專題09 三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型解讀與提分精練（全國）

專題09三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型全等三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就對角互補模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.垂美四邊形模型 2模型2.378和578模型 33 42模型1.垂美四邊形模型垂美四邊形的定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形。圖1圖2圖3圖4條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，且AC⊥BD；結論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對角線乘積的一半，即S四邊形ABCD=AC?BD。證明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，，，∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC?BO，S△ADC=AC?DO∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC?BO+AC?DO=AC?BD。條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點，連接AP、BP；結論：DP2+BP2=AP2+PC2證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC，由勾股定理得，，，∴，∴。條件：如圖3（或圖4），在矩形ABCD中，P為矩形內部（外部）任意一點，連接AP、BP，CP，DP；結論：AP2+PC2=DP2+BP2證明：過點作的垂線，交于點，交于點，則四邊形和為矩形，，由勾股定理得：則，，，．（圖4的證明和圖3證明相同）用處：①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯想到垂美四邊形。例1．（23-24八年級上·河北保定·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點．若，，則等于（

）

A． B． C． D．例2．（23-24九年級上·天津·期末）如圖，四邊形兩條對角線互相垂直，且．設，(1)用含的式子表示：_____________；(2)當四邊形的面積為時，求的長；例3．（2023·江蘇鹽城·一模）如圖，四邊形的對角線和互相垂直，，則四邊形面積最大值為．

例4．（2024·陜西·一模）已知矩形ABCD中有一點P，滿足PA＝1，PB＝2，PC＝3，則PD＝．例5．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形．了解性質：如圖1：已知四邊形中，．垂足為，則有：；性質應用：（1）如圖1，四邊形是垂美四邊形，若，，，則；性質變式：（2）如圖2，圖3，P是矩形所在平面內任意一點，則有以下重要結論：．請以圖3為例將重要結論證明出來．應用變式：（3）①如圖4，在矩形中，O為對角線交點，P為中點，則；（寫出證明過程）；②如圖5，在中，，，D是內一點，且，，則的最小值是．例6．（23-24八年級下·江西贛州·期末）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．經探究發(fā)現垂美四邊形ABCD的兩組對邊AB2，CD2和AD2，BC2有一定的數量關系，請你猜想有何種數量關系？并證明．（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．例7．（2024·山東德州·一模）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，是的中線，，垂足為．則稱為“中垂三角形”．設．(1)①如圖1，當，時，______．______．②如圖2，當時，求和的值．(2)請猜想、和三者之間的數量關系，并結合圖3寫出證明過程．(3)如圖4，在邊長為3的菱形中，為對角線、的交點，分別為線段的中點，連接并延長交于點分別交于點，求的值．模型2.378和578模型378和578模型：邊長為3、7、8或5、7、8的三角形（如圖1）。當我們遇到兩個三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時候，通常不會對它們進行處理，實際是因為我們對于這兩組數字不敏感，但如果將這兩個三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現這是一個邊長為8的等邊三角形。圖1圖2圖3圖4條件：當兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時；結論：①這兩個三角形的面積分別為、；②3、8與5、8夾角都是60°；③將兩個三角形長為7的邊拼在一起，恰好組成一個邊長為8的等邊三角形。證明：如圖2，過點C作CM⊥AB于點M，設BM=x則AM=3+x，∴∠CMB=90°，在Rt?ACM中：CM2=AC2-AM2，在Rt?BCM中：CM2=BC2-BM2，∴AC2-AM2=BC2-BM2，即82-（3+x）2=72-x2，解得x=1，∴CM=4，∴CM=，∴S?ABC=AB?CM=12?3?=，∵CM=4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。如圖3，過點F作FN⊥DE于點N，設DN=x則NE=5-x，∴∠FND=90°，在Rt?DNF中：NF2=DF2-DN2，在Rt?ENF中：NF2=EF2-NE2，∴DF2-DN2=EF2-NE2，即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，NE=4，∴NF=，∴S?DEF=?DE?NF=?5?=，∵NE=4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°?！郈M=NF=，∠CMB=∠FND=90°，∵CB=DF=7，∴Rt?BCM≌Rt?DNF，∴∠CBM=∠FDN，∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC=EF=8。∴將兩個三角形長為7的邊拼在一起，恰好組成一個邊長為8的等邊三角形（如圖4）。例1．（2023·浙江溫州·九年級?？计谀┻呴L為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°例2．（2023·江蘇·八年級專題練習）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°例3．（2023·綿陽市·八年級專題練習）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC邊上的高．例4．（2023八年級上·江蘇·專題練習）已知在中，，，，則的面積為（）A． B． C． D．例5．（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）在中，，，，則的長為．1．（2023·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，AC、BD是方程的兩個解，則四邊形的面積是（

