廣東省深圳市南山區(qū)2021-2022學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題（解析版）

2021—2022學年度第一學期九年級10月份學情調(diào)查數(shù)學學科一、選擇題(每題3分，共30分)1.已知，則把它改寫成比例式后，錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)逐項分析即可；【詳解】A．由交叉相乘得：，與題干不符，故A錯誤．B．由交叉相乘得：，與題干一致，故B正確．C．由交叉相乘得：，與題干一致，故C正確．D．由交叉相乘得：，與題干一致，故D正確．故選A．【點睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的內(nèi)項之積與外項之積相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）．2.用配方法將x2﹣8x＋5＝0化成（x＋a）2＝b的形式，則變形正確的是（）A.（x﹣4）2＝11 B.（x﹣4）2＝21 C.（x﹣8）2＝11 D.（x＋4）2＝11【答案】A【解析】【分析】根據(jù)配方法將方程配方即可，二次項系數(shù)為1時，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即可【詳解】x2﹣8x＋5＝0即故選A【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．3.九（1）班從小華、小琪、小明、小偉四人中隨機抽出2人參加學校舉行的乒乓球雙打比賽，每人被抽到的可能性相等，則恰好抽到小華和小明的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出樹狀圖求解即可．【詳解】解：把小華、小琪、小明、小偉分別記為、、、，畫樹狀圖如圖：共有12個等可能的結(jié)果，恰好抽到小華和小明的結(jié)果有2個，恰好抽到小華和小明的概率為，故選：．【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4.下列命題中，是假命題的是（）A.平行四邊形的兩組對邊分別相等 B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C.矩形的對角線相等 D.對角線相等的四邊形是矩形【答案】D【解析】【分析】分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)與判定方法分析得出即可.【詳解】解：A、平行四邊形的兩組對邊分別相等，正確，不合題意；B、兩組對邊分別相等的四邊形是偶像四邊形，正確，不合題意；C、矩形的對角線相等，正確，不合題意；D、對角線相等的四邊形是矩形，錯誤，等腰梯形的對角線相等，故此選項正確.故選D.“點睛”此題主要考查了命題與定理，正確把握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5.已知關(guān)于x的方程mx2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m＜1 B.m＞1 C.m＜1，且m≠0 D.m＞1，且m≠0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)不為0和根的判別公式進行解答即可得．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程mx2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即，解得：m＜1且m≠0，故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，解題的關(guān)鍵是要熟記一元二次方程的二次項系數(shù)不為0和根的判別公式．6.如圖，在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E，若BF=6，AB=5，則AE的長為()A.4 B.8 C.6 D.10【答案】B【解析】【詳解】解：設(shè)AG與BF交點為O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴∠BAO=∠FAO，∴△ABO≌△AFO（SAS），∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90o，∵AB=5，∴，∵AF∥BE，∴∠FAO=∠BOE，又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB，∴△AOF≌△EOB（AAS），∴AO=EO，∴AE=2AO=8，故選B．

