專題17 全等三角形模型之奔馳模型解讀與提分精練（全國）

專題17全等三角形模型之奔馳模型對于奔馳模型我們主要是可以通過一些幾何變化，把其中的線段進行轉(zhuǎn)移，以達到聚合條件，推出我們想要的結(jié)論的目的。對于幾何變化，目前學(xué)過的主要有：軸對稱，平移，旋轉(zhuǎn)，位似等。對于“奔馳模型”我們主要采用旋轉(zhuǎn)的方法進行變換。對于旋轉(zhuǎn)處理，我們主要分為：旋轉(zhuǎn)全等，旋轉(zhuǎn)相似。

今天的這主要講“奔馳模型”之旋轉(zhuǎn)全等類型。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內(nèi)） 2模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內(nèi)） 4模型3.奔馳模型3（點在三角形外-雞爪模型） 6 9模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內(nèi)）此模型通常會和旋轉(zhuǎn)一起來考查，還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因為旋轉(zhuǎn)的特征是:共頂點等線段。等邊三角形，三邊相等，每一個頂點出發(fā)都有兩個相等線段，都符合共頂點等線段。等邊三角形三個頂點都可以作為旋轉(zhuǎn)中心(如上圖的旋轉(zhuǎn))。條件：如圖，已知正三角形內(nèi)有一點P，滿足（常考數(shù)據(jù)：BP=3，AP=4，CP=5），結(jié)論：∠APB=150°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）常用結(jié)論等邊三角形的面積公式：（選填題非常適用）證明：以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形APP’，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。注意：多線段共端點?？夹D(zhuǎn)。例1．（23-24八年級下·廣東深圳·期中）如圖，點P是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，則的度數(shù)為．

例2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．例3.（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖，，都是等邊三角形，將繞點C旋轉(zhuǎn)，使得點A，D，E在同一直線上，連接．若，，則的長是．例4．（2024·安徽·一模）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．例5．（24-25九年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）如圖，是正內(nèi)一點，，，，將線段BO以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論，①可以由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到；②點與的距離為5；③；④四邊形面積；⑤，其中正確的結(jié)論是（

）A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內(nèi)）條件：如圖，已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點P，滿足，結(jié)論：∠CPB=135°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）證明：以AP為邊向左側(cè)作等腰直角三角形APP’，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都為等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。例1．（23-24九年級上·湖北孝感·階段練習(xí)）如圖，等腰直角，點P在內(nèi)，，，則PB的長為（）A． B． C．5 D．5例2．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，在正方形外取一點E，連接，，，過點作的垂線交于點P，若，則下列結(jié)論：①；②；③點C到直線的距離為；④其中結(jié)論正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例3．（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，中，，，．點P為內(nèi)一點，且滿足．當(dāng)?shù)拈L度最小時，則的面積是．

例4．（2024·河北·校考一模）如圖1，在正方形內(nèi)有一點P，，，，求的度數(shù)．【分析問題】根據(jù)已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到了（如圖2），然后連結(jié)PP'．【解決問題】請你通過計算求出圖2中的度數(shù)；【比類問題】如圖3，若在正六邊形內(nèi)有一點P，且，，．（1）的度數(shù)為；（2）直接寫出正六邊形的邊長為．模型3.奔馳模型3（點在三角形外-雞爪模型）模型1）條件：如圖1，點P在等邊三角形ABC外，若，結(jié)論：∠CPA=30°。模型2）條件：如圖2，點P在等腰直角三角形ABC外，若，結(jié)論：∠APC=45°。（注意：上述兩個模型結(jié)論和條件互換也成立）圖1圖2雞爪就是模型本質(zhì)就是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”，構(gòu)造出全等三角形，實現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，結(jié)合勾股定理，非常有意思。連完輔助線往往會產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。模型1）證明：以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ADP，連接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。模型2）證明：以AP為邊向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都為等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。例1．（2024九年級上·重慶·專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形外一點，，，，求的度數(shù)．例2．（2023·廣西賀州·二模）如圖，點P為等邊三角形外一點，連接，，若，，，則的長是．

例3．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為（

）

A． B． C． D．例4．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）【問題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個問題：“如圖1，在四邊形中，，，，，，求CD的長．”經(jīng)過小組合作交流，找到了解決方法：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等．將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，連接DE．則是等邊三角形，所以，導(dǎo)角可得，所以．（1）請補全圖形；【探究應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，．D為外一點，且，，求的度數(shù)；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，，于D，M為AD上一點，連接BM，N為BM上一點，若，，，連接，請直接寫出線段的長______．

1．（2024九年級·重慶·期中）如圖，在等邊內(nèi)有一點，使得，那么以，，的長度為邊長的三角形的三個內(nèi)角的大小之比為．2．（23-24九年級下·吉林·階段練習(xí)）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中，以達到解決問題的目的．【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部有一點，，，，求的度數(shù)．解：如圖①，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即．請你補充完整解答過程．【應(yīng)用問題】如圖②，在正方形內(nèi)有一點，若，，，則．【拓展問題】如圖③，在正方形中，對角線，相交于點，在直線上方（包括直線）有一點，，，連接，則線段的最大值為．3．（23-24九年級上·山西呂梁·期末）閱讀下面材料：張明同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點P，且，，，求的度數(shù)．張明同學(xué)是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．(1)請你計算圖1中的度數(shù)；(2)參考張明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，在正方形內(nèi)有一點，且，，，求的度數(shù)．4．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末）（1）已知如圖1，在中，，，點在內(nèi)部，點在外部，滿足，且．求證：．（2）已知如圖2，在等邊內(nèi)有一點，滿足，，，求的度數(shù)．

