第十九章-塑性應力-應變關系本構方程

第十九章塑性應力—應變關系本構方程塑性變形過程中應力與應變之間的函數(shù)關系稱為本構方程，也叫做物理方程。塑性本構方程從本質(zhì)上反映了物體發(fā)生塑性變形時的特征，這一方程和屈服準則都是求解塑性成形問題的基本方程。第一節(jié)彈性應力一應變關系在單向應力狀態(tài)下，彈性變形時應力與應變之間的關系，由虎克定律表達，即對于一般應力狀態(tài)下各向同性材料的應力與應變間的關系，則由廣義虎克定律表達，即式中，E為彈性模量；為泊松比；G為切變模量。三個彈性常數(shù)E，G間有以下關系若將式（19-1）中的三項相加整理后可得式(19—3)表明，物體彈性變形時其體積變化率與平均應力成正比，這說明應力球張量使物體產(chǎn)生彈性的體積改變。若將式(19—1)中的前三式分別減去式(19-3)，例如式(19—6)表示應變偏張量與應力偏張量成正比，即表明物體形狀的改變只是出應力偏張量引起。由式(19—3)和式(19—5)，廣義虎克定律可寫成張量形式根據(jù)式(19—5)可推導出復雜應力狀態(tài)下應力強度與彈性應變強度之間的關系。因等效應力為根據(jù)式（19-5）可得將上式代入等效應力公式，得式(19—14)表明，在彈性變形范圍內(nèi)，應力強度與彈性應變強度成正比，比例系數(shù)仍為E?？蓪嗤膽儬顟B(tài)。同理，只要通過后繼屈服軌跡CD里面的任一加載路線(如OACJF)到達F點，情況也是如此。以上例子充分說明塑性變形時應力與應變之間的關系不是單值關系，而與加載路線(加載歷史)有關。因此，離開加載路線來建立應力與全量塑性應變之間的普遍關系是不可能的。塑性變形時應力與應變關系的特點可總結如下：(1)應力與應變之間的關系是非線性的，因此，全量應變主軸與應力主軸不一定重合。(2)塑性變形時可以認為體積不變，即有(3)對于等向強化的應變硬化材料，卸載后再重新加載時的屈服應力就是卸載時的屈服應力，比初始屈服應力要高。(4)塑性變形是不可逆的，與應變歷史有關，即應力一應變關系不再保持單值關系。第三節(jié)塑性變形的增量理論(流動理論)增量理論又稱為流動理論，是描述物體處于塑性狀態(tài)時，應力與應變增量或應變速率之間關系的理論，它是通過加載過程中的每一變形瞬間的應力狀態(tài)來確定該瞬間的應變增量。對于彈塑性材料，在塑性變形過程中必有彈性變形同時發(fā)生，因此可將物體的總變形分解為可恢復的彈性變形和不可恢復的塑性變形兩部分。在任一微小的塑性變形過程元中，應變增量張量與應變速率張量可分解如下上式中，e為彈性變形的標記，p為塑性變形的標記?？梢杂檬噶縼肀硎?，而在主應變增量空間，一點的應變增量張量也可以用矢量來表示?，F(xiàn)在，將主應力坐標系和主應變增量坐標系重合，稱為主應力一應變復合勢流動理論，且將屈服函數(shù)f稱為塑性位勢。于是，采用不同的屈服函數(shù)，由式（19-15）就得到不同的塑性本構方程。四、Levy-Mises本構方程于是，由塑性勢流動理論可得由上式可有式（19-16）及式（19-17）稱為增量形式的Levy-Mises本構方程。性變形的增量形式的Mises本構方程，而式（19-18）與式（19-19）是剛塑性變形的速率形式的Mises本構方程，且可以省出標記“p”。五、Prantle-Reuss本構方程于是，由式（19-16）可得上式稱為彈塑性變形的Prantle-Reuss本構方程。注意，式(19—21)是一個非線件方程組．使用起來很不方便。在非線件有限元分析中，已將該式推演為一個能夠應用的公式，稱之為山田公式。有關上述塑性本構方程的試驗驗證，本教材由于篇幅有限不予介紹，有興趣的讀者可參閱有關文獻。第四節(jié)塑性變形的全量理論(形變理論)塑性變形的全量理論產(chǎn)生的背景是簡單加載。在簡單加載時，各應力分量按同一比例增加，應力主軸的方向?qū)⒐潭▊€變，故簡單加載也稱為比例加載。由于應變增量的主軸是和應力主軸重合的，所以應變增量的主軸也將始終不變。于是，可以對增量形式的Mises或Reuss本構方程進行積分，得到全量應變和應力之間的關系，這就是塑性變形的全量理論。簡單加載的數(shù)學表達式為第五節(jié)最大塑性功原理圖19-6∏平面上的塑性功上式是最大塑性功原理的點形式。由于因此由式（19-25）得上式是最大塑性功原理的整體形式。上式表明，對于真實的塑性應變增量場，真實的應力場所做的塑性功，相對于虛擬的或可能的應力場而言，