全國小學數(shù)學教師教學設計比賽一等獎數(shù)學七年級上冊（人教2024年新編）《解一元一次方程實際問題與一元一次方程（第1課時產(chǎn)品配套問題和工程問題）》教學設計

5.3實際問題與一元一次方程（第1課時產(chǎn)品配套問題和工程問題）教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教2024版《義務教育教科書?數(shù)學》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“一元一次方程”5.3實際問題與一元一次方程第1課時，內(nèi)容包括利用一元一次方程分析與解決配套、工程等問題.2.內(nèi)容解析配套問題、工程問題等是實際生活中的常見問題，也是可借助方程模型解決的典型問題之一，并具有一定的代表性.這類問題的背景和表達都更貼近實際，其中的有些數(shù)量關系也比較隱蔽．對這些問題的探究可以使學生進一步體驗一元一次方程與實際的密切聯(lián)系，體會數(shù)學建模思想，培養(yǎng)運用一元一次方程分析和解決實際問題的能力.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點為：配套問題、工程問題的探究過程．二、目標和目標解析1.目標（1）理解配套問題、工程問題的背景，分清有關數(shù)量關系，能正確找出作為列方程依據(jù)的主要等量關系列方程解決問題.（2）掌握用一元一次方程解決實際問題的基本過程.2.目標解析（1）理解問題相關的概念，能夠找出解決問題所需的關鍵量，并利用一元一次方程將之求出．（2）經(jīng)歷配套問題、工程問題的探究過程，掌握用一元一次方程解決實際問題的基本過程．三、教學問題診斷分析學生在小學階段及前面學習對列方程解決實際問題雖然有所了解，但是本節(jié)教材所涉及的實際問題的背景和表達都更加貼近實際，數(shù)量關系有的比較隱蔽，有的比較抽象，有的則更為復雜，需要學生結合自己的生活經(jīng)驗理清、理解，經(jīng)歷探究用一元一次方程解決實際問題的基本過程，進而逐步提升他們分析問題、解決問題的能力，有效積累探究、交流、反思等數(shù)學活動經(jīng)驗，體會轉化化歸和方程模型思想，增強數(shù)學應用意識和能力．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：在探究過程中準確找到題目中隱含的相等關系．四、教學過程設計（一）回顧舊知小學我們學過工程問題，請回答下列問題：1.一項工作甲單獨做需要5天完成，乙單獨做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，兩人合作3天完成的工作量是，此時剩余的工作量是.；；；．2.一項工作甲單獨做需要a天完成，乙單獨做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，兩人合作3天完成的工作量是_________，此時剩余的工作量是_________.；；；．工作量、工作時間、工作效率的關系：1.工作量=___________×____________；工作時間；工作效率．2.工作時間=___________÷____________；工作量；工作效率．3.工作效率=___________÷____________.工作量；工作時間．（二）新課導入從前面幾節(jié)課的學習中已經(jīng)可以看出，方程是分析和解決問題的一種很有用的數(shù)學工具.從本節(jié)課開始，我們將重點學習如何用一元一次方程解決實際問題.生活中，有很多需要進行配套的問題，如課桌和凳子、螺栓和螺母、電扇葉片和電機等，大家能舉出生活中配套問題的例子嗎？（三）典例分析例1：某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個螺栓或2000個螺母.1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名？解：設應安排x名工人生產(chǎn)螺栓，(22－x)名工人生產(chǎn)螺母.依題意，得2000(22－x)＝2×1200x.解方程，得x＝10.所以22－x＝12.答：應安排10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母.師生活動：學生思考，教師適時引導：本題需要我們解決的問題是什么？