《常微分方程》課件第2章

第2章初等積分法2.1變量分離的方程2.2恰當(dāng)方程2.3一階線性方程2.4初等變換法2.5積分因子法2.6應(yīng)用舉例

2.1變量分離的方程

1.變量（可）分離的方程

形如的方程稱為變量（可）分離的方程.這種方程的特點是：右端是只含x的函數(shù)和只含y的函數(shù)的乘積.

假設(shè)：h(x)在區(qū)間a<x<b上連續(xù)，g(y)在區(qū)間c<y<d上連續(xù)，且g(y)≠0.

用dx乘而用g(y)除式(2.1)兩端，得(2.2)這叫做分離變量.如果y作為x的函數(shù)是方程(2.1)的解，則式(2.2)兩端是彼此恒等的.對上述微分方程的兩端同時積分就得到y(tǒng)所滿足的隱函數(shù)方程:(2.3)或(2.4)(2.5)其中,G-1表示G的反函數(shù).

式(2.4)或式(2.5)便是方程(2.1)含任意常數(shù)C的解的表達(dá)式.設(shè)(x0,y0)是域內(nèi)的任意一點.為了求方程(2.1)所滿足的初值條件y(x0)=y0的解，可按以確定常數(shù)C，即代入式(2.5)便得(2.6)這就說明，對域R內(nèi)任意點(x0,y0)，均能選取表達(dá)式(2.5)中的任意常數(shù)C，使得對應(yīng)的解滿足初值條件y(x0)=y0.可見表達(dá)式(2.5)是方程(2.1)的通解，從而表達(dá)式(2.4)或(2.3)是方程(2.1)的隱式通解.例2.1

一質(zhì)量為m的質(zhì)點，以初速v0垂直上拋，且空氣的阻力與質(zhì)點運動速度的平方成正比(比例系數(shù)為k>0)，求該質(zhì)點從拋出至達(dá)到最高點的時間.

解設(shè)質(zhì)點在t時刻的速度為v，v(0)=v0，且有解得因為v(0)=v0，所以解出c=arctanav0.質(zhì)點達(dá)到最高點，即v=0，亦即解得

例2.2

解方程(2.7)解對式(2.7)分離變量，得對上式兩端積分后便得隱式通解：為得出顯式通解可從上式解出y

：(2.8)其中,常數(shù)C1=sinC.容易看出，y=±1也是方程(2.7)的解，但它們不包含在通解式(2.8)中.注意，這是由于y=±1時式(2.7)的分子等于零的緣故.

在前面說明的表達(dá)式(2.5)是方程(2.1)的通解的推理中，其實同時指出了在g(y)≠0(c<y<d)的條件下，方程(2.1)的初值問題的解恒存在而且唯一，即對于域R:a<x<b,c<y<d內(nèi)任意點(x0,y0)，方程(2.1)恒有解滿足初值條件y(x0)=y0，并且也只有一解滿足該條件.

現(xiàn)在來分析方程(2.1)的積分曲線，即解在(x,y)平面上的圖像的分布情況.如果g(y)≠0(c<y<d)，則由于初值問題的解存在而且唯一，經(jīng)過域R內(nèi)每一點都恰有方程(2.1)的一條積分曲線，積分曲線在R內(nèi)彼此不相交.這時，積分曲線的分布情況很簡單.但是，如果g(y)為c<y<d上的某些點，比如g(y)=g(y1)=0，在這種情況下，方程(2.1)經(jīng)過直線y=y1上的點的積分曲線就很可能不止一條

作為例子，我們來考察h(x)≡1的方程(2.1)，即方程(2.9)為簡單計，假設(shè)g(y)只在y=y1處等于零.

首先，經(jīng)過域和域內(nèi)任一點(x0,y0)恰有方程(2.9)的一條積分曲線，它由下式確定：(2.10)這些積分曲線彼此不相交.其次，域R1(R2)內(nèi)的所有積分曲線都可由其中一條，比如經(jīng)坐標(biāo)變換η=y,ξ=x-C-C0，即沿著x軸的方向平移而得到.因此我們只需詳細(xì)考察經(jīng)過R1或R2內(nèi)某點(x0,y0)的一條積分曲線，它由式(2.10)確定.

設(shè)(x0,y0)∈R1，即c<y0<y1.只有下列兩種情形：圖2.1圖2.2圖2.3

例2.3

解方程解該方程是變量(可)分離方程.當(dāng)y≠0時，分離變量得兩邊積分，得隱式通解:其中,C1是任意實數(shù).上式可以改寫為其中,C2=±eC1.注意到y(tǒng)=0也是原方程的解，因此方程通解最終可表示為其中,C是可取正、負(fù)和零的任意實數(shù).

2.可化為變量分離方程的某些方程

有些微分方程看上去并不是變量（可）分離的，但是通過一次或一次以上的變量變換就可化為變量分離的方程.下面將介紹一些典型的這類方程.讀者應(yīng)該從中學(xué)習(xí)利用變量變換解微分方程的技巧.

