2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題22 直角三角形【十六大題型】（舉一反三）（解析版）

專題22直角三角形【十六大題型】

?題型梳理

【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】..............................................................3

【題型2根據(jù)已知條件判定直角三角形】..........................................................8

【題型3利用勾股定理求解】....................................................................14

【題型4判斷勾股數(shù)問題】......................................................................17

【題型5勾股定理與網(wǎng)格問題】.................................................................20

【題型6利用勾股定理解決折疊問題】...........................................................27

【題型7勾股定理與無理數(shù)】....................................................................34

【題型8利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】.....................................................36

【題型9勾股定理的證明方法】.................................................................43

【題型10以弦圖為背景的計(jì)算】.................................................................48

【題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】.......................................................54

【題型12利用勾股定理解決實(shí)際問題】...........................................................57

【題型13在網(wǎng)格中判定直角三角形】.............................................................61

【題型14利用勾股定理逆定理求解】.............................................................67

【題型15圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】.................................................71

【題型16用勾股定理解決實(shí)際生活問題】.........................................................76

，舉一反三

【知識點(diǎn)直角三角形】

1.直角三角形的性質(zhì)與判定

直角三角形的定義:有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

直角三角形的性質(zhì):I)直角三角形兩個銳角互余.

2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3)在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半.

直角三角形的判定:1)兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

2)有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個三角

形是直角三角形。

面積公式：=lcm（其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長）

m

b

2.勾股定理

勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為C,那么。2+匕2=。2

變式：Q2=C2—/）2,b2=c2—a2,c=Va24-b2,a=Vc2—b2,b=Vc2—b2.

勾股定理的證明方法（常見）：

方法一（圖一）：4sA+S正方形EFGH=S正方形ABCD，4x：ab+（b—a）?=c?，化簡可證.

方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4xjab+c2=2ab+，C2

大正方形面積為S=（a+b）2=a2+2ab4-b2,所以a?+b2=c2

方法三（圖三）：S梯形="a+b＞（a+b），S梯形=2S「DE+SAABE=2?|ab+1c2,化簡得證a?+b2=c2

。_________________「ba八人a?

口D

HQ：L

AcBabBbc

圖一圖二圖三

勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，1即Q2+/J2=C2中，a,b,c為正整

數(shù)時，稱Q,b,C為一組勾股數(shù).

常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.

判斷勾股數(shù)的方法：1）確定是三個正整數(shù)a,b,c；

2）確定最大的數(shù)c；

3）計(jì)算較小的兩個數(shù)的平方。2+匕2是否等于‘a(chǎn).

3.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長a,b,c滿足/+垓=。2,那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊.

【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】

【例1】（2023?內(nèi)蒙古包頭?包頭市第三十五中學(xué)校考三模）如圖，在正方形48。）中，點(diǎn)E、/分別在邊CD,BC

上，RDE=CF,連接尸,DG平分乙4。尸交力8于點(diǎn)G,若=70°,則/AG。的度數(shù)為.

【答案】55。/55度

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得=OC，/-ADE=Z.C=I.DAG=90°,AD\\BC,從而證明

DCF（SAS）,得〃ED=4DFC=LADF=70°,再由角平分線的定義可得乙40G=^ADF=35°,再根據(jù)直

角二角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：:四邊形4BCD是正方形，

：.AD=DC,^ADE=Z.C=^DAG=90°,AD\\BC,

：.LADF=乙DFC,

^.LADE^LOC尸中，

（AD=DC

N4OE=ZC,

（DE=CF

/.AADE會△DCF（SAS）,

：.LAED=Z-DFC=Z-ADF=70°,

???DG平分4ADr，

：.AADG=^ADF=35°,

：.AAGD=90°-乙40G=55°,

故答案為:55。.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌

握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明△ADE-△DCF是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2023?北京平谷?統(tǒng)考一模）如圖,Rt△48c中，乙4cB=90。,CD_LAB于點(diǎn)。,則下列結(jié)論不

一定成立的是（）

A.zl+z2=90°B.41=30°C.zl=z4D.z2=z3

【答案】B

【分析】借助直角三角形兩銳角互余，依次判斷即可.

