2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練40空間幾何體的表面積和體積含解析理新人教版

PAGE專練40空間幾何體的表面積和體積命題范圍：空間幾何體的表面積與體積[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π2．[2024·浙江卷]祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的宏大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A．158B．162C．182D．3243．[2024·唐山摸底]已知某幾何體的三視圖如圖所示(俯視圖中曲線為四分之一圓弧)，則該幾何體的表面積為()A．1－eq\f(π,4)B．3＋eq\f(π,2)C．2＋eq\f(π,4)D．44．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D．2π5．[2024·全國卷Ⅰ]已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64πB．48πC．36πD．32π6．[2024·華中師大附中高三測試]已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的全部內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是()A．2πR2B.eq\f(9,4)πR2C.eq\f(8,3)πR2D.eq\f(3,2)πR27．[2024·湖南張家界高三測試]某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為()A．8＋eq\f(4\r(3)π,3)B．8＋eq\f(2\r(3)π,3)C．4＋eq\f(4\r(3)π,3)D．4＋eq\f(8\r(3)π,3)8．[2024·長沙高三測試]某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的四個(gè)面的面積中，最大的面積是()A．4eq\r(3)B．8eq\r(3)C．4eq\r(7)D．89．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)二、填空題10．[2024·全國卷Ⅲ]已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．11．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB相互垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________．12.如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1－BB1D1D專練40空間幾何體的表面積和體積1．B設(shè)圓柱的底面半徑為r，由題意得高h(yuǎn)＝2r，∴(2r)2＝8，得r＝eq\r(2)，∴S圓柱表＝2πr2＋2πrh＝4π＋8π＝12π.2．B本題主要考查空間幾何體的三視圖及體積，考查考生的空間想象實(shí)力及運(yùn)算求解實(shí)力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算．由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直五棱柱，所以其體積V＝eq\f(1,2)×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.故選B.3．D由三視圖可知該幾何體是棱長為2的正方體截去一個(gè)以1為底面圓的半徑，高為1的圓柱的eq\f(1,4)，如圖所示，故其表面積S＝1×1＋1×1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×1－\f(π,4)))＋eq\f(2π,4)×1＝1＋1＋2－eq\f(π,2)＋eq\f(π,2)＝4.4．C過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示．由于V圓柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，V圓錐＝eq\f(1,3)π·CE2·DE＝eq\f(1,3)π×12×(2－1)＝eq\f(π,3)，所以該幾何體的體積V＝V圓柱－V圓錐＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).5．A如圖，由題知△ABC為等邊三角形，圓O1的半徑r＝2，即O1B＝2，∴BC＝2eq\r(3)＝OO1，在Rt△OO1B中，OB2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1B2＝16，∴球O的半徑R＝OB＝4，則S球O＝4πR2＝64π.故選A.6．B設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r(0<r<R)，母線長為h，則eq\f(r,R)＝eq\f(3R－h(huán),3R)，即h＝3R－3r，則該圓柱的全面積為S＝2πr(r＋3R－3r)＝2π(－2r2＋3Rr)，因?yàn)镾＝2π(－2r2＋3Rr)＝2πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(3R,4)))2＋\f(9R2,8)))，所以當(dāng)r＝eq\f(3R,4)時(shí)，內(nèi)接圓柱的全面積的最大值為eq\f(9,4)πR2.7．A8．C由三視圖可知，該幾何體為如右圖所示的三棱錐，其中PB⊥平面ABC，底面三角形為等腰三角形，且AB＝4，PB＝4，CD⊥AB，CD＝2eq\r(3)，所以AB＝BC＝AC＝4，由此可知四個(gè)面中面積最大的為側(cè)面PAC，取AC中點(diǎn)E，連接PE，BE，則AC⊥平面PBE，所以PE⊥AC，PE＝eq\r(BE2＋PB2)＝2eq\r(7)，S△PAC＝eq\f(1,2)·AC·PE＝4eq\r(7)，故選C.9．C如圖，連接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4，在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,)1－AC2)＝eq\r(42－22＋22)＝2eq\r(2)，∴V長方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).故選C.10.eq\f(\r(2),3)π解析：如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時(shí)的軸截面圖．其中球心為O，設(shè)其半徑為r，AC＝3，O1C∴AO1＝eq\r(AC2－O1C2)＝2eq\r(2).∵OO1＝OM＝r，∴AO＝AO1－OO1＝2eq\r(2)－r，又∵△AMO∽△AO1C，∴eq\f(OM,O1C)＝eq\f(AO,AC)，即eq\f(r,1)＝eq\f(2\r(2)－r,3)，故3r＝2eq\r(2)－r，∴r＝eq\f(\r(2),2).∴該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積V＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2)π,3).11．8π解析：由題意畫出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設(shè)圓錐的母線長為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得eq\f(1,2)l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°，所以SO＝eq\f(1,2)l＝2，AO＝eq\f(\r(3),2)l＝2eq\r(3).故該圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×AO2×SO＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.12.eq\f(1,3