1)齊次方程

方程(2.11)稱為齊次方程，如果右端函數(shù)f(x,y)是x,y的零次齊次函數(shù)，即(2.12)在恒等式(2.12)中令，則得(2.13)為了解方程(2.13)，自然想到作變換 ，即y=ux.于是，將其代入方程(2.13)便得到u所適合的方程：亦即這就是一個變量分離的方程.若g(u)-u≠0,即，則用分離變量法可求出它的（隱式）通解：或(2.15)例2.4

解方程(2.16)解令y=ux，代入方程(2.16)得分離變量，得對應(yīng)于u=0(x≠0)得到的函數(shù)y=0(x≠0)也是方程(2.16)的解.例2.5

解方程解該方程可以改寫為(2.17)分離變量，得兩邊積分，得即(2.18)其中,C1和C2都是任意常數(shù)，C2≠0.注意到(2.19)將式(2.18)和式(2.19)相加除以2，并記C=C2，得

2)可化為齊次方程的方程

如下形式的方程可化為齊次方程：(2.20)

第一種情形:行列式引進(jìn)新的變量ξ,η：其中，α、β是待定常數(shù)，代入方程(2.20)，得(2.21)為使方程(2.21)是齊次的，自然應(yīng)選α、β使因為Δ≠0，所以這樣的α、β可以找到.于是方程(2.21)變成這便是一個齊次方程.

第二種情況:Δ=0,亦即這時方程(2.20)的形式變?yōu)?2.22)作未知函數(shù)的變換則由方程(2.22)得這顯然是變量分離的方程.例2.6

解方程(2.23)解令x=ξ+α,y=η+β,得由得出α=-3,β=-1.即方程(2.23)可化成這是齊次方程，解之得化回原來的變量x、y，便得到方程(2.23)的（隱式）通解:例2.7

人工繁殖細(xì)菌，其增長速度和當(dāng)時的細(xì)菌數(shù)成正比.

(1)如果過4小時細(xì)菌數(shù)即為原來的2倍，那么經(jīng)過12小時應(yīng)有多少？

(2)如果在3小時的時候有細(xì)菌104個，在5小時的時候有細(xì)菌4×104個，那么在開始時細(xì)菌有多少個？

解設(shè)時刻t單位體積的細(xì)菌數(shù)為x(t)，增長速度為，則由題意得x(t)滿足的方程為(k為一正的常數(shù))所以x(t)的方程為(C為常數(shù))再設(shè)初始時刻即t=0時，細(xì)菌數(shù)為x0，則

(1)由題意知：所以e4k=2，經(jīng)過12小時后，x=x0e12k=8x0，即經(jīng)過12小時，細(xì)菌數(shù)為原來的8倍.(2)由題意知:解得x0=1.25×103(個/單位體積).(3)當(dāng)時，求.時，求.f(x).

解(1)由題意知：兩邊微分，得(2)z的微分方程為(3)解關(guān)于的微分方程得：即得由初值條件得

下面舉幾個通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題的例子.

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，越來越多的人認(rèn)識到了“高新技術(shù)離不開數(shù)學(xué)學(xué)科的支持”這一精辟的觀點。近半個世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)與電子計算機技術(shù)相結(jié)合，在解決自然科學(xué)、工程技術(shù)乃至社會科學(xué)等各個領(lǐng)域的實際問題中大顯身手，取得了令人矚目的成績.

要用數(shù)學(xué)技術(shù)去解決實際問題，首先必須將所考慮的現(xiàn)實問題通過“去蕪存菁，去偽存真”的深入分析和研究，用數(shù)學(xué)工具將它歸結(jié)為一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，這個過程稱為數(shù)學(xué)建模，所得到的數(shù)學(xué)問題稱為數(shù)學(xué)模型.

數(shù)學(xué)建模可以使用多種數(shù)學(xué)方法，甚至對同一現(xiàn)實問題可以建立不同形式的數(shù)學(xué)模型，而其中最重要、最常用的數(shù)學(xué)工具是微分.作為數(shù)學(xué)建模過程的示例，這里我們利用已學(xué)過的微分知識，來導(dǎo)出一些簡單的微分方程數(shù)學(xué)模型，為讀者今后系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ).例2.9(Malthus人口模型）最簡單的人口增長模型是：記今年人口為x0,k年后人口為xk，年增長率為r，則(2.24)顯然，這個公式的基本條件是年增長率r保持不變.

200多年前英國人口學(xué)家馬爾薩斯(Malthus，1766-1834)調(diào)查了英國100多年的人口統(tǒng)計資料，得出了人口增長率不變的假設(shè)，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長模型.

記時刻t的人口為x(t)，當(dāng)考察一個國家或一個地區(qū)的人口時，x(t)是一個很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將x(t)視為連續(xù)、可微函數(shù).記初始時刻(t=0)的人口為x0.假設(shè)人口增長率為常數(shù)r，即單位時間內(nèi)x(t)的增量等于r乘以x(t).考慮t到t+Δt時間內(nèi)人口的增量，顯然有令Δt→0，得到x(t)滿足微分方程:(2.25)由這個方程很容易解出(2.26)當(dāng)r>0時,式(2.26)表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長，稱為指數(shù)增長模型.我們常用的預(yù)報公式(2.24)就是指數(shù)增長模型式(2.26)的離散近似形式.

