專題10 圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型解讀與提分精練（北師大版）

專題10圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.阿基米德折弦模型 1模型2.圓中的“婆羅摩笈多”模型 10 16模型1.阿基米德折弦模型【模型解讀】折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。條件：如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，結(jié)論：CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4證明：法1（垂線法）：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接，AC；∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．法2（截長(zhǎng)法）：如圖3，在CD上截取DG=BD，連接BM，MC，MA，AC；∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，∵M(jìn)B=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．法3（補(bǔ)短法）：如圖4，如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA；連接MA、MB、MC、MF、AC，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，，∴∠MBA=∠MBF，在△MBF和△MBA中，，∴△MBF≌△MBA（SAS），∴MF=MA=MC，又∵M(jìn)D⊥BC，∴FD=CD，∴DC=BF+BD=BA+BD；例1．（2024·廣東·?？家荒＃┒x：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝°．例2．（2023·廣東九年級(jí)期中）如圖，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，若，，則CD的長(zhǎng)為（

）．A． B． C． D．例3．（2024·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．

這個(gè)定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點(diǎn)，．于點(diǎn)E，，連接，求的周長(zhǎng)．例4．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·期末）【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝DB+BA的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵M(jìn)D⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過(guò)程，分別寫(xiě)出下列步驟的理由：①，②，③；【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝；【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長(zhǎng)．例5．（24-25九年級(jí)上·北京·期中）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理．如圖，已知，C是弦AB上一點(diǎn)(1)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；①作線段的垂直平分線DE，交于點(diǎn)D，垂足為E；②以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)F（F，A兩點(diǎn)不重合），連接．(2)引理的結(jié)論為：．證明：連接∵DE為的垂直平分線∴∴又∵四邊形內(nèi)接于圓∴（______）①（填推理的依據(jù)）又∵∴____________…②又∵∴____________…③∴∴∴．例6．（2024·河南商丘校考一模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點(diǎn)，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法”，如圖2：在線段上從C點(diǎn)截取一段線段，連接．小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，連接任務(wù)：(1)請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書(shū)寫(xiě)出證明過(guò)程，(2)就圖3證明：．模型2.圓中的“婆羅摩笈多”模型婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形（即對(duì)角互補(bǔ)的四邊形）的對(duì)角線互相垂直且相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)（反之亦能成立）。1）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）條件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)M，直線，垂足為點(diǎn)E，并且交直線AD于點(diǎn)F．結(jié)論：．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD2）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理?xiàng)l件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，直線FM交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)A=FD．結(jié)論：FE⊥BC．證明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．例1．（2024·河南·校考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊”．按圖寫(xiě)出這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過(guò)程；已知：________________________________________________________________________________，求證：________________________________________________________________________________，證明：________________________________________________________________________________．例2．（2024·重慶·校考一模）婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹(shù)，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”，該定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下：古拉美古塔定理：如圖①，四邊形ABCD內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)M，直線，垂足為點(diǎn)E，并且交直線AD于點(diǎn)F．則．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．…任務(wù)：(1)將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整；(2)古拉美古塔定理的逆命題：如圖②，四邊形ABCD內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)M，直線FM交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．若，則．請(qǐng)證明該命題．例3．（2024·山西太原·三模）請(qǐng)閱讀下面的材料，并解答問(wèn)題．婆羅摩笈多（Brahmagupta）約公元598年生，約660年卒，在數(shù)學(xué)、天文學(xué)方面有所成就，他編著了《婆羅摩修正體系》《肯達(dá)克迪迦》，婆羅摩笈多的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，其中有著名的婆羅摩笈多定理．婆羅摩笈多定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與垂直相交于M，過(guò)點(diǎn)M的直線與邊分別相交于點(diǎn)F、E．則有下兩個(gè)結(jié)論：如果，那么；如果，那么．?dāng)?shù)學(xué)課上，趙老師帶領(lǐng)大家對(duì)該定理的第一條進(jìn)行了探究．證明：，，即，，，在中，，……請(qǐng)解答以下問(wèn)題：(1)請(qǐng)完成所給材料的證明過(guò)程；(2)請(qǐng)證明結(jié)論（2）；(3)應(yīng)用：如圖圓O中，半徑為4，A，B，C，D為圓上的點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作于E，延長(zhǎng)交于G，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．1．（2023·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿基米德折弦定理．如圖2，已知BC為⊙O的直徑，AB為一條弦(BCAB)，點(diǎn)M是上的點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)MD交弦AB于點(diǎn)E，連接BM，若BM=，AB=4，則AE的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·河南漯河·期末）定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．如圖，和組成圓的折弦，，是的中點(diǎn)，于，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．C．D．3．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·期中）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他研究過(guò)對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆氏四邊形”．如圖，在中，四邊形是“婆氏四邊形”，對(duì)角線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，則的值為（

）A． B． C． D．4．（23-24九年級(jí)下·江西南昌·期末）婆羅摩笈多是公元7世紀(jì)的古印度偉大數(shù)學(xué)家，曾研究對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆羅摩笈多四邊形”．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，且是“婆羅摩笈多四邊形”、若，則的半徑為．

