第04講空間向量的應(yīng)用（解析版）

第4講空間向量的應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：直線的方向向量和平面的法向量

1.直線的方向向量：

點(diǎn)A是直線/上的一個(gè)點(diǎn)，a是直線/的方向向量，在直線/上取=取定空間中的任意一點(diǎn)0,

則點(diǎn)P在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)f,使。尸=04+S或OP=Q4+tAB,這就是空間直線的向量表達(dá)

式.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向

量.

（2）在解具體立體幾何題時(shí)，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運(yùn)算或向量的坐標(biāo)

運(yùn)算.

2.平面的法向量定義：

直線取直線/的方向向量a,我們稱向量d為平面a的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過

點(diǎn)4,且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合｛P|a-AP=。｝.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量.已知一平面內(nèi)兩條

相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量.

3.平面的法向量確定通常有兩種方法：

（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；

（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：

（/）設(shè)出平面的法向量為〃=（%>,z）；

（〃■）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=（%,如q）,h=（a2,b2,c2）；

n-a=0

1nb=0

（；v）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.由于一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)，故可在代入方程組

的解中取一個(gè)最簡單的作為平面的法向量.

知識(shí)點(diǎn)二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系

空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行.

(1)線線平行

設(shè)直線4,4的方向向量分別是4,6，則要證明/]/〃2，只需證明"http://，即a=k〃(&wR).

(2)線面平行

線面平行的判定方法一般有三種：

①設(shè)直線/的方向向量是“，平面a的向量是“，則要證明〃/0，只需證明即“z=0.

②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線

的方向向量是共線向量.

③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平

面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可.

②若能求出平面a,的法向量〃,v,則要證明a//尸，只需證明“〃u.

知識(shí)點(diǎn)三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系

空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直.

(1)線線垂直

設(shè)直線44的方向向量分別為a,6,則要證明只需證明a_LZ?,即。力=0.

(2)線面垂直

①設(shè)直線/的方向向量是a,平面a的向量是〃，則要證明/_La,只需證明?！?/p>

②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.

(3)面面垂直

①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直.

②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.

知識(shí)點(diǎn)四、用向量方法求空間角

(1)求異面直線所成的角

已知小6為兩異面直線，A,C與B,。分別是a,b上的任意兩點(diǎn)，a,6所成的角為6,

則cos”"對(duì).

\AC\-\BD\

知識(shí)點(diǎn)詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為(0°,90°].兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向

量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的

角.

(2)求直線和平面所成的角

設(shè)直線/的方向向量為a,平面a的法向量為“，直線與平面所成的角為6,a與〃的角為6，

則有sin，=|cos(p|=""I.

(3)求二面角

如圖，若R4_La于A,PB_L4于8,平面P4B交/于￡,則NAE8為二面角口一/一分的平面角，

ZAEB+ZAPS=180°.

若%,%分別為面a,4的法向量，cos(n,,〃2)=

m?㈣

則二面角的平面角44所=(四,々)或萬—(勺,均)，

即二面角。等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角.

①當(dāng)法向量為與%的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角。的大小等于的夾角(4,嗎)

的大小.

②當(dāng)法向量4,%的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角。的大小等于4,叼的夾角的補(bǔ)角

的大小.

知識(shí)點(diǎn)五、用向量方法求空間距離

1.求點(diǎn)面距的一般步驟：

①求出該平面的一個(gè)法向量；

②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；

③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離.

\AB-n\

即：點(diǎn)A到平面a的距離d=,其中Bea,"是平面a的法向量.

\n\

2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解.

\AB-n\

直線。與平面a之間的距離：------.其中〃是平面a的法向量.

1?1

\AB-n\

兩平行平面a,6之間的距離：d=J----------1,其中〃是平面a的法向量.

hl

3.點(diǎn)線距

設(shè)直線/的單位方向向量為“，Ael>P史I，設(shè)AP=a，則點(diǎn)尸到直線/的距離d=也?_〃y.

【典型例題】

題型一：平面的法向量判斷及求法

【例1】（2022.全國?高二課時(shí)練習(xí)）在直三棱柱A8C-AMG中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是（）

A.ABB.AGC.BC'D.AA]

【答案】D

【分析】作出圖像，根據(jù)直棱柱側(cè)棱垂直于底面即可求解.

【詳解】如圖，

：CG、AA、8片均垂直于平面43C,故選項(xiàng)D中例可以作為平面A2C的法向量.

故選：D.

