一元線性回歸模型參數的最小二乘估計（4）課件高二下學期數學人教A版選擇性

8.2.2一元線性回歸模型參數的最小二乘估計（4）1.經驗回歸方程：我們將

稱為Y關于x的經驗回歸方程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線.

這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法.2.最小二乘估計：經驗回歸方程中的參數計算公式為：

復習引入3.殘差：對于響應變量Y，通過觀測得到的數據稱為

值，通過經驗回歸方程得到的

稱為

，

減去

稱為殘差，即

.4.殘差分析：

是隨機誤差的估計結果，通過對

的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為

.觀測預測值觀測值預測值殘差殘差殘差分析5.殘差圖法：在殘差圖中，如果殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好.6.求非線性經驗回歸方程的步驟：

（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應變量；（2）由經驗確定非線性經驗回歸方程的模型；（3）通過變換，將非線性經驗回歸模型轉化為線性經驗回歸模型；（4）按照公式計算經驗回歸方程中的參數，得到經驗回歸方程；（5）消去新元，得到非線性經驗回歸方程.編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95問題：人們常將男子短跑100m的高水平運動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀錄產生的年份和世界紀錄的數據.試依據這些成對數據，建立男子短跑100m世界紀錄關于紀錄產生年份的經驗回歸方程.以成對數據中的世界紀錄產生年份為橫坐標,世界紀錄為縱坐標作散點圖,得到下圖令x=ln(t-1895).通過x=ln(t-1895)，將年份變量數據進行變換，得到新的成對數據(精確到0.01)，如下表所示.編號12345678x0.002.833.263.563.714.114.174.29Y/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95根據最小二乘法，可得新的經驗回歸方程為①將x=ln(t-1895)代入(*)式，得到由創(chuàng)紀錄年份預報世界紀錄的經驗回歸方程(1)直接觀察法在同一坐標系中畫出成對數據散點圖、非線性經驗回歸方程②的圖象(藍色)以及經驗回歸方程①的圖象(紅色)，如圖(5)所示.我們發(fā)現，散點圖中各散點都非常靠近②的圖象，表明非線性經驗回歸方程②對于原始數據的擬合效果遠遠好于經驗回歸方程①.(5)下面通過殘差來比較這兩個經驗回歸方程對數據刻畫的好壞.思考：對于男子短跑100m世界紀錄關于紀錄產生年份關系的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？在上表中，用ti表示編號為i的年份數據，用yi表示編號為i的紀錄數據，則經驗回歸方程①和②的殘差計算公式分別為兩個經驗回歸方程的殘差(精確到0.001)如下表所示.觀察各項殘差的絕對值，發(fā)現經驗回歸方程②遠遠小于①，即經驗回歸方程②的擬合效果要遠遠好于①.編號12345678t189619121921193019361956196019680.591-0.284-0.301-0.218-0.1960.1110.0920.205-0.0010.007-0.0120.015-0.0180.052-0.021-0.022

②①編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95在一般情況下，直接比較兩個模型的殘差比較困難，因為在某些散點上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些散點的情況則相反.可以通過比較殘差的平方和來比較兩個模型的效果.由可知Q2小于Q1.因此在殘差平方和最小的標準下，非線性回歸模型的擬合效果要優(yōu)于一元線性回歸模型的擬合效果.（2）

殘差分析通過前面的討論我們知道，當殘差的平方和越小，經驗回歸模型的擬合效果就越好，故我們可以用決定系數R2來驗證模型的擬合效果.決定系數R2的計算公式為在R2表達式中，由于與經驗回歸方程無關，殘差平方和

與經驗回歸方程有關，因此R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；

R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.（3)利用決定系數R2刻畫回歸效果.顯然0≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.還可以證明，在一元線性回歸模型中R2=r2，即決定系數R2等于響應變量與解釋變量的樣本相關系數r的平方.決定系數R2的計算公式為編號12345678t189619121921193019361956196019680.591-0.284-0.301-0.218-0.1960.1110.0920.205-0.0010.007-0.0120.015-0.0180.052-0.021-0.022由上述殘差表可算出經驗回歸方程①和②的決定系數R2分別為由于因此經驗回歸方程②的刻畫效果比經驗回歸方程①的好很多.課本120頁在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決哪些問題?解：分析殘差可以幫助我們解決以下幾個問題:(1)尋找殘差明顯比其他殘差大很多的異常點，如果有，檢查相應的樣本數據是否有錯.(2)分析殘差圖可以診斷選擇的模型是否合適，如果不合適，可以參考殘差圖提出修改模型的思路.例：為研究質量x(單位：g)對彈簧長度y(單位：cm)的影響，對不同質量的6個物體進行測量，數據如表所示：