【點睛】本題考查角平分線的作圖原理和平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連接BO．若∠DAC＝28°，則∠OBC的度數(shù)為（）A.28° B.52° C.62° D.72°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，繼而可求得∠OBC的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，注意掌握菱形對邊平行以及對角線相互垂直的性質(zhì)．8.九年級（5）班文學小組在舉行的圖書共享儀式上互贈圖書，每個同學都把自己的圖書向本組其他成員贈送一本，全組共互贈了132本圖書，如果設(shè)全組共有名同學，依題意，可列出的方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如果設(shè)全組共有x名同學，那么每名同學要贈送（x﹣1）本，有x名學生，那么總互共送x（x﹣1）本，根據(jù)全組共互贈了132本圖書即可得出方程．【詳解】解：設(shè)全組共有名同學，那么每名同學送出圖書是本；則總共送出的圖書為；又知實際互贈了132本圖書，則．故選：B．【點睛】考查的是列一元二次方程，本題要讀清題意，弄清每名同學送出的圖書是（x﹣1）本是解決本題的關(guān)鍵．9.定義：是一元二次方程的倒方程，下列四個結(jié)論中，錯誤的是（）A.如果是的倒方程的解，則B.如果，那么這兩個方程都有兩個不相等的實數(shù)根C.如果一元二次方程無解，則它的倒方程也無解D.如果一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則它的倒方程也有兩個不相等的實數(shù)根【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解，根的判別式分別判斷即可．【詳解】解：A、倒方程是c＋2x＋1＝0，將x＝2代入，，故A正確；B、∵ac＜0，∴?4ac＞0，∴這兩個方程都有兩個不相等的實數(shù)根，故B正確；C、∵無解，∴4?ac＜0，它的倒方程的根的判別式也為4?ac＜0，∴它的倒方程也無解，故C正確；D、若c＝0，則它的倒方程為一元一次方程，只有一個實數(shù)根，故D錯誤故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解，根據(jù)判別式判斷一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．10.如圖，正方形的邊長為，點從點出發(fā)沿著線段向點運動(不與點，重合)，同時點從點出發(fā)沿著線段向點運動(不與點，重合)，點與點的運動速度相同．與相交于點，為中點、則有下列結(jié)論：①是定值；②平分；③當運動到中點時，；④當時，四邊形的面積是其中正確的是（）A.①②④ B.①②③C.①③④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意很容易證得△BAE≌△ADF，即可得到AF=BE，利用正方形內(nèi)角為90°，得出AF⊥BE，即可判斷①；②假設(shè)BF平分∠AFC，則角平分線的性質(zhì)得到BG=BC，則BG=AB，又由∠BGA=90°，得到AB＞BG，由此即可判斷②；③先利用勾股定理求出BF的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解；④根據(jù)△BAE≌△ADF，即可得到S四邊形GEDF，然后根據(jù)時，得到，再由即可得到，則．【詳解】證明：∵E在AD邊上(不與A，D重合)，點F在DC邊上(不與D，C重合)，又∵點E，F(xiàn)分別同時從A，D出發(fā)以相同的速度運動，∴AE=DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴∠1=∠2，∵，∴即，∴即∠BGF是定值，故①正確；假設(shè)BF平分∠AFC，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC⊥FC，BC=AB∵BG⊥AF，∴BG=BC，∴BG=AB，又∵∠BGA=90°，∴AB＞BG，∴假設(shè)不成立，∴②不正確；③當E運動到AD中點時，則F運動到CD中點，∴，∴，∵∠BGF=90°，H為BF的中點∴，故③正確；④∵△BAE≌△ADF，∴∴S四邊形GEDF∴當時，，∵，，∵，∴S四邊形GEDF=故④正確；故選C．【點睛】考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，角平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每題3分，共15分)11.已知，那么______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)合比性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，主要考查等比性質(zhì)，若，則．12.某地區(qū)為估計該地區(qū)的綿羊只數(shù)，先捕捉20只綿羊給它們分別做上記號，然后放還，待有標記的綿羊完全混合于羊群后第二次捕捉40只綿羊，發(fā)現(xiàn)其中有2只有記號，從而估計這個地區(qū)有綿羊______只．【答案】400．【解析】【分析】設(shè)這個地區(qū)有綿羊x只，根據(jù)第二次捕捉40只綿羊，其中有2只有記號，即可列方程求解.【詳解】設(shè)這個地區(qū)有綿羊x只，由題意得解得則估計這個地區(qū)有綿羊400只．考點：本題考查的是用樣本估計總體點評：解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到第二次捕捉的綿羊中有記號的占全部有記號的比例.13.如圖，矩形中，，交于點，，分別為，的中點，若，則_______．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)求出長度，再依據(jù)矩形的性質(zhì)進行求解．【詳解】解：、分別為、的中點，．四邊形是矩形，．故答案為：12．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線的定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.一元二次方程的兩根為、，則的值是_______．【答案】-2【解析】【分析】利用一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得出m2+4m-2=0，m+n=-4，將所求式子變形后，把各自的值代入即可求出值．【詳解】解：∵一元二次方程x2+4x-2=0的兩根為m、n，∴m+n=-4，m2+4m-2=0，即m2+4m=2，則m2+5m+n=（m2+4m）+（m+n）=2-4=-2．故答案為：-2．【點睛】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及方程的解，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，，AD平分交BC于D點，E、F分別是AD、AC上的動點，則的最小值為________．

【答案】【解析】【分析】在AB上取點，使，過點C作，垂足為因為，推出當C、E、共線，且點與H重合時，的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D所示：在AB上取點，使，過點C作，垂足為H．

