高考高中物理必考：圓周運(yùn)動-知識點(diǎn)+例題詳解

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高考高中物理必考：圓周運(yùn)動?知識點(diǎn)+例題詳解

L圓周運(yùn)動的物理量

⑴線速度：通過的弧長與所用時間的比值

△s

V

方向?yàn)閳A周上該點(diǎn)的切線方向，線速度大小不變的圓周運(yùn)動即為勻速圓周運(yùn)動；

⑵角速度：連接質(zhì)點(diǎn)與圓心的半徑轉(zhuǎn)過的弧度與所用時間的比值

△9

(jj=

At

方向用右手定則判斷，四指表示運(yùn)動方向，大拇指指向角速度的方向；

對于圓周來講，弧長與圓心角存在幾何關(guān)系A(chǔ)s二R-A6,所以有

V3

=-R;

⑶周期T:完成一周運(yùn)動所用的時間;

⑷頻率Jf和轉(zhuǎn)速n：Is時間內(nèi)完成的周數(shù)為頻率，頻率和轉(zhuǎn)速的含義相同，

顯然有

1

T

［例1］如圖所示，一個圓臺上底半徑為丁1,下底半徑為丁2,其母線AB長為

L,側(cè)放在水平地面上,推動它之后，它自身以角速度3旋轉(zhuǎn)，整體繞。點(diǎn)做勻

速圓周運(yùn)動，若接觸部分不打滑，求旋轉(zhuǎn)半徑0A及旋轉(zhuǎn)一周所需的時間。

0AB

解析：由幾何關(guān)系，可得

「1OA

/2OA+L

ri

L

解得0A二『2一『1

求出A點(diǎn)的線速度

UQ=31

有

設(shè)旋轉(zhuǎn)一周所需的時間為T,則

27r?OA2TVL

T=%=3(r2-n)

2.同心輪與皮帶輪

V

同心輪各輪的角速度3相同，線速度與輪半徑成正比；

V

用皮帶連接的兩個輪的線速度相同，角速度3與輪半徑成反比。

3.向心加速度

由于做圓周運(yùn)動的物體其速度方向時刻沿圓周的切線，即速度方向時刻都在變

化，所以一定存在加速度，而力是產(chǎn)生加速度的原因,因此做圓周運(yùn)動的物體一

定受到合外力的作用。

如圖，運(yùn)用相似三角形的知識，容易得到

點(diǎn)和曲線上緊鄰A點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)做一圓，在極限情況下，這個圓就叫做A點(diǎn)的

曲率圓，其半徑p叫作A點(diǎn)的曲率半徑。

通過向心加速度的表達(dá)式，告訴了我們求曲率半徑的方法。

［例2］將一物體沿與水平面成a角的方向以速度U拋出，則在其軌跡最高點(diǎn)處

的曲率半徑是多少？

解析：在最高點(diǎn)處，物體的速度為?cosa

根據(jù)受力分析，物體僅受重力，向心加速度為g,

(u°cosa)2

所以有g(shù)=P.

(v()cosa)2

p=-----------------

即此時的曲率半徑9

5.向心力

可以理解為產(chǎn)生向心加速度的力，它是一個效果力，不是性質(zhì)力，在做受力分析

時不能多加向心力，而只是各個性質(zhì)力的一個合力。

Fipj=

由牛頓第二定律可知，?ma，a為向心加速度。

［例3］如圖，在勻速轉(zhuǎn)動的圓盤上，沿半徑方向上放置以細(xì)線相連的質(zhì)量均為m

的、兩個小物塊，離軸心丁離軸心丁,物塊與盤

ABA1=20cm,B2=30cm

$2

面間的最大靜摩擦力為其重力的0.4倍，g取10

(1)當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動的角速度以U0多大時，細(xì)線上開始出現(xiàn)張力?

(2)欲使A、B與盤面不發(fā)生相對滑動,則圓盤轉(zhuǎn)動的最大角速度多大?

