2024-2025學年廣西南寧市武鳴區(qū)高二上學期期中考試數學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年廣西南寧市武鳴區(qū)高二上學期期中考試數學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線過點和點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．復數在復平面內對應的點在第二象限，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的方程為，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．圓：與圓：的位置關系為（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內切5．已知向量，，若共面，則等于（）A． B．1 C．1或 D．1或06．設為銳角，若，則的值為（）A． B． C． D．7．已知直線與曲線有且只有一個公共點，則實數的范圍是（

）A． B．或C．或 D．8．在平面直角坐標系xOy(O為坐標原點)中，不過原點的兩直線，的交點為P，過點O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，點在拋物線上，若，則（

）A．的坐標為 B． C． D．10．下列說法正確的是（

）A．現(xiàn)有一組數據4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，則這組數據的第30百分位數為4B．某人打靶時連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件C．若樣本數據，，，的方差為2，則數據，，，的方差為18D．若事件A、B相互獨立，，則11．如圖，正方體棱長為2，分別是棱，棱的中點，點M是其側面上的動點（含邊界），下列結論正確的是（）A．沿正方體的表面從點A到點P的最短距離為B．過點的平面截該正方體所得的截面面積為C．當時，點M的軌跡長度為D．保持與垂直時，點M的運動軌跡長度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量的夾角為，且，則13．已知函數滿足對任意，且都有成立，且，則的解集是14．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，.過點的直線與軸交于點，與交于點，且，點在以為直徑的圓上，則的漸近線方程為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點與雙曲線E：的右焦點重合，雙曲線E的漸近線方程為(1)求拋物線C的標準方程和雙曲線E的標準方程.(2)斜率為1且縱截距為?2的直線l與拋物線C交于A、B兩點，O為坐標原點，求的面積16．黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”.黃山雄踞風景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風景區(qū)之一.為更好地提升旅游品質，黃山風景區(qū)的工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分（滿分100分），根據評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據頻率分布直方圖，求x的值；(2)估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數（得數保留兩位小數）；(3)景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行個別交流，求選取的2人評分分別在50,60和60,70內各1人的概率.17．如圖，已知四邊形為等腰梯形，且，，，．為中點，將沿進行翻折，使點與點重合．取中點，連接、．

