2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．32．設(shè)，為復(fù)數(shù)，且，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．若，則 D．3．過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為（）A．1 B．2 C． D．4．若，則（

）A． B．C．45 D．5．已知球是正三棱柱的內(nèi)切球，，是球表面上一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知A，，三點(diǎn)不共線，點(diǎn)不在平面內(nèi)，，若A，，，四點(diǎn)共面，則的最大值為（）A． B． C．1 D．27．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．128．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，，點(diǎn)P滿足．則（

）A．點(diǎn)P的軌跡為雙曲線 B．直線上存在滿足題意的點(diǎn)PC．滿足的點(diǎn)P共有0個(gè) D．的周長(zhǎng)的取值范圍是10．下列四個(gè)命題中，正確的是（）A．要唯一確定圓，只需給出圓上三點(diǎn)B．要唯一確定拋物線，只需給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線C．要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓，只需給出橢圓上兩點(diǎn)D．要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)11．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)雙曲線右支上一點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)則（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則D．四邊形面積的最小值為4三、填空題（本大題共3小題）12．已知是橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則C的離心率是.13．已知直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，其中為正數(shù)，若，則的最小值為．14．已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到面的距離相等，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．某社團(tuán)為統(tǒng)計(jì)居民運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為，，，，，六個(gè)小組（所調(diào)查的居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)均在內(nèi)），得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出圖中m的值，并估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)；(2)按分組用分層隨機(jī)抽樣的方法從平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在，這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運(yùn)動(dòng)心得，若再?gòu)倪@6人中選出2人發(fā)言，求這2人來(lái)自不同分組的概率.16．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.(1)求的值；(2)若是銳角三角形，，求的取值范圍.17．如圖，在四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．

(1)證明：平面平面；(2)若二面角的正切值為，求四面體與四面體的體積之比．18．已知橢圓：的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，，上?下頂點(diǎn)分別為，，且四邊形的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線：與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為M，N，若是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，則當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求直線的方程.19．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量，.作：，當(dāng)不共線時(shí)，記以為鄰邊的平行四邊形的面積為；當(dāng)共線時(shí)，規(guī)定.(1)分別根據(jù)下列已知條件求；①，；②，；(2)若向量，求證：；(3)記，，，且滿足，，，求的最大值.

答案1．【正確答案】D【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，所以命題“，”為真命題，即在上恒成立，即在上恒成立，記，，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)可取的最小值是．故選：D.2．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，且，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，，則，，所以，故B正確；對(duì)于C，若，例如，，滿足，但，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，，所以，故D正確.故選C.3．【正確答案】B【詳解】圓,設(shè)圓心,圓的半徑為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線切點(diǎn)分別為，兩條切線的夾角為，則，所以，又因?yàn)椋裕?，設(shè)點(diǎn)Px,y，可得，即得，設(shè)，則點(diǎn)到原點(diǎn)距離，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小值為.故選：B.