【詳解】解：Rt/k/lBC中，

*：LACB=90°,

r.zl+Z2=90°,故A正確；

CDLAB,

???〃DC=zCDB=90。，

Azi+Z3=90°,

'：LACB=90°,

.,.Z3+Z4=9O°

.*.zl=z4,故C正確；

VzCDF=90°,

；?42+匕4=90。，

Vz3+z4=90°

???/2=乙3,故D正確；

?.?/l不一定是30。，故B符合題意

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題.主要考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)直角三角形兩銳角互余這一性質(zhì)來解題是關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考二模）如圖，分別以△4BC的邊4C和48向外作等腰RtzMCE和等腰心△

ABD,點(diǎn)M、N分別是BC、CE中點(diǎn)，若MN=26，則四邊形BCED的面積為一.

D

BMC

【答案】24

【分析】連接BE,CD交于點(diǎn)H,根據(jù)三角形中位線定理可得BE=2MN=46，然后證明

DAC(SAS),可得BE1CD,再利用對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接BE,CD交于點(diǎn)H,BE交AD于G,

???點(diǎn)M、N分別是BC、CE中點(diǎn)，MN=24

BE=2MN=48，

在等腰Rt△%(;￡1和等腰Rt/iABD,AB=AD,AE=AC,ABAD=Z-CAE=90°,

???/.BAD+Z.DAE=Z.CAE4-Z.DAE,

???Z.BAE=Z-DAC,

在AD4C中，

(AB=AD

l^BAE=/-DAC，

IAE=AC

.-.ABAEaDACHAS'),

BE=DC,乙ABE—Z.ADC?

v/.ABE+乙BGA=90°,

.-.Z.ADC+Z.BGA=90°,

???/.BGA=乙DGH,

???Z.ADC+乙DGH=90°,

:.Z.DHG=90°,

:.BE1CD,

vBE=DC=4百，

二四邊形8CED的面積=-xBE-CD=-x4x/3x473=24.

22

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查「全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，對角線互相垂直的四邊形面積，三

角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是得到^BAEDAC.

【變式1-3］(2023?河南信陽?二模)【閱讀理解】如圖1,小明把一副三角板直角頂點(diǎn)。重疊在一起.如圖2固

定三角板4。氏將三角板C。。繞點(diǎn)。以每秒15。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為￡秒，當(dāng)。。邊與。8邊重合時

停止轉(zhuǎn)動.

【解決問題】

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛鲆?0C、乙8。。之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)運(yùn)動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；

(3)當(dāng)440C、△4。8、乙80c中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線0C是乙1。8的“優(yōu)線”，請直接寫

出所有滿足條件的t值.

［答案］(l)AAOC+乙BOD=180°

(2)有，。。平分4/1。氏。8平分"OD,理由見解析

(3)t=2,3,4,9,12

【分析】(1)由題意，根據(jù)題目分析、然后畫出圖形可得結(jié)論;

(2)依據(jù)題意，畫出圖形，然后分別計(jì)算出角的度數(shù)可得解；

(3)依據(jù)題意，將所有可能情形杭理并分類討論可得￡的值.

【詳解】(1)解：①如圖，Z-AOC+Z-BOD=180°,理由如下：

由題意得，2。。4=90。一乙4OC,^COB=90°-^AOC.

：.LAOC+Z-BOD=Z.AOC+Z.DOA+Z,AOC+乙COB

=LAOC+90°-Z,AOC+Z.AOC+90°-Z.AOC

=180°,

A

②如圖，/.AOC+Z-BOD=180",埋由如下：

由題意得，/-DOA=900-Z,DOBt乙COB=90。一乙DOB.

：,LAOC+乙BOD=Z.DOA+乙DGB+乙COB+乙BOD

=90°-乙DOB+乙DOB+90°-乙DOB+乙BOD

=180°,

綜上，/-AOC+乙BOD=180°.

故答案為：Z.AOC+LBOD=180°；

(2)解：有，0。平分乙AOB,。8平分4COO.

如圖所示，理由如下：

當(dāng)運(yùn)動時間為9秒時，Z/10C=15ox9=135o,

：,LBOC=Z-AOC-Z-AOB=135°-90°=45°.

■:乙COD=90°,

:.4BOD=乙COD-乙BOC=90°-45°=45°,

:.乙BOC=乙BOD=45°,

，08平分乙。0。，

LBOD=45°=、AO8,

，0。平分乙力。8；

（3）解：由題意得，/-AOB=90%Z,AOC=（15t）°.