5．（2023·四川綿陽·一模）如圖，四邊形是正方形，點為平面內(nèi)一點，(1)若點在正方形內(nèi)，如圖1，，求的度數(shù)；(2)若點在正方形外，如果，如圖2，且，求的長．（用表示）6．（23-24九年級上·浙江紹興·階段練習(xí)）閱讀材料題：浙教版九上作業(yè)本①第18頁有這樣一個題目：已知，如圖一，P是正方形ABDC內(nèi)一點，連接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的長.小明看到題目后，思考了許久，仍沒有思路，就去問數(shù)學(xué)老師，老師給出的提示是：將△PAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本題.請根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中線段PB的長為.【方法遷移】：已知：如圖二，△ABC為正三角形，P為△ABC內(nèi)部一點，若PC=1，PA=2，PB=,求∠APB的大小.【能力拓展】：已知：如圖三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底邊AB上兩點且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的長.7．（2024·河南·?？家荒＃?）閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法．如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，求的度數(shù)．為利用已知條件，不妨把繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得，連接，則的長為_______；在中，易證，且的度數(shù)為_____，綜上可得的度數(shù)為__；（2）類比遷移:如圖，點是等腰內(nèi)的一點，．求的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用:如圖，在四邊形中，，請直接寫出BD的長．6．（23-24九年級上·山東德州·期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時，我們可以把圖形的一部分繞著公共端點旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來，從而達到解決問題的目的．（1）如圖1，等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點P，連接AP，BP，CP，∠APB＝135°，為探究AP，BP，CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將△ABP，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，則PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，連接AP、BP、CP，∠APB＝150°，請借助第一問的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點P在四邊形的內(nèi)部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，請直接寫出AB的長．7．（2023·山東濟南·模擬預(yù)測）（問題提出）如圖1，在等邊內(nèi)部有一點P，，，，求的度數(shù)．（數(shù)學(xué)思考）當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來解決問題．【嘗試解決】將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形．，又，，，為三角形，的度數(shù)為．【類比探究】如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點P，若，，，求的度數(shù)．【聯(lián)想拓展】如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點P，若，，，求的度數(shù)．

8．（23-24九年級上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在等邊內(nèi)有一點，且，，，若把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)求的長．(3)求點劃過的路徑長；(4)當(dāng)時，如果是由旋轉(zhuǎn)所得，求掃過的區(qū)域的面積．9．（23-24九年級上·湖北武漢·期中）如圖，在等腰中，，點是內(nèi)一點，連接，且，設(shè).（1）如圖1，若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)，易證為等邊三角形，則，；（2）如圖2，若，則，；（3）如圖3，試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.10．（23-24九年級上·廣東深圳·期中）【問題背景】：如圖1，在等邊中，點D是等邊內(nèi)一點，連結(jié)，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，觀察發(fā)現(xiàn)：與的數(shù)量關(guān)系為，度；【嘗試應(yīng)用】：如圖2，在等腰中，，，點D是內(nèi)一點，連結(jié)，，，，，，求面積．【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰中，，，點D為平面內(nèi)一點，且，，則的值為．

11．（23-24九年級·遼寧鞍山·期中）問題情境，利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)探索：每位同學(xué)在紙上畫好，，，要求同學(xué)們利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)某一條線段，探究圖形中的結(jié)論．問題發(fā)現(xiàn)，某小組將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角設(shè)為，連接、，如圖1所示．如圖2，小李同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點落在邊上時，；如圖3，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每改變一個度數(shù)時，的長也隨之改變．……問題提出與解決，該小組根據(jù)小李同學(xué)和小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1，請你解答．如圖1，在中，，，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)轉(zhuǎn)角設(shè)為，連接、．（1）如圖2，當(dāng)點落在邊上時，求證：；（2）如圖3，當(dāng)時，若，求的長．（3）拓展延伸，小張同學(xué)受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為，嘗試畫圖，并提出問題請你解答．如圖4，中，，，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角，連接、，求的度數(shù)．12．（2024·吉林長春·一模）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中，以達到解決問題的目的．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部有一點P，，，，求的度數(shù)．愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn)：將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，則，然后利用和形狀的特殊性求出的度數(shù)，就可以解決這道問題．下面是小明的部分解答過程：解：將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．，連接、，∵，，∴是等邊三角形，∴，．∵是等邊三角形，∴，，∴，即．請你補全余下的解答過程．（2）【類比遷移】如圖②，在正方形內(nèi)有一點P，且，，，則______度．（3）【拓展延伸】如圖③，在正方形中，對角線、交于點O，在直線上方有一點P，，，連接，則線段的最大值為______．13．（23-24九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）【幾何感知】如圖（1），在中，點D為BC邊上一點，連接AD，點P為線段AD上一點，連接PB、PC得到有公共邊的兩個和，求證：．【類比遷移】如圖（2），在中，點D、E、F分別為線段BC、AC、AB上的點，線段AD、BE、CF交于點P，若，，則．【拓展遷移】如圖（3），在中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點P為內(nèi)部一點，且，則線段AP＝．14．（23-24九年級上·山東德州·期中）【閱讀材料】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明同學(xué)遇到了如下問題：如圖1，在等邊△ABC中，點P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．經(jīng)過同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流，對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系．即能求PB＝請參考他們的想法，完成下面問題：【學(xué)以致用】如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)一點，PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB的長；【能力拓展】如圖3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底邊AB上的兩點且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的長．15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）問題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，請求出∠ADB的度數(shù)．問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計劃在一處空地上修建一個新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點A、B、C分別是三個任務(wù)點，點P是△ABC內(nèi)一個打卡點．按照設(shè)計要求，CP＝30米，打卡點P對任務(wù)點A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．16．（2024山東?？级＃静僮靼l(fā)現(xiàn)】如圖①，在邊長為1個單位長