(3)當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速達(dá)到A、B即將滑動時，燒斷細(xì)線,A、B將怎樣運(yùn)動?

解析：⑴假設(shè)沒有細(xì)線，A、B均由靜摩擦力提供向心力，當(dāng)達(dá)到最大靜摩蒙力

時，物體即將滑動，有

F向J靜/

顯然r越大，角速度3越小，所以B先達(dá)到臨界狀態(tài)，即

f新na-e771芯，2

⑼=|A/30

解得orad/s

⑵當(dāng)3>U時，B做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力

FB_f靜ma^F繩"13’2『2

一十一/

A做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力

FA/靜打jn/ri

一/

當(dāng)A、B均達(dá)到最大靜摩擦力時，處于臨界狀態(tài),此時

解彳產(chǎn)…

⑶燒斷細(xì)線后，對A有

7720；71/靜THQ/

——11心，A做勻速圓周運(yùn)動,

對B有

尸B團(tuán)3724af^max癡卸、一力

==4.8m>v,B做離心汪動。

6.離心力

當(dāng)我們選擇某一做勻速圓周運(yùn)動的物體作為參考系時，通過引入離心力（非慣性

參考系中引入的假想力）來簡化分析。

比如，考察一個以向心加速度a勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上靜止的一個小物塊,時其

做受力分析,水平方向上其受到盤面的靜摩擦力J,處于非平衡狀態(tài)。當(dāng)

我們以圓盤為參考系時，物塊實(shí)際上是相對圓盤靜止的，處于平衡狀態(tài)，這時需

FwTYICLFM年

要引入離心力，14二，與靜摩擦力J平衡，從而保持

平衡狀態(tài)。

［例4］如圖，在勻速轉(zhuǎn)動的圓盤上，沿半徑方向上放置以細(xì)線相連的質(zhì)量均為m

「1「2

的A、B兩個小物塊，A離軸心二R,B離軸心\=2R,物塊與盤面間的

fm

最大靜摩擦力為,兩物塊隨著圓盤轉(zhuǎn)動，始終與圓盤保持相對靜止，則圓

盤轉(zhuǎn)動的角速度從零逐漸緩慢增大的過程中，下列說法正確的是（）

A.A受到的摩擦力一直指向圓心

B.A受到的摩擦力一直背向圓心

C.A、B兩物塊與圓盤保持相對靜止時，繩上的最大拉力為3Jm

D.A、B兩物塊與圓盤保持相對靜止時，圓盤轉(zhuǎn)動的最大角速度為

mR

解析：以圓盤為參照系，物塊A、B在水平方向上受到的離心力分別為

叫=2機(jī)/五方向從。指向B

圓盤剛開始轉(zhuǎn)動時，A、B的摩擦力都需要和離心力平衡，所以指向圓心，B錯

誤；

當(dāng)物塊即將滑動時，對A、B整體，有

BA

F=F+2fm

即靜摩擦力從B指向A,所以A受到的摩擦力背離圓心，A錯誤；

隔離A,設(shè)繩上拉力為T,則有

T_FAJm3fmc正確

7.常見模型及二級結(jié)論

⑴交通工具傾斜轉(zhuǎn)彎模型：火車、飛機(jī)轉(zhuǎn)彎等，如圖

F向R

」=mgtan0=m

Vy/gRtanO

所以9

3ygtanO/R

對于火車轉(zhuǎn)彎，滿足上式的時候，車輪對軌道側(cè)壁無壓力；

對于飛機(jī)，傾斜角越大，向心力越大，同等速度下，轉(zhuǎn)彎半徑越小。

［例5］如圖所示，一個為壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不

動，兩個質(zhì)量相等的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速

圓周運(yùn)動，則（）

A.A球的角速度等于B球的角速度

B.A球的線速度大于B球的線速度

C.A球的運(yùn)動周期小于B球的運(yùn)動周期

D.A球?qū)ν脖诘膲毫Υ笥贐球?qū)ν脖诘膲毫?/p>

解析：傾斜角一樣,所以向心力大小一樣，顯然半徑大的線速度大，半徑小的角

速度大，所以選Bo

⑵圓錐擺模型：如圖

3='gtana/R而R=Lsina

所以④=Vg/hT=27Vy/h/g

說明圓錐擺的角速度和周期僅與錐高有關(guān)。

⑶豎直圓周運(yùn)動模型：

①繩球模型：包括水流星、圓形軌道內(nèi)側(cè)

