2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高三上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合A、B、C滿足A∩B＝A，B∪C＝C，則A與C之間的關(guān)系是()A.A＝C B.C≠AC.A?C D.C?A2.復(fù)數(shù)等于它共軛復(fù)數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（）A B. C. D.3.二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國(guó)古時(shí)歷法中的二十四個(gè)節(jié)氣而編成的小詩(shī)歌，體現(xiàn)著我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧.四句詩(shī)歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩(shī)歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩(shī)歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為（）A B. C. D.4.已知＝3，則＝（）A. B. C. D.5.我們把由0和1組成的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把斐波那契數(shù)列中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可得到數(shù)列，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值可能是（）A.100 B.201 C.302 D.3996.如圖所示，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)P、M、N分別為棱、AB、的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)N出發(fā)向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，以下結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線CP可能相交 B.直線與直線CP始終異面C.直線與直線CP可能垂直 D.直線與直線BP不可能垂直7.已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過作的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點(diǎn)，則（）A.隨P點(diǎn)變化而變化 B.5C.4 D.28.物種多樣性是指一定區(qū)域內(nèi)動(dòng)物、植物、微生物等生物種類的豐富程度，關(guān)系著人類福祉，是人類賴以生存和發(fā)展的重要基礎(chǔ).通常用香農(nóng)-維納指數(shù)來衡量一個(gè)群落的物種多樣性.，其中為群落中物種總數(shù)，為第個(gè)物種的個(gè)體數(shù)量占群落中所有物種個(gè)體數(shù)量的比例.已知某地區(qū)一群落初始指數(shù)為，群落中所有物種個(gè)體數(shù)量為，在引人數(shù)量為的一個(gè)新物種后，指數(shù)（）A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.10.對(duì)于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒差數(shù)列”.下列敘述正確的有（）A.若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B.若，，則數(shù)列周期數(shù)列C.若，則數(shù)列沒有最小值D.若，則數(shù)列有最大值11.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B若A，B，C三點(diǎn)共線，則C.若向量與垂直，則的最小值為1D.向量與的夾角正切值的最大值為12.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng)（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長(zhǎng)為2，則（）/A.勒洛四面體被平面截得的截面面積是B.勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是C.勒洛四面體的截面面積的最大值為D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.若函數(shù)圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位所得到，且函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則__________．14.有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中取3件，若X表示取得次品的件數(shù)，則________.15.若直線與曲線相切，則的最小值為__________.16.已知圓，拋物線.若對(duì)于上任意一點(diǎn)，使得對(duì)圓上的任意兩點(diǎn)A，B，總有，則的取值范圍是______.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.（1）求角；（2）若點(diǎn)在上，，，求的值.18.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，證明.19.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；（2）若有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．20.如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是半球面上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面：（2）若點(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．21.2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州開幕，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目．為研究不同性別學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件“了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，．（1）根據(jù)已知條件，填寫列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)?（2）現(xiàn)從該校了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，再?gòu)倪@9名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，．0．0500．0100．0013．8416．63510．82822.已知橢圓C：的兩焦點(diǎn)分別為，并且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，記直線AB，MN的傾斜角分別為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合A、B、C滿足A∩B＝A，B∪C＝C，則A與C之間的關(guān)系是()A.A＝C B.C≠AC.A?C D.C?A【正確答案】C【分析】分析題意，；；從而：．【詳解】根據(jù)題意，，，從而，故選C．本題主要考查了對(duì)子集概念的理解，注意從題意中發(fā)現(xiàn)集合間的相互關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)等于它共軛復(fù)數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（）A. B. C. D.【正確答案】B【詳解】令則．由得，故選B．3.二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國(guó)古時(shí)歷法中的二十四個(gè)節(jié)氣而編成的小詩(shī)歌，體現(xiàn)著我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧.四句詩(shī)歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩(shī)歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩(shī)歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】直接由組合結(jié)合古典概型求解即可.【詳解】由題意知：從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為.故選：C.4.已知＝3，則＝（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系化正余弦為正切，最后代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】，故選：A.5.