全國小學數(shù)學教師教學設計比賽一等獎數(shù)學七年級上冊（人教2024年新編）《線段的比較與運算》教學設計

6.2.2線段的比較與運算教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教2024版《義務教育教科書?數(shù)學》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第六章“幾何圖形初步”6.2直線、射線、線段第2課時，內(nèi)容包括線段的比較；線段的和差、等分點；兩點之間，線段最短．2.內(nèi)容解析線段是很簡單的幾何圖形，但也是構成其他圖形的基本元素，幾何圖形性質的研究大多最終化歸到對其所包含的線段數(shù)量或位置關系的研究，所以線段的大小、和差、等分點都是重要的幾何知識，是學習其他圖形與幾何知識的基礎．而線段比較所用到的“疊合法”來源于生產(chǎn)生活實踐，是幾何圖形比較大小的基本方法；“度量法”本質上是疊合法的抽象運用，體現(xiàn)了合同變換的性質，但度量法可以用數(shù)量來驗證大小，所以更具“說理論證”的意味．“兩點之間，線段最短”的基本事實刻畫了線段的重要性質，在許多問題尤其是有關線路長短之類的幾何不等式問題中是一個基本出發(fā)點，在實際生活中有廣泛的運用．“物體的形狀、大小和位置關系是幾何中研究的內(nèi)容”，這就要求對幾何圖形要定性研究與定量研究相結合，將對圖形的認識與對數(shù)量的認識統(tǒng)一起來才能揭示其本質．從本課起這種數(shù)量化思想將是進一步學習圖形與幾何的重要思想．基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點為：線段比較的方法；相關作圖；兩點之間，線段最短的基本事實．二、目標和目標解析1.目標（1）掌握比較線段大小的方法．（2）理解線段的和、差及中點的概念，掌握有關作圖．（3）掌握“兩點之間，線段最短”的基本事實，理解兩點的距離的定義．2.目標解析達成目標（1）的標志是：學生能夠熟練運用疊合法和度量法比較線段的大??；會表示線段的大小關系；會畫一條線段等于已知線段．達成目標（2）的標志是：學生能夠分別用圖形和符號來表示線段之間的和差關系；能夠由等分點確定數(shù)量關系，或由數(shù)量關系確定等分點，綜合運用幾何語言的能力有所提高．達成目標（3）的標志是：學生通過思考、探究、比較得到“兩點之間，線段最短”的基本事實，并能舉例說明其實際應用；理解兩點的距離是指連接兩點的線段的長度，而不是線段本身．三、教學問題診斷分析雖然學生在小學階段已經(jīng)學習了一些幾何知識，但將對圖形的認識與對數(shù)量的認識結合起來，是學生未曾深入體驗過的．尤其用作圖來表示線段的和、差等數(shù)量關系，是文字語言、圖形語言與符號語言的綜合運用，對于剛剛進入幾何語言學習的學生而言，是比較困難的學習任務．學生在前一學段對兩點之間，線段最短已有所體會，但學生容易將兩點的距離與連接兩點的線段混淆，教學中應加強對這兩個概念的辨析．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：與線段和、差有關的幾何作圖．四、教學過程設計（一）比較線段的大小問題1：怎樣比較兩個同學的高矮？有什么方法來驗證你的判斷?師生活動：教師提出問題，學生首先通過直觀觀察作出判斷，然后獨立思考驗證方法．學生容易想到度量法．這時教師可再追問：“如果沒有刻度尺又該怎么辦呢?”組織學生小組討論，教師巡視指導并啟發(fā)學生從“問題1”和“比身高”中獲得思路，在小組內(nèi)達成一致后，請小組代表邊闡述邊演示本組的做法，其他同學補充完善．引導學生歸納線段比較的兩種方法：度量法和疊合法、教師結合學生的演示，提示運用疊合法的要點，最后由教師板演示范．【設計意圖】讓學生在自主探索中掌握比較線段大小的方法．