案】4【分析】本題主要考查了線段的和差，中點的定義，先根據(jù)題意設(shè)可設(shè)AB=2x?cm，BC=5x?cm，CD=3x?cm，即可表示AD，再根據(jù)中點的定義表示出AM，進(jìn)而表示出BM=AM?AB，再結(jié)合BM【詳解】解：由B，C兩點把線段AD分成2:5:3三部分，可設(shè)AB=2x?cm，BC=5x?cm，所以AD=AB+BC+CD=10x?cm因為M是AD的中點，所以AM=MD=1所以BM=AM?AB=3x?cm因為BM=6?cm所以3x=6，解得x=2，所以CM=MD?CD=5x?3x=2x=2×2=4cm【考點題型三】線段中點運算

【典例3】如圖，線段AB=24．C是線段AB的中點，D是線段BC的中點．(1)求線段AD的長；(2)在線段AD上有一點E，滿足CE=16BC【答案】(1)AD的長為18(2)AE的長為10或14【分析】本題主要考查線段的和差運算，掌握中點的運算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段的中點先算出AC,CD的長，再根據(jù)線段的和差即可求解；（2）根據(jù)題意可算出CE的長，分類討論，當(dāng)點E在AC之間時；當(dāng)點E在CD之間時；由此即可求解．【詳解】（1）∵點C是線段AB的中點，∴AC=BC=1∵點D是線段BC的中點，∴CD=BD=1∴AD=AC+CD=12+6=18，∴線段AD的長為18；（2）∵AC=BC=12，∴CE=1當(dāng)點E在A、C之間時，AE=AC?CE=12?2=10；當(dāng)點E在C、D之間時，AE=AC+CE=12+2=14；綜上所述，AE的長為10或14．

【變式3-1】如圖，點C是線段AB上一點，D為BC的中點，且AB=10cm,BD=4cm．若點E在直線AB上，且AE=3cm，則A．3cm B．13cm C．2cm或13cm D．3cm或9cm【答案】D【分析】本題考查線段的和差關(guān)系，根據(jù)題意，點E的位置關(guān)系有兩種情況：①點E在點A左側(cè)；②點E在點A右側(cè)；在不同情況下，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，表示出線段之間的和差關(guān)系，代值求解即可得到答案，讀懂題意，準(zhǔn)確分類，作出圖形，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點E在直線AB上，∴點E的位置關(guān)系有兩種情況：①點E在點A左側(cè)；②點E在點A右側(cè)；當(dāng)點E在點A左側(cè)，如圖所示：∵AB=10cm∴DE=BA+AE?BD=10+3?4=9cm當(dāng)點E在點A左側(cè)，如圖所示：∵D為BC的中點，BD=4cm，∴CD=BD=4cm∵AB=10cm∴AC=2cm∵AE=3∴點E在點C右側(cè)，則CE=AE?AC=1cm∴DE=CD?CE=4?1=3cm綜上所述，DE的長為3cm或9cm，故選：D．【變式3-2】有兩根木條，一根AB長為80cm，另一根CD長為130cm，在它們的中點處各有一個小圓孔M、N（圓孔直徑忽略不計，M、N抽象成兩個點），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時兩根木條的小圓孔之間的距離MN是（A．105cm B．C．105cm或25cm【答案】C【分析】此題考查了兩點之間的距離問題，正確畫圖很重要，本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．分兩種情況畫出圖形求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)A、C（或B、D）重合，且剩余兩端點在重合點同側(cè)時，MN=CN?AM=1=65?40=25（厘米）；（2）當(dāng)B、C（或A、C）重合，且剩余兩端點在重合點兩側(cè)時，MN=CN+BM=1=65+40=105（厘米）．所以兩根木條的小圓孔之間的距離MN是25cm或105故選：C．【變式3-3】已知A、B、C、D四個點在同一條直線上，BC=13AB，D為AB的中點，且BD=1cm，則【答案】43cm【分析】本題考查線段的和差，根據(jù)題意畫出圖形，再分點C在A、B之間與點C在點AB的延長線上兩種情況進(jìn)行討論．熟練掌握線段等分點的性質(zhì)和線段的和差計算及分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖1，∵D為AB的中點，且BD=1，∴AB=2BD=2，∵BC=1∴BC=2∴AC=AB?BC=2?2如圖2，∵D為AB的中點，且BD=1，∴AB=2BD=2，∵BC=1∴BC=2∴AC=AB+BC=2+2綜上所述：AC的長是43cm或

