正方形的判定

北師大版九年級(jí)上冊(cè) 第三節(jié) 正方形的性質(zhì)與判定 第一章 特殊平行四邊形 第一課時(shí)正方形的性質(zhì) 復(fù)習(xí)回顧 1 平行四邊形的對(duì)邊 對(duì)角 對(duì)角線 2 菱形的四邊 對(duì)邊 對(duì)角 對(duì)角線 且每一組對(duì)角線平分一組對(duì)角 3 矩形的對(duì)邊 對(duì)角 對(duì)角線 平行且相等 互相平分且相等 相等 互相平分且互相垂直 平行且相等 互相平分 平行 相等 相等 相等 問題 從這個(gè)圖形中你能得到什么 你是怎樣想到的 90 當(dāng) 90 時(shí) 這個(gè)四邊形還是菱形 但它是特殊的菱形是一個(gè)內(nèi)角為直角的菱形也是正方形 定義1 有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形 90 正方形還可以怎樣定義呢 定義2 鄰邊相等的矩形叫做正方形 正方形在生活中隨處可見 你能舉出一些生活中正方形的例子嗎 與同伴交流 如何在平行四邊形的基礎(chǔ)上定義正方形呢 一組鄰邊相等 一內(nèi)角是直角 定義3 有一組鄰邊相等 并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形 正方形具有工整 勻稱 美觀等許多優(yōu)點(diǎn) 常被人們用在圖案和工藝品設(shè)計(jì)上 平行四邊形 矩形 菱形 正方形的關(guān)系 正方形 正方形是矩形嗎 正方形是菱形嗎 正方形既是矩形 也是菱形 它具有矩形和菱形的所有性質(zhì) A B D 探究新知 正方形的性質(zhì) 菱形的性質(zhì) 矩形性質(zhì) 邊 對(duì)邊平行 四邊相等 角 四個(gè)角都是直角 對(duì)角線 相等 互相垂直平分 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 圖形的對(duì)稱性 既是軸對(duì)稱圖形 又是中心對(duì)稱圖形 已知 正方形ABCD 求證 AB BC CD AD A B C D 證明 四邊形ABCD是正方形 四邊形ABCD是菱形 AB BC CD AD 四邊形ABCD是正方形 四邊形ABCD是矩形 A B C D 證明定理 正方形的四個(gè)角都是直角 四條邊相等 分析 因?yàn)檎叫尉哂芯匦魏土庑蔚乃行再|(zhì) 所以結(jié)論易證 證明定理 正方形的對(duì)角線相等且互相垂直 證明 ABCD是正方形 AB CD ABC DCB BC BC ABC DCB AC BD OB OD AB AD OA OA AOB AOD AOB AOD 又 AOB AOD 90 AOB 90 AC BD 即對(duì)角線互相垂直且相等 已知ABCD是正方形 AC BD分別是正方形的兩條對(duì)角線 且交于點(diǎn)O 求證 AC BD AC BD 例1 正方形ABCD對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O 且AB 2cm 則AC 解析 四邊形ABCD是正方形 BC AB 2 ABC 90 在Rt ABC中 例2 已知正方形ABCD中 對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O AC 10 P是AB上一點(diǎn) PE AC于E PF BD于F 則PE PF 分析 由正方形的性質(zhì)可推理出PE AE PF OE PE PF OA 解 ABCD是正方形 AO AC 5 BAC 45 AC BD又 PE AC PF BD 四邊形PEOF為矩形 PF OE在 APE中 PAE 45 AE PE PE PF AE OE AO 5 5 例3 如圖 在正方形ABCD中 E為CD上一點(diǎn) F為BC邊延長線上一點(diǎn) 且CE CF BE與DF之間有怎樣的關(guān)系 請(qǐng)說明理由 分析 1 由正方形的性質(zhì)得到 BCD DCF 90 BC CD 結(jié)合CE CF 可證 BCE DCF 從而有BE CF 2 延長BE交DE于點(diǎn)M 由全等可知 CBE CDF 借助等量代換得到 BMF 90 從而有BE CF 1 四邊形ABCD是正方形 BC DC BCE 90 DCF 180 BCE 180 90 90 BCE DCF 又 CE CF BCE DCF BE DF 解 BE DF 且BE DF 理由如下 2 如圖 延長BE交DE于點(diǎn)M BCE DCF CBE CDF DCF 90 CDF F 90 CBE F 90 BMF 90 BE DF 1 判斷題 1 四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 2 四條邊都相等的四邊形是正方形 3 對(duì)角線相等的菱形是正方形 4 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 5 對(duì)角線垂直相等的四邊形是正方形 6 四邊相等 有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形 3 正方形ABCD中 M為AD中點(diǎn) ME BD于E MF AC于F 若ME MF 8cm 則AC 30 16cm 2 以正方形ABCD的一邊DC向外作等邊 DCE 則 AEB 解 四邊形ABCD是正方形 CDE是等邊三角形 BCE 90 60 150 CB CE CEB 15 同理 AED 15 AEB 60 15 15 30 提示 AC 2OA 2 ME MF 16cm 1 如圖所示 正方形ABCD中 P為BD上一點(diǎn) PE BC于E PF DC于F 試說明 AP EF 解 連接PC PE BC PF DC 而四邊形ABCD是正方形 FCE 90 四邊形PECF是矩形 PC EF 又 