【例2】（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱柱ABC￡>-A8Ca的底面ABC。是正方形，。為底面中心，

A。，平面ABCD,AB=A4,=>/2.平面。的法向量”=（x,y,z）為（）

A.（0,1,1）B.（1,-1,l）C.（1,0-1）D.（-1-1,1）

【答案】C

【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系寫出各向量，利用法向量的性質(zhì)可得解.

（詳解】ABCD是正方形，旦AB=C，

AO=OC=1,

。4=1,

;.A（0,—1,0）,3（1,0,0）,C（0,l,0）,A（0,0,1）,

AB=（1,1,0）,OC=（0,1,0）,

又=AB=（l,l,0）,

.?田(1,1,1),。耳=(1,1,1),

,平面OCB]的法向量為。=(x,y,z),

fy=O

則《八，得y=o,九=-2,

[x+y+z=O

結(jié)合選項(xiàng)，可得〃=(1,0,-1),

故選：C.

【例3】(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))如圖，在正方體ABCO-AAG。中，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA的中點(diǎn)，則下列向量中，能作為平面AEF的法向量的是().

A.(1,-2,4)B.(T,1,-2)

C.(2,-2,1)D.(1,2,-2)

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)正方體的棱長為2,依次求出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)向量"=(x,y,z)是平面曲的法向量，根據(jù)法向量的定義，逐

一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可求出答案.

【詳解】

解：設(shè)正方體的棱長為2,則4(2,0,0),體2,2,1),F(l,0,2),

二AE=(0,2,1),4尸=(-1,0,2),

設(shè)向量"=(x,y,z)是平面AEF的法向量，

則/-AE-2)+z—0,取丫=],得z=_2,x=_4,

n?AF=—x+2z=0,

則〃=(-4,1,-2)是平面⑷EE的一個(gè)法向量,

結(jié)合其他選項(xiàng)，只需和“=(-4,1,-2)共線即可，

檢驗(yàn)可知，ACD選項(xiàng)均不與n=(-4,1,-2)共線.

所以能作為平曲/EF的法向量只有選項(xiàng)B

故選：B.

【例4】(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有正方體ABCD-A'B'C'。'，給出下列結(jié)

論：

①直線DD的一個(gè)方向向量為V1=(0,0,1)；

②直線BC的一個(gè)方向向量為為=(0,1,1)；

③平面ABB'A的一個(gè)法向量為“=((),1,0)；

④平面B'CD的一個(gè)法向量為n,=(1,1,1).

其中正確的個(gè)數(shù)為().

A.IB.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由直線的方向向量及平面的法向量的定義即可求解.

【詳解】解：設(shè)正方體抽CD-A'&C'D'的邊長為1,則。(0,0,0),)(0,0,1),B(洋解),C(0,1,1),"(1,解),

C(0,l,0),

對(duì)①：因?yàn)??！?(0,0,1),所以直線。。'的個(gè)方向向量為M=(0,0,1)正確：

對(duì)②：因?yàn)锽C'=(-1,0,1),所以直線3C'的一個(gè)方向向量為匕=(。，1』)不正確；

對(duì)③：因?yàn)椤_L平面ABB’A,又。4=(1,0,0),所以平面AB3W的一個(gè)法向量為4=(0,1,0)不正確；

對(duì)④：因?yàn)?=(1,1,1),=DC=(0,1,0),々W=l+l+l=3w0,%OC=0+1+0=1*。，

所以平面B'CD的個(gè)法向量為〃2=(1,1,1)不正確.

故選：A.

【例5】(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長為2的正四面體A8CQ中，”是底面中

心，￡>""!_平面ABC,寫出：

(1)直線8c的一個(gè)方向向量__________；

(2)點(diǎn)。。的一個(gè)方向向量___________；

(3)平面的一個(gè)法向量__________；

(4)△08C的重心坐標(biāo).

【答案】卬則卜,當(dāng)雷|(i,Go)但，竽，溶

k5)I*5/7

【分析】先求出正四面體中各邊的長度，得到各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

對(duì)于（1）（2）：直接求出方向向量：

對(duì)于（3）：根據(jù)法向量的定義列方程組，即可求得;

對(duì)于（4）：利用重心坐標(biāo)公式直接求得.

【詳解】由題意可得：OA=OB=l.0C=-x2=y/3.0H=-0C=-.

