2025屆福建省長(zhǎng)泰縣一中高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆福建省長(zhǎng)泰縣一中高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)f(x)＝,若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A． B．C． D．2．已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則A．1 B．2 C．3 D．43．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．4．“角谷猜想”的內(nèi)容是：對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù)，如果為偶數(shù)就除以2，如果是奇數(shù)，就將其乘3再加1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（）A．6 B．7 C．8 D．95．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．6．斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則的最大值為A．2 B． C． D．7．若不等式對(duì)于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．8．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．19．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為()A．或 B． C． D．或10．已知函數(shù)，若，則下列不等關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線上，則（）A． B． C． D．12．根據(jù)散點(diǎn)圖，對(duì)兩個(gè)具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x，y進(jìn)行回歸分析，設(shè)u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計(jì)值是（）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，，若線段EF上存在一點(diǎn)M，使得，則____________，____________．（本題第1空2分，第2空3分）14．根據(jù)如圖的算法，輸出的結(jié)果是_________.15．曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸及直線=所圍成的三角形面積為，則實(shí)數(shù)=____。16．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過作直線與相交于兩點(diǎn)，且在第一象限，若，則直線的斜率是_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的面積.18．（12分）如圖，平面四邊形中，，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財(cái)富通”，京東旗下“京東小金庫(kù)”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況，隨機(jī)抽取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民，按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)（單位：名）使用“余額寶”使用“財(cái)富通”使用“京東小金庫(kù)”30使用其他理財(cái)產(chǎn)品50合計(jì)1200已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.（1）求頻數(shù)分布表中，的值；（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財(cái)富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機(jī)選取2人，假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元，這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑?，求的分布列及?shù)學(xué)期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財(cái)產(chǎn)品，一年可以獲得3元利息.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且長(zhǎng)度單位相同.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）若直線：（為參數(shù)）被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的傾斜角.21．（12分）交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機(jī)抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計(jì)其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān)；平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計(jì)男性駕駛員女性駕駛員合計(jì)（2）根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)總體，隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為，假定抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：其中臨界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）如圖，直線y=2x-2與拋物線x2=2py(p>0)交于M1,M2兩點(diǎn)，直線y=p2與（1）求p的值；（2）設(shè)A是直線y=p2上一點(diǎn)，直線AM2交拋物線于另一點(diǎn)M3，直線M1M

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為：y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直線y＝kx－和y＝lnx相切時(shí)，k＝；結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖，故點(diǎn)(1,0)在直線y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.當(dāng)直線y＝kx－和y＝lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則k＝＝，∴m＝.此時(shí)，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D..【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力，屬于難題．2、D【解析】

先用公差表示出，結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.3、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

模擬程序運(yùn)行，觀察變量值可得結(jié)論．【詳解】循環(huán)前，循環(huán)時(shí)：，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行，觀察變量值，從而得出結(jié)論．5、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.6、C【解析】

設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據(jù)判別式大于0求得t的范圍，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|的表達(dá)式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【詳解】解：設(shè)直線l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長(zhǎng)|AB|＝4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系．常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，判別式找到解決問題的突破口．7、C【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，即可得到結(jié)論．解：不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈(0，]成立，等價(jià)于a≥-x-對(duì)于一切成立，∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點(diǎn)：不等式的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題8、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】因?yàn)?，且，，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】試題分析：因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點(diǎn)：純虛數(shù)10、B【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增，且，∴.∵的符號(hào)無法判斷，故與，與的大小不確定，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；對(duì)B，對(duì)，則，故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，將化簡(jiǎn)為關(guān)于的形式，結(jié)合終邊所在的直線可知的值，從而可求的值.【詳解】因?yàn)?，且，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式，屬于給角求值類型的問題，難度一般.求解值的兩種方法：（1）分別求解出的值，再求出結(jié)果；（2）將變形為，利用的值求出結(jié)果.12、B【解析】

將u=lny，v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計(jì)值.【詳解】解：將u=lny，v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得：，即，當(dāng)時(shí)，取到最大值2，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則取到最大值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題，考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題,.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意，設(shè)，則，所以，解得，所以，從而有.14、55【解析】

根據(jù)該For語句的功能，可得，可得結(jié)果【詳解】根據(jù)該For語句的功能，可得則故答案為：55【點(diǎn)睛】本題考查For語句的功能，屬基礎(chǔ)題.15、或1【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，以及切線方程，求得切線與軸和的交點(diǎn)，由三角形的面積公式可得所求值．【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為3，切線方程為，可得，可得切線與軸的交點(diǎn)為，，切線與的交點(diǎn)為，可得，解得或。【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，以及直線方程的運(yùn)用，三角形的面積求法。16、【解析】

作出準(zhǔn)線，過作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用平面幾何知識(shí)計(jì)算出直線的斜率．【詳解】設(shè)是準(zhǔn)線，過作于，過作于，過作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線斜率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題，解題關(guān)鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，用平面幾何方法求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，結(jié)合可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）計(jì)算出直線截圓所得弦長(zhǎng)，并計(jì)算出原點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）由得，故直線的普通方程是.由，得，代入公式得，得，故曲線的直角坐標(biāo)方程是；（2）因?yàn)榍€的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng).又到直線的距離為，所以.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線與圓中三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形，又由于是的中點(diǎn)，所以，從而可證得結(jié)論；（2）由于在中，，而平面平面，所以點(diǎn)在平面的投影恰好為的中點(diǎn)，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設(shè)，因?yàn)?所以在中，，則，又，所以，由，所以為等邊三角形，又是的中點(diǎn)，所以，又平面，則有平面，而平面，故平面平面.（2）解法一：在中，，取中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，由得取，則設(shè)直線與平面所成角大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.解法二：在中，，取中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，過作于，連，則由平面平面，所以，又，則平面，又平面所以，在中，，所以，設(shè)到平面的距離為，由，即，即，可得，設(shè)直線與平面所成角大小為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）680元.【解析】

（1）根據(jù)題意，列方程，然后求解即可（2）根據(jù)題意，計(jì)算出10000元使用“余額寶”的利息為（元）和10000元使用“財(cái)富通”的利息為（元），得到所有可能的取值為560（元），700（元），840（元），然后根據(jù)所有可能的取值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，并列出的分布列表，然后求解數(shù)學(xué)期望即可【詳解】（1）據(jù)題意，得，所以.（2）據(jù)，得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人，使用“財(cái)富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為（元）.10000元使用“財(cái)富通”的利息為（元）.所有可能的取值為560（元），700（元），840（元）.，，.的分布列為560700840所以（元）.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布表以及分布列和數(shù)學(xué)期望問題，屬于基礎(chǔ)題20、（1）；（2）或【解析】

（1）消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)，，即可得極坐標(biāo)方程；（2）寫出直線的極坐標(biāo)方程為，代入圓的極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)的意義列出等式解出即可.【詳解】（1）圓：，消去參數(shù)得：，即：，∵，，.∴，.（2）∵直線：的極坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí).即：，∴或.∴或，∴直線的傾斜角為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程，