最高點(diǎn)的最小速度x滿足

憂—

mg=mR合巧=，9五

（重力提供向心力）

最低點(diǎn)的最小速度02滿足

今。2.=y/5gR

最低點(diǎn)與最高點(diǎn)繩子的拉力差A(yù)F=6mg（可自行推導(dǎo)）

[例6]“水流星"是一種常見的雜技項(xiàng)目，該運(yùn)動可以簡化為輕繩一端拴著小球

在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動模型，已知繩長為L,重力加速度為g,則下列說法正

確的是（）

A.小球運(yùn)動到最低點(diǎn)汨，處于失重狀態(tài)

B.小球初速度v越大，則在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)繩子的拉力差越大

C.當(dāng)最低點(diǎn)速度時，小球一定能通過最高點(diǎn)

D.當(dāng)最低點(diǎn)速度v<時，細(xì)繩始軌于繃緊狀態(tài)

解析：只要小球處于下半圓，都是超重狀態(tài)，因?yàn)榇嬖谙蛏戏降募铀俣龋珹錯誤;

如果小球可以做完整的圓周運(yùn)動，按照二級結(jié)論，拉力差為定值6mg,B錯誤;

按照二級結(jié)論，最低點(diǎn)的臨界速度是，C正確；

此時小球處于往復(fù)擺動狀態(tài)，細(xì)繩繃緊，D正確。

②桿球模型：軌道外側(cè)、拱橋

最高點(diǎn)的最小速度可以等于0

最低點(diǎn)的最小速度?滿足

12

…1m今配=2項(xiàng)

③光滑半圓槽模型：

由靜止?jié)L下光滑半圓槽的小球，在底部的壓力等于3mg,與半徑無關(guān)（可自行

推導(dǎo)）。

［例力如圖，放置在水平地面上的支架質(zhì)量為M,支架頂端用細(xì)線拴著的擺球質(zhì)