題目中哪些信息能解決人員安排的問題？螺母和螺栓的數(shù)量關系如何？學生確有困難，教師可提示學生列出表格．師生歸納：生產(chǎn)調(diào)配問題通常從調(diào)配后各量之間的倍、分關系尋找相等關系，建立方程.解決配套問題的思路：1.利用配套問題中物品之間具有的數(shù)量關系作為列方程的依據(jù)；2.利用配套問題中的套數(shù)不變作為列方程的依據(jù).【設計意圖】使學生經(jīng)歷“實際問題——數(shù)學問題——實際問題”的過程，有助于提高學生的分析問題和解決問題的能力．針對訓練：1.如圖，足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，黑皮可看作正五邊形，白皮可看作正六邊形，求白皮，黑皮各多少塊？解：設足球上黑皮有x塊，則白皮為(32－x)塊，五邊形的邊數(shù)共有5x條，六邊形邊數(shù)有6(32－x)條．依題意，得2×5x=6(32－x),解得x=12，則32－x=20.答：白皮20塊，黑皮12塊.2.一套儀器由一個A部件和三個B部件構成.用1立方米鋼材可做40個A部件或240個B部件.現(xiàn)要用6立方米鋼材制作這種儀器，應用多少鋼材做A部件，多少鋼材做B部件，才能恰好配成這種儀器？共配成多少套？解：設應用x立方米鋼材做A部件，則應用(6－x)立方米做B部件.根據(jù)題意，列方程：3×40x=(6－x)×240.解得x=4.則6－x=2.共配成儀器：4×40=160（套）.例2：整理一批圖書，由1人整理需要40h完成.現(xiàn)計劃由一部分人先整理4h，然后增加2人與他們一起整理8h，完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人進行整理？解：設先安排x人整理4h，根據(jù)題意得等量關系：前部分工作總量+后部分工作總量=總工作量1可列方程，解方程，得4x+8(x+2)＝40，4x+8x＋16＝40，12x＝24，x＝2.答：應先安排2人進行整理.師生活動：師生共同思考，教師適時點撥，幫助學生分析：在工程問題中：工作量=人均效率×人數(shù)×時間；工作總量=各部分工作量之和.【設計意圖】使學生經(jīng)歷“實際問題——數(shù)學問題——實際問題”的過程，有助于提高學生的分析問題和解決問題的能力．針對訓練：1.加工某種工件，甲單獨作要20天完成，乙只要10就能完成任務，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務．問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務？解：設乙需工作x天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務，則甲做了（12－x）天.依題意，得.解得x=8.答：乙需工作8天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務.2.有一批零件加工任務，甲單獨做需要40h完成，乙單獨做需要30h完成.甲做了幾小時后，因另有緊急任務離開，剩下的任務由乙單獨完成，乙比甲多做了2h.求甲做了幾小時？解：設甲做了xh.依題意，得.解方程，得x＝16.答：甲做了16小時.【設計意圖】在教師引領完成例題之后，依次給出練習，使學生獲得的解題經(jīng)驗得以鞏固，并通過應用練習轉化為能力．（四）總結歸納師生活動：教師引導學生共同歸納：用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下：這一過程一般包括審、找、設、列、解、檢、答等步驟，正確分析問題中的相等關系是列方程的基礎.【設計意圖】讓學生對列方程解決實際問題有一個整體的感知，形成知識體系．（五）當堂鞏固1.一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設需要12天，由乙工程隊單獨鋪設需要24天.如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，要多少天可以鋪好這條管線？解：設要x天可以鋪好這條管線，由題意得：.解方程，得x=8.答：要8天可以鋪好這條管線.2.收割一塊水稻田，若每小時收割4畝，預計若干小時完成，收割后，改用新式農(nóng)機，工作效率提高到原來的倍，因此比預計時間提早1小時完成.求這塊水稻田的面積．