4．【正確答案】B【詳解】因?yàn)榍遥瑢⒋氲茫?，，，所?由，，可得.因?yàn)椋?，所以，由，可?將，代入可得：.故選：B.5．【正確答案】B【詳解】設(shè)等邊三角形內(nèi)切圓的半徑為，則，則正三棱柱的內(nèi)切球半徑，則正三棱柱的高為.設(shè)等邊三角形外接圓半徑為，則，所以，設(shè)是等邊三角形的中心，是的中點(diǎn)，連接，則，，是球表面上一點(diǎn)，則，，（同向是為，反向時(shí)為），所以，所以的取值范圍是.故選：B6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)锳，，，四點(diǎn)共面，所以，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”.故選：B.7．【正確答案】C【詳解】令，則，由，得，整理得，，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)滿足等式，所以，解得，則的最大值為，此時(shí)，.故選：C.8．【正確答案】B【詳解】由題意得，，由橢圓定義得，故，∵，，∴，∴與相似，∴，即，整理得，故，解得，由得，，即橢圓的離心率為.故選：B.9．【正確答案】BCD【詳解】因?yàn)?，，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的右支，所以，故，所以的軌跡方程為，雙曲線的右支，故A錯(cuò)誤；聯(lián)立，解得（舍去），所以直線上存在滿足題意的點(diǎn)，故B正確；雙曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線的距離，所以滿足的點(diǎn)共有0個(gè)，故C正確；因?yàn)榧醋蠼裹c(diǎn)，而，因?yàn)?，所以，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的周長(zhǎng)的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A：根據(jù)三角形的外接圓的唯一性可知：A正確；對(duì)于B：根據(jù)拋物線的定義可知：給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線即可確定拋物線，故B正確；對(duì)于C：給出兩點(diǎn)不能確定橢圓，例如給定長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)橢圓有無(wú)數(shù)個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)橹行臑樽鴺?biāo)原點(diǎn)，若給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)，可以求出a,b,c，且可以確定焦點(diǎn)位置，即可得雙曲線方程，可以確定雙曲線，故D正確；故選：ABD.11．【正確答案】CD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，，所以的漸近線方程為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則，整理可得.又，所以，所以有，由于，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，如圖，，且滿足所以直線的方程為，聯(lián)立化簡(jiǎn)得，由于，即為雙曲線的切線.由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).則垂直平分，即點(diǎn)為的中點(diǎn).又是的中點(diǎn)，所以，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，四邊形面積的最小值為4，故D項(xiàng)正確.故選：CD.12．【正確答案】/【詳解】不妨設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，是的右焦點(diǎn)，的焦距為，連接，則，又，所以，在中，由余弦定理得，則，即，所以.故13．【正確答案】【詳解】依題意，兩直線垂直，則兩直線的方向向量垂直，其數(shù)量積為零﹒可得，即，所以，由得．當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).故答案為.14．【正確答案】4【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∵平面平面，∴點(diǎn)到面的距離為點(diǎn)到直線的距離∴由拋物線的定義可知：，易知，∴，,設(shè)是平面的其中一個(gè)法向量，則，令，得，平面的法向量為，又，則到平面的距離，所以的最小值為，∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)且，，∴，所以三棱錐的體積的最小值：．故4.15．【正確答案】(1)，2.4h(2).【詳解】（1）由，解得.因?yàn)椋灾形粩?shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，得，即估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)為2.4h.（2）由題知，平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在，內(nèi)的頻率分別為0.5，0.1，則應(yīng)從平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在，內(nèi)的居民中分別抽出5人，1人.記時(shí)間段內(nèi)的5人分別為a，b，c，d，e，記時(shí)間段內(nèi)的1人為M，則從這6人中選出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，2人來(lái)自不同分組的基本事件，，，，，共5個(gè)，所以這2人來(lái)自不同分組的概率為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?（2）因?yàn)?，，則，由正弦定理可得，所以，，因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，所以，，則，故.即的取值范圍是.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題設(shè)得，，從而.又是直角三角形，所以.取AC的中點(diǎn)O，連接DO、BO，則DO⊥AC且，又是正三角形，故.則中，，又，所以，故.而且都在面，故面，而面，所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）設(shè)，，結(jié)合（1）結(jié)論，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，易知平面的法向量為，設(shè)，由，可得，得，設(shè)面的法向量為，則，取，得，所以，因?yàn)槎娼堑恼兄禐椋瑒t，又，解得，所以，所以到底面的距離與到底面的距離之比為，所以四面體與四面體的體積之比.

18．【正確答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)及已知條件可得a，b，c的關(guān)系，從而可求出a，b，c的值，從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示出|OP|2+|OQ|2，由OP|2+|OQ|2是一個(gè)與m無(wú)關(guān)的常數(shù)，可求出k的值，表示出四邊形PQMN面積，求出當(dāng)四邊形PQMN面積最大時(shí)m的值，即可求解直線l的方程．【詳解】（1），，所以，因?yàn)閍2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1，所以橢圓方程為．（2）如圖，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），，聯(lián)立，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，所以，.，，因?yàn)閨OP|2+|OQ|2是一個(gè)與m無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以32k2﹣24＝0，，，，，點(diǎn)O到直線l的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即m2＝3，因?yàn)閙＞0，所以時(shí)，取得最大值為，因?yàn)镾四邊形MNPQ＝4S△POQ，所以S△