量為m,將擺球拉至水平位置后釋放，擺球運(yùn)動過程中支架始終不動，以下說

法正確的（）

1M

A.在釋放瞬間,支架對地面壓力為（m+M）g

B.在釋放瞬間，支架對地面壓力為Mg

C.擺球到達(dá)最低點(diǎn)時，支架對地面壓力為（m+M）g

D.擺球到達(dá)最低點(diǎn)時,支架對地面壓力為（3m+M）g

解析：釋放瞬間，小球完全失重，對地面的壓力為Mg,A錯誤，B正確；

參照光滑半圓軌道模型的二級結(jié)論,半圓軌道底端壓力3mg,C錯誤,D正確。

［例1］如圖所示,纏在線軸上的繩子的一頭繞過墻上固定且光滑的釘子A,以豎

V

直向下的恒定速度拉繩。當(dāng)繩子與豎直方向成角a時，求線軸中心運(yùn)動速度

U。已知線軸的外半徑為R、內(nèi)半徑為r,線軸沿水平面做無滑動的滾動。

A

C

解析：線軸在水平面上以C點(diǎn)為接觸點(diǎn)滾動,當(dāng)作用點(diǎn)B位于AC連線的上方

時，線軸將向右做順時針轉(zhuǎn)動，設(shè)角速度為3,則線軸的質(zhì)心運(yùn)動速度滿足：

vo=cuR

繩上的B點(diǎn)圍繞線軸中心轉(zhuǎn)動,其相對軸心轉(zhuǎn)動的線速度

VB=3T

同時軸心也在以平動，所以B點(diǎn)對地的速度是兩個速度的復(fù)合速度，且必

ov^sinoc―――V

定等于，即有R

Rv

”0=

解得Rsina—r

如

注意當(dāng)B點(diǎn)處于AC連線的下方時,的表達(dá)式依然成立，但當(dāng)Rsina=r時，

表達(dá)式無意義。

［例2］將一小球以=10m/s的初速度從樓頂平拋出去，如果小球做曲線運(yùn)動

的法向加速度為〃4

，問小球這時下降的高度及所在處軌跡的曲率半

徑各為多少？

m/s2

解析：由小球的受力可知，小球此時的加速度為g二,法向加速度

為5皿/$2,易如法向加速度與豎直方向的夾角a=60°,如圖

VO

c（同時也是小球此時的速偏角，可得此時豎直方向的速度

"17。210通m/s

設(shè)此時下降的高度為h,則有

裙=2gh,得h=15m,

此時小球的速度

v2%

=20m/s,

V2

曲率半徑R=a=80mo

［例3］以速度"°與水平方向成a角拋出一石塊，石塊沿某一軌道飛行,若蚊子

以大小恒定的速度沿同一軌道飛行，問蚊子飛到最大高度一半處具有多大

的加速度？

解析：蚊子飛行的速率恒定，加速度只能是向心加速度，已知速度求加速度，必

須知道曲率半徑，所以實(shí)質(zhì)上是求曲率半徑。而蚊子的軌跡與石塊的軌跡相同，

自然曲率半徑也是處處相同。

V

求解石塊軌跡在最大高度一半處的曲率半徑，需要求得此時的瞬時速度和此

時的向心加速度a0

v（）cosa

拋出點(diǎn)的水平速度：

v^sina

拋出點(diǎn)的豎直速度：

v（）cosa

目標(biāo)點(diǎn)的水平速度:

v^sxna

目標(biāo)點(diǎn)的豎直速度：2（中位速公式）

所以

1

v2(v()cosa)2+(v()sina)2

2

v

設(shè)此時速度與水平方向的夾角為e,則

V2

tan0=2tana

對加速度g進(jìn)行分解，找出此時的法向加速度a

a=g-cos0

求得此時的曲率半徑

2

v2喘(1+cosa)i

R="a=2V^gcosa

所以可得蚊子此時的加速度

v22^/2gcosa

2

a_R(1+cosa)，

［例4］如圖，一個半徑為R的光滑半球固定在桌面上，圓球頂端放置一個可視為

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)小球受到一微小擾動而沿圓球滑下，則小球在什么

位置離開圓球？

解析：小球脫離半球的臨界條件是支持力為0,此時，重力的分量充當(dāng)向心力，

v0

設(shè)此時小球的速度為,分離點(diǎn)所在的半徑與豎直方向夾角為，如圖則有

V2

gcosO=

R

2

mgR(1—cos3)=^mv

cosO

聯(lián)立解得

山甲二8碼m乙

［例5］甲、乙兩名溜冰運(yùn)動員，=40kg,面對面拉

著彈簧秤做圓周運(yùn)動，兩人相距0.9m,彈簧秤的示數(shù)為96N,不計摩擦力,下

列判斷中正確的是()

A.兩人對彈簧的拉力都是49N

B.兩人的角速度相同,為2rad/s

C.兩人的運(yùn)動半徑相同,都是0.45m

D.兩人的運(yùn)動半徑不同，甲為0.3m,乙為0.6m

解析：彈簧的示數(shù)等于拉力，都為96N,A錯；

兩人的角速度相同，向心力相同，可推出運(yùn)動半徑與質(zhì)量成反比，'I=03m,

2?！獙O一正—。正確。

［例6］豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平面上，半徑r=0.4m,最低點(diǎn)處有一

