專題五二次函數(shù)綜合題課件2025年九年級中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)考點探究(廣西)

數(shù)

學(xué)專題五二次函數(shù)綜合題類型一函數(shù)性質(zhì)綜合題(2024.25)例1(2024廣西)課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2＋2ax＋a－3的最值問題展開探究．【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．(1)老師給出a＝－4，求二次函數(shù)y＝x2＋2ax＋a－3的最小值．①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；②求當(dāng)x取何值時，函數(shù)y有最小值，并寫出此時y的值；解：①把a(bǔ)＝－4代入y＝x2＋2ax＋a－3，得y＝x2＋2×(－4)x＋(－4)－3＝x2－8x－7；②∵y＝x2－8x－7＝(x－4)2－23，∴當(dāng)x＝4時，y有最小值，最小值為－23；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在x取何值時，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取x＝－a,就能得到y(tǒng)的最小值．”乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”(2)請結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)＝x2＋2ax＋a－3，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？解：y＝x2＋2ax＋a－3＝(x＋a)2－a2＋a－3，∵拋物線的開口向上，∴當(dāng)x＝－a時，y有最小值．∴甲的說法合理；(3)你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．【思路引導(dǎo)】①代入a的值即可求出解析式；②利用頂點坐標(biāo)公式即可求解；【思路引導(dǎo)】化簡解析式，根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)判斷；【思路引導(dǎo)】當(dāng)x＝－a時，化簡解析式，根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)判斷．2．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的對稱軸為直線x＝t.(1)當(dāng)t＝2時，①寫出b與a滿足的等量關(guān)系；②當(dāng)函數(shù)圖象經(jīng)過點(1，3)，(x1，y1)，(x1＋2，y2)時，求y1＋y2的最小值；(2)已知點A(－1，m)，B(3，n)，C(x0，p)在該拋物線上，若對于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，直接寫出t的取值范圍．解：(1)①b＝－4a；②∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(1，3)，∴a＋b＋c＝3，∵b＝－4a，∴c＝3a＋3，∴拋物線的解析式為y＝ax2－4ax＋3a＋3.∵點(x1，y1)，(x1＋2，y2)在拋物線y＝ax2－4ax＋3a＋3(a＞0)上，∴y1＝ax12－4ax1＋3a＋3，y2＝a(x1＋2)2－4a(x1＋2)＋3a＋3，∴y1＋y2＝2ax12－4ax1＋2a＋6＝2a(x1－1)2＋6，∵a＞0，∴y1＋y2的最小值為6；3.(2024深圳)為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)BD的讀數(shù)為x，CD讀數(shù)為y，拋物線的頂點為C.(1)列表：x023456y012.2546.259描點：請將表格中的(x，y)描在圖②中；連線：請用平滑的曲線在圖②將上述點連接，并求出y與x的關(guān)系式；(2)如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k的頂點為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為AB，豎直跨度為CD，且AB＝m，CD＝n，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程．方案一：將二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式為y＝ax2.①此時點B′的坐標(biāo)為___________；②將點B′坐標(biāo)代入y＝ax2中，解得a＝____(用含m，n的式子表示)；方案二：設(shè)C點坐標(biāo)為(h，k).①此時點B的坐標(biāo)為_____________________；②將點B坐標(biāo)代入y＝a(x－h(huán))2＋k中解得a＝____(用含m，n的式子表示)；(3)【應(yīng)用】如圖④，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中有A，B兩點，AB＝4，且AB∥x軸，二次函數(shù)C1：y1＝2(x＋h)2＋k和C2：y2＝a(x＋h)2＋b都經(jīng)過A，B兩點，且C1和C2的頂點P，Q距線段AB的距離之和為10.若AB∥x軸且AB＝4，求a的值．類型二利用函數(shù)解決幾何問題(2023.24，北部灣5年2考)例2(2023廣西)如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上運動，滿足AD＝BE＝CF.(1)求證：△ADF≌△BED；(2)設(shè)AD的長為x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合(2)所得的函數(shù)，描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化．【思路引導(dǎo)】由題意易得AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，然后根據(jù)SAS可進(jìn)行求證；【思路引導(dǎo)】易證△ADF≌△BED≌△CFE，觀察圖形可知S△DEF＝S△ABC－3S△ADF，分別求出△ABC的面積和△ADF的面積，進(jìn)而可求解；【思路引導(dǎo)】由(2)和二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．類型三以拋物線為背景(北部灣5年3考)考向1線段問題6．(2022北部灣)已知拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè)).(1)求點A，點B的坐標(biāo)；(2)如圖，過點A的直線l：y＝－x－1與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接PA，PC，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)PA＝PC時，求m的值；(3)將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線y＝a(－x2＋2x＋3)(a≠0)與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍．解：(1)A(－1，0)，B(3，0)；(2)易知拋物線對稱軸為x＝1，∴設(shè)P(1，m)，由－x2＋2x＋3＝－x－1得x1＝－1，x2＝4，當(dāng)x＝4時，y＝－5，∴C(4，－5).由PA2＝PC2得22＋m2＝(4－1)2＋(m＋5)2，解得m＝－3；解：