）A．60 B．30 C．16 D．322．（23-24八年級下·安徽合肥·期末）點P是矩形內一點，且滿足，，，則的值為（

）A．3 B．5 C． D．3．（2024·天津和平·二模）如圖，四邊形的兩條對角線，BD相交于點，點在線段上，且，若．有下列結論：①的取值范圍是；②的長有兩個不同的值滿足四邊形的面積為12；③四邊形面積最大值為．其中，正確結論的個數有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4．（2023·山東八年級課時練習）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°5．（2024·四川廣元·二模）如圖，在四邊形中，，對角線AC，BD互相垂直，，，則的值是6．（2022·山東棗莊·模擬預測）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=3，BC=5，則．7．（23-24九年級上·廣東梅州·期中）四邊形的對角線互相垂直且長分別為8和12，則面積為．8．（23-24八年級·浙江·期末）當兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時，則這兩個三角形的面積之和是．9．（23-24八年級下·河北石家莊·階段練習）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．（1）若，，，則；（2）若，，則；（3）若，，，，則m，n，c，d之間的數量關系是．10．（23-24八年級下·廣東廣州·期末）已知三角形一邊上的中線，與三角形三邊有如下數量關系：三角形兩邊的平方和等于第三邊一半的平方與第三邊中線平方之和的2倍．即：如圖，在中，是邊上的中線，則有．請運用上述結論，解答下面問題．如圖，點為矩形外部一點，已知，若，則的取值范圍為．11．（2022·湖北·一模）如圖，P是矩形ABCD外一點，有以下結論：①S△PAB+S△PCD=S矩形ABCD②S△PBC=S△PAC+S△PCD③PA2+PC2=PB2+PD2；④若PD⊥PB，則P、A、B、C、D在同一個圓上其中正確的序號是12．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，且，則四邊形面積的最大值為．13．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為奇妙四邊形．如圖1，四邊形中，若，，則稱四邊形為奇妙四邊形．根據奇妙四邊形對角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個重要性質：奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據以上信息回答：(1)矩形________奇妙四邊形（填“是”或“不是”）；(2)如圖2，已知的內接四邊形是奇妙四邊形，若的半徑為8，．求奇妙四邊形的面積；(3)如圖3，已知的內接四邊形是奇妙四邊形．請猜測和的位置關系，并證明你的結論．14．（23-24九年級上·廣東東莞·期中）如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”

(1)試猜想箏形的對角線有什么位置關系，然后用全等三角形的知識證明你的猜想；(2)已知箏形的對角線的長度為整數值，且滿足．設的長為x，四邊形的面積為S，試求x為多少時，S有最大值，最大值是多少？15．（2024·山西晉城·三模）請閱讀列材料，并完成相應的任務：三角形中線定理三角形中線定理又稱阿波羅尼奧斯定理，是一種平面幾何的定理之一，指三角形三邊和中線長度關系．阿波羅尼奧斯（約公元前262-190年），古希臘數學家，與歐幾里得、阿基米德合稱為古希臘亞歷山大前期的三大數學家．中線定理：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在中，點D為BC的中點，根據“阿波羅尼奧斯”，可得．下面是該定理的證明過程（部分）：證明：過點A作于點E，如圖2，在中，，同理可得：，，證明的方便，不妨設，，…任務：(1)按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；(2)如圖3，在中，點為的中點，，，，則AD的長為______；(3)如圖4，已知平行四邊形中，和BD相交于點，設，，請直接用含，的代數式表示的值；(4)如圖5，已知平行四邊形內接于，點為內一點，若，，，，請直接寫出的長．16．（24-25九年級上·廣東深圳·月考）垂美四邊形定義如下：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．(1)如圖1，四邊形是“垂美四邊形”，猜想與之間的數量關系：______，并說明理由．(2)如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，若，求的長．(3)如圖3，在中，，點P是外一點，連接，，已知，若以A、B、C、P為頂點的四邊形為垂美四邊形，請直接寫出的長．17．（2024·山東德州·一模）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，，是的中線，，垂足為．則稱為“中垂三角形”．設，，．

(1)①如圖1，當，時，____________．②如圖2，當，時，求和的值．(2)請猜想、和三者之間的數量關系，并結合圖3寫出證明過程．(3)如圖4，在邊長為3的菱形中，為對角線，的交點，分別為線段，的中點，連接，并延長交于點，，分別交于點，求的值．18．（2023·山東青島·二模）如果一個三角形有兩條互相垂直的中線，我們就把這樣的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，，是的中線，，垂足為P