當(dāng)/80C=244。。時，LAOC=30%

/.15t=30,解得t=2；

當(dāng)，為0B=2440C,OC在ZAOB內(nèi)部時，^AOC=45°,

/.15t=45,解得￡=3；

當(dāng)/4OC=2/B0C時，^AOC=60°,

A15t=60,解得￡=4；

當(dāng)，4。8=24B0CI時，Z.AOC=135°,

A15t=135,解得￡=9；

當(dāng)/40C=2N/O2U寸，Z.AOC=180%

A15t=180,解得t=12；

綜上，t=2,3,4,9,12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算，解題時需要全面考慮分析所有可能，學(xué)會分類討論是解題的關(guān)鍵.

【題型2根據(jù)已知條件判定直角三角形】

【例2】（2023?福建漳州?統(tǒng)考一模）在下列條件中：①乙4+48=",②N4482c=1:5:6,③N4=90°-

乙B,@44=乙5=乙（；中，能確定△力8c是直角三角形的條件有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，能證明有一個角是90度即可.確定△48C是直角三角形.

【詳解】解：由三角形內(nèi)角和定理得乙力+乙8+乙。=180。，

①當(dāng)"1+乙B=4C時，2zC=180°,zC=90°,能確定△力8c是直角三角形；

②當(dāng)44N&4c=1:5:6時，zC=-4—X18O°=9O°,能確定A48C是直角三角形；

1+5+6

③當(dāng)乙4=90。一48時，LA+Z-B=Z.C=90°,能確定△力8C是直角三角形；

④當(dāng)乙4=匕8=4。時，Z/4+zF=ZC=60°,不能確定△48C是直角三角形；

綜上可知，能確定△48C是直角三角形的條件有3個，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查直角二角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二角形內(nèi)角和定理.

【變式2-1］（2023?陜西西安?一模）如圖，已知銳角三角形A8C,用尺規(guī)作圖法在BC上作一點(diǎn)P,使得乙8+

^PAB=90°.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】過點(diǎn)A作力P18C于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求.

???Z.APB=90°,

???Z.B+乙PAB=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

【變式2-2］（2023?湖北武漢??？寄M預(yù)測）如圖，。。經(jīng)過的頂點(diǎn)4,C及4B的中點(diǎn)0,且D是AC的

中點(diǎn).

B

D/

A,C

O

(I)求證：△/IBC是直角三角形；

(2)若。。的半徑為1,求極：8C的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)4

【分析】(1)連接CD,根據(jù)。是向C的中點(diǎn)，可得￡M=OC,所以乙再根據(jù)點(diǎn)。是力B的中點(diǎn),

可推得DC=OB,所以NB=NOCB,然后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；

(2)連接。。并延長交。。于點(diǎn)E,連接4E,證明△/1/)￡1?△C8A,可得當(dāng)二,，代入值即可解決問題.

CBBA

【詳解】(1)證明：如圖，連接CD,

?.?。是此的中點(diǎn)，

???DA=DC,

：.z.DAC=Z.DCA,

???點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

：,DA=DB,

：.DC=DB,

=乙DCB,

'：LBAC++Z,ACB=180°,

：,LBAC++Z.DCA+乙DCB=180°,

???24+=180°,

???血C+iB=90。，

???AABC是直角三角形；

(2)解：如圖，連接。。并延長交。。于點(diǎn)E,連接力E,

???DE是。0的直徑，

/.zDi4F=90°,

???。是/if的中點(diǎn),

，曲=CD,

：,LDEA=Z.BAC,

*：￡DAE=LBCA=90%

**?AADEs&CBA,

?ADDE

??—CB———BA

〈O。的半徑為1,點(diǎn)。是的中點(diǎn),

：,DE=2,AD=-AB,

2

???泗”，

BCAB

：-\AB2=2BC,

：,AB2=4BC,

：.AB2'.BC=4.

B

E

【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，三角形用似的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，熟

練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023?湖南邵陽?統(tǒng)考一模)如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)。，頂點(diǎn)為4(1,1),且與直線y=%-2

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)。的坐標(biāo);

⑵求證：AASC是直角三角形；

(3)若點(diǎn)N為x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN_Lx軸與拋物線交于點(diǎn)M,則是否存在以。，M,N為頂點(diǎn)的

三角形與aABC相似？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-/+2%；C(-1,-3)

(2)見解析

(3)存在，N點(diǎn)、,其坐標(biāo)為0)或《,0)或(一1,0)或(5,0)

【分析】(1)可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)

坐標(biāo)；

(2)分別過A、C兩點(diǎn)作"由的垂線，交x軸于。、E兩點(diǎn)，得出ZiBEC和△AD8為等腰直角三角形,進(jìn)而可

得出/ABC=90。,即可得到答案；

(3)設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長度，當(dāng)AMON和△A8C相似時，利用

三角形相似的性質(zhì)可得粵=能或罌=等，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo).