(1)證明：平面；(2)當時，求與平面所成角的正弦值．18．已知a，b，c分別是三內角A，B，C所對的三邊，且．(1)求A的大?。?2)若，的面積為，求a，b；(3)求的取值范圍．19．已知O為坐標原點，橢圓左?右焦點分別為，短軸長為，過的直線與橢圓交于兩點，的周長為8．(1)求的方程；(2)若直線l與Ω交于A，B兩點，且，求|AB|的最小值；(3)已知點P是橢圓Ω上的動點，是否存在定圓O：x2＋y2＝r2（r＞0），使得當過點P能作圓O的兩條切線PM，PN時（其中M，N分別是兩切線與C的另一交點），總滿足|PM|＝|PN|?若存在，求出圓O的半徑r：若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】B【詳解】解：由兩點的斜率公式得，直線的斜率，故選：B.2．【正確答案】A【詳解】根據題意得，所以實數的取值范圍是.故選：A.3．【正確答案】B橢圓方程化成標準形式后求出代入離心率公式可得答案.【詳解】由得，所以，，.故選：B.4．【正確答案】A【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：的圓心為，半徑為.，，所以兩圓相交.故選：A5．【正確答案】B【詳解】因為向量，，，且共面，則存在實數，使得，即，所以，解得.故選：B6．【正確答案】B【詳解】因為為銳角，所以，又，所以，所以.故選：B.7．【正確答案】C【詳解】曲線，即，表示一個半圓（單位圓位于軸及軸右側的部分）．如圖，、、，當直線經過點時，，求得；當直線經過點、點時，，求得；當直線和半圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑，可得，求得，或（舍去），故要求的實數的范圍為或，故選：C．8．【正確答案】D【詳解】由、的方程可得它們都過定點，，然后可得四邊形OMPN為矩形，且，然后可求出答案.【詳解】將直線的方程變形得，由，得，則直線過定點，同理可知，直線過定點，所以，直線和直線的交點P的坐標為，易知，直線，如圖所示，易知，四邊形OMPN為矩形，且，設，，則，四邊形OMPN的面積為，當且僅當，即當時，等號成立，因此，四邊形OMPN面積的最大值為，故選：D9．【正確答案】BD【詳解】對于A，拋物線的焦點為，準線方程為，故A錯誤；對于BC，由拋物線定義可得，所以，，解得，故B正確C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.10．【正確答案】BC【詳解】對于A，數據從小到大排列為3，3，4，5，6，7，7，9，9，9，因為，所以這組數據的第30百分位數為，故A錯誤；對于B，事件“至少兩次中靶”包括兩次中靶和三次中靶，事件“至多有一次中靶”包括沒有中靶和中一次靶，所以事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件，故B正確；對于C，樣本數據，，，的方差為2，則數據，，，的方差為，故C正確；對于D，因為事件A、B相互獨立，，所以，故D錯誤.故選：BC.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A中，如圖所示，將正方形沿著展在平面，在直角中，可得，將沿著展開到與平面重合，在直角中，可得，所以A正確；對于B中，如圖所示，連接，因為為的中點，可得，因為，所以，所以過點的平面截該正方體所得的截面為等腰梯形，其中，且，可得高為，可得等腰梯形的面積為，所以B正確；對于C中，如圖所示：取的中點，連接，因為為的中點，所以，因為平面，可得平面，又因為平面，所以，在直角中，由，可得，所以點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓在正方形內的部分，如圖所示，，在直角中，由，可得，所以，可得，即當時，點M的軌跡長度為，所以C錯誤；對于D中，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，設，其中，則，因為與垂直，可得，即，令，可得；當，可得，即直線與正方形的邊的交點為，可得，所以D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】由，得到，又向量的夾角為，，所以，又，所以，故答案為.13．【正確答案】【詳解】因為對任意，且都有成立，所以函數在上單調遞增，又因為f?x=fx，所以函數為偶函數，故在0,+∞因為，所以，所以的解集為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】依題意，設，則，因為點在以為直徑的圓上，則，在Rt中，，則，故或(舍去)，所以，則，故，所以在中，，整理得，則，則，則，故的漸近線方程為.故答案為.15．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為雙曲線E的漸近線方程為.所以，解得，從而，即，所以右焦點為2,0，從而，解得，拋物線C的標準方程和雙曲線E的標準方程依次分別為，.（2）

由題意直線，它過拋物線的焦點2,0，聯(lián)立拋物線方程得，化簡并整理得，顯然，，所以，點到直線的距離為，所以，即的面積為.16．【正確答案】(1)(2)83.33(3)【分析】（1）根據直方圖中頻率和為1求參數即可；（2）由百分位數的定義，結合直方圖求分位數；（3）分布求各組人數，利用列舉法結合古典概型運算求解.【詳解】（1）由圖知：，可得.（2）由，所以分位數在區(qū)間80,90內，令其為，則，解得.所以滿意度評分的分位數為83.33.（3）因為評分在的頻率分別為，則在50,60中抽取人，設為；在60,70中抽取人，設為；從這6人中隨機抽取2人，則有：，，共有15個基本事件，設選取的2人評分分別在50,60和60,70內各1人為事件，則有，共有8個基本事件，所以.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，因為四邊形為等腰梯形，所以，,又為中點，，，所以四邊形為平行四邊形，則，，即，因為，所以為等邊三角形，即為等邊三角形，又為的中點，所以，則，又，所以，即，因為，且平面，所以平面.（2）由（1）知，為等邊三角形，，所以，則，在中，，則，又，所以，則，因為平面，，所以平面，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，所以，，設平面的一個法向量為，則，取，則，設與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為．

18．【正確答案】(1)(2)，(3)．【詳解】（1）由正弦定理得，因為，所以，即，因為，所以，故，所以，因為，所以，故，解得；（2）因為，所以，即，所以，又因為，即，所以；（3）因為，所以，設，因為，所以，由（1）知，由余弦定理，得，，，，當時，取最小值；時，取最大值．所以的取值范圍是．19．【正確答案】(1)(2)(3)存在，【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，由雙曲線定義可得，，故，又．所以，．所以的方程為．（2）①若直線斜率不存在，則設，則，因為，所以，所以，所以．所以．②若直線斜率存在，設方程為．設，．聯(lián)立，消去y整理得，，則．由韋達定理，得，于是