但是長期來看，任何地區(qū)的人口都不可能無限增長，即指數(shù)模型不能描述，也不能預(yù)測較長時期的人口演變過程，人口增長到一定數(shù)量后增長率會下降.人們注意到，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口的增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大.所謂阻滯增長模型,就是考慮到這個因素后對指數(shù)增長模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的.

阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降.若將r表示為x的函數(shù)，則它應(yīng)是減函數(shù).于是方程(2.25)可寫作(2.27)對r(x)的一個最簡單的假設(shè)是，設(shè)r(x)為x的線性函數(shù)，即(2.28)(2.29)式(2.29)的另一種解釋是，增長率r(x)與人口尚未實現(xiàn)部分的比例(xm-x)/xm成正比，比例系數(shù)為固有增長率r.

將式(2.29)代入方程(2.27)得(2.30) 2.2恰當(dāng)方程

考慮對稱形式的一階微分方程：如果存在一個可微函數(shù)Φ(x,y)，使得它的全微分為亦即它的偏導(dǎo)數(shù)為(2.31)(2.32)則稱方程(2.31)為恰當(dāng)方程或全微分方程.因此，當(dāng)方程(2.31)為恰當(dāng)方程時，可將它改寫為全微分的形式:從而(2.33)就是方程(2.31)的一個通積分.

事實上，將任意常數(shù)C取定后，利用逆推法容易驗證：由式(2.33)所確定的隱函數(shù)y=u(x)（或x=v(y)）就是方程(2.31)的一個解.反之，若y=u(x)（或x=v(y)）是微分方程(2.31)的一個解，則有例2.10

求解微分方程

觀察這個微分方程，我們看到它的左端恰好是函數(shù)Φ=x2y3的全微分dΦ因此，上述方程可以寫成d(x2y3)=0,從而它的通積分為

上面利用觀察法求解微分方程只是一個簡單的特例.在一般情況下，我們需要解決的問題是：

(1)如何判斷一個給定的微分方程是或不是恰當(dāng)方程？

(2)當(dāng)它是恰當(dāng)方程時，如何求出相應(yīng)全微分的原函數(shù)？

(3)當(dāng)它不是恰當(dāng)方程時，能否將它的求解問題轉(zhuǎn)化為一個與之相關(guān)的恰當(dāng)方程的求解問題？

定理2.1

設(shè)函數(shù)P(x,y)和Q（x,y)在區(qū)域上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) 與，則微分方程(2.31)是恰當(dāng)方程的充要條件為恒等式(2.34)在R內(nèi)成立.而且當(dāng)式(2.34)成立時，方程(2.31)的通積分為(2.35)或者(2.36)其中,(x0,y0)是R中任意取定的一點.

證明先證必要性.設(shè)方程(2.31)是恰當(dāng)?shù)?，則存在函數(shù)Φ(x,y)，滿足(2.37)然后，我們在上面的第一式和第二式中，分別對y和x求偏導(dǎo)數(shù)，就可得到(2.38)(2.39)其中函數(shù)ψ(y)待定，以使函數(shù)Φ(x,y)適合式(2.37)中的第二式.因此，由式(2.39)得到再利用條件式(2.34)得到由此可見，為了使式(2.37)中的第二式成立，只要令ψ′(y)=Q(x0,y),亦即只要取即可.這樣，就找到了滿足式(2.37)的一個函數(shù)：(2.40)

如果在構(gòu)造時，先考慮使(2.37)的第二式成立，則可用同樣的方法，得到滿足(2.37)的另一函數(shù)(2.41)例2.11

求解微分方程(2.42)解因為所以方程(2.42)是恰當(dāng)方程.因此，可以利用公式(2.35)或(2.36)直接求得通積分.但是為了進(jìn)行基本訓(xùn)練，我們?nèi)圆捎枚ɡ碓诔浞中宰C明中的方法計算通積分.令函數(shù)Φ(x,y)滿足則對x積分第一式，得到再將它代入上面第二式，即得(2.43)為方程(2.42)的通積分，其中C為任意常數(shù).注2.1

對于某些恰當(dāng)方程，可以采用更簡便的分組湊全微分的方法求解.例如，對于方程(2.42)的左端，可用如下分組求積分的方法：由此可直接得到通積分式(2.43).注2.2

求解恰當(dāng)方程的關(guān)鍵是構(gòu)造相應(yīng)全微分的原函數(shù)Φ(x,y).這實際上就是場論中的位勢問題.在單連通區(qū)域R上，條件式(2.34)保證了曲線積分(2.44)與積分的路徑無關(guān).因此，式(2.44)確定了一個單值函數(shù)Φ(x,y).注意，公式(2.40)與公式(2.41)所取的積分路徑僅僅是便于計算的兩種特殊的路徑.如果區(qū)域不是單連通的，那么一般而言Φ(x,y)也許是多值的.例如，對于方程容易驗證條件(2.34)在非單連通的環(huán)域R0:0<x2+y2<1上成立.根據(jù)我們得到例2.12

流言蜚語(或小道消息)傳播問題.假設(shè)某地區(qū)的人口總數(shù)為N，在短期內(nèi)不變，x(t)表示知道某消息的人數(shù)所占的百分比，初始時刻的百分比為x0<1，傳播率為h，則可以建立數(shù)學(xué)模型為求解得于是有此式表明隨著時間的增長，消息慢慢地會淡化，逐步被人遺忘，這是符合實際情況的。 2.3一階線性方程

本節(jié)討論一階線性方程:(2.45)其中函數(shù)p(x)和q(x)在區(qū)間I=(a,b)上連續(xù).當(dāng)q(x)≡0時，方程(2.45)成為(2.46)當(dāng)q(x)不恒等于零時，稱方程(2.45)為非齊次線性方程,而稱方程(2.46)為（相應(yīng)的）齊次線性方程.