我們把由0和1組成的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把斐波那契數(shù)列中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可得到數(shù)列，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值可能是（）A.100 B.201 C.302 D.399【正確答案】C【分析】根據(jù)題意求出的前若干項(xiàng)，找出規(guī)律，從而逐一檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列的前若干項(xiàng)為：，則，所以，，，.故選：C.6.如圖所示，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)P、M、N分別為棱、AB、的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)N出發(fā)向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，以下結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線CP可能相交 B.直線與直線CP始終異面C.直線與直線CP可能垂直 D.直線與直線BP不可能垂直【正確答案】B【分析】證明平面，從而可證四點(diǎn)不共面，即可判斷AB；設(shè)，將分別用表示，假設(shè)直線與直線CP垂直，則，求出即可判斷C；證明平面，即可判斷D.【詳解】在正三棱柱中，因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別為棱AB、的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，，所以四點(diǎn)不共面，所以直線與直線CP始終異面，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，，若直線與直線CP垂直，則，即，所以，即，解得，因?yàn)?，所以不存在點(diǎn)使得直線與直線CP垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，所以?dāng)點(diǎn)在的位置時(shí)，直線與直線BP垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B.7.已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過作的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點(diǎn)，則（）A.隨P點(diǎn)變化而變化 B.5C.4 D.2【正確答案】B【分析】由題設(shè)條件結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得，由雙曲線的定義推出，由中位線定理可得，由雙曲線的方程可得所求值．【詳解】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，延長(zhǎng)交于，是的角平分線，，在雙曲線上，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是△的中位線，，即，雙曲線中，則．故選：B．本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和中位線定理，考查推理能力．8.物種多樣性是指一定區(qū)域內(nèi)動(dòng)物、植物、微生物等生物種類的豐富程度，關(guān)系著人類福祉，是人類賴以生存和發(fā)展的重要基礎(chǔ).通常用香農(nóng)-維納指數(shù)來衡量一個(gè)群落的物種多樣性.，其中為群落中物種總數(shù)，為第個(gè)物種的個(gè)體數(shù)量占群落中所有物種個(gè)體數(shù)量的比例.已知某地區(qū)一群落初始指數(shù)為，群落中所有物種個(gè)體數(shù)量為，在引人數(shù)量為的一個(gè)新物種后，指數(shù)（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】結(jié)合題意，對(duì)進(jìn)行表示并化簡(jiǎn)整理，借助對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】記初始物種數(shù)量為，第個(gè)物種的個(gè)體數(shù)量，所以，則,,所以，在引人數(shù)量為的一個(gè)新物種后，物種數(shù)量為，所有物種的個(gè)體數(shù)量為，第個(gè)物種即為引入的新物種，個(gè)體數(shù)量為,則，，所以，結(jié)合①②可得:.故選:A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】確定，取特殊值排除B，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】，故，對(duì)選項(xiàng)A：，同時(shí)除以得到，正確；對(duì)選項(xiàng)B：取，，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，，故，正確；故選：ACD10.對(duì)于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒差數(shù)列”.下列敘述正確的有（）A.若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B.若，，則數(shù)列是周期數(shù)列C.若，則數(shù)列沒有最小值D.若，則數(shù)列有最大值【正確答案】BD【分析】可通過的單調(diào)性或反例說明錯(cuò)誤；令，可推導(dǎo)得到，由此整理得，知正確；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況下，根據(jù)的單調(diào)性可確定的單調(diào)性和正負(fù)，由此確定最大值和最小值，知的正誤.【詳解】對(duì)于，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，但在整個(gè)定義域上不是單調(diào)遞增，可知數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列不是單調(diào)遞增（如，則，），錯(cuò)誤；對(duì)于，是常數(shù)列，可設(shè)，則，，不是常數(shù)列，，，整理得：，，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，正確；對(duì)于，若，則，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，且單調(diào)遞增，，且單調(diào)遞增，此時(shí)；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且單調(diào)遞減，，且單調(diào)遞減，此時(shí)；綜上所述：既有最大值，又有最小值，錯(cuò)誤；正確.故選：BD.11.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結(jié)論正確是（）A.B.若A，B，C三點(diǎn)共線，則C.若向量與垂直，則的最小值為1D.向量與的夾角正切值的最大值為【正確答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，用坐標(biāo)表示向量，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，令，由，，得，，則，對(duì)于A，，因此，A正確；對(duì)于B，由三點(diǎn)共線，得，即，于是，解得，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由向量與垂直，得，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令向量與的夾角為，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，不妨令，，則，，顯然，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：AD12.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng)（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長(zhǎng)為2，則（）/A.勒洛四面體被平面截得的截面面積是B.勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是C.勒洛四面體的截面面積的最大值為D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為【正確答案】BC【分析】求出勒洛四面體被平面截得的截面面積判斷選項(xiàng)；求出勒洛四面體內(nèi)切球的半徑判斷選項(xiàng)．