四邊形BAPC是以BD為軸的軸對(duì)稱圖形 AP PC AP EF 2 正方形ABCD中 E是BC延長線上一點(diǎn) 且CE AC AE交DC于點(diǎn)F 試求 E AFC的度數(shù) 解 正方形ABCD的四個(gè)角均為直角 且對(duì)角線平分一組對(duì)角 CE AC E CAE ACB是 ACE的一個(gè)外角 ACB E CAE 2 E AFC是 CEF的一個(gè)外角 AFC E FCE 22 5 90 112 5 E 22 5 AFC 112 5 j F E A B D C 平行四邊形 正方形 有一個(gè)角是直角 一組鄰邊相等 正方形既是菱形 又是矩形 因此正方形有下列性質(zhì) 4 正方形是軸對(duì)稱圖形 兩條對(duì)角線所在直線 以及過每一組中點(diǎn)的直線都是它的對(duì)稱軸 1 正方形的四條邊都相等 四個(gè)角都是直角 2 正方形的對(duì)角線相等 且互相垂直平分 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 3 正方形是中心對(duì)稱圖形 對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心 1 習(xí)題1 7 知識(shí)技能第2 3兩題2 預(yù)習(xí)第二課時(shí) 第二課時(shí)正方形的判定 1 有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形 2 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形 3 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 2 正方形的性質(zhì) 1 正方形的定義 邊 角 對(duì)角線 正方形的對(duì)邊平行且相等 四條邊相等 正方形的四個(gè)角都是直角 正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 將一張長方形紙對(duì)折兩次 然后剪下一個(gè)角 打開 怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形 創(chuàng)設(shè)情境 滿足什么條件的矩形是正方形 什么條件的菱形是正方形 什么條件的平行四邊形是正方形 你能從這個(gè)變化過程中總結(jié)出正方形的判定方法嗎 滿足什么條件的矩形是正方形 操作1 你能否利用手中的矩形白紙裁出一個(gè)正方形呢 請(qǐng)你與同學(xué)交流一下 你能說說矩形與正方形的關(guān)系嗎 總結(jié) 矩形 正方形 1 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 2 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 探究1 或?qū)蔷€互相垂直 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 在矩形ABCD中 AB AD 矩形四邊形ABCD是正方形 正方形的判定 矩形法 幾何語言 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 幾何語言 在矩形ABCD中 AC BD 矩形四邊形ABCD是正方形 3 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形 4 對(duì)角線相等的菱形是正方形 操作2 你能否利用手中的可以活動(dòng)的菱形模型變成一個(gè)正方形嗎 如何變 總結(jié) 菱形 正方形 你能從這個(gè)變化過程中總結(jié)出正方形的判定方法嗎 探究2 滿足什么條件的菱形是正方形 或?qū)蔷€相等 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形 在菱形ABCD中 BAC 90 菱形四邊形ABCD是正方形 正方形的判定 菱形法 幾何語言 對(duì)角線相等的菱形是正方形 幾何語言 在菱形ABCD中 AC BD 菱形四邊形ABCD是正方形 滿足什么條件的平行四邊形是正方形 探究3 平行四邊形 正方形 你能從這個(gè)變化過程中總結(jié)出正方形的判定方法嗎 5 有一個(gè)角是直角一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形 6 對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形 有一個(gè)角是直角一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形 在平行四邊形ABCD中 A 90 AB AD 平行四邊形ABCD是正方形 正方形的判定 定義法 幾何語言 對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形 在平行四邊形ABCD中 AC BD AC BD 平行四邊形ABCD是正方形 幾何語言 探究4 1 四條邊相等 四個(gè)角都是直角 2 對(duì)角線互相垂直 平分且相等 滿足什么條件的四邊形是正方形 既是菱形又是矩形的四邊形是正方形 正方形常用的判定方法 1 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 2 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 3 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形 4 對(duì)角線相等的菱形是正方形 5 有一個(gè)角是直角一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形 