專題22 全等與相似模型之對角互補(bǔ)模型解讀與提分精練（全國）

專題22全等與相似模型之對角互補(bǔ)模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足。本專題就對角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.對角互補(bǔ)模型（全等型：90°-90°） 1模型2.對角互補(bǔ)模型（全等型：60°-120°） 4模型3.對角互補(bǔ)模型（全等型：α—180°-α） 7模型4.對角互補(bǔ)模型（相似模型） 10 15模型1.對角互補(bǔ)模型（全等型：90°-90°）對角互補(bǔ)模型概念：對角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對對角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。對角互補(bǔ)模型（90°—90°型）主要分異側(cè)型和同側(cè)型兩大類，處理方法主要有兩種：①過頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.證明：過點(diǎn)C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，根據(jù)上述條件易證：四邊形ONCM為正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.證明：過點(diǎn)C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根據(jù)上述條件易證：四邊形ONCM為正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，.例1．（23-24九年級上·河南洛陽·期中）綜合與實(shí)踐已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC，CB（或它們的延長線）于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于點(diǎn)E時(shí)（如圖1），①證明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝S△ABC．（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DE與AC不垂直時(shí)，且點(diǎn)E在線段AC上，試判斷S△DEF+S△CEF與S△ABC的關(guān)系，并給予證明．（3）【拓展延伸】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長線上時(shí)，此時(shí)問題（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎樣的關(guān)系？（寫出你的猜想，不需證明）圖1圖2圖3例2．（2024·陜西·一模）問題提出(1)如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的對角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直角邊交邊DC于點(diǎn)E，線段PB和線段PE相等嗎？請證明；問題探究(2)如圖2，移動三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直角邊交DC的延長線于點(diǎn)E，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；問題解決(3)繼續(xù)移動三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直角邊交DC的延長線于點(diǎn)E，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．例3．（2024·河南·一模）已知，點(diǎn)是的角平分線上的任意一點(diǎn)，現(xiàn)有一個(gè)直角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩直角邊，分別與直線，相交于點(diǎn)，點(diǎn).（1）如圖1，若，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（2）如圖2，若點(diǎn)在射線上，且與不垂直，則（1）中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？如成立，請說明理由；如不成立，請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.（3）如圖3，若點(diǎn)在射線的反向延長線上，且，，請直接寫出線段的長度.模型2.對角互補(bǔ)模型（全等型：60°-120°）對角互補(bǔ)模型（60°—120°型），處理方法主要有兩種：①過頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。1）“等邊三角形對120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.證明：過點(diǎn)C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。2）“等邊三角形對120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.證明：過點(diǎn)C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。3）“120°等腰三角形對60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。結(jié)論：PB+PC=PA；證明：將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△QAB，即△PAC≌△QAB，∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB；∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共線。又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°，根據(jù)勾股定理易證：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。例1．（2024重慶八年級期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．例2．（2024廣東中考一模）如圖，已知，在的角平分線上有一點(diǎn)，將一個(gè)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與射線相交于點(diǎn).（1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位于的反向延長線上時(shí)，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.例3．（23-24九年級上·重慶江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點(diǎn)E，DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長；（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F．求證：BE+CF=AB．（3）如圖3，若∠EDF的兩邊分別交AB、AC的延長線于E、F兩點(diǎn)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請直接寫出線段BE、AB、CF之間的數(shù)量關(guān)系．模型3.對角互補(bǔ)模型（全等型：α—180°-α）對角互補(bǔ)模型（α—180°-α型）處理方法主要有兩種：①過頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。1）“α對180°-α模型”條件：四邊形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。結(jié)論：OP平分∠AOB。證明：過點(diǎn)P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B?！逜P=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。注意：如下圖：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三個(gè)條件可知二推一。2）“蝴蝶型對角互補(bǔ)模型”（隱藏型對角互補(bǔ)）條件：AP=BP，∠AOB=∠APB，結(jié)論：OP平分∠AOB的外角。證明：過點(diǎn)P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。例1．（2024·福建廈門·九年級?？计谥校┤鐖D，（是常量）．點(diǎn)P在的平分線上，且，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點(diǎn)，若始終與互補(bǔ)，則以下四個(gè)結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離保持不變．