233

J。,里亞〕

由圖示,可得：0(0,0,0),A(-l,0,0),5(1,0,0),，0,洋0

（1）直線的一個(gè)方向向量為sc=hi,G,o）,

（C2?。?/p>

（2）點(diǎn)。。的一個(gè)方向向量為。。=°，事，3-

（3）0。弋.設(shè)”=（x,y,z）為平面BHO的一個(gè)法向量,

n-HD=—z=0

3,不妨設(shè)x=l,貝iJ〃=(l,6,0).

則r

幾?BH=-x+——y=0

3

故平面8HO的一個(gè)法向量為（1,6,0）.

C(0,6,0),H0,牛,0

(4)因?yàn)?(1,0,0)44由

J迪2⑥

所以△O3C的用心坐標(biāo)為

5丁'丁J

；⑵,率明:⑶

故答案為：（1）

【題型專練】

1.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）過空間三點(diǎn)A（1,1,0）,C（OJl）的平面的一個(gè)法向量是（）

A.(1,1,1)B.(1,1,-1)C.(1.0,1)D.(-1,0,1)

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)出平面的法向量為a=（x,y,z）,利用垂直關(guān)系，布列方程組，即可得到結(jié)果.

【詳解】

AB=（O,-l,l）,AC=（-1,0,1）.

設(shè)平面的法向量為a=（x,y,z）.

由題意知夕AB=0，a-AC=0，

一f-y+z=0,,（x=z

所以八，解得，

[-X+Z=0[y=z

令z=l,得平面的一個(gè)法向量是（1,1,1）.

故選：A

2.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)4（2,3,1）、3（4,1,2）、C（6,3,7）,則平面ABC的法向量可以是

.（寫出一個(gè)即可）

【答案】（3,2,—2）（答案不唯一）

【分析】設(shè)平面ABC的法向量為"=（x,y,z）,則有然后賦值即可得出答案.

fl,AC—U

【詳解】解：AB=(2,-2,1),AC=(4,0,6),

設(shè)平面ABC的法向量為n=（x,>1,z）,

「一\n-AB=2x-2y+z=0

則有〈/令x=3,貝ijz=-2,y=2,

〃AC=4x+6z=0

所以〃=(3,2,—2),

所以平面ABC的法向量可以是（3,2,-2）.

故答案為：（3,2,-2）（答案不唯一）.

3.（2022.全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)4（2,31）、8（4,1,2）、C（6,3,7）,則平面A8C的法向量可以是

.（寫出一個(gè)即可）

【答案】（3,2,-2）（答案不唯-）

【解析】

【分析】

設(shè)平面ABC的法向量為〃=（x,y,z）,則有AC^O,然后賦值即可得出答案.

【詳解】

解：AB=（2,-2,l）,AC=（4,0,6）,

設(shè)平面ABC的法向量為n=（x,y,z）,

則有<「c>令x=3,則z=-2,y=2,

n-AC=4x+6z=0

所以”=（3,2,-2）,

所以平面ABC的法向量可以是（3,2,-2）.

故答案為：（3,2,-2）（答案不唯一）.

4.（2022?全國?高二單元測(cè)試）若點(diǎn)A（2,3,0）,8（-1,0,2）,C（0,l,l）,則平面ABC的一個(gè)法向量〃=.

【答案】（1,-1,0）

【分析】根據(jù)題意求得向量AB=（-3,-3,2）,AC=（-2,-2,l）,結(jié)合法向量的求法，即可求解.

【詳解】由題意，點(diǎn)點(diǎn)A（2,3,0）,5（-1,0,2）,C（0,l,l）,

可得向量48=（-3,-3,2）,AC=（-2,-2,1）,

,.,一、，…n-AB=-3x-3y+2z=0

設(shè)平面ABC的法|向量為〃=（x,y,z）,可得〈?，

n-AC=-2x-2y+z=0

取x=l,可得y=-l,z=O,所以平面ABC的一個(gè)法向量為〃=（1,-1,0）.

故答案為：（L-1,0）.

5.（2022?湖南?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體中，AB=2,AD=6,M=3,建立適當(dāng)

的空間直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個(gè)法向量：

⑴平面ABC。；

（2）平面ACCM；

(3)平面ACC1.