5．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期末）古代數(shù)學(xué)家阿基米德曾經(jīng)提出一個(gè)定理：一個(gè)圓中一條由兩條長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．如圖（1），弦，是的一條折弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則．根據(jù)這個(gè)定理解決問(wèn)題：如圖（2），邊長(zhǎng)為的等邊內(nèi)接于，點(diǎn)為優(yōu)弧上的一點(diǎn)．，則的周長(zhǎng)是．6．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊”．任務(wù)：（1）按圖（1）寫(xiě)出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過(guò)程；已知：__________________求證：_________________證明：（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點(diǎn)，于于H，當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．7．（23-24九年級(jí)上·山西大同·期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：斯庫(kù)頓定理：如圖1．在中，為的平分線，則．下面是該定理的證明過(guò)程：證明：如圖2，是的外接圓，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．∵為的平分線，∴．∵，（依據(jù)①__________________________）．（依據(jù)②_________________________）又，．．……任務(wù)：（1）證明過(guò)程中的依據(jù)是：①__________________________________．②__________________________________．（2）將證明過(guò)程補(bǔ)充完整：（3）如圖3．在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．若，，，，，請(qǐng)利用斯庫(kù)頓定理，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．8．（23-24九年級(jí)上·浙江湖州·期末）【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，cm，，求的長(zhǎng)度，【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫(huà)“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李與同學(xué)討論出了如下方法：如圖2，在中，已知是的弦，只需作，，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，即可得到垂等四邊形，請(qǐng)你寫(xiě)出證明過(guò)程．【問(wèn)題解決】（3）如圖3，已知是上一定點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作出的內(nèi)接垂等四邊形（、不重合且、、三點(diǎn)不共線），對(duì)角線與交于點(diǎn)，的半徑為，當(dāng)點(diǎn)到的距離為時(shí)，求弦的長(zhǎng)度．9．（23-24湖南長(zhǎng)沙九年級(jí)月考）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹(shù)，他也研究過(guò)對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是．（填序號(hào)）①矩形；②菱形；③正方形（2）如圖1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB為弦的⊙O交AC于D，交BC于E，連接DE、AE、BD，AB=6，，若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求DE的長(zhǎng)．（3）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②當(dāng)AD+BC=4時(shí)，求⊙O半徑的最小值．10．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，A、B、C、D四點(diǎn)在上逆時(shí)針順序分布，且滿足．(1)求證：點(diǎn)A到兩邊的距離相等；(2)如圖2，已知與相交于點(diǎn)，為的直徑．若，，求的長(zhǎng)．(3)已知，與相交于點(diǎn)，直線與直線相交于圓外一點(diǎn)G，若線段為的一條高，試求：的最小值．11．（2023·江蘇淮安·三模）定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)與該邊所對(duì)頂點(diǎn)連線長(zhǎng)度的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“平方點(diǎn)”．如圖1，中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，若，則稱點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”．

(1)如圖2，已知，在四邊形中，平分于點(diǎn)E，，求證：點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”；(2)如圖3，是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”，若，求的值；(3)在，，點(diǎn)E是邊上的“平方點(diǎn)”，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．12．（2024·河南安陽(yáng)·?？家荒＃╅喿x下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)P在上（不與點(diǎn)A，B，C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作，，的垂線，垂足分別為．點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．如下是他們的證明過(guò)程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)Q，連接，，則，（依據(jù)1）∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴．（依據(jù)2）又∵，∴．同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，……任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；②依據(jù)2指的是________．(2)請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，，請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．13．（2024·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖中所示，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，D是的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E．連結(jié)AD，AC，BD．（1）寫(xiě)出所有與∠DBA相等的角（不添加任何線段）__________．（2）判斷AE，BE，BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明．（3）如圖，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．14．（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）有關(guān)阿基米德折弦定理的探討與應(yīng)用【問(wèn)題呈現(xiàn)】（1）阿基米德折弦定理：如圖①，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向作垂線，垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．

下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖②，在上截取，連接、、和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，．……請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分．【理解運(yùn)用】（2）如圖③，內(nèi)接于，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【實(shí)踐應(yīng)用】（3）如圖④，等邊內(nèi)接于，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，連接．若，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．15．（22-23九年級(jí)上·山西陽(yáng)泉·期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al-Biruni（年～年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是固的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．這個(gè)定理有根多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2．作射線，垂足為，連接，，．∵是弧的中點(diǎn)，∴．…

任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖3，已知等邊內(nèi)接于，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，，則折弦的長(zhǎng)是______．

16．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖，和是的兩條弦（即折線是弦的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即，下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程證明：如圖2，在上截取，連接，，和是弧的中點(diǎn)，∴，……(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，內(nèi)接于，，是弧的中點(diǎn)，于點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為_(kāi)_____.(3)如圖4，等腰內(nèi)接于，，為弧上一點(diǎn)，連接，，，，求的周長(zhǎng).17．（23-24·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們知道，如圖1，AB是⊙O的弦，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥AB于點(diǎn)E，易得點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，即AE＝EB．⊙O上一點(diǎn)C（AC＞BC），則折線ACB稱為⊙O的一條“折弦”．（1）當(dāng)點(diǎn)C在弦AB的上方時(shí)（如圖2），過(guò)點(diǎn)F作EF⊥AC于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E是“折弦ACB”的中點(diǎn)，即AE＝EC+CB．（2）當(dāng)點(diǎn)C在弦AB的下方時(shí)（如圖3），其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說(shuō)明理由；若不成立，那么AE、EC、CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出，不必證明．（3）如圖4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圓⊙O的半徑為2，過(guò)⊙O上一點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)∠PAB＝45°時(shí)，求AH的長(zhǎng)．18．（23-24·江蘇·九年級(jí)期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．(1)更換定理