【變式3-4】如圖，點C是線段AB上的一點，點M是線段AC的中點，點N是線段BC的中點．(1)如果AB=12cm，AM=5cm，求(2)如果MN=8cm，求AB【答案】(1)2(2)16【分析】本題考查了線段中點有關(guān)的計算．（1）先求出AC，再求出BC，根據(jù)線段的中點求出BC的長即可；（2）求出BC=2CN，AC=2CM，把MN=CN+MC=8cm【詳解】（1）解：∵點M是線段AC的中點，∴AC=2AM，∵AM=5cm∴AC=10cm∵AB=12cm∴BC=AB?AC=2cm（2）解：∵點M是線段AC的中點，點N是線段BC的中點，∴BC=2NC，AC=2MC，∵M(jìn)N=NC+MC=8cm∴AB=BC+AC=2MN=2×8=16cm【考點題型四】角度制單位換算【典例4】用度來表示22°23′【答案】22.39°【分析】本題考查角度換算，涉及1°=60【詳解】解：∵1°=60∴24″=∴22°23故答案為：22.39°．【變式4-1】計算：23°24【答案】42°1【分析】本題考查角度數(shù)的加減計算法則，解題的關(guān)鍵是掌握角度數(shù)的加減計算法則．根據(jù)角度數(shù)的加減計算法則進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：23°故答案為：42°16【變式4-2】131°28′【答案】79°5【分析】本題考查了角度的和差計算，解題關(guān)鍵是掌握計算法則，注意度、分、秒之間的單位換算．按照角度的加減計算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：131°2=130°8=79°55故答案為：79°55【變式4-3】若∠A=20°19′，∠B=20°15′30″，∠C=20.25°，則（A．∠A>∠B>∠C B．∠B>∠A>∠CC．∠A>∠C>∠B D．∠C>∠A>∠B【答案】A【分析】本題考查了角度的比較大?。畬ⅰ螦、∠B、∠C統(tǒng)一化成“度、分、秒”的形式，即可比較大小．【詳解】解：∠C=20.25°=20°+0.25×60∵20°19∴∠A>∠B>∠C，故選：A．【考點題型五】方位角

【典例5】如圖，∠AOB是直角，則射線OB表示的方向是（）A．南偏西55° B．南偏東55° C．北偏西35° D．北偏東35°【答案】B【分析】本題考查方位角．根據(jù)題意，求出∠COB即可判斷．【詳解】解：如圖，∵∠AOB=90°∴∠COB=180°?35°?90°=55°∴射線OB表示的方向是南偏東55°．故選：B．【變式5-1】如圖，一艘船在A處遇險后向相距50nmile位于B處的救生船報警，A處相對于B處的位置，下列描述最準(zhǔn)確的是（

A．距救生船50nmile處 B．南偏西30°方向上的50nmile處C．北偏東60°方向上 D．北偏東60°方向上的50nmile處【答案】D【詳解】解：由方向角的定義可知，A在B的北偏東60°方向上的50nmile處，故選：D．【變式5-2】如圖，點A，B，C分別表示學(xué)校、小明家、超市，已知學(xué)校在小明家的北偏東42°方向上，且∠ABC=90°，則超市在小明家的（）A．北偏西48°方向上 B．北偏西42°方向上C．南偏西48°方向上 D．南偏東42°方向上【答案】A【分析】此題主要考查了方向角表示位置，根據(jù)題意可得∠ABD=42°，則由角的和差關(guān)系可得∠CBD=∠ABC?∠ABD=48°，再根據(jù)方向角的定義即可解答．【詳解】解：∵學(xué)校在小明家的北偏東42°方向上，∴∠ABD=42°，∵∠ABC=90°，∴∠CBD=∠ABC?∠ABD=48°，∴超市在小明家的北偏西48°方向上，故選：A．【變式5-3】如圖，已知輪船A在燈塔P的北偏東30°30'方向，輪船B在燈塔P的南偏東70°20′方向，則【答案】79°1【分析】本題考查了方向角，根據(jù)題意即可求解，掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，由題意知：∠APC=30°30′，∴∠APB=180°?∠APC?∠BPD=180°?30°30故答案為：79°10【考點題型六】鐘面角

【典例6】如圖，在下午四點半的時候，時針和分針?biāo)鶌A的銳角度數(shù)是（

）A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】C【分析】結(jié)合圖形，利用鐘表表盤的特征解答．用到的知識點為：鐘表上12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°．【詳解】解：下午四點半鐘，時針和分針中間相差1.5個大格．∵鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°，∴下午四點半鐘分針與時針的夾角是1.5×30°=45°．故選：C【變式6-1】在8:20這一時刻，時鐘上的分針與時針之間的夾角為（