小球，現(xiàn)給小球一水平的初速度U,要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動，U應(yīng)當(dāng)

2

滿足什么條件？（g取10m//s）

解析：情形1.小球可做完整圓周運(yùn)動，由二級結(jié)論有

Vo>y/5gr=s

情況2.小球只在下半圓運(yùn)動,

<mgr=u（）<2\/2m/s

［例7］如圖，在豎直平面內(nèi),滑道ABC關(guān)于B點(diǎn)對稱，且A、B、C三點(diǎn)在同一

t］

水平線上，若小滑塊第一次由A滑到C,所用時間為1,第二次由C滑到A,

所用時間為4，小滑塊兩次的初速度大小相同，小滑塊與滑道的動摩擦因數(shù)恒

定，則（）

-

AB

A力1<12

B力1=12

tl>12

?

D.無法匕瞰

解析：滑塊經(jīng)過A-B段和B-A段都存在向下的加速度，所以處于失重狀態(tài)，且

速度越快，向心加速度越大，失重越厲害，摩擦力越小，能量損耗小，顯然滑

塊在A-B段的速度大于在B-A段的速度,同理,B-C段和C-B段都超重，且速

度越大，超重越厲害,摩擦力越大，能量損耗大，而滑塊在B-C段的速度小于

在C-B段的速度，綜合以上,A正確。

［例8］如圖，一輕桿一端固定在0點(diǎn)，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)做半徑

為R的勻速圓周運(yùn)動，小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，桿與小球間彈力大小為

v

小球的速度大小為與圖像如圖，則下列說法正確的是（）

aR

A.小球的質(zhì)量為b

R

B.重力加速度大小為b

v2-

C.二c時，在最局點(diǎn)桿對小球彈力方向向上

D.若=2b,則在最高點(diǎn)桿對小球彈力大小為2a

解析：當(dāng)J。時，應(yīng)該有由圖可得此時打

=a,所以有

a

m=g,

V2b

資二時，由圖可JR肛即有g(shù)二五，所叱及，所以

aR

B錯誤，將g代入可得m=b，所以A正確;

V2

當(dāng)二C時，由于6b，此時向心加速度大于g，所以桿對小球的作用力向下,

c錯誤;

°:b時，向心力加倍為2mg,桿的作用力是，所以D

當(dāng)

錯誤。

［例9］如圖所示,在電機(jī)距軸0為r處固定一質(zhì)量為m的鐵塊，電機(jī)啟動后,

鐵塊以角諫度3繞軸0勻諫轉(zhuǎn)動，重力加諫度為g,求：

⑴當(dāng)3為何值時，鐵塊在最高點(diǎn)與電機(jī)恰無作用力；

⑵電機(jī)對地面的最大壓力和最小壓力之差為多少;

⑶若電機(jī)的質(zhì)量為M，則3多大時，電機(jī)可以跳起來，此情況下對地面的最大壓

力是多少？

解析：⑴重力完全充當(dāng)向心力時，有

mg=m

⑵鐵塊在最低點(diǎn)時，設(shè)電機(jī)對鐵塊的作用力.】，則有

Fij

=mr+mg,方向豎直向上，

由牛原三定律可知，此時鐵塊對電機(jī)的作用力大小也J1,方向豎直向下,

所以電機(jī)對地面的壓力為最大值

Nmax

=Mg+mg+m

鐵塊在最高點(diǎn)時，設(shè)電機(jī)對鐵塊的作用力為三，假』2向上，則有

三『一m’r,鐵塊對電機(jī)的作用力貝臉向下,

此時電機(jī)對地面的壓力為最小值

in

=Mg+mg-^

壓力差A(yù)N=Nmax-Ni

mn=2m

假如在最高點(diǎn)時已向下，易知結(jié)果依然不變

m=

⑶顯然，在最高點(diǎn)才有可能跳起來，此時臨界值為0l