ABBCBCAB

【詳解】(1)???頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),

???設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-I/+1,

又1?拋物線過原點(diǎn)，

AO=a(0-I)2+1,

解得。=-1,

???拋物線的解析式為y=-(x-1產(chǎn)+1,即y=-x2+2x,

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得?=一"+2”，

(y=x-2

解噬記或仁二;，

???B(2,0),C(-l,-3)；

(2)如圖，分別過4、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸F。、E兩點(diǎn)，

???AZ10B和△8EC為等腰直角三角形，

：.AABO=/-CBO=45°,即248c=90°,

???A/8C是直角三角形；

(3)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為停,0)或6,0)或(一1,0)或(5,0),理由如下：

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N,

設(shè)押(%,0),則MQ—/+2x),

.'.ON=|x|,MN=\-x2+2x|,

由(2)在和CEB中，可分別求得48=BC=3yf2,

???MNJL》軸于點(diǎn)N,

：.Z.ABC=乙MNO=90°,

???當(dāng)4MNC^A/IBC相似時有翳=，或黃=等，

①當(dāng)翳=,時，則有^^件二界，即|訃|-無+2|=拉|,

???當(dāng)％=0時，M、。、N不能構(gòu)成三角形，

，x工0,

/.\-x+2|=^,即一x+2=±5

解得％=(或%=孑此時N點(diǎn)坐標(biāo)為信0)或((,0)；

②當(dāng)翳=等時，則有上青=3即田?1+2|=3|訃

BCAB3V2VZ

：.\-x+2\=3,

即-X+2=±3,解得'=-1或x=5,此時N點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,0)或(5,0).

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為C，0)或6,0)或(-1,0)或(5,0).

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有待定系數(shù)法、圖象的交點(diǎn)問題、直角三角形的判定、勾

股定理及逆定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等.在（1）中注意頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在（3）中設(shè)出N、M的

坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形點(diǎn)的對應(yīng).本題考查知

識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度稍大.

【題型3利用勾股定理求解】

【例3】（2023?廣東?模擬預(yù)測）如圖，在矩形A8CD中，AB=4,BC=6,。是矩形的對稱中心，點(diǎn)E、F分

別在邊力0、BC上,連接。OF,若AE=3F=2,則?！?。5的值為（）

j二ED

BFC

A.2V2B.5V2C.V5D.275

【答案】D

【分析】連接AC，BD,過點(diǎn)。作。M14D于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)、N,利用勾股定理求得0E的長即可解題.

【詳解】解：如圖，連接AC,BD.過點(diǎn)。作。M_L4。于點(diǎn)M,交8C于點(diǎn)N,

??泗邊形A8C。是矩形，

0A=0D=0B

0M1AD

???AM=DM=3

1

0M=2AB=2

???AE=2

???EM=AM-AE=1

0E=>JEM2+OM2=+22=Vs

同理可得OF=VS

OE+OF=2x/5

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查中心對稱、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

【變式3-1](2023?河北保定?統(tǒng)考二模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(1,2),8(-3/)，當(dāng)線段AB最短時，b的

值為()

A.2B.3C.4D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得b的值.

【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得：

AB=7(-3-l)2+(b-2)2=J16+(匕一2產(chǎn),

當(dāng)匕=2時，AB有最小值，最小值為4.

因此當(dāng)=2時，4。最短，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)問題、二次函數(shù)的最值，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2】(2023上?遼寧沈陽?八年級校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，四邊形A8CQ的對角線力C,BD交于點(diǎn)O.若

ACLBD,AB=4,CD=通,則BC?+4。2=

【答案】21

【分析】根據(jù)勾股定理即可解答.