我們首先討論齊次線性方程(2.46)的解法.為此，將方程(2.46)改寫為對稱形式：這是一個變量分離的方程.當(dāng)y≠0時，將方程兩側(cè)同除以y，得到由此積分后，我們得到方程(2.46)的解:(2.47)因為在上面的解法中假定了y≠0，所以這里的任意常數(shù)C≠0.然而，當(dāng)C=0時，式(2.47)對應(yīng)于方程(2.46)的特解y=0.因此，當(dāng)C是任意常數(shù)（包括C=0）時，式(2.47)表示齊次線性方程(2.46)的通解.

現(xiàn)在要求解非齊次線性方程(2.45).我們可把它改寫為如下的對稱形式：(2.48)它是全微分的形式:由此可直接積分，得到通積分:這樣，就求出了方程(2.48)的通解:(2.49)其中，C是一個任意常數(shù).上述方法叫做積分因子法.這是因為我們用因子μ(x)乘微分方程(2.48)的兩側(cè)后，它就轉(zhuǎn)化為一個全微分方程，從而獲得它的積分.

例2.13

一容器內(nèi)盛鹽水100L，含鹽50g.現(xiàn)以濃度為c1=2g/L的鹽水注入容器內(nèi)，其流量為Φ1=3L/min.設(shè)注入的鹽水與原有鹽水被攪拌而迅速成為均勻的混合液，同時，此混合液又以流量為Φ2=2L/min流出.試求容器內(nèi)的含鹽量與時間t的函數(shù)關(guān)系.

解設(shè)在時刻t時容器內(nèi)含鹽量為x克.在時刻t，容器內(nèi)鹽水體積為

100+(3-2)t=100+t

(L)

故流出的混合液在時刻t的濃度為

下面我們用定積分中的元素法來建立微分方程.在t到t+dt這段時間內(nèi)，或?qū)? 代入上式，即得或(2.50)初始條件為(2.51)

方程(2.50)是一階非齊次線性微分方程.在該方程中，故所以有以條件式(2.51)代入，得C=-1.5×106，于是所求函數(shù)關(guān)系為例2.14

求解微分方程解我們可以直接用公式(2.49)求得通解.但應(yīng)用積分因子法比記憶一個公式更具有靈活性，在這里積分因子是然后用它乘方程兩側(cè)，推出:再由積分可得通解:其中，C為任意常數(shù).

為確定起見，通常把通解式(2.49)中的不定積分寫成變上限的定積分，即或(2.52)利用這種形式，容易得到初值問題(2.53)的解為(2.54)其中,p(x)和q(x)在區(qū)間I上連續(xù).

性質(zhì)1

齊次線性方程(2.46)的解或者恒等于零，或者恒不等于零.

易知y=φ(x)≡0為齊次方程(2.46)的一個解；再利用習(xí)題2.3中第5題的結(jié)果可知，任何其他的解與y=φ(x)沒有公共點.故性質(zhì)1成立.

性質(zhì)2

線性方程的解是整體存在的，即方程(2.45)或(2.46)的任一解都在p(x)和q(x)有定義且在連續(xù)的整個區(qū)間I上存在.

性質(zhì)3齊次線性方程(2.46)的任何解的線性組合仍是它的解，齊次線性方程(2.46)的任一解與非齊次線性方程(2.45)的任一解之和是非齊次線性方程(2.45)的解；非齊次線性方程(2.45)的任意兩解之差必是相應(yīng)齊次線性方程(2.46)的解.

性質(zhì)4

非齊次線性方程(2.45)的任一解與相應(yīng)齊次線性方程(2.46)的通解之和構(gòu)成非齊次線性方程(2.45)的通解.

性質(zhì)5線性方程的初值問題(2.53)的解存在且唯一.

性質(zhì)5的存在性部分是顯然的，因為公式(2.54)就提供了一個解.現(xiàn)在來證明解的唯一性.假設(shè)初值問題式(2.53)有兩個解y=φ1(x)和y=φ2(x)，則由性質(zhì)3知是相應(yīng)齊次線性方程(2.46)的一個解；另一方面，φ1(x)和φ2(x)滿足同一個初值條件，即有ψ(x0)=φ1(x0)-φ2(x0)=0.再由性質(zhì)1可知ψ(x)≡0，即當(dāng)x∈I時，φ1(x)≡φ2(x).例2.15

設(shè)微分方程(2.55)其中a>0為常數(shù)，而f(x)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù).試求方程(2.55)的2π周期解.