）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】B【分析】本題考查了鐘面角，利用時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．【詳解】解：8:20時針與分針相距4+13=在時刻8:20，時鐘上時針和分針之間的夾角（小于平角的角）為133故選：B．【變式6-2】如圖所示，鐘表上顯示的時間是10時10分，此時，時針和分針的夾角的度數(shù)是（

）A．100° B．105° C．115° D．120°【答案】C【分析】本題主要考查了鐘面角問題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握時針和分針每分鐘所轉(zhuǎn)過的角度．時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，由此即可算出10時10分鐘時，時針、分針與12時的夾角，即得答案．【詳解】∵時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，∴鐘表上10時10分鐘時，時針從10時轉(zhuǎn)過10分鐘轉(zhuǎn)了0.5°×10=5°，此時時針與垂直線的夾角為60°?5°=55°，分針從12的位置順時針轉(zhuǎn)了6°×10=60°，∴10時10分鐘時分針與時針的夾角55°+故選C．【變式6-3】如圖是一個鐘面，上午8時正的時針和分針位置如圖所示，則分針和時針?biāo)山堑亩葦?shù)是．【答案】120°/120度/120【分析】本題主要考查了角度的運算，解題的關(guān)鍵是掌握時針轉(zhuǎn)一圈是一個周角360°．根據(jù)時針轉(zhuǎn)一圈是360°可求出每小時時針轉(zhuǎn)動的角度，即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖形，8點整分針與時針的夾角正好是360°12故答案為：120°．【考點題型七】余角和補角

【典例7】若∠A=52°，則∠A的補角的度數(shù)為（

）．A．48° B．208° C．128° D．38°【答案】C【分析】此題主要考查了補角的定義，兩角相加為180°，則兩角互補．根據(jù)補角的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∠A的補角的度數(shù)為180°?52°=128°．故選：C．【變式7-1】若∠1和∠2互余，∠1與∠3互補，∠3=110°，則∠1與∠2的度數(shù)分別為（）A．50°、40° B．70°、20° C．50°、130° D．70°、110°【答案】B【分析】本題主要考查了互為余角互為補角的定義，若兩角的和為90°，則兩角互余；若兩角的和為180°，則兩角互補，比較簡單．根據(jù)若兩角的和為90°，則兩角互余；若兩角的和為180°，則兩角互補，解答即可．【詳解】解：∵∠1與∠3互補，∠3=110°，∴∠1=180°?110°=70°；又∵∠1和∠2互余，∴∠2=90°?70°=20°，故選：B．【變式7-2】有一個角的補角為117°，則這個角的余角是°．【答案】27【分析】本題考查了余角和補角，解一元一次方程，設(shè)這個角是x°，則它的補角是180°?x°，它的余角是90°?x°，求出x=63即可求解，熟練掌握余角和補角的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】設(shè)這個角是x°，則它的補角是180°?x°，它的余角是90°?x°，根據(jù)題意有：180?x=117，解得x=63，它的余角=90°?63°=27°，故答案為：27．【變式7-3】若∠A=23°10′，則∠A的余角為【答案】66°5【分析】本題主要考查了求一個角的余角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余的兩個角和為90°．根據(jù)余角定義列式計算即可．【詳解】解：∵∠A=23°10∴∠A的余角為：90°?23°10故答案為：66°50【考點題型八】角分線的定義及簡單運算

【典例8】已知：點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠BOC=110°．(1)如圖1，求∠AOC的度數(shù)；(2)如圖2，過點O作射線OD，使∠COD=90°，作∠AOC的平分線OM，求∠MOD的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，作射線OP，若∠BOP與∠AOM互余，求∠COP的度數(shù)．【答案】(1)70°(2)55°(3)55°或165°【分析】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合根據(jù)射線OP的位置分類討論是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)平角的定義計算求值即可；（2）根據(jù)余角的定義可得∠AOD，根據(jù)角平分線的定義可得∠AOM，再計算角度和即可；（3）由余角的定義可得∠BOP=55°，分射線OP在∠BOC內(nèi)部、射線OP在∠BOC外部兩種情況，分別計算角的差、和即可．【詳解】（1）解：∵∠BOC=110°∴∠AOC=180°?∠BOC=70°；（2）解：由（1）得∠AOC=70°，∵∠COD=90°，∴∠AOD=∠COD?∠AOC=20°，∵OM是∠AOC的平分線，∴∠AOM=1∴∠MOD=∠AOM+∠AOD=35°+20°=55°；（3）解：由（2）得∠AOM=35°，∵∠BOP與∠AOM互余，∴∠BOP+∠AOM=90°，∴∠BOP=90°?∠AOM=90°?35°=55°，①當(dāng)射線OP在∠BOC內(nèi)部時，如圖，