【詳解】解：-AC1FD,AB=4,CD=V5,

.?.在Rta/lOB中，。/12+。^2=4#=42=16,

.?.在RtaCOO中，OU+。。2=亦=（佝2=5,

又??在Rt△力。。葉上OA2+0D2=AD2,

在中，OB2+0C2=BC2,

22

ABC+AD

222

=（OB+OC）+（OA+。。2）

=(OB2+OA2)+(0。2+。。2)

=AB2+CD2

=16+5

=21.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](2023?河南濮陽?統(tǒng)考三模)如圖，在△480中，^BAD=90°,AB=2,AD=2A/3,將力B繞點(diǎn)

4逆時針旋轉(zhuǎn)a度(0<a<90),得到力P,當(dāng)△4。。是等腰三角形時，點(diǎn)。到4D的距離為.

【答案】寫或1

【詳解】本題考存了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，先在Rt^ABD中，利用勾股定理求出BD=4,

再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB=AP=2,然后分兩種情況：當(dāng)O4=DP時；當(dāng)P4=PD時；最后分別進(jìn)行計(jì)

算，即可解答.

【解答】解：=90。，AB=2,AD=273,

???BD=>JAB2+AD2=J22+(275)2=4,

由旋轉(zhuǎn)得：AB=AP=2,

分兩種情況：

當(dāng)DA=DP時，如圖：

過點(diǎn)。作OF_L4P,垂足為F,過點(diǎn)尸作PE_LAO,垂足為E,

AF=FP=^AP=1,

DF=y/AD2-AF2=J(2>/3)2-l2=/1T,

???△AOP的面積=^AD?PE=^AP-DF,

2\[3PE=2xy/11,

解得：PE=亨，

???點(diǎn)P至IJAD的E叵離為斗;

當(dāng)PA=PD時,如圖:

當(dāng)點(diǎn)P落在8。的中點(diǎn)時，^iBP=BD=^BD=2,

vPA=PD=2,PGLAD,

???AG—DG,

PG是△ABD的中位線，

PG=-2AB=1,

二點(diǎn)P至必。的距離為1；

綜上所述：點(diǎn)P到力0的距離為亨或I,

故答案為：口等或1.

?5

【題型4判斷勾股數(shù)問題】

【例4】（2023?四川瀘州?統(tǒng)考二模）倜髀算經(jīng)》是中國最占老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世

紀(jì).《周髀算經(jīng)》中記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，意為：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）

和4（股）時，徑隅（弦）則為5,后人簡單地把這個事實(shí)說成“勾三股四弦五”.觀察下列勾股數(shù)：3,4,5；

5,12,13；7,24,25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù),

弦與股相差為2的一類勾股數(shù),如:6,8,10：8,15,17；...?若某個此類勾股數(shù)的勾為16,則其弦是.

【答案】65

【分析】根據(jù)題意可得，勾為m（m為偶數(shù)且mN4,根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，勾為m（為偶數(shù)且mN4）,則另一條直角邊（￡）2-1,弦（5丫+L

2

則弦為.（蔡）+1=65,

故答案為：65.

【點(diǎn)睛】本題考杳勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023?黑龍江牡丹江?校考模擬預(yù)測）下圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖①，一個邊長

為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，且三個正方形所圍成的三角形是直角三

角形；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖②；如此繼續(xù)“生長”卜去，則第2015次“生長”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”

上所有正方形的面積和為

圖①圖②

【答案】2016a2

【分析】運(yùn)用歸納的方法，根據(jù)勾股定理，先求出前幾次的這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積和，然

后找到變化的規(guī)律，猜測第〃次的這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積和，從而獲解.

【詳解】解：生長之前面積設(shè)為So,第〃次“生長”后的面積為％,

:.=a2,

Si=Q2+Q2=2a2,

222

Sz=2a4-a=3a,

2

Sn=（n+l）a,

22

當(dāng)n=2015時，S2OOo=（2015+l）a=2016a；

故答案為:2016a2.

【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律、勾股定理，正確理解題中圖形的變化規(guī)律、準(zhǔn)確用代數(shù)式表示規(guī)律是解

答此題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上

第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》.現(xiàn)有勾股數(shù)a,b,c,其中a,b均小于c,Q=

c=|TH2+m是大于1的奇數(shù)，則力=（用含m的式子表示）.

【答案】m

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到a,b為直用邊，c為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到匕的

值.

【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)小b,C,其中a,b均小于c,

??.a,Z?為直角邊，。為斜邊，

???a2+b2=c2,

.5

得到:nf*-^m2+；+爐=Am4-1m2+:,

b2=m2,

:.b=±771,

,J7R是大于1的奇數(shù)，

:?b=m.

