2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.3等比數(shù)列1.3.1第1課時(shí)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修5

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)7等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．若一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)依次是x,2x＋2,3x＋3，則x的值為(A)A．－4 B．－1C．－1或－4 D．4解析：由等比數(shù)列的定義，得eq\f(2x＋2,x)＝eq\f(3x＋3,2x＋2)，即(2x＋2)2＝x(3x＋3)，整理得x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4.當(dāng)x＝－1時(shí)，2x＋2＝0，不合題意，舍去．所以x＝－4，公比q＝eq\f(2x＋2,x)＝eq\f(3,2)，符合題意．2．假如數(shù)列{an}是等比數(shù)列，那么(A)A．?dāng)?shù)列{aeq\o\al(2,n)}是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{2an}是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列{lgan}是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{nan}是等比數(shù)列解析：利用等比數(shù)列的定義驗(yàn)證即可．3．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則公比q＝(A)A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2解析：∵a2＝a1q＝2①，a5＝a1q4＝eq\f(1,4)②，由②÷①，得q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).4．等比數(shù)列{an}中，若a2＋a3＝3，a4＋a5＝9，則a6＋a7等于(B)A．12B．27C．18D．16解析：∵{an}為等比數(shù)列，∴a4＋a5＝(a2＋a3)q2，即9＝3q2，∴q2＝3，∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝9×3＝27.5．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2＋a3的值為(C)A．－6B．－8C．－10D．－12解析：∵a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴eq\f(a1＋2d,a1)＝eq\f(a1＋3d,a1＋2d)，即a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，即a1(a1＋6)＝(a1＋4)2，解得a1＝－8，a2＋a3＝(－8＋2)＋(－8＋4)＝－10.6．已知等比數(shù)列{an}滿意a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于(A)A．64B．81C．128D．243解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3.∴a1＝1，∴a7＝26＝64.7．已知0<a<b<c，且a，b，c成等比數(shù)列，n為大于1的整數(shù)，則logan，logbn，logcn成(C)A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列C．各項(xiàng)倒數(shù)成等差數(shù)列 D．以上都不對(duì)解析：∵eq\f(b,a)＝eq\f(c,b)，即b2＝ac，∴eq\f(1,logan)＋eq\f(1,logcn)＝logna＋lognc＝lognac＝lognb2＝2lognb＝eq\f(2,logbn).8．在數(shù)列{an}中，a1＝2，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＋1＝an＋2；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＋1＝2an－1，則a12等于(C)A．32B．34C．66D．64解析：依題意，a1，a3，a5，a7，a9，a11構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故選C.二、填空題9．已知等比數(shù)列{an}的公比為－2，它的第n項(xiàng)為48，第2n－3項(xiàng)為192，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝3×(－2)n－1.解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝a1(－2)n－1＝48，,a2n－3＝a1(－2)2n－4＝192，))解得a1＝3，所以an＝a1qn－1＝3×(－2)n－1.10．已知在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＝1，a1＋a2＋a3＝7，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－1.解析：設(shè)公比為q，則1＋q＋q2＝7，解得q＝2或q＝－3(舍)，∴an＝2n－1.11．設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn等于eq\f(n2,4)＋eq\f(7n,4).解析：由題意，知eq\f(a3,a1)＝eq\f(a6,a3)，則aeq\o\al(2,3)＝a1a6.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則(2＋2d)2＝2(2＋5d)，解得d＝eq\f(1,2)或d＝0(舍去)，所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋eq\f(n(n－1),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(n2,4)＋eq\f(7n,4).三、解答題12．已知a，b，c，d成等比數(shù)列，a＋b，b＋c，c＋d均不為0，求證：a＋b，b＋c，c＋d成等比數(shù)列．證明：證法一：由已知條件，得eq\f(b,a)＝eq\f(c,b)，則b2＝ac，同理，c2＝bd，bc＝ad.∵(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝ac＋bd＋bc＋bc＝ac＋bd＋bc＋ad＝(a＋b)·(c＋d)，而a＋b，b＋c，c＋d均不為0，∴eq\f(b＋c,a＋b)＝eq\f(c＋d,b＋c)，則a＋b，b＋c，c＋d成等比數(shù)列．證法二：設(shè)eq\f(b,a)＝eq\f(c,b)＝eq\f(d,c)＝q，則eq\f(b＋c,a＋b)＝eq\f(c＋d,b＋c)＝q，∴a＋b，b＋c，c＋d成等比數(shù)列．證法三：設(shè)b＝aq，c＝aq2，d＝aq3，則eq\f(b＋c,a＋b)＝eq\f(aq(1＋q),a(1＋q))＝q，eq\f(c＋d,b＋c)＝eq\f(aq2(1＋q),aq(1＋q))＝q，∴a＋b，b＋c，c＋d成等比數(shù)列．13．設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3＝－3，求此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：∵b1＋b2＋b3＝3，∴l(xiāng)og2a1＋log2a2＋log2a3＝3，即log2(a1a2a3)＝3，∴a1a2a3＝8，∵{an}為等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∴eq\f(a2,q)·a2·a2q＝8，即aeq\o\al(3,2)＝8，a2＝2，又∵b1b2b3＝－3，∴l(xiāng)og2a1log2a2log2a3＝－3，∴l(xiāng)og2eq\f(2,q)·log22·log22q＝－3，∴(1－log2q)(1＋log2q)＝－3，∴q＝4或eq\f(1,4)，∴所求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a2qn－2，即an＝22n－3或an＝25－2n.——實(shí)力提升類——14．已知數(shù)列{an}，下列選項(xiàng)正確的是(C)A．若aeq\o\al(2,n)＝4n，n∈N＋，則{an}為等比數(shù)列B．若anan＋2＝aeq\o\al(2,n＋1)，n∈N＋，則{an}為等比數(shù)列C．若aman＝2m＋n，m，n∈N＋，則{an}為等比數(shù)列D．若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N＋，則{an}為等比數(shù)列解析：由aeq\o\al(2,n)＝4n知|an|＝2n，則數(shù)列{an}未必是等比數(shù)列；對(duì)于B，D選項(xiàng)，滿意條件的數(shù)列中可以存在零項(xiàng)，同樣，數(shù)列{an}不肯定是等比數(shù)列；對(duì)于C選項(xiàng)，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，兩式相除得eq\f(an＋1,an)＝2(n∈N＋)，故數(shù)列{an}是等比數(shù)列．選C.15．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常數(shù)，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，且公比不等于1.(1)求c的值；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，因?yàn)閍1，a2，a3成等比數(shù)列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2.當(dāng)c＝0時(shí)，a1＝a2＝a3，