解利用式(2.54)，容易寫出方程(2.55)的通解為(2.56)現(xiàn)在選擇常數(shù)C，使y(x)成為2π周期函數(shù)，即(2.57)成立.我們先來證明，要使式(2.57)對所有x成立，其實只需對某一特定的x（例如x=0）成立，即只要求(2.58)事實上，因為y(x)是方程(2.55)的解，而且f(x+2π)≡f(x)，所以y(x+2π)也是方程(2.55)的解.令 ，則y=u(x)是相應(yīng)齊次方程的解.如果式(2.58)成立，則u(x)滿足初值條件u(0)=0.因此，由性質(zhì)1可知u(x)≡0,從而式(2.57)成立.現(xiàn)將公式(2.56)代入(2.58)，得到把它代回式(2.56)，就得到所求的2π周期解y=y(x)；再利用f(x)的2π周期性，就可以把它簡化為(2.59)例2.16

RL串聯(lián)電路如圖2.4所示，電感L、電阻R及電源電壓E均為正的常數(shù).求電鍵閉合后電路中的電流強度i=i(t).

解事實上，利用電學(xué)中的基爾霍夫定律就可得到微分方程：(2.60)這是一階線性方程，它顯然有特解i=E/R.而相應(yīng)齊次線性方程的通解為，其中C為任意常數(shù).因此，利用上述線性方程的性質(zhì)4，可知方程(2.60)的通解為由此可以確定初值條件i(0)=0的解為它的圖形見圖2.5.圖2.4圖2.5例2.17

解方程其中,f(x)、f′(x)為已知的連續(xù)函數(shù).

解這是線性方程，先求齊次方程的通解.分離變量，得兩邊積分得設(shè)原方程通解為代入原方程，得兩邊積分得于是，所求方程的通解為例2.18

設(shè)y(x)是x的一個連續(xù)可微函數(shù)，且滿足求y(x).

解等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)兩次得故例2.19(室內(nèi)溫度的擺動)

下面我們研究線性微分方程解的一個有趣問題，即受室外溫度(2.61)的影響，室內(nèi)溫度擺動的問題.如果ω＝π/12，那么溫度的擺動為24h一個周期.例如在雅典,正常情況下，7月份上午4:00時溫度最低70，下午4:00時溫度最高90.根據(jù)三角公式有（2.62）所以式(2.60)中的如果把在時刻t的室內(nèi)溫度u(t)寫成牛頓冷卻定律 （其中T表示物體溫度，A表示周圍介質(zhì)的溫度，k為正常數(shù)）形式，用式(2.61)給出的室外溫度A(t)代表周圍（介質(zhì)）不變溫度A，那么得到一階線性微分方程,即(2.63)常數(shù)k的取值范圍為0.2~0.5（開窗戶時會導(dǎo)致k可能比0.5大一些，或窗戶封閉得好會導(dǎo)致k可能比0.2小一些）.

假設(shè)有一天晚上（在時刻t0=0時），某人的空調(diào)壞了，而且該人可能在月末發(fā)薪水時才能修理.因此我們要研究以后幾天室內(nèi)溫度的變化情況.

首先，求解具有初始條件u(0)=u0（空調(diào)壞了時室內(nèi)的溫度）的方程（2.63）.可能需要用到積分公式.可以得到解（2.64）其中若取可得近似解(2.65)

注意到，當(dāng)t→+∞時，式（2.65）中的衰減指數(shù)項趨于零，所以保留“穩(wěn)定周期”解（2.66）從而室內(nèi)溫度每24h圍繞室外平均溫度擺動.

2.4初等變換法

例2.20

對于形如的方程，如果引進(jìn)變換u=x+y，其中u為新的未知函數(shù)，則方程立即化為它是一個變量分離的方程，因此不難求得通解.例2.21

對于微分方程如果引進(jìn)變換v=y2，則方程變?yōu)樗且粋€對v的一階線性微分方程，它的解法在2.3節(jié)中討論過.

下面介紹幾個標(biāo)準(zhǔn)類型的微分方程，它們可以通過適當(dāng)?shù)某醯茸儞Q化為變量分離的方程或一階線性方程.

1.齊次方程

如果微分方程(2.67)中的函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)都是x和y的同次（例如m次）齊次函數(shù)，即(2.68)則稱方程(2.67)為齊次方程（注意這與2.3節(jié)中定義的齊次線性方程是不同的）.

對于齊次方程(2.67)，標(biāo)準(zhǔn)的變量替換是(2.69)其中:u為新的未知函數(shù);x為自變量.注意，從關(guān)系式(2.68)易知(2.70)因此，把變換(2.69)代入方程(2.67)，就得(2.71)這是一個變量分離的方程.注2.3

易知方程(2.67)為齊次方程的一個等價定義式，它可以化為如下的形式：注2.4

容易看出，x=0是方程(2.71)的一個特解.但它未必是原方程(2.67)的解.出現(xiàn)這種情況的原因在于，當(dāng)x=0時，變換(2.69)不是可逆的.例2.22

求解微分方程解這是一個齊次方程.因此，令y=ux，得到亦即積分此式，可得（C為任意常數(shù)，且C>0）.從而將代入上式，可得通積分:如果采用極坐標(biāo)x=rcosθ與y=rsinθ，則得簡單的形式:它是以原點O為焦點的螺線族（焦點的定義以后介紹）.例2.23

討論形如的方程的求解法，這里設(shè)a、b、c、m、n和l為常數(shù).