解：設這塊水稻田的面積為x畝.依題意，得.解方程，得x＝36.答：這塊水稻田的面積為36畝.【設計意圖】考查學生對建立方程模型解決這些問題的一般方法的掌握．（六）能力提升1.某人一天能加工甲種零件50個或加工乙種零件20個，1個甲種零件與2個乙種零件配成一套，30天制作最多的成套產(chǎn)品，若設x天制作甲種零件，則可列方程為.2×50x=20(30－x)2.一項工作，甲獨做需18天，乙獨做需24天，如果兩人合做8天后，余下的工作再由甲獨做x天完成，那么所列方程為.3.某家具廠生產(chǎn)一種方桌，1立方米的木材可做50個桌面或300條桌腿，現(xiàn)有10立方米的木材，怎樣分配生產(chǎn)桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿剛好配套，共可生產(chǎn)多少張方桌？（一張方桌有1個桌面，4條桌腿）解：設用x立方米的木材做桌面，則用(10－x)立方米的木材做桌腿.根據(jù)題意，得4×50x=300(10－x)，解得x=6，所以10－x=4，可做方桌為50×6=300（張）.答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300張方桌.4.一件工作，甲單獨做20小時完成，乙單獨做12小時完成，現(xiàn)在先由甲單獨做4小時，剩下的部分由甲、乙合作.剩下的部分需要幾小時完成？解：設剩下的部分需要x小時完成，根據(jù)題意得：.解得x=6.答：剩下的部分需要6小時完成.5.一個道路工程，甲隊單獨施工9天完成，乙隊單獨做24天完成．現(xiàn)在甲乙兩隊共同施工3天，因甲另有任務，剩下的工程由乙隊完成，問乙隊還需幾天才能完成？解：設乙隊還需x天才能完成，由題意得：.解得x=13.答：乙隊還需13天才能完成．【設計意圖】進一步考查學生對建立方程模型解決此類問題的一般方法的掌握．（七）感受中考（2024?陜西）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛(wèi)生大掃除.根據(jù)這次大掃除的任務量，若小峰單獨完成，需4h；若爸爸單獨完成，需2h.當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成了剩余的打掃任務，小峰和爸爸這次一共打掃了3h，求這次小峰打掃了多長時間.【解答】解：設這次小峰打掃了xh，則爸爸打掃了(3－x)h，根據(jù)題意得：.解得：x=2.答：這次小峰打掃了2h.【設計意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓練，使學生提前感受中考考什么，進一步了解考點．（八）課堂小結1.本節(jié)課學習的主要內(nèi)容是什么？2.分析實際問題中的數(shù)量關系，常用的方法是什么？需要注意哪些問題？3.通過本節(jié)課的學習，嘗試用自己的語言描述，如何建立方程模型來解決實際問題？【設計意圖】通過問題引領學生梳理探究過程，歸納用一元一次方程解決實際問題的方法．（九）布置作業(yè)P140：習題5.3：第2、3、4、5題.五、教學反思本節(jié)內(nèi)容是學生進入中學后代數(shù)知識學習的又一次重要跨越．在前面，學生已經(jīng)學習了有理數(shù)、整式的加減和一元一次方程的解法，對數(shù)的認識已經(jīng)由非負數(shù)有理數(shù)擴展到有理數(shù)，知道了用字母可以表示具有一般意義的數(shù)量關系，掌握了解一元一次方程的一般步驟和基本方法，學生對代數(shù)知識的學習正逐步深入，他們的代數(shù)變形能力正逐步提高．本節(jié)是第三章一元一次方程的最后一節(jié)，是對前面所學內(nèi)容的綜合運用，也是七上教材“數(shù)與代數(shù)”領域的壓軸內(nèi)容．列方程解決實際問題是本節(jié)教學的重點，也是難點，更是貫穿本章前后的一條主線．在前面討論一元一次方程解法時，也是先給出實際問題，然后通過設未知數(shù)列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步驟的．本節(jié)是直接運用解一元一次方程的一般步驟與方法解決實際問題．這樣設計教材，既揭示了學習解一元一次方程的必要性，體現(xiàn)了一元一次方程在實際生活中廣泛的應用價值，也有利于學生帶著問題（如何解一元一次方程）來學習和探究，使得他們的學習方向更明確，階段目標更具體，也利于分散難點，便于學生有層次、有梯度地學習．