問題2：判斷線段AB和CD的大小：圖①圖②圖③（1）如圖①，線段AB和CD的大小關系是ABCD；（2）如圖②，線段AB和CD的大小關系是ABCD；（3）如圖③，線段AB和CD的大小關系是ABCD．師生活動：教師提出問題，學生自主完成，然后詳細敘述判斷的依據(jù)；教師點評矯正．【設計意圖】鞏固學生對疊合法的掌握，并訓練數(shù)學語言的運用．由對比較方法的研究，自然過渡到對比較結果的關注，引導學生認識線段的大小關系與數(shù)的大小關系一樣，有大于、小于、等于三種情況，表示方法也相同．（二）作一條線段等于已知線段問題3：（1）上節(jié)課我們學習了直線、射線和線段，下面請同學們在練習本上任意畫一條線段（圖1），并把它表示出來；（2）你還能再作出一條與它同樣大小的線段來嗎？想一想，然后說一說你的想法．圖1師生活動：教師提出問題，學生思考并用自己的語言描述自己的想法．如果學生只回答出“度量法”，教師可追問：如果沒有帶刻度的尺子怎么辦？然后組織學生適當討論，并引導學生嘗試用圓規(guī)來作圖．最后教師對兩種方法進行適當?shù)目偨Y歸納，并板演尺規(guī)作法．【設計意圖】作一條線段等于已知線段是幾何的基本作圖，也是本課后續(xù)知識學習的基礎，要讓學生準確掌握．向學生滲透幾何研究中有“數(shù)”與“形”兩種不同的方法.（三）線段的性質問題4：（1）如圖6，從A地到B地有四條道路，除它們之外能否再修一條從A地到B地的最短道路？如果能，請聯(lián)系你以前所學的知識，在圖上畫出最短路線．圖6（2）你能舉出“兩點之間，線段最短”在生活中的一些應用嗎？什么叫做“兩點的距離”？師生活動：教師提出問題，學生經(jīng)過觀察、思考作出最短線路．教師組織學生討論驗證，共同總結出線段的基本性質“兩點之間，線段最短”和兩點的距離的概念．【設計意圖】引導學生經(jīng)歷由直觀感知到猜想驗證再到歸納概括的認知過程，有利于學生對此結論的理解，在知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程中積累認知經(jīng)驗，學會學習．（四）針對訓練1.如圖，AB+BCAC，AC+BCAB，AB+ACBC（填“>”“<”或“=”）.其中蘊含的數(shù)學道理是.>；>；>；兩點之間線段最短．2.下列說法正確的是（D）A．連接兩點的線段叫做兩點間的距離B．兩點間的連線的長度，叫做兩點間的距離C．連接兩點的直線的長度，叫做兩點的距離D．連接兩點的線段的長度，叫做兩點間的距離3.如圖，這是A，B兩地之間的公路，在公路工程改造計劃時，為使A，B兩地行程最短，應如何設計線路？請在圖中畫出，并說明理由.解：圖略；兩點之間線段最短．4.把原來彎曲的河道改直，A，B兩地間的河道長度有什么變化？A，B兩地間的河道長度變短.5.在一條筆直的公路兩側，分別有A，B兩個村莊，如圖，現(xiàn)在要在公路l上建一個汽車站C，使汽車站到A，B兩村莊的距離之和最小，請在圖中畫出汽車站的位置.解：畫出汽車站的位置如圖：（五）線段的運算問題5：如圖2，線段AB和AC的大小關系是怎樣的？線段AC與線段AB的差是哪條線段？你還能從圖中觀察出其他線段之間的和、差關系嗎？圖2師生活動：學生觀察并回答，教師點評矯正并板書示范線段和、差的記法：AC－AB=BC，AC－BC=AB，AB+BC=AC.【設計意圖】由大小關系遞進到和差關系，引導學生由形到數(shù)來認識圖形；明確用符號表示線段和、差的方法，學習幾何語言；為后面的線段和、差作圖進行鋪墊．問題6：（1）如圖3，已知線段a和線段b，怎樣通過作圖得到a與b的和？a與b的差呢？圖3（2）反思以上作圖過程，總結作圖方法．師生活動：教師提出問題，學生自己動手嘗試作圖；如遇困難教師提示學生從“問題3”中尋找思路，并展開適當討論．選學生代表敘述作圖方法，教師結合學生的敘述，邊矯正邊板演示范．師生共同總結：作線段的和可看成線段的“拼接”，作線段的差可看成線段的“裁剪”，本質上都是確定端點和方向后作一條線段等于已知線段．