在中，依據(jù)勾股定理可知，，，∵AE平分，∴∠EAF=∠EA，∵，AE=AE，∴△EAF≌△EA，∴，∴，當C，E，共線，且點與H重合時，的值最小，最小值為．故答案為．【點睛】本題主要考查的是軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是利用對稱，解決最短問題．三、解答題(共55分，其中16題12分，17題5分，18題7分，19題7分，20題7分，21題8分，22題9分)16.解方程(1)(2)(3)(4)【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【解析】【分析】（1）直接利用開平方的方法解方程即可；（2）先移項，然后利用因式分解的方法解方程即可；（3）直接利用平方差公式進行解方程即可；（4）利用公式法解方程即可．【詳解】解：（1）∵，∴即，∴，；（2）∵，∴，∴，∴，；（3）∵，∴，∴即，∴，；（4）∵，∴，，，∴，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元二次方程的方法．17.為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校組織七、八、九年級學生參加了“頌黨恩，跟黨走”作文大賽．該校對參賽作文分年級進行了統(tǒng)計，并繪制了圖1和圖2不完整的統(tǒng)計圖，各年級參賽作文篇數(shù)統(tǒng)計圖請根據(jù)圖中信息回答下面的問題：（1）參賽作文的篇數(shù)共篇：（2）圖中：，扇形統(tǒng)計圖中九年級所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為；（3）把條形統(tǒng)計圖補充完整：（4）經(jīng)過評審，全校共有4篇作文獲得特等獎，其中有一篇來自七年級，學校準備從特等獎作文中選取2篇刊登在學校校報上請用樹狀圖或列表法求七年級特等獎作文被刊登在校報上的概率．【答案】（1）100篇；（2），；（3）見解析；（4）．【解析】【分析】（1）根據(jù)七年級的篇數(shù)以及百分比，求出總篇數(shù)即可；（2）先求出八年級的篇數(shù)，再計算百分比即可；有總的作文篇數(shù)，即可得出九年級參賽作文篇數(shù)對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；（3）求出八年級的作文篇數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；（4）假設(shè)4篇榮獲特等獎的作文分別為A、B、C、D，其中A代表七年級獲獎的特等獎作文．利用列表法畫出圖形即可解決問題．【詳解】解：（1）參賽作文的篇數(shù)共100篇；（2）八年級的篇數(shù)為：篇，扇形統(tǒng)計圖中九年級所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為（3）由（2）知，八年級的篇數(shù)為45篇，補全條形圖如圖所示：（4）假設(shè)4篇榮獲特等獎的作文分別為A、B、C、D，其中A代表七年級獲獎的特等獎作文．列表如下：ABCDAABACADBABBCBDCACBCCDDADBDCD由表格可知，共有12種可能性結(jié)果，它們發(fā)生的可能性相等，其中七年級特等獎作文被選登在?？系挠?種結(jié)果，∴七年級特等獎作文被選登在?？系母怕蕿椋军c睛】本題主要考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確．18.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若=﹣1，求k的值．【答案】（1）k＞﹣；（2）k=3．【解析】【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△>0，即可得出關(guān)于k的不等式，解之即可得出k的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，結(jié)合=﹣1即可得出關(guān)于k的分式方程，解之經(jīng)檢驗即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△=（2k+3）2﹣4k2>0，解得：k>﹣；（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的實數(shù)根，∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，∴=﹣1，解得：k1=3，k2=﹣1，經(jīng)檢驗，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根，又∵k＞﹣，∴k=3．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合=﹣1找出關(guān)于k的分式方程．19.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中點，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點F．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形和菱形的判定證明即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：（1）證明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中點，∴AE＝CE＝BC，∴四邊形AECD是菱形；（2）過A作AH⊥BC于點H，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝，∵，∴AH＝，∵點E是BC中點，BC＝10，四邊形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5，∵S?AECD＝CE?AH＝CD?EF，∴EF＝AH＝．【點睛】此題考查菱形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì)解答．20.某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2019年該類服裝的出廠價是200元/件，2020年，2021年連續(xù)兩年改進技術(shù)，降低成本，2021年該類服裝的出廠價調(diào)整為162元/件．（1）這兩年此類服裝的出廠價下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商場從該服裝廠以出廠價購進若干件此類服裝，以200元/件銷售時，平均每天可銷售20件．為了減少庫存，商場決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，單價應(yīng)降低多少元?【答案】（1）平均下降率為10%；（2）單價應(yīng)降低15元．【解析】【分析】（1）設(shè)平均下降率為x，然后根據(jù)題意可直接列方程求解；（2）設(shè)單價應(yīng)降低y元，根據(jù)題意可得每天的銷售量為(20+2y)件，然后根據(jù)題意可列方程求解．【詳解】解：（1）設(shè)平均下降率為x，由題意可得：200(1?x)2=162，解得：x1=0.1，x2=1.9（不符合題意，舍去），∴x=0.1=10%，答：平均下降率為10%．（2）設(shè)單價應(yīng)降低y元，根據(jù)題意可得：(200?162?y)(20+y)=1150，解得：y1=13，y2=15，

根據(jù)題意，為了減少庫存，所以應(yīng)該降低15元，答：單價應(yīng)降低15元．【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的實際應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．21.(1)對于任意實數(shù)和，都有，，于是得到，當且僅當時，等號成立．(2)任意一個非負實數(shù)都可寫成一個數(shù)的平方的形式．即：如果，則．如：，等．例：已知，求證：．證明：，，當且僅當時，等號成立．請解答下列問題：某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻(墻足夠長)，另外三邊用籬笆圍成(如圖所示)．設(shè)垂直于墻的一邊長為米．(1)若所用的籬笆長為米，那么：①當花圃的面積為平方米時，垂直于墻的一邊的長為多少米?②設(shè)花圃的面積為，求當垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個花圃的面積最大?并求出這個最大面積；(2)若要圍成面積為平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米?【答案】（1）①垂直于墻的一邊的長為6米或12米；②當垂直于墻的一邊的長為9米時，這個花圃的面積最大，最大面積為；（2）需要用的籬笆最少是40米．【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意可得平行墻的一邊的長為米，則由長方形面積公式可得，然后解方程即可；②根據(jù)長方形面積公式可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；（2）設(shè)需要的籬笆長度為L米，平行于墻的一邊的長為y米，則由題意可得，然后根據(jù)題目所給的不等式進行求解即可．【詳解】解：（1）①∵垂直墻的一邊長為x米，∴平行墻的一邊的長為米，∴，∴，即，解得或，∴垂