【答案】(l)OD,=(0,0,3)

⑵切=(1,3,0)

⑶"=(1,3,2)

【解析】

【分析】

以。為原點(diǎn)，。4。，。。所在的直線分別為蒼丫*軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

(1)由于。。，平面ABCD,所以0%為平面ABCD的一個(gè)法向量，

(2)設(shè)平面ACGA的法向量為機(jī)=(x,y,z),則=從而可求出法向量,

m-AA^=3z=0

(3)設(shè)平面AC"的法向量為〃=(a,b,c),貝ij""C=-6"+y=°從而可求出法向量

[n-ADt=-6a+3c=0

(1)

以。為原點(diǎn)，所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間宜角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),A(6,0,0),C(0,2,0),0.(0,0,3),A,(6,0,3),C.(0,2,3),

所以DD?=(0,0,3),

因?yàn)?。A_L平面ABC。，所以。A為平面ABCD的?個(gè)法向量，

所以平面ABCD的一個(gè)法向量為DD；=(0,0,3),

(2)

設(shè)平面ACCA的法向量為帆=(x,y,z),

因?yàn)锳C=(-6,2,0),A4?=(0,0,3),

m-AC=-6x+2y=0

所以令x=I貝iJ〃z=(l,3,0),

m-AA^=3z=0

所以平面ACGA的一個(gè)法向量為機(jī)=(1,3,0),

(3)

設(shè)平面AC。的法向量為"=(“/'c),

因?yàn)锳C=(-6,2,0),AD]=(V0,3),

n-AC=-6a+2h=0

所以令4=1,則”=(1,3,2)

n?AD}=-6a+3c=0

所以平面AC"的一個(gè)法向量為〃=（1,3,2）

題型二：利用空間向量研究平行垂直問題

【例1】（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/的方向向量為“，平面口的一個(gè)法向量為"，若則（）

A.”.〃=0B.d=nC.d*nD.d//n

【答案】D

【分析】結(jié)合平面法向量的概念及即可得到答案.

【詳解】由題意，直線/的方向向量為“，平面。的一個(gè)法向量為〃，

因?yàn)?_L<z,可得

故選：D.

【例2】（2022?江蘇?徐州市王杰中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面口的法向量為（4,3,-7）,若直線/_L平面a,

則直線的方向向量可以為（）.

A.（8,6,4）B.（-8,-6,14）

【答案】B

【解析】

【分析】

結(jié)合空間向量平行關(guān)系即可求解.

【詳解】

因?yàn)槠矫鎍的法向量為“=（4,3,-7）,又因?yàn)橹本€以平面口,所以直線/的方向向量平行于〃=（4,3,-7）,四

個(gè)選項(xiàng)中，（-8,-6,14）=-2（4,3,-7）,故B選項(xiàng)符合題意.

故選：B

【例3】（2022.廣東.廣州奧林匹克中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱AB8-ABCQ中，O是底面A8C。

的中心，瓦尸分別是8片,。。的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是。

A.AO//EFB.AtOlEFC.A0〃平面EFgD.平面后尸與

【答案】B

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項(xiàng)分析、判斷作答.

【詳解】

在正四棱柱4BCO-AAG9中，以點(diǎn)力為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

令==2伙〃>0/>0),。是底面ABCD的中心，E,尸分別是2旦,￡>"的中點(diǎn)，

則0(。,40)，4(2。,0,2圾后(2。,2。,力閏(2。,2。,2力,/(0,0,力,=(a,—a,2b),FE=(2a,2a,0),EB、=(0,0,力，

對(duì)于A,顯然。A與FE不共線，即A。與瓦'不平行，A不正確；

對(duì)于B,因04,?尸E=a?勿+(-a>2a+0-2b=0,則圖,所，即4。，后尸，B正確；

對(duì)于C,設(shè)平面"用的法向量為〃=(x,y,z),則4"一°,令x=l,得N=(1,-1,0),

n-EBX=bz=(J

OA]n=2a>0,因此?？膳c“不垂直，即A。不平行于平面后尸與，C不正確；

對(duì)于D,由選項(xiàng)C知，儂與”不共線，即A。不垂直于平面D不正確.

故選：B

【例4】(2022?全國?高三專題練習(xí)(文))在正方體ABCO-ABCQ中，E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，則()

A.平面4EF_L平面8CRB.平面B|EF_L平面4臺(tái)。

C.平面B|EF//平面AACD.平面4所〃平面AG。

【答案】A

【解析】

【分析】

證明￡F_L平面B。。，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A5=2,分別求出平

面用EF,A}BD,4G。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

【詳解】

解：在正方體ABCD-A用6％中，

AC_L8。且。％±平面ABCD,

又印u平面ABCD,所以EFJ.，

因?yàn)镋,尸分別為A8/C的中點(diǎn)，

所以EFAC,所以EELBD,

又BDDD,=D,

所以EF_L平面8。。,

又即u平面與EF,

所以平面B]EFL平面BDD、,故A正確；

如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)45=2,

則4(2,2,2),E(2』,0),F(l,2,0),8(2,2,0)，A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C(0,2,2),