列方程就是通過讀題審題理清和尋找題目中相等的數(shù)量關系，通過設未知數(shù)將這些相等的數(shù)量關系表示出來．解一元一次方程就是，通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟，將方程向ax=b（a≠0）的方向轉化，其中體現(xiàn)了化歸和程序化思想．解方程得到的未知數(shù)的值，是否符合具體問題的實際意義，是我們學習列方程解應用題需要關注的．這既是實際問題與數(shù)學問題相互轉化過程中需要注意的問題，也有利于培養(yǎng)學生良好的思維習慣和品質(zhì)，讓他們能夠從中進一步體會方程的應用價值．第五章一元一次方程5.3實際問題與一元一次方程（1）【教學目標】1.經(jīng)歷配套問題的解決過程，抽象建立一元一次方程模型解決實際問題的步驟和基本思想，發(fā)展抽象能力；2.能建立一元一次方程模型解決實際問題，發(fā)展模型觀念；3.體會一元一次方程的應用價值.【教學重點】抽象建立一元一次方程模型解決實際問題的步驟和基本思想.【教學難點】抽象建立一元一次方程模型解決實際問題基本思想.【教學過程】 一、情境導入前面我們學習了解一元一次方程的解法，從前面的學習中我們看到方程是解決問題的一種很好工具，本節(jié)課開始我們將探究如何用一元一次方程解決實際問題，本節(jié)課的課題是5.3實際問題與一元一次方程（1）（板書課題）合作探究活動一：解決問題初步總結例1.某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個螺栓或2000個螺母。1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名?教師活動：追問1.問題中的已知量、未知量有哪些，量與量之間有什么關系？追問2.確定的未知量是什么？你想設什么量為？追問3.你選用的等量關系是什么？列出的方程是什么？追問4.如何解方程？追問5.如何檢驗未知數(shù)的值是否符合問題？追問6.檢驗后還要做什么？學生活動：分析題意，尋找等量關系，列方程，解方程，檢驗，作答.教師活動：指導學生，并示范寫出解答過程：解:設應安排名工人生產(chǎn)螺栓，名工人生產(chǎn)螺母.根據(jù)螺母數(shù)量應是螺栓數(shù)量的2倍，列得方程.（追問：設應安排x名工人生產(chǎn)螺母，應該怎樣列方程）解方程，得.進而.答:應安排10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生總結歸納：問題中“每天生產(chǎn)的螺母數(shù)量是螺栓數(shù)量的2倍時，它們剛好配套”是列方程的依據(jù).這類問題中配套的物品之間具有一定的數(shù)量關系，這可以作為列方程的依據(jù).活動二：歸納用一元一次方程解實際問題的步驟教師活動：問題：從上面的用一元一次方程解實際的過程，你能歸納出用一元一次方程解實際問題的一般步驟嗎？師生共同歸納：用一元一次方程解決實際問題的一般步驟包括:這一過程一般包括設、列、解、檢、答等步驟，即設未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗所得結果、確定答案.正確分析問題中的相等關系是列方程的基礎.用框圖表示為：活動三：用一元一次方程解實際問題例2.整理一批圖書，由1人整理需要完成.現(xiàn)計劃由一部分人先整理，然后增加2人與他們一起整理，完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，應先安排多少人進行整理?師生共同分析:設先安排人整理，如果把總工作量設為1，則人均效率(一個人完成的工作量)為，人先整理完成的工作量為，增加2人后再整理完成的工作量為，這兩個工作量之和應等于總工作量.學生解答，教師指導，并示范寫出解答：解:設先安排人整理.根據(jù)先后兩個時段的工作量之和等于總工作量，列得方程得.解方程，得.答:應先安排2人進行整理.觀察歸納：這類問題中常常把總工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人數(shù)×時間”的關系考慮問題.辦公室買進一包A4紙，計劃每天用25張，可以用20天．由于節(jié)約用紙，實際每天少用了5張，這包紙實際可以用多少天？師生共同分析:設這包紙實際可以用x天，根據(jù)“總