6 對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形 7 既是菱形又是矩形的四邊形是正方形 例1 在四邊形ABCD中 O是對(duì)角線的交點(diǎn) 能判定這個(gè)四邊形是正方形的是 A AO BO CO DO AC BDB AD BC A CC AO COBO DOAB BCD AC BD 解析 由正方形的判定 對(duì)角線互相平分且相等 互相垂直的四邊形是正方形 故選A A 例3 已知 如圖 在矩形ABCD中 BE平分 ABC CE平分 DCB BF CE CF BE 求證 四邊形BECF是正方形 分析 先由BF CE CF BE得出四邊形BECF是平行四邊形 又因?yàn)?BEC 90 得出四邊形BECF是矩形 BE CE鄰邊相等的矩形是正方形 證明 BF CE CF BE 四邊形BECF是平行四邊形 又 在矩形ABCD中 BE平分 ABC CE平分 DCB EBA ECB 45 BEC 90 BE CE 四邊形BECF是正方形 鞏固練習(xí) 1 已知四邊形ABCD中 A B C 90 如果添加一個(gè)條件 即可推出該四邊形是正方形 那么這個(gè)條件可以是 A D 90 B AB CDC AD BCD BC CD 2 小明在學(xué)習(xí)了正方形之后 給同桌小文出了道題 從下列四個(gè)條件 AB BC ABC 90 AC BD AC BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件 使 ABCD為正方形 如圖 現(xiàn)有下列四種選法 你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是 A B C D 由 A B C 90 可判定為矩形 因此再添加條件 一組鄰邊相等 即可判定為正方形 故選D D B 3 如圖 在Rt ABC中 C 90 DE垂直平分AC DF BC 當(dāng) ABC滿足條件 時(shí) 四邊形DECF是正方形 要求 不再添加任何輔助線 只需填一個(gè)符合要求的條件 解 設(shè)AC BC 即 ABC為等腰直角三角形 C 90 DE垂直平分AC DF BC C CED EDF DFC 90 DF AC CE DE BC CF DF CE DE CF 四邊形DECF是正方形 故答案為 AC BC AC BC 4 如圖 在矩形ABCD中 ABC的角平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)M ME AB MF BC 垂足分別是E F 判定四邊形EBFM的形狀 并證明你的結(jié)論 首先證得四邊形EBFM為矩形 再進(jìn)一步利用角平分線的性質(zhì)得出ME MF 證得結(jié)論成立即可 此題考查正方形的判定 矩形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì) 結(jié)合圖形 利用已知條件靈活解決問題 解 四邊形EBFM是正方形 理由如下 矩形ABCD ABC 90 MF BC ME AB BFM MEB 90 ABC BFM MEB 90 四邊形EBFM為矩形 BM平分 ABC ME MF 四邊形EBFM為正方形 拓展提高 已知D E F G分別是四邊形AB BC CD DA的中點(diǎn) 求證 四邊形DEFG四平行四邊形 證明 如圖 連接BD D G分別是AB AD的中點(diǎn) DG是 ABD的中位線 DG BD E F分別是BC CD的中點(diǎn) EF是 BCD的中位線 EF BD DG EF DG EF 四邊形DEFG是平行四邊形 若四邊形ABCD變?yōu)樘厥獾乃倪呅?中點(diǎn)四邊形EFGH會(huì)有怎樣的變化呢 特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形 平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形 菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形 矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形 正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形 等腰梯形的中點(diǎn)四邊形是菱形 直角梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形 梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形 特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形 歸納 特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形 平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形 矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形 菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形 正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形 等腰梯形的中點(diǎn)四邊形是菱形 直角梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形 梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形 對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形 對(duì)角線相等的四邊