其中正確的為（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③例2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）感知：如圖①，平分，，．判斷與的大小關(guān)系并證明．探究：如圖②，平分，，，與的大小關(guān)系變嗎？請說明理由．應(yīng)用：如圖③，四邊形中，，，，則與差是多少（用含的代數(shù)式表示）例3．（23-24八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖（1）~（3），已知的平分線OM上有一點(diǎn)P，的兩邊與射線OA、OB交于點(diǎn)C、D，連接CD交OP于點(diǎn)G，設(shè)，．(1)如圖（1），當(dāng)時(shí)，試猜想PC與PD，與的數(shù)量關(guān)系（不用說明理由）；(2)如圖（2），當(dāng)，時(shí)，（1）中的兩個(gè)猜想還成立嗎？請說明理由．(3)如圖（3），當(dāng)時(shí)，你認(rèn)為（1）中的兩個(gè)猜想是否仍然成立，若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請說明理由．模型4.對角互補(bǔ)模型（相似模型）四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似.1）對角互補(bǔ)相似1 條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，結(jié)論：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分別為D，H，則：①△ODE～△OHF；②證明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分別為D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，∵∠C＝90°，∴四邊形OHCD為矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH∴∠DOF+∠HOF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE～△OHF，∴，∵∠C＝∠OHD＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴H為BC中點(diǎn)，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB～△ACB，∴，∴2）對角互補(bǔ)相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.結(jié)論1：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F，G；則①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.證明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四邊形OGCF為矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG～△DCF，∴，∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD·條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.結(jié)論2：如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于F；則：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.證明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE～△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·.3）對角互補(bǔ)相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°。結(jié)論：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分別為E、F；則：①△DAE～△DCF；②A、B、C、D四點(diǎn)共圓。證明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓?！逥E⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE～△DCF；例1．（2024·江蘇淮安·一模）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，我們做以下探究．在中，，，是邊上一點(diǎn)，且(為正整數(shù)），、分別是邊和邊上的點(diǎn)，連接，且．【初步感知】（）如圖，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．【深入探究】（）如圖，當(dāng)，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；請通過類比、歸納、猜想，探究出線段，，之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【拓展運(yùn)用】（）如圖，點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn)，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，若，求點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的過程中，請直接寫出點(diǎn)運(yùn)動的路徑長．例2．（23-24九年級上·山西臨汾·期中）綜合與探究問題解決：如圖1，中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，小明把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)D處，兩條直角邊分別交線段于點(diǎn)E，交線段于點(diǎn)F，在三角板繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是的中點(diǎn)嗎？（注：可以用知識：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）“陽光”小組的解答是：若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是的中點(diǎn)．理由如下：∵于點(diǎn)D，．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，．，．是等邊三角形．，．．又，．．即若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是的中點(diǎn)．反思交流（1）“群星”小組認(rèn)為在這個(gè)題中，可以去掉條件“”，其他條件不變（如圖2），若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是的中點(diǎn)．請你根據(jù)條件證明這個(gè)結(jié)論；拓廣探索（2）去掉條件“”，其他條件不變旋轉(zhuǎn)過程中，若（如圖3），那么等式成立嗎？請說明理由；（3）去掉條件“”，其他條件不變．若點(diǎn)E是上任意一點(diǎn)（如圖4），（2）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．例3．（2023·河南信陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．例4．（23-24九年級上·四川成都·期中）如圖1，等邊中，為邊上的一點(diǎn)，且，分別為上的兩個(gè)動點(diǎn)，始終保持.(1)若，求證：①，②；(2)①如圖2，若，試探究之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出證明過程；②請通過類比、歸納、猜想，探究出之間的數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（用含有的代數(shù)式直接寫出，不用證明）；(3)如圖3，為邊上的中點(diǎn)，，連接，當(dāng)點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動時(shí)，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段掃過的圖形的面積.1.（2024·江蘇·?？家荒＃┤鐖D，已知四邊形的對角互補(bǔ)，且，，．過頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．22．（2024·安徽六安·三模）在數(shù)學(xué)探究活動中，某同學(xué)進(jìn)行了如下操作：如圖，在直角三角形紙片

內(nèi)剪取一個(gè)直角，點(diǎn)，，分別在，，邊上．請完成如下探究：（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，若，