則防=(-1,1,0),印=(0,1,2),加=(2,2,0),弘=(2,0,2),

設(shè)平面B.EF的法向量為帆=(x「x，zj,

m-EF=-X[+x=0

則有,可取加=(2,2,-1),

m-EB、=%+2Z]=0

同理可得平面ABC的法向量為4=(1,-1,T),

平面A.AC的法向量為%=(1,1,0),

平面4G。的法向量為4=(1,1,-1),

所以平面B￡F與平面42。不垂直，故B錯(cuò)誤:

LU

因?yàn)楦c叫不平行，

所以平面B.EF與平面A.AC不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)榧优c公不平行，

所以平面片EF與平面ACQ不平行，故D錯(cuò)誤，

故選：A.

【例5】(2022.福建寧德.高二期中)如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面43co為直角梯形，其中A￡>〃8C.

AOJLAB,A￡>=3,AB=BC=2,PAL平面ABC。，且E4=3,點(diǎn)M在棱尸。上，點(diǎn)N為2c中點(diǎn).

若DM=2MP,證明：直線MN〃平面以8：

【答案】證明見解析

如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A8為x軸，為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,3),3(2,0,0),0(0,3,0),C(2,2,0),N(2,1,0)

若ZW=2MP，則M(0,l,2),MN=(2,0,-2)

因?yàn)镻A_L平面ABC。，所以AQ_LF4

又因?yàn)锳O_L=4

所以ADL平面以B

平面用B的其中一個(gè)法向量為4。=(0,3,0)

所以MN-AO=0，即A￡)_L肱V

又因?yàn)镸NO平面的

所以MV〃平面A48

【例6】(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))在正方體A8CO-A4CQ中，點(diǎn)E,F分別是正方形人用6。和正方形

瓦GCB的中心.求證:

(1)4GJ?平面AB。；

(2)￡///平面48。；

(3)平面耳EF〃平面A80.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得AC,1平面A.BD；

(2)利用向量法證得EF〃平面AB。：

(3)利用向量法證得平面B、EF//平面AtBD.

⑴

設(shè)正方體的邊長為2,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

C,（2,2,2）,A（0,0,2）,e（2,0,0）,0（0,2,0）,

”=（2,0,-2）,40=（0,2,-2）,

?A^B=09AC}'AyD=0,

所以

由于4504。=A，所以AGL平面

（2）

設(shè)平面A的法向量為々=（而y,zJ,

,fH.?AB=2x,-2z.=0一「.、「/、

則{Jcc，故可設(shè)〃1=（1,1,1）.

[勺?4。=2y-2Z]=0

E（l,l,2）,F（2,l,l）,￡F=（l,0,-l）,

ntEF=0,任平面A8￡）,

所以EF〃平面ABD.

（3）

4（2,0,2）,3/=（0,1,7）,

設(shè)平面旦EF的法向量為均=,Z2），

則仁北故可設(shè)…（川）.

[…/=%-2=0-'7

”1=%，

顯然，平面片EF與平面A3。不重合，所以平面4環(huán)〃平面48。.

【題型專練】

1.（2022?寧夏?石嘴山市第一中學(xué)高二期末（理））平面a的法向量為5=（2,-2,2）,平面q的法向量為

v=（l,2,l）,則下列命題正確的是（）

A.a,夕平行B.a,夕垂直

C.a,夕重合D.a,A相交不垂直

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)：.；=()可判斷兩平面垂直.

【詳解】

因?yàn)镋；=2xl+(-2)x2+2xl=0,所以所以a,夕垂直.

故選：B.

2.(2022?四川成都?高二期中(理))若直線/的方向向量a=(l,0,1),平面尸的法向量〃則()

A.lu0B.〃/4D./u尸或/〃夕

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)小〃=0可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)椤?1—1=0,

所以。_L”，

所以/u/或〃//.

故選：D

3.(2022?湖南?高三階段練習(xí))若直線/的方向向量〃z=(x,-1,2),平面a的法向量〃=(-2,-2,4),且直線/_￡

平面a,則實(shí)數(shù)x的值是.

【答案】-1

【解析】

【分析】

利用法向量的定義和向量共線的定理即可.

【詳解】

直線/的方向向量〃?=(x,T,2),平面a的法向量〃=(-2,-2,4),直線/，平面”，

必有機(jī)//〃>即向量m與向量〃共線，

m=An>"*?-4；=—，解得x=-l；

-2-22

故答案為：-1.