解當(dāng)c=l=0時，它是齊次方程.因此可用變換求解.當(dāng)c和l不全為零時，可分如下兩種情形討論：(1)Δ=an-bm≠0.此時可選常數(shù)和，使得然后取自變量和未知函數(shù)的（平移）變換：則原方程就化為ξ與η的方程:這已是齊次方程.因此令 ，即可把它化為變量分離的方程.

(2)Δ=an-bm=0.

此時有因此，原方程化為再令v=ax+by為新的未知函數(shù)，x為自變量，則上述方程可化為它是一個變量分離的方程.

2.伯努利方程

形如(2.72)的方程稱為伯努利方程，其中n為常數(shù)，而且n≠0和1.給方程兩邊同乘以(1-n)y-n，即得然后令z=y1-n，就有這是關(guān)于未知函數(shù)z的一階線性方程.例2.24

設(shè)可微函數(shù)f(x)滿足方程：求f(x).

解對方程兩邊求導(dǎo)得此為伯努利方程，解得由f(1)=1，得C=1.則f(x)為

3.里卡蒂方程

假如一階微分方程的右端函數(shù)f(x,y)是一個關(guān)于y的二次多項式，則稱此方程為二次方程；它可寫成如下形式：(2.73)其中,函數(shù)p(x)、q(x)和r(x)在區(qū)間I上連續(xù)，而且p(x)不恒等于零.方程(2.73)通常又叫做里卡蒂（Riccati，1676-1754）方程.這是形式上最簡單的非線性方程.但是，一般而言，它已不能用初等積分法求解.在下述兩個定理的證明中，請讀者體會初等變換的技巧.定理2.2

設(shè)已知里卡蒂方程(2.73)的一個特解y=φ1(x)，則可用積分法求得它的通解.

證明對方程(2.73)作變換y=u+φ1(x)，其中u是新的未知函數(shù).代入方程(2.73)，得到由于y=φ1(x)是方程(2.73)的解，從上式消去相關(guān)項后，就有這是一個伯努利方程.因此，由前面對方程(2.72)的討論可知，此方程可以用積分法求出通解.定理2.3

設(shè)里卡蒂方程(2.74)其中,a≠0,b、m是常數(shù).又設(shè)x≠0和y≠0.則當(dāng)(2.75)時，方程(2.74)可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q化為變量分離的方程.

證明不妨設(shè)a=1（否則作自變量變換 即可）,將其代入方程(2.74)即得(2.76)當(dāng)m=0時，式(2.76)是一個變量分離的方程，即當(dāng)m=-2時，作變換z=xy，其中z是新未知函數(shù).然后代入方程(2.76)，得到這也是一個變量分離的方程.當(dāng) 時，作變換其中,ξ和η分別為新的未知函數(shù)，則方程(2.76)變?yōu)?2.77)其中 .再作變換其中t和z分別是新的自變量和未知函數(shù)，則方程(2.77)變?yōu)?2.78)其中， .

方程(2.78)與方程(2.76)在形式上一樣，只是右端自變量的指數(shù)從m變?yōu)閘.比較m與l對k的依賴關(guān)系不難看出，只要將上述變換的過程重復(fù)k次，就能把方程(2.76)化為m=0的情形.

當(dāng) 時，微分方程(2.74)就是方程(2.77)的類型，因此可以把它化為微分方程(2.78)的形式，從而可以化歸到m=0的情形.至此定理證完.

注2.5

定理2.3是由JohannBernoulli之子DanielBernoulli(1700-1784)在1725年得到的.這個定理指出，對于里卡蒂方程(2.74)能用初等積分法求解，條件式(2.75)是充分的.實際上，時隔一百多年之后劉維爾在1841年進(jìn)而證明了條件式(2.75)還是一個必要條件.有興趣的讀者可以參閱參考文獻(xiàn)［2］.劉維爾的這一工作，在微分方程的發(fā)展史上具有重要意義.在此之前，人們把主要注意力放在微分方程的（初等積分）求解上，而劉維爾的研究結(jié)果說明，即使形式上很簡單的里卡蒂方程（例如y′=x2+y2），一般也不能用初等積分法求解.這就迫使人們另辟新徑，例如：從理論上研究一般微分方程初值問題的解是否存在，是否唯一？怎樣從微分方程本身的特點去推斷其解的屬性（周期性、有界性、穩(wěn)定性等）？在什么條件下微分方程的解可以用收斂的冪級數(shù)表示?怎樣求出微分方程的近似解？等等.這就促使微分方程的研究進(jìn)入一個新的發(fā)展時期.在隨后的章節(jié)中將或多或少地涉及上述的一些論題.注2.6

里卡蒂方程在歷史上和近代都有重要應(yīng)用.例如，它曾用于證明貝塞爾方程的解不是初等函數(shù)，另外它也出現(xiàn)在現(xiàn)代控制論和向量場分支理論的一些問題中.