（2）當(dāng)，、時(shí)，的長為

3．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）在菱形中，，對角線交于點(diǎn)，分別是邊上的點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，則的值為．

4．（23-24八年級上·山東臨沂·階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，邊長為4，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，其兩邊分別交和的延長線于，則．5．（23-24九年級上·湖北孝感·階段練習(xí)）（情景呈現(xiàn)）畫，并畫的平分線．（I）把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)上，使三角尺的兩條直角邊分別與的兩邊，垂直，垂足為，（如圖1）．則；若把三角尺繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（如圖2），則________．（選填：“<”、“>”或“=”）（理解應(yīng)用）（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作直線，分別交，于點(diǎn)，，如圖3．①圖中全等三角形有________對．（不添加輔助線）②猜想，，之間的關(guān)系為________．（拓展延伸）（3）如圖4，畫，并畫的平分線，在上任取一點(diǎn)，作，的兩邊分別與，相交于，兩點(diǎn)，與相等嗎？請說明理由．6．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知是中的角平分線，點(diǎn)，分別在邊，上，，，與的面積之和為．(1)當(dāng)，，時(shí)，如圖1，若，，則______，______；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，①求證：；②直接寫出與，的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，當(dāng)，，，時(shí)，請直接寫出的大?。?．（23-24九年級上·北京朝陽·期中）如圖，，平分，點(diǎn)P為上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作射線交于點(diǎn)E．以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將射線沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)F．(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1；(2)如圖1，若點(diǎn)E在OA上，用等式表示線段OE、OP和OF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖2，若點(diǎn)E在OA的反向延長線上，直接寫出線段OE、OP和OF之間的數(shù)量關(guān)系．8．（2024·吉林長春·一模）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第96頁的部分內(nèi)容．我們已經(jīng)知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸．如圖所示，是的平分線，P是上任一點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．將沿對折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合．由此即有：角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．已知：如圖所示，是的平分線，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．求證：．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得．（1）請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．【定理應(yīng)用】（2）如圖②，已知是的平分線，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在邊上，連結(jié)，．若，，則的長為______．（3）如圖③，在平行四邊形中，，平分交于點(diǎn)E，連結(jié)，將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，若，則四邊形的面積為______．9．（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，作射線DE，與邊AB交于點(diǎn)E，射線DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，與直線AC交于點(diǎn)F．（1）依題意將圖1補(bǔ)全；（2）小華通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，始終有DE=DF．小華把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：由點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，通過構(gòu)造一邊的平行線，利用全等三角形，可證DE=DF；想法2：利用等邊三角形的對稱性，作點(diǎn)E關(guān)于線段AD的對稱點(diǎn)P，由∠BAC與∠EDF互補(bǔ)，可得∠AED與∠AFD互補(bǔ)，由等角對等邊，可證DE=DF；想法3：由等腰三角形三線合一，可得AD是∠BAC的角平分線，由角平分線定理，構(gòu)造點(diǎn)D到AB，AC的高，利用全等三角形，可證DE=DF…….請你參考上面的想法，幫助小華證明DE=DF（選一種方法即可）；（3）在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，直接寫出BE，CF，AB之間的數(shù)量關(guān)系．10．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）問題提出（1）如圖①，在中，，，平分，，則點(diǎn)到的距離為__________．問題探究（2）如圖②，中，，，，點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn)，且，的兩邊交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求四邊形的面積．問題解決（3）市政部門根據(jù)地形在某街道設(shè)計(jì)一個(gè)三角形賞花園如圖③，為賞花園的大致輪廓，并將賞花園分成、和四邊形三部分，其中在四邊形區(qū)域內(nèi)種植平方米的月季，在和兩區(qū)域種植薰衣草，根據(jù)設(shè)計(jì)要求：，點(diǎn)、、分別在邊、、上，且，，為了節(jié)約種植成本，三角形賞花園的面積是否存在最小值，若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明由．

11．（23-24九年級上·廣東惠州·期中）在中，，．將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交邊、于點(diǎn)D、E．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，則的值是________．(2)如圖②，當(dāng)與不垂直時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖③，在內(nèi)作，使得、分別交、于點(diǎn)、，連接．那么的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說