4.(2022.陜西.武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二期末(理))設(shè)〃=(-2,21)/=(6,-4,5)分別是平面。,夕的法向量,

若C尸，則實(shí)數(shù)f的值是.

【答案】4

【解析】

根據(jù)〃=(-2,2,力-=(6,-4,5)分別是平面。,力的法向量，且&，6，則有“Ip求解.

【詳解】

因?yàn)椤?(-2,2/),v=(6,-4,5)分別是平面a,6的法向量，且

所以"JLv

所以-2x6+2*(T)+tx5=0

解得f=4

故答案為：4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間向量垂直，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))如圖所示，正方體48CD-A蜴CQ的棱長為。，M、N分別為4B和AC上

的點(diǎn)，A、M=AN=^a,則MN與平面BBCC的位置關(guān)系是.

【答案】平行

【解析】

【分析】

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得MN的方向向量和平面BBCC的法向量，由

向量法即可判斷.

【詳解】

因?yàn)锳BC。-AAGA是正方體，且棱長為a，

故以G為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如下所示：

則G(O,O,O),C(O,OM),AA(aMM),5(a,0,a),

22(22、

由題可知CN=彳C4=3(a,a,O)=(§4,§a,oJ,設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(x，y,zj,

（2212222

則（與，"-4）=[9,9,0“故可得％=鏟,％=鏟，4=。即N—a,—

33

22(22i

BM=-B\=-(O,a,-a)=l0,y(7,—I,設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(超,見0)，

(22、21(21

則(超_a,%,22—4)=|。，,氏—大々,故可得&=4,%=.a，z=.a，g|JMa,-a,-a

故MN所在的方向向量為MN=0,1a),

乂平面BBgC的一個(gè)法向量”=（0,1,0）,

故MN-n=。，故直線MN〃面BB￡C.

故答案為：平行.

6.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體ABCO-A4CQ中，棱長為2a,M是棱。R的中點(diǎn).求證：。用〃

平面AMG.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

以點(diǎn)。為原點(diǎn),分別以D4、DC與的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出面AMG

的一個(gè)法向量和直線的方向向量，根據(jù)直線與平面平行的定義即可證明.

【詳解】

以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以D4、OC與。R的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則0（0,0,0）、

A（2a,0,0）、C（0,2a,0）xB（2a,2a,0）x〃（0,0,2a）、耳（為,0,為）、C；（0,功,2a）、Bt（2a,2a,2a）,M是棱。。的

中點(diǎn)得M（0,0,a）,DB[=（2a,2a，勿）.設(shè)面A〃G的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,M4,=（2?,0,a）,

,、n-MA.=0,（2ax+az=0,,,,,.

Mg=（0,2a,〃），則"{八=<c八令y=1,則”=（l,l,-2）.又w=0n￡>g_L〃，因?yàn)椤?（z

n-MCt=0,[2ay+az=0,''

平面AMG，所以。與〃平面AMC-

7.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體4BC￡>-AB|GQ中，M.N分別為A3、用。的中點(diǎn).

（1）用向量法證明平面ABDH平面片C。；

（2）用向量法證明MN_L平面48。.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）利用向量法可得兩平面的法向量，再根據(jù)法向量互相平行證明面面平行;

（2）利用向量法證明平面ABD的法向量與平行，即可得證.

（1）

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為2,

則A（2,0,2）,3（2,2,0）,四（2,2,2）,C（0,2,0）,￡＞（0,0,0）,2（002）,

uuu

故圖=（2,0,2）,03=（220）,4c=（-2,0,-2）,B]Dt=（-2,-2,0）,

注平面/\B。為法向舊%=（..\二）

???)=o2玉+2Zj=0

則,令％=1,則勺=(1,一1,-1),

DBn.=02x}+2y=0

設(shè)平面BCD的法向量叼=（z,%，Z2），

8。?%=0piJf-2x2-2z2=0

,令*2=1，則々=（L-1，T），

，

BI￡>I?2=0'[-2x2-2y2=0

所以4=%,即4〃%,

故平面ABQ〃平面BCD；

（2）

山M，N是線段A8,BC中點(diǎn),

則M（2,l,0）,N（l,2,l）,

所以MN=(—1,1,1),

則MN//nt,

所以MZVL平面A3,

8.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))如圖，已知長方體ABCO-ABC4中，AD=AB=2DDt,判斷滿足下列條

件的點(diǎn)M,N是否存在：MwAD「NwBD,MN工AD「MN工BD.

