鄭州市2025屆高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

鄭州市2025屆高考考前模擬數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,,則的值為()A. B. C. D.2.已知定點(diǎn),,是圓上的任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓3.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-14.設(shè),是非零向量,若對于任意的,都有成立,則A. B. C. D.5.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.7.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件8.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,拋物線C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.9.關(guān)于函數(shù),有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.10.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為()m.A.1 B. C. D.211.函數(shù)(且)的圖象可能為()A. B. C. D.12.若,滿足約束條件,則的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知一個(gè)圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和,則該圓錐的體積為________14.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓及點(diǎn),設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),在中,若的角平分線與相交于點(diǎn),則的取值范圍是_______.15.在中,角所對的邊分別為,,的平分線交于點(diǎn)D,且,則的最小值為________.16.設(shè)滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)記的最小值為,且正實(shí)數(shù)滿足.證明:.18.(12分)如圖,正方形是某城市的一個(gè)區(qū)域的示意圖,陰影部分為街道,各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,處為紅綠燈路口,紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下:先直行綠燈30秒,再左轉(zhuǎn)綠燈30秒,然后是紅燈1分鐘,右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響,這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處(不考慮處的紅綠燈),出發(fā)時(shí)的兩條路線()等可能選擇,且總是走最近路線.(1)請問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能?(2)在保證通過紅綠燈路口用時(shí)最短的前提下,小明優(yōu)先直行,求小明騎行途中恰好經(jīng)過處,且全程不等紅綠燈的概率;(3)請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值,為小明設(shè)計(jì)一條最佳的上學(xué)路線,且應(yīng)盡量避開哪條路線?19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.20.(12分)第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng),329個(gè)小項(xiàng).共有來自100多個(gè)國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開,武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng),努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識,并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運(yùn)會(huì)知識的知曉情況,在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者,他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:組別頻數(shù)5304050452010(1)若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計(jì)總體,設(shè),分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計(jì)算;(2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動(dòng),市體育局還對參加問卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:得分低于的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),得分不低于的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),在一次抽獎(jiǎng)中,抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A的概率為,抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者,記Y為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.(參考數(shù)據(jù):;;.)21.(12分)某公司打算引進(jìn)一臺設(shè)備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元,乙設(shè)備每臺9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修,對于每臺設(shè)備,一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修,三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以這兩種設(shè)備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為和,求和的分布列;(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),希望設(shè)備購買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購買哪種設(shè)備?請說明理由.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的短軸長為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.當(dāng)與連線的斜率為時(shí),直線的傾斜角為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn),求證:

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

取,得到,取,則,計(jì)算得到答案.【詳解】取,得到;取,則.故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,取和是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),如下圖所示:所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此當(dāng)在如下圖所示位置時(shí)有,所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此,綜上所述:有,所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.3、D【解析】試題分析:因?yàn)閍n+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式.4、D【解析】

畫出,,根據(jù)向量的加減法,分別畫出的幾種情況,由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意,得向量是所有向量中模長最小的向量,如圖,當(dāng),即時(shí),最小,滿足,對于任意的,所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的加減法,以及點(diǎn)到直線的距離最短問題,解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先解不等式化簡兩個(gè)條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

設(shè)直線為,用表示出,,求出,令,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值,即可求出的最小值.【詳解】解:設(shè)直線為,則,,而滿足,那么設(shè),則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以故選:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查化簡整理的運(yùn)算能力,正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵,屬于中檔題.7、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當(dāng)函數(shù)為冪函數(shù)時(shí),,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由圓過原點(diǎn),知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合,作出圖形,由,,得,從而直線傾斜角為,寫出點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程求出參數(shù),可得點(diǎn)坐標(biāo),從而得三角形面積.【詳解】由題意圓過原點(diǎn),所以原點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),不妨設(shè)為,如圖,由于,,∴,∴,,∴點(diǎn)坐標(biāo)為,代入拋物線方程得,,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圓相交問題,解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn),從而是等腰直角三角形,于是可得點(diǎn)坐標(biāo),問題可解,如果僅從方程組角度研究兩曲線交點(diǎn),恐怕難度會(huì)大大增加,甚至沒法求解.9、B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個(gè)判斷即可求出.【詳解】①因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)周期,①正確;②因?yàn)?,,所以在上不單調(diào)遞增,②錯(cuò)誤;③因?yàn)?,所以是偶函?shù),又是的一個(gè)周期,所以可以只考慮時(shí),的值域.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以,的值域?yàn)椋坼e(cuò)誤;綜上,正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.10、C【解析】