【詳解】觀察幾何體知，勒洛四面體的最大截面是經(jīng)過正四面體的任意三個(gè)頂點(diǎn)的平面截勒洛四面體而得，勒洛四面體被平面截得的截面是正及外面拼接上以各邊為弦的三個(gè)弓形，弓形弧是以正各頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑且所含圓心角為的扇形弧，如圖所示：因此，截面面積為：，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；由對(duì)稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，正外接圓半徑，正四面體的高，設(shè)正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，因此，勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，選項(xiàng)B正確；勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，所以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.若函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位所得到，且函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則__________．【正確答案】##【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，根據(jù)圖象平移變換得到的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定，即可求得答案.【詳解】由題意得，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，故，即且，則，而，故，故14.有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中取3件，若X表示取得次品的件數(shù)，則________.【正確答案】【分析】利用對(duì)立事件的概率計(jì)算，古典概型及其概率的計(jì)算公式，結(jié)合組合數(shù)的公式，即可求求解.【詳解】由8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中取3件，若表示取得次品的件數(shù)，則.故答案為.本題主要考查了概率的求法，其中解答中熟練應(yīng)用對(duì)立事件概念，以及古典概型及其概率的計(jì)算公式，結(jié)合組合數(shù)的公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.15.若直線與曲線相切，則的最小值為__________.【正確答案】##【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到，從而得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值，由此得解.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，由，得，，則，代入，得，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以，故.故答案為.16.已知圓，拋物線.若對(duì)于上任意一點(diǎn)，使得對(duì)圓上的任意兩點(diǎn)A，B，總有，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意得為圓的切線時(shí)最大，設(shè)直線分別與圓M切于點(diǎn)，設(shè),滿足，求解的最小值即可.【詳解】設(shè)直線分別與圓M切于點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)閷?duì)于上任意一點(diǎn)，使得對(duì)圓上的任意兩點(diǎn)A，B，總有，所以,即，所以，即,設(shè)，則，又，設(shè)，對(duì)稱軸，，當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)當(dāng)時(shí)，此時(shí)滿足題意，當(dāng)時(shí)，若時(shí)在時(shí)不合題意，所，即，所以時(shí)，在時(shí)當(dāng)時(shí)，即,化簡(jiǎn)得，解得，所以，綜上：，故答案為.本題關(guān)鍵分析出為圓的切線時(shí)最大，設(shè)直線分別與圓M切于點(diǎn)，設(shè),滿足，轉(zhuǎn)化為求的最值.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.（1）求角；（2）若點(diǎn)在上，，，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）應(yīng)用誘導(dǎo)公式和余弦的二倍角公式即可求解；（2）分別在，，中用余弦定理建立方程，再利用，即可求解.小問1詳解】因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以，即，因?yàn)椋?【小問2詳解】如圖，因?yàn)椋?，設(shè)，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋裕?18.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，證明.【正確答案】18.19.證明見解析【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式，然后用疊乘法求出通項(xiàng)公式即可；（2）利用放縮法以及裂項(xiàng)相消法證明即可.【小問1詳解】由已知得，令，則，即，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，所以，即，則，故；【小問2詳解】由已知得，其中，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.19.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；（2）若有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）設(shè)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增且，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可；（2）函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖形即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，由函數(shù)和在上單調(diào)遞增，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以即在上恒成立；【小問2詳解】由，得，令，則有2個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，令，得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)比大，故趨向于0，作出函數(shù)的大致圖象如下：結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故a的取值范圍是．20.如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是半球面上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面：（2）若點(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，可證為的中點(diǎn)且，可得，又，由線面垂直的判定可證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可求解.【小問1詳解】連接，因?yàn)槭堑酌姘雸A弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以有，又因?yàn)?，所以都為正三角形，所以，四邊形是菱形，記與的交點(diǎn)為，為和的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以三角形為正三角形，所以，所以，因?yàn)槭前肭蛎嫔弦稽c(diǎn)，是半球直徑，所以，因?yàn)?，平面，所以平面．【小?詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，由（1）知為的中點(diǎn)，為正三角形，所以，所以底面，因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，即兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，設(shè)直線與平面的所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．21.2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州開幕，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目．為研究不同性別學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件“了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，．（1）根據(jù)已知條件，填寫列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)?（2）現(xiàn)從該校了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，再?gòu)倪@9名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，．0．0500．0100．0013．8416．63510．828