【設計意圖】讓學生掌握線段和、差的作圖方法，將用圖形表示和差與用符號表示和差結合起來．（六）典例分析例1：如圖，已知線段a，b，作一條線段，使它等于2a－b.解：如圖，在直線上作線段AB=a，再在線段AB的延長線上作線段BC=a，則線段AC=2a.在線段AC上作線段AD=b，則線段DC=2a－b.（七）合作探究問題7：（1）如圖4，已知線段a，求作線段AB，使AB=2a．將線段AB折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能描述線段中點的概念嗎？圖4（2）類似地，線段還有三等分點、四等分點……，你認為該怎樣描述三等分點和四等分點的概念？它們又包含了怎樣的數(shù)量關系？（3）怎樣用折疊法得到線段的四等分點？師生活動：學生討論交流后回答；教師總結歸納．明確中點的概念：如圖5，點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM，點M叫做線段AB的中點，其中的數(shù)量關系可表示為：AM=BM=AB.圖5【設計意圖】層層遞進地學習，既讓學生掌握等分點的概念，更讓學生理解等分點是怎樣產(chǎn)生的，掌握由等分點產(chǎn)生的數(shù)量關系，讓學生將作圖、語言描述、符號表示緊密結合起來，綜合學習運用幾何語言．（八）典例分析例2：若AB=6cm，點C是線段AB的中點，點D是線段CB的中點，求：線段AD的長是多少?解：因為C是線段AB的中點，所以AC=CB=AB=×6=3（cm）.因為D是線段CB的中點，所以CD=CB=×3=1.5（cm）.所以AD=AC+CD=3+1.5=4.5（cm）.例3：如圖，B、C是線段AD上兩點，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分別是AB、CD的中點，且EF=24，求線段AB、BC、CD的長．解：設AB=3x，BC=2x，CD=5x，因為E、F分別是AB、CD的中點，所以，，所以EF=BE+BC+CF=．因為EF=24，所以6x=24，解得x=4.所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.例4：A，B，C三點在同一直線上，線段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C兩點的距離是（C）A．1cmB．9cmC．1cm或9cm D．以上答案都不對解：分以下兩種情況進行討論：①當點C在AB之間上，故AC=AB－BC=1cm；②當點C在AB的延長線上時，AC=AB+BC=9cm．變式訓練：已知A，B，C三點共線，線段AB=25cm，BC=16cm，點E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點，則線段EF的長為（D）A．21cm或4cm B．20.5cmC．4.5cm D．20.5cm或4.5cm（九）針對訓練1.如圖，點C是線段AB的中點，（1）若AB=6cm，則AC=3cm.（2）若AC=6cm，則AB=12cm.2.如圖，下列說法，不能判斷點C是線段AB的中點的是(C)A.AC=CBB.AB=2ACC.AC+CB=ABD.CB=AB3.判斷正誤：（1）若P是線段AB的中點，則AP＝BP．（√）（2）若AP＝BP，則P是線段AB的中點．（×）4.給你一根繩，不量取，你能找到它的中點嗎？（對折即可.）5.已知，如圖AC=CD=DE=EF=FB①點C是的中點，是的一個三等分點，又是的一個四等分點，也是的一個五等分點；②CF=++；AC=AE－；③AD＝AC，AE＝AC，AC＝AF，AC＝AB；④AD＝AE，AE＝AB.①AD；AE；AF；AB；②CD；DE；EF；CE；③2；3；；；④；.6.如圖，線段AB=4cm，BC=6cm，若點D為線段AB的中點，點E為線段BC的中點，求線段DE的長.答案：DE的長為5cm.（十）當堂鞏固1.