25學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教版）專(zhuān)題03軸對(duì)稱(chēng)（考點(diǎn)清單5個(gè)考點(diǎn)清單+8種題型解讀）（原卷版）

專(zhuān)題03軸對(duì)稱(chēng)（考點(diǎn)清單，5個(gè)考點(diǎn)清單+8種題型解讀）【清單01】軸對(duì)稱(chēng)1.軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸.軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).（2）軸對(duì)稱(chēng)定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸.要求歸納：成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上.（3）軸對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)的區(qū)別和聯(lián)系要點(diǎn)歸納:軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱(chēng)圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱(chēng)涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱(chēng)圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱(chēng)；如果把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形．2.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.要點(diǎn)歸納：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是證明兩線(xiàn)段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線(xiàn)的方法，那就是遇見(jiàn)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，畫(huà)出到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線(xiàn)段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.【清單02】作軸對(duì)稱(chēng)圖形1.作軸對(duì)稱(chēng)圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形；（2）對(duì)于一些由直線(xiàn)、線(xiàn)段或射線(xiàn)組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線(xiàn)段端點(diǎn)）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形.【清單03】等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點(diǎn)歸納：等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)與底邊上的高線(xiàn)互相重合（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.要點(diǎn)歸納：等腰三角形的判定是證明兩條線(xiàn)段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理．2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.要點(diǎn)歸納：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形．（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【清單04】含30°角的直角三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．【清單05】最短路徑問(wèn)題（重點(diǎn)）1.垂直線(xiàn)段最短問(wèn)題動(dòng)點(diǎn)所在的直線(xiàn)已知型方法技巧：一動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)連成的線(xiàn)段中，若動(dòng)點(diǎn)在定直線(xiàn)上，則垂線(xiàn)段最短。2.將軍飲馬問(wèn)題方法技巧：定點(diǎn)關(guān)于定直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短求最值．①兩定一動(dòng)②一定兩動(dòng)③兩定兩動(dòng)3.“造橋選址”問(wèn)題A方法技巧：將分散的線(xiàn)段平移集中，再求最值．AMMNN【考點(diǎn)題型一】軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形1．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）下面的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，與關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，連接，，，其中分別交，于點(diǎn)D，，下列結(jié)論：①；②；③直線(xiàn)l垂直平分；④直線(xiàn)與的交點(diǎn)不一定在直線(xiàn)l上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④3．（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，以所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸作，，則．4．（22-23八年級(jí)上·寧夏石嘴山·期末）如圖，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)、分別是點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且與、分別相交于點(diǎn)、，若的周長(zhǎng)為20，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型二】線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)5．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列條件中，不能判定直線(xiàn)是線(xiàn)段（M，N不在上）的垂直平分線(xiàn)的是（）A．， B．，C． D．，平分6．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，的邊的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，連接，若，，則．7．（23-24八年級(jí)上·陜西安康·期末）如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，垂直平分，垂足為E，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，求證：是的垂直平分線(xiàn)．

8．（23-24八年級(jí)上·湖南郴州·期末）如圖所示，在中，，為的中點(diǎn)，且，已知的周長(zhǎng)為，且，求、的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型三】等腰三角形的性質(zhì)與判定9．（23-24八年級(jí)上·四川眉山·期末）如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．與相交于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中，①；②；③；④．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．（21-22八年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，在中，，，，的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)等于．11．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，中，，，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若，求長(zhǎng)．12．（20-21八年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，邊的垂直平分線(xiàn)交，，于點(diǎn)，，，連接．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．【考點(diǎn)題型四】綜合應(yīng)用13．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點(diǎn)D、E分別為邊上的點(diǎn)，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，，、的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，連接，猜想線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，直接寫(xiě)出的最大值與最小值的差．14．（23-24八年級(jí)上·福建廈門(mén)·期末）如圖，在等邊三角形中，是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，分別交于點(diǎn)，，(1)依題意補(bǔ)全圖形．(2)改變的大小，在變化過(guò)程中，的大小是否發(fā)生變化？若有變化，請(qǐng)寫(xiě)出的變化范圍；若不變，請(qǐng)求出的大??；(3)試判斷線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)題型五】與邊或周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題15．（23-24八年級(jí)上·浙江金華·期末）已知等腰一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)是化簡(jiǎn)的結(jié)果，則該三角形的周長(zhǎng)是（

）A．15 B．21 C．15或21 D．15或1216．（22-23八年級(jí)上·湖南常德·期末）一個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．17．（23-24八年級(jí)上·湖南永州·期末）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為5，則它的第三邊的長(zhǎng)為．18．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期中）用一條長(zhǎng)為的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形．(1)若腰長(zhǎng)比底邊長(zhǎng)短，求它的三邊長(zhǎng)；(2)能?chē)捎幸贿叺拈L(zhǎng)是的等腰三角形嗎﹖若能，請(qǐng)求出它的另兩邊，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)題型六】與角有關(guān)的問(wèn)題19．（22-23八年級(jí)上·河北石家莊·期末）等腰三角形的兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或20．（23-24八年級(jí)上·云南昭通·期末）如果等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么該等腰三角形的頂角等于（

）A．或 B． C．或 D．或21．（22-23八年級(jí)上·廣東汕頭·期末）一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的和為，則它的頂角度數(shù)為．22．（21-22八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，點(diǎn)P在△ABC的三邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PAC成為等腰三角形時(shí)，其頂角的度數(shù)是多少度呢？請(qǐng)畫(huà)出圖形，在相應(yīng)圖形下方直接寫(xiě)出答案．23．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）是等腰腰上的高，且，則等腰底角的度數(shù)是多少？（畫(huà)出符合題意的圖形，并直接寫(xiě)出結(jié)果）【考點(diǎn)題型七】與高有關(guān)的問(wèn)題24．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或25．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）已知點(diǎn)、點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，且，則的度數(shù)為．26．（22-23八年級(jí)上·湖北荊門(mén)·期中）（1）在等腰中，，一腰上的中線(xiàn)將三角形的周長(zhǎng)分成15和9兩部分，求這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)．（2）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，求這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)．【考點(diǎn)題型八】綜合創(chuàng)新問(wèn)題27．（22-23八年級(jí)上·湖北荊門(mén)·期末）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，AP＝4，Q是射線(xiàn)PE上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：：(2)若△APQ為直角三角形，求PQ的值；(3)當(dāng)△APQ為鈍角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出PQ的取值范圍．28．（21-22八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）有一邊長(zhǎng)為的正方形和等腰直角，，．點(diǎn)B，C，Q，當(dāng)C，Q兩點(diǎn)重合時(shí)，t秒后正方形與等腰直角重合部分的面積為，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)Q在線(xiàn)段上時(shí)，；當(dāng)Q在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)秒時(shí)，求S的值．(3)當(dāng)重合部分為四邊形時(shí)，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示S，并注明t的取值范圍．29．（23-24八年級(jí)上·吉林延邊·期末）在中，，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A，且．與關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)D，與的三邊圍成的圖