(1)作出散點圖，并求經驗回歸方程；(2)求出R2；(3)進行殘差分析．x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8例題(2)求出R2；x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8解：列表如下：0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.24－1.37－0.540.411.412.31解：由殘差表中的數值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數據的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正數據，重新建立回歸模型；由表中數據可以看出殘差點比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與質量成線性關系．0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.24－1.37－0.540.411.412.31(3)進行殘差分析．(1)確定研究對象,明確哪個變量是解釋變量,哪個變量是響應變量．(2)畫出解釋變量與響應變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)．(3)由經驗確定回歸方程的類型．(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計經驗回歸方程中的參數.(5)得出結果后需進行線性回歸分析.①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.②決定系數R2取值越大，說明模型的擬合效果越好.建立線性回歸模型的基本步驟：注意:若題中給出了檢驗回歸方程是否理想的條件，則根據題意進行分析檢驗即可.歸納總結1.已知某種商品的單價x(單位:元)與需求量y(單位:件)之間的關系有如下一組數據:x1416182022y1210753求y關于x的經驗回歸方程，并說明回歸模型擬合效果的好壞.解：練習列殘差表如下：y1210753129.77.45.12.800.3－0.4－0.10.24.62.6－0.4－2.4－4.4故回歸模型的擬合效果很好.(1)作GDP和年份的散點圖，根據該圖猜想它們之間的關系可以用什么模型描述；課本120頁2.1997-2006年我國的國內生產總值(GDP)的數據如下:年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：畫GDP與年份的散點圖，如圖所示，可以觀察到隨著年份的增加GDP也隨之增加，GDP值與年份呈現近似線性關系，可以用一元線性回歸模型刻畫.(2)建立年份為解釋變量，GDP為響應變量的一元線性回歸模型，并計算殘差;課本120頁2.1997-2006年我國的國內生產總值(GDP)的數據如下:年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：用y表示GDP的值，t表示年份，用一元線性回歸模型擬合數據，用統(tǒng)計軟件計算，得到經驗回歸方程為殘差的計算結果見下表.年份1997199819992000200120022003200420052006殘差171267752-1734-6873-11145-15145-14296-4732589223157(3)根據你得到的一元線性回歸模型，預測2017年的GDP，看看你的預測值與實際的GDP的誤差是多少;課本120頁2.1997-2006年我國的國內生產總值(GDP)的數據如下:年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：2017年的GDP預報值為359684億元，2017年的實際的GDP為820754億元，預測值比實際值少461070億元.(4)你認為這個模型能較好地刻畫GDP和年份的關系嗎?請說明理由.課本120頁2.1997-2006年我國的國內生產總值(GDP)的數據如下:年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：上面建立的回歸方程的R2=0.9213，說明在1997-2006年內，該模型年份能夠解釋92.13%的GDP值變化，因此所建立的模型較好地刻畫了GDP和年份的關系.但因為殘差呈現一定的規(guī)律性，中間是負數，兩邊是正數，所以可以考慮用非線性回歸模型擬合數據.(5)隨著時間的發(fā)展，又收集到2007-2016年的GDP數據如下:建立年份(1997-2016)為解釋變量，GDP為響應變量的經驗回歸方程，并預測2017年的GDP，與實際的GDP誤差是多少?你能發(fā)現什么?年份GDP/億元年份GDP/億元2007270232.32012540367.42008319515.52013595244.42009349081.42014643974.02010413030.32015689052.12011489300.62016744127.2課本120頁解：仍用y表示GDP的值，t表示年份，用一元線性回歸模型擬合1997-2016年的數據，用統(tǒng)計軟件計算，得到經驗回歸方程為利用上述模型，預測2017年的GDP值為704025億元，而2017年GDP的實際值820754億元，預測值比實際值少116729億元通過兩個模型預測2017年的GDP值，發(fā)現第2個模型預測的更準確，說明建立的模型自變量的取值范圍決定了模型的適用范圍，通常不能超出太多，否則會出現較大的誤差.在使用經驗回歸方程進行預測時，需要注意下列問題:(1)經驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體.例如，根據我國父親身高與兒子身高的數據建立的經驗回歸方程，不能用來描述美國父親身高與兒子身高之間的關系.同樣，根據生長在南方多雨地區(qū)的樹高與胸徑的數據建立的經驗回歸方程，不能用來描述北方干旱地區(qū)的樹高與胸徑之間的關系.(2)經驗回歸方程一般都有時效性.例如，根據20世紀80年代的父親身高與兒子身高的數據建立的經驗回歸方程，不能用來描述現在的父親身高與兒子身高之間的關系.(3)解釋變量的取值不能離樣本數據的范圍太遠.一般解釋變量的取值在樣本數據范圍內，經驗回歸方程的預報效果會比較好，超出這個范圍越遠，預報的效果越差.(4)不能期望經驗回歸方程得到的預報值就是響應變量的精確值.事實上，它是響應變量的可能取值的平均值.哪位同學建立的回歸模型擬合效果最好()A.甲B.乙C.丙D.丁1.甲、乙、丙、丁四位同學在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的決定系數R2分別如下表：

甲乙丙丁R20.980.780.500.85解析:決定系數R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好.隨堂檢測哪位同學的試驗結果體現擬合A，B兩變量關系的模型擬合精度高(

)A.甲B.乙C.丙D.丁

甲乙丙丁散點圖殘差平方和1151061241033.某工廠為研究某種產品產量x(噸)與所需某種原料y(噸)的相關性，在生產過程中收集4組對應數據(x，y)如下表所示：5.9x3467y2.534m解析：根據樣本(4,3)處的殘差為－0.15，4.某電腦公司有6名產品推銷員，其工作年限與