例2.25

解方程解這是里卡蒂方程，觀察出 是它的一個解.于是作變換代入原方程，得到這是伯努利方程，再作變換代入方程，即得解此線性方程得化簡得帶回原變量，得原方程的解為及例2.26

經(jīng)濟增長模型.發(fā)展經(jīng)濟、提高生產(chǎn)力主要有以下手段：增加投資、增加勞動力、技術(shù)革新。這里暫不考慮技術(shù)革新的作用，一是因為在經(jīng)濟發(fā)展的初期(如資本主義早期社會)或者在不太長的時期內(nèi)，技術(shù)相對穩(wěn)定，二是由于技術(shù)革新量化比較困難。

1)道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)

用Q(t)、K(t)、L(t)分別表示某一地區(qū)或部門在時刻t的產(chǎn)量、資金和勞動力，它們的關(guān)系可以一般地記作Q(t)=F［K(t),L(t)］(2.79)其中,F為待定函數(shù).對于固定的時刻t，上述關(guān)系可寫作Q=F(K,L)(2.80)為尋求F的函數(shù)形式，引入記號(2.81)z是每個勞動力的產(chǎn)值，y是每個勞動力的投資.如下的假設(shè)是合理的：z隨著y的增加而增加，但增長速度遞減.進(jìn)而簡化地把這個假設(shè)表示為(2.82)顯然函數(shù)g(y)滿足上面的假設(shè)，常數(shù)c>0可看做技術(shù)的作用.由式(2.81)和(2.82)即可得到式(2.80)中F的具體形式為(2.83)由式(2.83)容易知道Q有如下性質(zhì):(2.84)請讀者解釋式(2.84)的含義.記表示單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值；表示單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值，則從(2.83)式可得(2.85)(2.85)式可解釋為：是資金在產(chǎn)值中占有的份額，是勞動力在產(chǎn)值中占有的份額.于是的大小直接反映了資金、勞動力二者對于創(chuàng)造產(chǎn)值的輕重關(guān)系.

(2.83)式是經(jīng)濟學(xué)中著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)，它經(jīng)受了資本主義社會一些實際數(shù)據(jù)的檢驗.更一般形式的生產(chǎn)函數(shù)表為(2.86)

2)資金與勞動力的最佳分配

這里將根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)式(2.83)討論，怎樣分配資金和勞動力，使生產(chǎn)創(chuàng)造的效益最大.

假設(shè)資金來自貸款，利率為γ，每個勞動力需付工資ω，于是當(dāng)資金K、勞動力L產(chǎn)生產(chǎn)值Q時，得到的效益為(2.87)問題化為求資金與勞動力的分配比例K/L(即每個勞動力占有的資金)，使效益S最大.

這個模型用微分法即可解得(2.88)再利用式(2.85)，有(2.89)這就是資金與勞動力的最佳分配.從式(2.89)可以看出，當(dāng)α、ω變大,γ變小時，分配比例K/L變大，這是符合常識的.

3)勞動生產(chǎn)率增長的條件

常用的衡量經(jīng)濟增長的指標(biāo)包括總產(chǎn)值Q(t)和每個勞動力的產(chǎn)值 .這個模型討論K(t)、L(t)滿足什么條件才能使Q（t)、z(t)保持增長.

首先需要對資金和勞動力的增加作出合理的簡化假設(shè)：

(1)投資增長率與產(chǎn)值成正比，比例系數(shù)λ>0，即用一定比例擴大再生產(chǎn)；

(2)勞動力的相對增長率為常數(shù)μ,μ可以是負(fù)數(shù)，表示勞動力減少.這兩個條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為(2.90)(2.91)方程(2.91)的解為(2.92)將式(2.82)和式(2.83)代入式(2.90)得(2.93)注意到式(2.81)，有K=Ly，再用式(2.91)可得(2.94)比較式(2.93)和式(2.94)得到關(guān)于y(t)的方程:(2.95)這是著名的Bernoulli方程，它的解(2.96)

以下根據(jù)式(2.96)研究Q(t)、z(t)保持增長的條件.

(1)Q(t)增長，即 ，由Q=cLyα及式(2.91)和式(2.95)可算得(2.97)將式(2.96)代入，可知條件等價于(2.98)因為上式右端大于1，所以當(dāng)μ≥0(即勞動力不減少)時,式(2.98)恒成立；而當(dāng)μ<0時，式(2.98)成立的條件是(2.99)說明如果勞動力減少，Q(t)只能在有限時間內(nèi)保持增長.但應(yīng)注意，若式(2.99)中的 ，則不存在這樣的增長時段.

(2)z(t)增長，即，由z=cyα知 .由方程(2.95)知，當(dāng)μ≤0時，該條件恒成立；而當(dāng)μ>0時,由式(2.96)可得 等價于(2.100)顯然，此式成立的條件為,即(2.101)這個條件的含義是，勞動力增長率小于初始投資增長率.

Douglas生產(chǎn)函數(shù)是計量經(jīng)濟學(xué)中重要的數(shù)學(xué)模型，本節(jié)給出它的一種簡潔的建模過程.在此基礎(chǔ)上討論的資金和勞動力的最佳分配是一個靜態(tài)模型.而利用微分方程研究的勞動生產(chǎn)率增長的條件是一個動態(tài)模型，雖然它的推導(dǎo)過程稍繁，但其結(jié)果卻相當(dāng)簡明，并且可以給出合理的解釋. 2.5積分因子法

在2.2節(jié)中我們已看到，假若方程(2.102)是恰當(dāng)方程 ，則它的通積分為

在2.1節(jié)～2.4節(jié)中，我們還討論了當(dāng)方程(2.102)不是恰當(dāng)方程時，如何把它轉(zhuǎn)化為一個恰當(dāng)方程的求解問題.