故答案為：m.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚a,b為直角邊，c為斜邊是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題)《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾

2

股數(shù)a,b,。的計(jì)算公式：Q=g(m2-n2),b=mn,c=+n),其中m>n>0,m,n是互質(zhì)的奇

數(shù).下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出的是()

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

【答案】C

【分析】首先證明出小+爐=。2,得到小〃是直角三角形的直角邊然后由血>九>o,m,71是互質(zhì)的奇數(shù)

逐項(xiàng)求解即可.

[詳解】,.,?=!(m2—n2),b=mn,c=1(m2+n2),

：,a2+b2=[l(m2-n2)]2+(mn)2=i(?n2-n2)2+m2n2=+^m2n2

Vc2=[i(m2+n2)]2=^(m2+n2)2=4-im2n2+^n4,

.*.G2+h2=c2.

"〃是直角三角形的直角邊，

Vm,九是互質(zhì)的奇數(shù)，

A.3=1x3?

；?當(dāng)m=3,九=1時，a=^(ni2-n2)=4,b=mn=3,c=^(m24-n2)=5,

，3,4,5能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出;

B.5=1x5,

22

.?.當(dāng)m=5,九=1時，Q=:（m2一/2）=12,/7=mn=5,c=|（ni+n）=13,

???5,12,13能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出；

C.6=2x3?8=2x4,

V?n,n是互質(zhì)的奇數(shù)，

???6,8,1（）不能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出：

D.7=1x7,

22

.?.當(dāng)血=7,〃=1時，Q=乙(血2一/2)=24,b=inn=7,c=-(m+n)=25,

22

：?7,24,25能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考杳了勾股數(shù)的應(yīng)用，通過m>n>0,m,n是互質(zhì)的奇數(shù)這兩個條件去求得符合題意的t的

值是解決本題的關(guān)鍵.

【題型5勾股定理與網(wǎng)格問題】

【例5】（2023?廣東?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形：

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：

圖1圖2

⑴直接寫出紙板上Z4BC與紙盒上“出心的大小關(guān)系;

⑵證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【答案】(1)4

(2)證明見解析?.

【分析】(1)和A4181cl均是等腰直角三角形,幺BC=44津￡=45。；

(2)證明△ABC是等腰直角三角形即可.

【詳解】(1)解：乙=

(2)證明：連接4C,

C

設(shè)小正方形邊長為1,則4c=BC=71?+2?=遍,AB=Vl2+32=V10,

vAC2+BC2=5+5=業(yè)，

??.△A8C為等腰直角三角形，

FiCi=BG=1,41cl1B1C1,

???△48傳1為等腰直角三角形，

???乙ABC=Z-A1B1C1=45°,

故乙48c=乙4181G

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在2x4的方格紙4BCD中，每個小方格的邊長為1.已

知格點(diǎn)P，請按要求畫格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上).

(1)在圖中畫一個等腰三角形PEF,使底邊長為近，點(diǎn)E在8c上，點(diǎn)尸在AD上，再畫出該三角形繞矩形力BCD

的中心旋轉(zhuǎn)180。后的圖形.

(2)在圖中畫一個Rt使NP=45。，點(diǎn)Q在BC上，點(diǎn)R在AD上，再畫出該三角形向右平移1個單位

后的圖形.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）底邊長為企即底邊為小方格的對角線，根據(jù)要求面出底邊，再在其底邊的垂直平分線找到在

格點(diǎn)上的頂點(diǎn)即可得到等腰△PEF,然后根據(jù)中心旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出繞矩形4BCD的中心旋轉(zhuǎn)180。后的圖形.

（2）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，按要求構(gòu)造等腰直角三角形，然后按平移的規(guī)律作出平移后圖形即可.

【詳解】（1）（1）畫法不唯一，如圖1（PF=V2,PE=EF=y/S）,或圖2（PE=五PF=EF=回.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了格點(diǎn)作圖，解題關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)，靈活畫出相等的線段和互相垂直或平行的

線段.

【變式5-2】（2023?安徽?統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)4B,C,D

均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）.

⑴畫出線段A8關(guān)于直線CD對稱的線段A]Bi：

（2）將線段力8向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段必為，畫出線段&B2；

（3）描山線段48上的點(diǎn)M及直線CO上的點(diǎn)N,使得直線MN垂史平分

【答案】（I）見解析

⑵見解析

（3）見解析

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到4B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)，4,B],連接力1，/，則線段4當(dāng)即為所求;

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段人82即為所求；

（3）勾股定理求得=BM=Vl2+32=V10,MN=Vl2+32=V10,則AM=MN證明△NPM=△MQA

得出NNMP+41MQ=90。，則則點(diǎn)M,N即為所求.