下列說法正確的是（C）A.兩點間距離的定義是指兩點之間的線段B.兩點之間的距離是指兩點之間的直線C.兩點之間的距離是指連接兩點之間線段的長度D.兩點之間的距離是兩點之間的直線的長度2.如圖，AC=DB，則圖中另外兩條相等的線段為AD＝BC.3.已知線段AB=6cm，延長AB到C，使BC=2AB，若D為AB的中點，則線段DC的長為15cm.4.點A，B，C在同一條數(shù)軸上，其中點A，B表示的數(shù)分別是－3，1，若BC=5，則AC=．11或1師生活動：學生獨立完成，教師巡視指導并展示部分學生作品進行點評．【設計意圖】培養(yǎng)學生對線段大小的觀察和估計能力，及尋找途徑驗證猜想的意識．引導學生通過分析，有條理地安排解題步驟，培養(yǎng)解決問題的綜合能力.（十一）能力提升1.如圖：AB=4cm，BC=3cm，如果點O是線段AC的中點．求線段OB的長度．解：因為AC=AB+BC=4+3=7(cm)，點O為線段AC的中點，所以OC=AC=×7=3.5（cm），所以OB=OC－BC=3.5－3=0.5（cm）．2.已知，如圖，B，C兩點把線段AD分成2：5：3三部分，M為AD的中點，BM=6，求CM和AD的長．解：設AB=2x，BC=5x，CD=3x,所以AD=AB+BC+CD=10x.因為M是AD的中點，所以AM=MD=5x，所以BM=AM－AB=3x.因為BM=6，即3x=6，所以x=2.故CM=MD－CD=2x=4，AD=10x=20．（十二）感受中考（2024?吉林）如圖，從長春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊含的數(shù)學道理是．【解答】解：其中蘊含的數(shù)學道理是兩點之間，線段最短，故答案為：兩點之間，線段最短．【設計意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓練，使學生提前感受中考考什么，進一步了解考點．（十三）課堂小結回顧本節(jié)課的學習，你掌握了哪些知識？師生活動：教師提出問題，先請學生獨立回顧思考，然后敘述收獲，教師補充完善：1.比較線段的大?。?.畫一條線段等于已知線段；3.線段的和差、等分點；4.兩點之間，線段最短；5.兩點的距離．【設計意圖】本課知識點較多，通過回顧與歸納，幫助學生梳理知識脈絡，突出重點內(nèi)容，構建完整知識體系，以養(yǎng)成良好的學習習慣．（十四）布置作業(yè)P167：習題6.2：第4、5題.P168：習題6.2：第8題.五、教學反思線段的基本事實“兩點的所有連線中，線段最短”是一個重要的性質，在解決許多問題尤其是解決有關線路長短之類的幾何不等式問題中有關廣泛的應用．教學中要讓學生通過思考、探究、比較得到以上的基本事實，并舉例說明其應用．“作一條線段等于已知線段”是最常用、最基本的尺規(guī)作圖問題，由于免去了度量，準確度更高些．在以后的幾何學習和工程繪圖中，經(jīng)常應用．另外它可以幫助學生理解“尺規(guī)作圖”的定義，為以后學習其它尺規(guī)作圖打下基礎．6.2.2線段的比較與運算（教案新教材）第六章幾何圖形初步6.1幾何圖形6.2直線、射線、線段6.2.2線段的比較與運算【教學目標】1．在具體情境中學習畫一條線段等于已知線段，比較線段的長短，會進行線段的簡單運算；2．體驗兩點之間線段最短的性質，并能初步應用；3．知道兩點之間的距離和線段中點、等分點的含義；4．在圖形的基礎上發(fā)展數(shù)學語言，體會研究幾何的意義．【教學重點】兩點之間的距離和線段中點的含義.【教學難點】兩點之間線段最短的性質，并能初步應用.【教學過程】 一、情境導入我們經(jīng)常比較兩同學的身高，兩同學可以抽象為兩條線段，不同于直線和射線，線段有長度，因而可以比較線段的長短，并能進行一些運算.本節(jié)課我們來學習6.2.2線段的比較與運算（板書課題）為進行線段的比較與運算，需要畫一條線段等于已知線段.