2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A． B． C． D．2．已知，，，則（）A． B． C． D．3．若，則（）A． B． C． D．4．“”是“直線和直線平行且不重合”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件5．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（

）A．若mn，n⊥α，αβ，則m⊥βB．若則m⊥αC．若m⊥α，mn，nβ，則α⊥βD．若，則α⊥β6．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（

）A． B．C． D．7．已知直線l的方向向量為，點，在l上，則點到l的距離為（

）A． B．4 C． D．8．正四面體的棱長為，點，是它內(nèi)切球球面上的兩點，為正四面體表面上的動點，當(dāng)線段最長時，的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列結(jié)論錯誤的是（）A．過點且在，軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為B．直線與直線之間的距離為C．已知點，，點在軸上，則的最小值為D．已知兩點，，過點的直線與線段沒有公共點，則直線的斜率的取值范圍是10．已知正方體的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（）

A．直線與直線所成的角為B．直線與平面所成角的余弦值為C．四面體的體積為D．點到平面的距離為11．設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則下列說法正確的是（

）A．平面上存在定點使得的長度為定值 B．的最大值為C．的最大值為 D．點到直線的距離的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是．13．有一光線從點射到直線以后，再反射到點，則入射光線所在直線的方程為.14．在菱形中，，將沿折起，使得點到平面的距離最大，此時四面體的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間中三點，，，設(shè)，．(1)已知向量與互相垂直，求的值；(2)求的面積．16．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足(1)求A；(2)若，求a的最小值.17．如圖，四邊形是矩形，四邊形是梯形，，平面與平面互相垂直，．

(1)求證：．(2)若二面角為，求多面體的體積．18．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為．(1)求證：平面；(2)若點為線段上的動點（不包括端點），求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍．19．已知點和非零實數(shù)，若兩條不同的直線，均過點，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對”，如直線，是一組“共軛線對”，其中是坐標(biāo)原點．規(guī)定相交直線所成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角．(1)已知直線，均過點，直線，是一組“共軛線對”，且的斜率為，求的一般式方程；(2)已知，是一組“共軛線對”，求，的夾角的最小值；(3)已知點，直線，是“共軛線對”，當(dāng)?shù)男甭首兓瘯r，求原點到直線，的距離之積的取值范圍．

答案1．【正確答案】D【詳解】由題意，，，所以，，，．故選：D2．【正確答案】B【詳解】因為為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以，，且又因為為減函數(shù)，所以，所以.故選：B.3．【正確答案】A【詳解】由題意得，．故選：A4．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時，兩直線分別為：，，∴兩直線斜率相等且，∴兩條直線平行且不重合；充分性成立，若兩直線平行且不重合，則，∴，必要性成立，綜上所述，是兩直線平行且不重合的充要條件，故選：C．5．【正確答案】D【詳解】解：對于A，若，則且，所以A正確；對于B，若，則且，所以B正確；對于C，若，則由面面垂直的判定定理可得，所以C正確；對于D，若，則可能相交或垂直，所以D錯誤.故選：D.6．【正確答案】A【分析】根據(jù)向量線性運算，以為基底表示出，從而確定的取值.【詳解】，，，，，，.故選：A.7．【正確答案】C【分析】根據(jù)點P到直線l的距離為，分別計算向量的模長與夾角的正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意，得，，，，又，到直線l的距離為故選：C本題考查了空間向量的應(yīng)用問題，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題目.8．【正確答案】C【分析】設(shè)四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點，連接，則在上，連接，根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時，最長，再化簡可求得其最大值.【詳解】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點，連接，則在上，連接，則.因為正四面體的棱長為3，所以，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，解得，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時最長，此時，，，因為為正四面體表面上的動點，所以當(dāng)為正四體的頂點時，最長，的最大值為，所以的最大值為.

故選：C9．【正確答案】ABD【詳解】對于A，當(dāng)直線過原點的方程為，故選項A錯誤；對于B，由可得，與平行，則兩條平行直線間的距離為，故選項B錯誤，對于C，點關(guān)于軸的對稱點為，則，所以，即的最小值為，故C正確，對于D，，，又直線與線段沒有公共點，所以，故D錯誤.故選：ABD10．【正確答案】AC【詳解】如圖以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，A1,0,0，，，，

對于A：，，因為，所以，即，直線與直線所成的角為，故選項A正確；對于B：在正方形中，，又因為平面，平面，所以平面，平面，所以，同理可證，，所以平面，所以平面的一個法向量，因為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的余弦值為，故選項B錯誤；對于C：圖形為正方體去掉四個全等的直棱錐，所以四面體的體積為：，故選項C正確；對于D：因為，平面的一個法向量n=x,y,z，，，故，令，則，，故，所以點到平面的距離，故選項D不正確.故選：AC11．【正確答案】ABD【詳解】由直線，可得過定點，動直線，可得恒過定點，由兩條直線斜率乘積為-1知兩條直線總互相垂直，是兩條直線的交點，所以，所以當(dāng)為中點時，此時,所以A正確；由于，又，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故B正確，C錯誤，設(shè)到直線的距離為，由于，故，故最大值為，故D正確，故選ABD.12．【正確答案】【分析】利用投影向量的定義結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算公式計算即可.【詳解】易知向量在向量上的投影向量為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】解：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得．則點在反射光線所在的直線上．反射光線所在的直線方程為：，化為．反射光線所在的直線方程為．故14．【正確答案】【詳解】解：如圖，設(shè)，因為四邊形為菱形，，所以和均是邊長為2的等邊三角形，則．因為翻折后點到平面的距離最大，所以平面平面．設(shè)的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，則平面，且．設(shè)，則，解得，所以外接球的半徑，所以四面體的外接球的表面積．故15．【正確答案】(1)5(2)【詳解】（1）因為，，，所以，，，因為向量與互相垂直，所以，解得．所以的值是5．（2）由（1）可得．故，所以．16．【正確答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)余弦定理結(jié)合特殊角三角函數(shù)值求角即可；（2）應(yīng)用余弦定理結(jié)合基本不等式求值即可.【詳解】（1），即，即；（2）由余弦定理有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故a的最小值為1.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用正弦定理先證，再證線面垂直即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，由二面角計算BC長，將多面體分割為四棱錐和三棱錐，分別計算其體積即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面,所以；（2）因為四邊形是矩形，所以．結(jié)合平面，可知兩兩垂直．故以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

易知平面的一個法向量為，假設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則，所以平面的一個法向量為，因為二面角為，所以，解得．易證，所以．因為，平面平面，平面平面，所以平面，所以是三棱錐的高．，因為平面，所以是四棱錐的高．，所以多面體的體積.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連結(jié)，，因為為等邊三角形，為中點，則，依題意平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以．由題設(shè)知四邊形為菱形，所以，因為，分別為，中點，所以，即，又，平面，所以平面；（2）由（1）知平面，又，故可以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.（如圖）則,于是，，，,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量n=a,b,c，則令，則，，則，由（1）可知可作為平面的一個法向量，則，令，則，則；設(shè)，則，故得