【詳解】（1）解：如圖所示，線段451即為所求;

一（1―/vUA1干?,J,

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（2）解：如圖所示，線段力2%即為所求;

（3）解：如圖所示，點(diǎn)M,N即為所求

'：AM=BM=Vl2+32=同,MN=Vl2+32=V10,

：.AM=MN,

又NP=MQ=1,MP=AQ=3,

AANPM三△MQ4

:?乙NMP=4MAQ,

又/M4Q+Z.AMQ=90°,

：.LNMP+Z.AMQ=90°

：.AM1MN,

.??時/7垂直平分力從

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱作圖，平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3】（2023?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊

長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)4、8均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中

按下列要求作△/8C,點(diǎn)C在格點(diǎn)上.

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，△4BC的面積為土

(2)在圖②中，△力BC的面積為5

(3)在圖③中，△4BC是面積為T的速角三角形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶見解析

【分析】(1)以4B=3為底，設(shè)45邊上的高為九，依題意得SMbcng/B—n(解得九=3,即點(diǎn)。在48上

方且到距離為3個單位的線段上的格點(diǎn)即可；

(2)由網(wǎng)格可知，AB=V32+I2=710,以AB=為底，設(shè)AB邊上的高為h,依題意得S。8c=^AB-h=

5,解得/i=VT5,將48繞A或B旋轉(zhuǎn)90。，過線段的另一個端點(diǎn)作的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C；

(3)作力B=V§,過點(diǎn)。作CDIL48,交于格點(diǎn)C,連接A、B、C即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，

以48=3為底，設(shè)邊上的面為h,

依題意得：S^ABC=\AB-h=\

解得：h=3

即點(diǎn)C在48上方且到48距離為3個單位的線段上的格點(diǎn)即可，

答案不唯一:

(2)由網(wǎng)格可知，

AB=啟+12=V10

以=為底，設(shè)48邊上的高為h,

依題意得：?h=5

解得：h=V10

將48繞A或8旋轉(zhuǎn)90。，過線段的另一個端點(diǎn)作48的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C,

(3)如圖所示，

作8。=48=遙，過點(diǎn)。作CDIL48,交于格點(diǎn)C,

圖③

由網(wǎng)格可知，

BD=AB=V22+I2=V5,AD=V10,

??.A是直角三角形，且481BD

\'CD\\AB

??SUBC-*80=

【點(diǎn)睛】本題考杳了網(wǎng)格作圖，勾股定理求線段長度，與三角形II勺高的有關(guān)計(jì)算；解題的關(guān)鍵是熟練利用網(wǎng)

格作平行線或垂直.

【題型6利用勾股定理解決折疊問題】

【例6】（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形力BCD的邊4）=5,040。=1:4,將

矩形A8C。沿宜線OE折疊到如圖所示的位置，線段。5恰好經(jīng)過點(diǎn)8,點(diǎn)C落在y軸的點(diǎn)G位置，點(diǎn)E的坐標(biāo)

是（）

【答案】D

【分析】首先證明^力。〃?△5G。，求出AB=CD=2,連結(jié)OC,設(shè)BC與。Ci交于點(diǎn)P,然后求出0C=

OC=2V5,可得q尸二2花一2,再用含EF的式子表示出EG，最后在RtafiTCi中，利用勾股定理構(gòu)建方

程求出EF即可解決問題.

【詳解】解：?.?矩形力BCD的邊力。=5,OA-.OD=1:4,

：,0A=1,OD=4,BC=5,

由題意知A8II0G，

LABO=Z.D1OClt

又?.?匕8力。="DG=90°,

AAOBDiG。，

?OA_D]C]

9

?AB~ODr'

由折疊知。。i=OD=4,0傳1=DC=AB,

.I_AB

??布=7'

：.AB=2,即CO=2,

連接。C,設(shè)BC與OC1交于點(diǎn)F,

：.0C=y/OD24-CD2=V42+22=2低

'CLFOA=LOAB=匕ABF=90°,

???四邊形04BF是矩形，

：,AB=OF=2,Z.BFO=90°=乙EFC\,OA=BF=1,

：.CF=5-1=4,

由折疊知OG=OC=2V5,EG=EC=CF-EF=4—EF,

:?CiF=OG-OF=2V5-2,

???在RtAEFG中，E產(chǎn)+G產(chǎn)=EQ2,

:.EF2+（275-2）2=（4-EF）2,

解得：EF=遙-1,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1一遍,2）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識,

通過證明三角形相似、，利用相似三角形的性質(zhì)求出48的長是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形ABC。的邊長為1,點(diǎn)￡、尸分別在邊AO、BC

上，將正方形沿著Er翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)夕處，如果四邊形力BFE與四邊形E/C。的面積比為

3：5,那么線段rC的長為.