【答案】存在點(diǎn)M,N滿足MeAR,NeBD,MN1AD「MN1BD

【解析】

【分析】

建立直角坐標(biāo)系利用空間向量垂直的求解方法進(jìn)行求證.

【詳解】

解：假設(shè)存在滿足條件.在長方體中以D為原點(diǎn)，分別以D4,OC,r>2所在的直線為x軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)DDX=],AM=x,DN=y則AD=AB=2DD、=2

在中，

...2x\J5V5|yy/2y-72

--.0,—J,N(券,胃,0)

又Dt(0,0,1),A(2,0,0),0(0,0,0),B(2,2,0)

375

x=---

解得：*

lJ=T

即存在點(diǎn)M,N滿足MeA。,NeBD,MN±ADrMNA.BD

9.(2022?浙江?高三專題練習(xí))如圖所示，在長方體4BCD-ASG。中，4)=1,AB=AAt=2,N、M分

別A8、G。的中點(diǎn).

(1)求證：〃平面AA。。；

(2)求證：MWJ_平面48幽.

【答案】(I)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC,所在有線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法可證得結(jié)論成立；

(2)求出平面A田M的一個(gè)法向量，利用空間向量法可證得結(jié)論成立.

【詳解】

(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(1,O,O)、M(0,1,1),皿(1,1,0)、4(122)、A(1，0,2),

=(-1,0,1),易知平面AADD,的一個(gè)法向量為4=(0,1,0),

NM/n=-lx0+0xl+lx0=0?則

NM0平面4AOR,故NMH平面AIADDI.

(2)設(shè)平面A|B|M的法向量為”=(x,y,z),A^B}=(0,2,0),,

"44=02y=0

由，取x=—1,可得〃=(一1,0,1),

n-=0-x+y-z=0

所以，NM=n，故20_1_平面48陷.

10.(2022.全國?高三專題練習(xí))已知正方體ABC。-48/G。中，E為棱CC/上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：AiE±BD；

(2)若平面平面E8。，試確定E點(diǎn)的位置.

【答案】(1)證明見解析；(2)E為CC/的中點(diǎn).

【解析】

【分析】

以。為原點(diǎn)，DA.DC.DDi/)x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)計(jì)算泰?訪=0即可證明；

(2)求出面48。與面EBO的法向量，根據(jù)法向量垂直計(jì)算即可.

【詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,DC,DC/所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)正方體的棱長為。，則&“，0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ai(a,0,a),C/(0,a,a).

設(shè)E(0,a,e)(0<e<a).

(1)AtE—a，e-a),訪=(一"，-a，0)，

A,E-BD=^一〃~+(e—〃)0=0,

?*-A%J_防,即A/ELBD；

（2）設(shè)平面A/3Q,平面后3。的法向量分別為片=g>7,z/）,3=（必然，Z2）.

DB=（。，a，0）,DAi=（〃，0?〃），￡）￡1=（°，出，）

???%?DB=0，4?￡）A=0，n2-DB=0，幾「DE-0?

.（@+町=0,{ax2+ay2=0,

[oTj+叼=0,\ciy2+ez2=0.

取X/=X2=1,得\=（1，—1.—1）>，=（1，—1.—）.

由平面A/8D_L平面E8O得1_L[.

.*.2——=0,即e=3.

e2

...當(dāng)E為C。的中點(diǎn)時(shí)，平面平面EBD.

題型三：異面直線所成的角

【例1】（2022?河南?商丘市第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）在正方體ABCO-ABCA中，E,尸分別為棱A。，

A￡的中點(diǎn)，則異面直線EF與AA所成角的余弦值為（）.

A.正B.@C.—D.顯

6323

【答案】A

【分析】利用坐標(biāo)法即得.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2,

則E（1,0,0）,F（2,1,2）M（2,0,0）,DI（0,0,2）,

A￡F=（l,l,2）MZ>1=（-2,0,2）,

/s,n\EF?A/2y/3

即異面直線EF與A。所成角的余弦值為立.

6

故選:A.

【例2】（2022全國?高二單元測(cè)試）在正方體488-486口中，若M是棱。Q的中點(diǎn)，點(diǎn)。為底面ABCD

的中心，P為棱A4上任意一點(diǎn)，則異面直線。P與AM所成角的大小為（）

A.:B.yC.yD.與P點(diǎn)位置無關(guān)

【答案】c

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.