∠COP=∠BOC?∠BOP=110°?55°=55°；②當(dāng)射線OP在∠BOC外部時，如圖，

∠COP=∠BOC+∠BOP=110°+55°=165°．綜上所述，∠COP的度數(shù)為55°或165°．

【變式8-1】已知∠AOB=60°,∠AOC=13∠AOB，射線OD平分∠BOC，則【答案】20°或40°【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，正確求得∠BOC的度數(shù)是關(guān)鍵，因考慮不周，容易漏掉一種情況的解．分兩種情況(OC在∠AOB內(nèi)或外），分別首先求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠COD的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)時，如圖1，則∠BOC=∠AOB?∠AOC=60°?1∵射線OD平分∠BOC，∴∠COD=1當(dāng)OC在∠AOB外時，如圖2，則∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+1∵射線OD平分∠BOC，∴∠COD=1綜上，∠COD=20°或40°．故答案為：20°或40°．【變式8-2】如圖，∠AOB是平角，OC是射線，OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，若∠COE=28°，則∠AOD的度數(shù)為．【答案】62°/62度【分析】本題考查角平分線的定義，平角的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．根據(jù)角平分線的定義求出∠BOC=56°，推出∠AOC=124°，再根據(jù)角平分線的定義求解即可．【詳解】解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE=56°．∴∠AOC=180°?∠BOC=124°．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD=1故答案為：62°．【變式8-3】如圖，OB，OE是∠AOC內(nèi)的兩條射線，OD平分∠AOB，且∠COE=2∠BOE．若∠AOD=15°，∠AOC=120°，求∠DOE的度數(shù)．【答案】∠DOE=45°【分析】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算．先根據(jù)角平分線的定義得出∠AOB=2∠AOD=30°，∠BOD=∠AOD=15°，再根據(jù)∠AOC=120°，算出∠BOC=∠AOC?∠AOB=90°，根據(jù)∠COE=2∠BOE，得出∠BOE=30°，根據(jù)∠DOE=∠DOB+∠BOE=15°+30°=45°求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵OD平分∠AOB，∠AOD=15°，∴∠AOB=2∠AOD=30°，∠BOD=∠AOD=15°，∵∠AOC=120°，∴∠BOC=∠AOC?∠AOB=90°，∵∠COE=2∠BOE，又∵∠BOE+∠EOC=∠BOC=90°，∴3∠BOE=90°，∴∠BOE=30°，∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=15°+30°=45°．【考點題型九】三角板中角度計算問題

【典例9】一副三角板按如圖放置，其中∠CAB=∠DAE=90°，∠B=45°，∠D=30°，若∠CAD=155°，則∠1的度數(shù)是（

）A．20° B．25° C．35° D．45°【答案】B【分析】本題主要考查了角的和差．熟練掌握角的和差計算，是解決問題的關(guān)鍵．利用∠CAB與∠DAE的和減去∠CAD的差即得．【詳解】∵∠CAB+∠DAE=∠CAE+∠1+∠DAE=∠CAD+∠1，∴∠1=∠CAB+∠DAE?∠CAD，∵∠CAB=∠DAE=90°，∠CAD=155°，∴∠1=25°．故選：B．【變式9-1】如圖，將一副直角三角板疊在一起，使直角頂點重合于點O，則∠AOB+∠DOC=°．【答案】180【詳解】本題主要考查了三角板中角度的計算，根據(jù)∠AOB+∠COD=∠AOC+∠DOB進(jìn)行求解即可．【分析】解：由題意得，∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB+∠COD=∠AOC+∠BOC故答案為：180．【變式9-2】把一副三角尺按如圖所示拼在一起，其中B，C，D三點在同一直線上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，則∠MCN=．【答案】127.5°【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)；利用角平分線的基本性質(zhì)來計算角度是關(guān)鍵．先容易求得∠ACE=75°，在根據(jù)CM、CN分別平分∠ACB,∠ECD，由圖可知所求角等于∠ACE=75°加上∠ACB,∠ECD的一半．【詳解】解：由題可知：∠ACB=45°,∠ECD=60°∠ACE=180°?∠ACB?∠ECD=75°∵CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，∴∠MCN=∠ACE+∠MCN=127.5°故答案為127.5°【變式9-3】如圖，將一副三角尺疊放在一起．(1)若∠CAE=58°，求∠BAE的度數(shù)；(2)若∠CAE=2∠BAD，求∠CAD的度數(shù)．【答案】(1)32°(2)120°【分析】本題主要考查角的計算．（1）用90°減去∠CAE的度數(shù)，求出的差就是∠BAE的度數(shù)；（2）設(shè)∠BAD=x，用含x的代數(shù)式表示出∠BAE后根據(jù)∠BAE+∠BAD=60°建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值后即可求出∠CAD的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵∠BAC=90°，∠CAE=58°，∴∠BAE=∠BAC?∠CAE=90°?58°=32°；（2）解：設(shè)∠BAD=x，則∠CAE=2x，∴∠BAE=90°?2x，∵∠DAE=∠DAB+∠BAE=60°，∴90°?2x+x=60°，解得：x=30°，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=90°+30°=120°．【考點題型十】作線段（尺規(guī)作圖）【典例10】如圖，已知四點A、B、C、D，請按要求作圖并解答．