【答案】I

【分析】連接8丁，過點(diǎn)廣作FHIAD于點(diǎn)”，設(shè)CF=x,則Z)H=%,MBF=1-x,根據(jù)已知條件，分別表

示出4瓦EH,HD,證明三(ASA),得出EH="。=：-2%,在RtZkB'FC中，BrF2=B'C24-

CF2,勾股定理建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接BB',過點(diǎn)尸作尸，14D于點(diǎn)，，

???正方形48CD的邊長為1,四邊形4B/E與四邊形E"D的面積比為3:5,

???5四邊形48戶￡=6、1=~?

設(shè)CF=x,則0”=x,WijFF=l-x

i3

???S四邊形人川^二之。^9+8F)xAB=-

即：G4E+1-x)x1=1

：,AE=x--

4

：.DE=l-AE=--x,

4

：,EH=ED-HD=--x-x=--2x,

44

???折疊,

：.BBf±EF,

Azl+42=Z.BGF=90°,

Vz2+Z3=9O°,

Azl=Z3,

又FH=BC=l/EHF=zf

:.公EHFw^B'CB(ASA),

:?EH=B'C=--2x

4

在RtaB'/T中，B'F2=B'C2+CF2

即（1一%）2=%2+?一2。2

解得：%=，

o

故答案為；o

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折登的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形A8CD是矩形，AB=瓜,BC=6.點(diǎn)E為邊BC的

中點(diǎn)，點(diǎn)?為邊上一點(diǎn)，將四邊形力8EP沿EF折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4,點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)ZT,過點(diǎn)夕

作B'HIBC于點(diǎn)從若夕，=2々，則尸。的長是.

【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)￡左側(cè)時，設(shè)夕E交4。于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EM_LA0于點(diǎn)M,則四邊形力3EM為

矩形AB=ME=V5,AM=BE=3,由折疊可知BE=B'E=3,乙BEF=cB'EF,由平行線的性質(zhì)可得

乙GFE=乙BEF,于是乙GFE=LB'EF,FG=EG,利用勾股定理求得EH=1,證明△EMG?△8'HE,利用

相似三角形的性質(zhì)求得EG=學(xué)=FG,MG=y,于是FM=FG-MG=瓜力尸=3—V5,則FC=AD-

A凡代入計(jì)算即可得到答案；當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)E右側(cè)時，設(shè)交BC于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作FK1BC于點(diǎn)K,同理可得

B'E=3,FP=EP,四邊形KCDF為矩形，F(xiàn)K=AB=灰，利用相似三角形的性質(zhì)求得“=^-=EP,PK=

―,進(jìn)而去除EK=EP-PK=^-蟲=V5,則0F=CK=以＜一EK,代入計(jì)算即可求解.

222

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時，如圖，設(shè)B'E交AD于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作_L于點(diǎn)M,

則"ME=90°,

???點(diǎn)￡為邊8c的中點(diǎn),

BE=CE=-BC=3,

2

???四邊形為BCD為矩形，BC=6,

AD=BC=6,Z-A=/.B=90°.AD\\BC,

:.Z.AMH=z_A==9U°,

四邊形/BEM為矩形，

AB=ME=V6,AM=BE=3,

由折疊可知，BE=B'E=3,乙BEF=￡B'EF,

?：AD\\BC,

???Z.GFE=乙BEF,

：.￡GFE=(B'EF,UPzGFF=Z.CEF,

FG=EG,

???B'H1BC,

:.￡B'HE=90°,

在中，EH=y/B'E2-BrH2=J32-(2V2)2=1,

???ME±BC,B'H_LBC,

：,Z.EMG=乙B'HE=90°,

???ADWBC,

Z.EGM=乙B'EH,

???△EMGB'HE,

EM__EG__MG_prjEG_MG_

E'H~B'E~HE'~3~1-