如圖，以D4,OC,。。為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,則

A(2,0,0),"(0,0,1),0(1,1,0),設(shè)P(2,〃?,2),

AM=(-2,0,l),OP=(l,/n-l,2),

AAMOP=-2xl+Ox(w-l)+lx2=(),AAMLOP即AW_LOP.

???直線OP與直線AM所成的角為］.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解.

【例3】(2022.四川省成都市新都一中高二期中(理))將正方形ABCD沿對(duì)角線8。折起，使得平面

平面CE),則異面直線A8與CO所成角的余弦值為()

A.；B.—C.--D.--

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的夾角的余弦值來確定異面直線的夾角.

【詳解】

取8。中點(diǎn)為O,連接AO,CO,所以AO_LBO,COJ_B。，

又面43￡>_L面CBD且交線為8￡>,AOu面ABQ,

所以4?_1面。3￡）,OCu面C3D,則AO_LCO.

設(shè)正方形的對(duì)角線長度為2,

如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,A（0,0,1）,B（l,0,0）,C（0,1,0）,￡>（-1,0,0）,

所以M=（l,0,T）,CD=（TT,0）,cos<AB,CD<=^g=?=±/==-l-

所以異面直線AB與cr>所成角的余弦值為3.

故選:A

【例4】（2022?吉林長春?模擬預(yù)測(cè)（理））在矩形A2C。中，。為8。中點(diǎn)且,將平面AB。沿對(duì)角

線BO翻折至二面角A-8O-C為90。，則直線AO與C￡>所成角余弦值為（）

A—B.手

「3亞「40

L?LJ?-----

2525

【答案】C

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線AO與CD所成角余弦值.

【詳解】

在平面ABQ中過A作AE_LB/D,垂足為E；

在平面C3D中過C作垂足為

由于平面平面BC￡>,且交線為80,

所以A￡1,平面BCD,CF_L平面

設(shè)AB=1,AD=2,

11njo

-xBDxAE=-xABxAD^AE=-,OE=y]OA2-AE2=—,

r一26

以。為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

7

設(shè)A。與CD所成角為0,

3

20_3\/5

則cos"i~~~i

104n1c451-25-

-X—

：2

故選：C

【例5】(2021?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，△2￡>是以AD為斜邊的等腰

直角三角形，AB_L平面必。，E是線段P。上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，若線段AB上存在點(diǎn)F(不含端點(diǎn))，使

得異面直線以和E尸所成的角的大小為30。，則線段A廠長的取值范圍是()

【答案】B

【分析】取AD的中點(diǎn)G,先證明PG,平面ABC。，以G4GP分別為x軸，z軸，過點(diǎn)G作AB的平行線為

V軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用未知量設(shè)點(diǎn)區(qū)F,注意范圍，利用異面直線PA與EF成角構(gòu)建關(guān)系，解出

范圍即可.

【詳解】取4。的中點(diǎn)G,由是以A。為斜邊的等腰直角三角形，則PGJ_AP

乂平面附。，PGu平面物力，則PG_LAS,

又ABcAO=A,所以PGJ■平面A8CD

以GAGP分別為x軸，z軸，過點(diǎn)G作AB的平行線為V軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則G(0,0,0),A(1,0,0),0(-1,0,0),5(1,2,0),尸(0,0,1),

設(shè)尸(l,y,0),0<y<2,DE=xDP=(x,0,x),0<x<l,

則E(x-l,0,x),EF=(2-x,y,-x),又PA=(1,0,—1),

異面直線PA和仃■所成的角的大小為30。，則照?閉=伊小|印CO。，

即2=V5xJ(2-xy+y2+(-x)2x立,即y2=_2(x-iy+：,0<x<l,

23

則0,|y0<y<2,所以o<y〈曰，又A尸=(0,y,0),

則線段A尸長的取值范圍是(o,當(dāng)).

故選:B

【題型專練】

1.(2022?江蘇凍臺(tái)創(chuàng)新高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí))如圖，在棱長為1的正方體ABC￡)-A8Ca中，M,N分

別為和8片的中點(diǎn)，那么直線AM與CN夾角的余弦值為()

A,正B.巫C.%2

21055

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

所以4M=

1

2-2

-=-

所以8sMe小兩問55

4-

故選：D

2.(2021?內(nèi)蒙古?赤峰二中高二階段練習(xí)(理))在直三棱柱48C-A4G中，CA=CB=CC、,AC±BC,E,F

分別是AG，4G的中點(diǎn)，則直線AE與CF所成角的余弦值