由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示,計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、D【解析】因?yàn)?,故函?shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取,則,故選D.考點(diǎn):1.函數(shù)的基本性質(zhì);2.函數(shù)的圖象.12、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域,找到使直線的截距取最值得點(diǎn),相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域,如圖所示:由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最小值-5;經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值5,故.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式,求出底面半徑和母線長,再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高,最后利用圓錐的體積公式求出體積?!驹斀狻吭O(shè)圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,所以有解得,故該圓錐的體積為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。14、【解析】

由角平分線成比例定理推理可得,進(jìn)而設(shè)點(diǎn)表示向量構(gòu)建方程組表示點(diǎn)P坐標(biāo),代入圓C方程即可表示動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程,再由將所求視為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離,所以其最值為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑.【詳解】由題可構(gòu)建如圖所示的圖形,因?yàn)锳Q是的角平分線,由角平分線成比例定理可知,所以.設(shè)點(diǎn),點(diǎn),即,則,所以.又因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),則,故點(diǎn)Q的運(yùn)功軌跡是以為圓心為半徑的圓,又即為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離,因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問題,常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑,還考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,屬于中檔題.15、9【解析】分析:先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解:由題意可知,,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得,化簡得,因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,則的最小值為.點(diǎn)睛:在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16、【解析】

根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時(shí)的點(diǎn),此時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時(shí)的點(diǎn)此時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或;(2)見解析【解析】

(1)根據(jù),利用零點(diǎn)分段法解不等式,或作出函數(shù)的圖像,利用函數(shù)的圖像解不等式;(2)由(1)作出的函數(shù)圖像求出的最小值為,可知,代入中,然后給等式兩邊同乘以,再將寫成后,化簡變形,再用均值不等式可證明.【詳解】(1)解法一:1°時(shí),,即,解得;2°時(shí),,即,解得;3°時(shí),,即,解得.綜上可得,不等式的解集為或.解法二:由作出圖象如下:由圖象可得不等式的解集為或.(2)由所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,正實(shí)數(shù)滿足,則,即,(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號)故,得證.【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值不等式的解法,絕對值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運(yùn)用,考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)6種;(2);(3).【解析】

(1)從4條街中選擇2條橫街即可;(2)小明途中恰好經(jīng)過處,共有4條路線,即,,,,分別對4條路線進(jìn)行分析計(jì)算概率;(3)分別對小明上學(xué)的6條路線進(jìn)行分析求均值,均值越大的應(yīng)避免.【詳解】(1)路途中可以看成必須走過2條橫街和2條豎街,即從4條街中選擇2條橫街即可,所以路線總數(shù)為條.(2)小明途中恰好經(jīng)過處,共有4條路線:①當(dāng)走時(shí),全程不等紅綠燈的概率;②當(dāng)走時(shí),全程不等紅綠燈的概率;③當(dāng)走時(shí),全程不等紅綠燈的概率;④當(dāng)走時(shí),全程不等紅綠燈的概率.所以途中恰好經(jīng)過處,且全程不等信號燈的概率.(3)設(shè)以下第條的路線等信號燈的次數(shù)為變量,則①第一條:,則;②第二條:,則;③另外四條路線:;;,則綜上,小明上學(xué)的最佳路線為;應(yīng)盡量避開.【點(diǎn)睛】本題考查概率在實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用問題,考查學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算能力,是一道有一定難度的題.19、(1)答案見解析(2)【解析】

(1)先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,對分成和兩種情況討論,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(2)對函數(shù)求導(dǎo)得,從而有,,,三個(gè)方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當(dāng)時(shí),則,故在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設(shè),則,∴在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),.∴,即所求的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).20、(1),,;(2)詳見解析.【解析】

(1)根據(jù)頻率分布表計(jì)算出平均數(shù),進(jìn)而計(jì)算方差,從而X~N(65,142),計(jì)算P(51<X<93)即可;(2)列出Y所有可能的取值,分布求出每個(gè)取值對應(yīng)的概率,列出分布列,計(jì)算期望,進(jìn)而可得需要的總金額.【詳解】解:(1)由已知頻數(shù)表得:,,由,則,而,所以,則X服從正態(tài)分布,所以;(2)顯然,,所以所有Y的取值為15,30,45,60,,,,,所以Y的分布列為:Y15304560P所以,需要的總金額為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率分布表計(jì)算平均數(shù),方差,考查了正態(tài)分布,考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.21、(1)分布列見解析,分布列見解析;(2)甲設(shè)備,理由見解析【解析

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