(1)按要求作圖：①作射線AB；②連接BD；③在射線AB上截取AM，使AM=DB；④在線段BD上取點P，使PA+PC的值最??；(2)小明同學(xué)根據(jù)圖形寫出了四個結(jié)論：①圖中有8條線段；②點B在線段DP的延長線上；③射線AB和射線AM是兩條射線；④點M在射線AB的延長線上；其中正確的結(jié)論是_________．【答案】(1)見解析(2)②③【分析】（1）①根據(jù)射線的定義作圖即可；②直接連接BD即可；③以A為圓心，以BD為半徑畫圓弧，與射線直線AB交于M；④連接AC與BD的交點即為所求；（2）根據(jù)直線、線段、射線的定義逐個判斷即可解答．【詳解】（1）解：①射線AB即為所求；②線段BD即為所求；③線段AM即為所求；④點P即所求．

（2）解：①圖中的線段有AB、AM、BM、AP、AC、PC、BD、PB、DP，共9條，則①錯誤；②由AC與BD的交點，則點P是點B在線段DP的延長線上，即②正確；③圖中射線AM、BM，共2條，則③正確；圖中共有6條線段的說法是正確的；④由射線AB本來就無限延伸，故不需要延長，則④錯誤．故答案為②③．【點睛】本題主要考查了基本作圖，直線、線段、射線的定義，線段的性質(zhì)等知識點，掌握直線，射線，線段的定義是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】如圖所示，已知A，B，C，D四點在同一平面內(nèi)，請根據(jù)下列要求畫圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．

(1)作線段AB、射線AD、直線BC；(2)在射線AD上作線段DE=AD；(3)連接CE，在四邊形ABCE內(nèi)求作一點O，使得OA+OB+OC+OE最?。敬鸢浮?1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【分析】本題考查了線段、射線、直線的畫法，兩點之間，線段最短的應(yīng)用，準(zhǔn)確畫圖，知道線段和最小值的確定方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段的特點，直線的特點畫出，注意直線的雙向伸展性；（2）先畫射線，點A是起始點，點B是方向點，用圓規(guī)截取等長即可；（3）根據(jù)線段最短，確定最小值的位置是AC、BE的交點；【詳解】（1）根據(jù)題意作圖如下：

（2）根據(jù)題意作圖如下：

（3）根據(jù)線段最短，確定最小值的位置是AC、BE的交點，作圖如下：

【變式10-2】如圖，C為線段AB的中點，D在線段CB上，且DA=6，(1)畫出線段2AC?BD（尺規(guī)作圖）(2)求線段AB、CD的長．【答案】(1)見解析(2)AB=10，CD=1【分析】本題考查尺規(guī)作圖——作線段等于已知線段，線段的中點，線段的和差．（1）作射線MN，以點M為圓心，AC的長為半徑畫弧，與MN交于點E，則ME=AC，同理作EF=AC，則MF=2AC，以點F為圓心，BD的長為半徑，交線段MF于點G，則FG=BD，則MG=MF?FG=2AC?BD，為所求．（2）根據(jù)線段的和差與線段的中點即可解答．【詳解】（1）解：如圖，ME=EF=AC，F(xiàn)G=BD，則線段MG=2AC?BD，為所求圖形．（2）解：∵DA=6∴AB=AD+DB=6+4=10，∵點C是AB的中點，∴AC=1∴CD=AD?AC=6?5=1．【變式10-3】如圖，已知平面上有不共線的三點A，B，C．用直尺和圓規(guī)作圖：(1)作線段AC，射