第02講 探索三角形全等的條件-【暑假自學(xué)課】2022年新八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第02講探索三角形全等的條件【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“HL”定理.2．能把證明一對(duì)角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.【基礎(chǔ)知識(shí)】一．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．二．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．三．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．四．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．【考點(diǎn)剖析】一．全等三角形的判定（共5小題）1．（2021秋?無錫期末）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加條件后，可以判定△ABC≌△DEF．2．（2021秋?宜興市期末）如圖，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是．（只需寫出一個(gè)條件即可）3．（2022?長安區(qū)一模）已知：點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．4．（2021秋?蘇州期末）如圖，在四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．5．（2021秋?連云港期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要證BC＝CD，證明中判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）A．角角角 B．角邊角 C．邊角邊 D．角角邊二．直角三角形全等的判定（共4小題）6．（2021春?姑蘇區(qū)期末）下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③（a﹣3b）2＝a2﹣9b2；④（x﹣2）0＝1；⑤有兩邊及其一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；⑥經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)7．（2020秋?郫都區(qū)期末）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS8．（2021秋?高淳區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補(bǔ)充條件，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．9．（2020?黑龍江）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．三．全等三角形的判定與性質(zhì)（共8小題）10．（2021秋?蘇州期末）如圖，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．135° D．145°11．（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE并延長至F，使EF＝DE，連接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，則BD的長等于（）A．1 B．2 C．3 D．512．（2021秋?桐柏縣期末）如圖，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的兩個(gè)點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，則EF的長為（）A．a(chǎn)+b﹣c B．b+c﹣a C．a(chǎn)+c﹣b D．a(chǎn)﹣b13．（2021秋?阜寧縣期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一點(diǎn)E，使EC＝4cm，過點(diǎn)E作EF⊥AC交CD的延長線于點(diǎn)F．若AE＝1cm，則EF＝cm．14．（2021秋?濱?？h期末）如圖，一個(gè)正方形擺放在桌面上，那么這個(gè)正方形的邊長為．15．（2022?南通模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點(diǎn)O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度數(shù)．16．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，已知AB＝CB，AD＝CD．求證：∠A＝∠C．17．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：∠ABD＝∠ACE．四．全等三角形的應(yīng)用（共4小題）18．（2021秋?武城縣期末）如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶（）去．A．① B．② C．③ D．①和②19．（2021秋?沛縣期末）如圖，小明用“X”型轉(zhuǎn)動(dòng)鉗測量圓柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，則該容器壁的厚度為cm．20．（2019秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，要測量河兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延長線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D．（DE≠CD）（1）線段的長度就是A、B兩點(diǎn)間的距離（2）請(qǐng)說明（1）成立的理由．21．（2021春?陳倉區(qū)期末）為了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，某校老師在七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，設(shè)置了這樣的問題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無法直接測量，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長到點(diǎn)C，連接BO并延長到點(diǎn)D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過點(diǎn)B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測量BC的長即可．（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個(gè)可行？（2）請(qǐng)說明方案可行的理由．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2021·江蘇無錫·八年級(jí)期末）下列條件中，能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個(gè)銳角和一條邊相等C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等2．（2021·江蘇南京·八年級(jí)期末）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列條件能得到△ABC≌△DEF的是（）A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8 B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8 D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝83．（2020·江蘇八年級(jí)月考）如圖，，，如果根據(jù)“”判定，那么需要補(bǔ)充的條件是（）A． B． C． D．4．（2020·江蘇泰州中學(xué)附屬初中八年級(jí)月考）如圖，OC平分∠AOB，D、E、F分別是OC、OA、OB上的點(diǎn)，則添加下列哪個(gè)條件不能使△ODE與△ODF全等（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．∠AED=∠BFD5．（2021·江蘇八年級(jí)期末）如圖，已知AC＝BD，添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA6．（2020·南京市溧水區(qū)和鳳初級(jí)中學(xué)八年級(jí)月考）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是（）A． B． C． D．二、填空題7．（2021·江蘇八年級(jí)月考）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），則A點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．8．（2021·江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，則CF＝_____．9．（2021·江蘇南京·八年級(jí)期末）如圖，△ACD是等邊三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，則∠BAE＝_____°．10．（2021·江蘇）如圖，，點(diǎn)、、、在同一條直線上，、交于點(diǎn)，，則的度數(shù)是______°．11．（2019·常熟市第一中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，已知，平分，且于點(diǎn)D，則________．12．（2019·江蘇八年級(jí)月考）如圖所示，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，也是BD的中點(diǎn)，那么AB與CD的關(guān)系是________．13．（2019·江蘇八年級(jí)月考）在△ABC和△DEF，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有__________組14．（2019·江蘇八年級(jí)月考）如圖所示，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB=2，AC=6，則AD的取值范圍是__________三、解答題15．（2020·宜興市樹人中學(xué)八年級(jí)月考）已知和位置如圖所示，，，．（1）試說明：；（2）試說明：．16．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．17．（2020·蘇州市吳江區(qū)青云實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖①，平分，可得．（1）如圖②，平分，參照?qǐng)D①，過點(diǎn)D作于點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)F，求證：；（2）如圖③，在四邊形中，，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，若，則的值是多少？（用含a的代數(shù)式表示）18．（2019·江蘇八年級(jí)月考）如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C