例如，當(dāng)方程(2.102)具有變量分離的形式當(dāng)(2.102)是一個一階線性方程，亦即時，用 乘方程兩側(cè)，就得到一個恰當(dāng)方程:

現(xiàn)在我們嘗試將這種方法一般化：對一般的方程(2.102)，設(shè)法尋找一個可微的非零函數(shù)μ=μ(x,y)，使得用它乘方程(2.102)后，所得方程(2.103)成為恰當(dāng)方程，亦即(2.104)這時，函數(shù)μ=μ(x,y)叫做方程(2.102)的一個積分因子.

問題是:對于給定的方程(2.102)，它的積分因子是否一定存在？如果存在，它是否容易求得？

事實上，尋求積分因子μ(x,y)，就是求解偏微分方程(2.104)，或等價地，求解一階偏微分方程:(2.105)其中P和Q為已知函數(shù)，而μ=μ(x,y)為未知函數(shù).以后我們將會知道，雖然從理論上說偏微分方程(2.105)的解是存在的，但對它的求解，又要歸結(jié)到對原來方程(2.102)的求解.因此，從方程(2.105)求出積分因子的表達(dá)式μ=μ(x,y)再去求解方程(2.102)一般是不可取的.然而，對某些特殊情形，利用方程(2.105)去尋求方程(2.102)的積分因子卻是可行的.

例如，假設(shè)方程(2.102)有一個只與x有關(guān)的積分因子μ=μ(x)，則由充要條件式(2.105)推出或者(2.106)由于上式左端只與x有關(guān)，因此右端亦然.故微分方程(2.102)有一個只依賴于x的積分因子的必要條件是：表達(dá)式(2.107)只依賴于x，而與y無關(guān).

反之，設(shè)表達(dá)式(2.107)只依賴于x，記為G(x).考慮到式(2.106)，令由此得到(2.108)容易驗證它就是方程(2.102)的一個積分因子.現(xiàn)在把上面的討論表述為如下定理.定理2.4

微分方程(2.102)有一個只依賴于x的積分因子的充要條件是：表達(dá)式(2.107)只依賴于x，而與y無關(guān)，而且若把表達(dá)式(2.107)記為G(x)，則式(2.108)是方程(2.102)的一個積分因子.

類似地，可以得到下面平行的結(jié)果：定理2.5

微分方程(2.102)有一個只依賴于y的積分因子的充要條件是：表達(dá)式例2.27

求解微分方程(2.109)解因為所以方程(2.109)不是恰當(dāng)方程.容易看出，它既不是變量分離的方程和齊次方程，也不是一階線性方程.然而，把上面得到的等式代入式(2.107)，就得到它僅依賴于x.因此，由定理2.4可得積分因子:然后，以μ(x)乘式(2.109)，得到一個恰當(dāng)方程:由此可求得通積分為注意，還應(yīng)補上應(yīng)用積分因子時丟失的特解x=0.

現(xiàn)在我們從另一種觀點——分組求積分因子，來看看上面的例子.將式(2.109)的左端分成兩組：其中第二組顯然有積分因子：和如果同時照顧到第一組的全微分形式，則乃是兩組公共的積分因子，從而是方程(2.109)的積分因子.為了使這種分組求積分因子的方法一般化，我們需要下述定理（其證明留給讀者）.定理2.6

若μ=μ(x,y)是方程(2.102)的一個積分因子，使得則μ(x,y)g(Φ(x,y))也是方程(2.102)的一個積分因子，其中g(shù)(·)是任一可微的（非零）函數(shù).

以下就是對分組求積分因子的一般化說法.

假設(shè)方程(2.102)的左端可以分成兩組，即其中第一組和第二組各有積分因子μ1和μ2，使得例2.28

求解微分方程解將方程左端分組為前一組有積分因子x-3和通積分xy=C；后一組有積分因子y-2和通積分x=C.我們要尋找可微函數(shù)g1和g2，使這只要取從而得到原方程的積分因子:然后以它乘方程(2.110)，得到全微分方程:積分此式，不難得到方程的通解為其中C為任意常數(shù)；外加特解x=0和y=0,它們實際上是在用積分因子 乘方程時丟失的解.

最后，我們指出，若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是齊次方程，則函數(shù)(2.111)是一個積分因子（見習(xí)題2.5的第3題）.作為例子，我們用它重新求解例2.22.例2.29

求解齊次方程解由式(2.111)可見，該方程有積分因子：以它乘方程，得到一個全微分方程:積分上式，得出積分上式，得出由此得通積分為由此可見，該積分曲線族是一個以原點為焦點的螺旋線族.

我們看到，積分因子的方法通常比較簡捷和富有技巧，而掌握本章中初等積分法的各種原則是學(xué)習(xí)本課程所必需的基本訓(xùn)練.例2.30

如果xM-yN≠0，而M=yM1(xy),N=xN1(xy).求證:方程Mdx+Ndy=0有積分因子

證明記u=xy，則所以是Mdx+Ndy=0的積分因子.例2.31

設(shè)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，其中M(x,y)、N(x,y)是x、y的