二、合作探究活動一：作一條直線等于已知線段問題1：畫一條線段等于已知線段AB，你能用哪些方法？學生討論：畫一條線段等于已知線段AB，可以先用刻度尺量出線段AB的長度，再畫一條等于這個長度的線段.教師追問：如果沒有刻度尺，只有沒有刻度的直尺圓規(guī)你能畫嗎？學生討論并動手操作：先用直尺畫直線，再用圓規(guī)在直線上截取CD=AB.問題2.在數(shù)學中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖.上面是用無刻度直尺“作一條線段等于已知線段”的尺規(guī)作圖.上面兩種方法中，刻度尺、直尺和圓規(guī)分別發(fā)揮了什么作用?學生討論.活動二：比較線段的大小問題3.怎樣比較兩個同學的身高？比較兩同學的身高實際就是比較兩條線段的長短，你能從比身高中受到啟發(fā)嗎?學生活動：兩名學生站在講臺比較身高，學生討論受到的啟發(fā).教師追問：你能再舉出一些比較線段長短的實例嗎?學生討論：比較兩條線段的長短，可用刻度尺分別測量出它們的長度來比較，或者把其中的一條線段移到另一條線段上作比較.將一條線段移到另一條線段上時，通常使它們的一個端點重合，在上圖中，點A與點C重合，點B落在點C，D之間，這時我們說線段AB小于線段CD，記作AB<CD.教師追問：想一想，什么情況下線段AB大于線段CD，線段AB等于線段CD呢?兩條線段的大小關系有幾種情況？學生討論：根據(jù)點B落在直線上的位置來判斷，B落在點CD延長線上，AB>CD，B和點D重合，AB=CD；從上可以看出：兩條線段的大小關系有三種：AB<CD，AB=CD，AB>CD.活動三、探究線段的基本事實問題4.探究：如圖，從A地到B地有四條道路，除它們外能否再修一條從A地到B地的最短道路?如果能，請你聯(lián)系以前所學的知識，在圖上畫出最短道路.學生討論：在圖中，連接線段AB.把這些道路看成各種形狀的軟線，將它們展直，比較它們的長度.容易發(fā)現(xiàn)線段AB最短.教師追問：從上面的結論中，可以得到一個關于線段的基本事實，你能用自己的語言表述嗎？學生描述：兩點的所有連線中，線段最短.簡單說成:兩點之間，線段最短.教師追問：你能舉出這個基本事實在生活中的一些應用嗎?學生交流討論.例1.如圖，把彎曲的河道改直，能夠縮短航程，這樣做的根據(jù)是()A．兩點之間，直線最短B．兩點確定一條線段C．兩點確定一條直線D．兩點之間，線段最短師生共同完成：把彎曲的河道改直縮短航程的根據(jù)是：兩點之間，線段最短．故選D.活動四：探究兩點間的距離問題5.什么兩點間的距離？學生討論：連接兩點的線段的長度，叫作這兩點間的距離.教師追問：兩點之間的線段與線段的長度、兩點間的距離的區(qū)別？學生討論：線段是圖形，線段的長度、兩點間的距離是數(shù)量.活動五：探究線段的運算問題6.已知線段a與b，怎樣求線段a與b的和、差？學生討論：在直線上作線段AB=a，再在AB的延長線上作線段BC=b，線段AC就是a與b的和，記作AC=a+b(如下圖(1)).設線段a>b，如果在線段AB上作線段BD=b，那么線段AD就是a與b的差，記作AD=a-b(如下圖(2)).例2.如圖，已知線段a，b，作一條線段，使它等于2a-b.問題：已知線段a，b，作一條線段，使它等于2a-b，可以看成哪兩條線段差？如何作？學生探究解答：如圖，在直線上作線段AB=a，再在線段AB的延長線上作線段BC=a，則線段AC=2a.在線段AC上作線段CD=b，則線段AD=2a-b.活動六：探究線段的等分點操作：在一張透明的紙上畫一條線段，折疊紙片，使線段的端點重合，折痕與線段的交點就是線段的中點.問題：如圖(1)，點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點M叫作線段AB的中點.類似地，還有線段的三等分點、四等分點等(如圖(2)(3)).怎樣表示中點、三等分點、四等分點線段間的關系呢？學生討論，得出如