第15講 設(shè)點(diǎn)設(shè)線技巧之設(shè)點(diǎn)技巧歸納總結(jié)（原卷版）

一．解答題（共19小題）1．如圖，已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(1,0)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得ΔABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè)．記ΔAFG，ΔCQG的面積為S1，S2.（1）若直線AB的斜率為求以線段AB為直徑的圓的面積；求的最小值及此時點(diǎn)G的坐標(biāo).2．如圖，已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)．過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得ΔABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記ΔAFG，ΔCQG的面積分別為S1，S2.求的最小值及此時點(diǎn)G的坐標(biāo).3．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)，短軸長為2.（1）求橢圓Γ1的方程；（2）設(shè)S為橢圓Γ1的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l1與Γ1交于M、N兩點(diǎn)（均異于S)，直線MS、NS分別交直線x=4于U、V兩點(diǎn)，證明：U、V兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值，并求出該定值；（3）記以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)、F(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線為Γ2，如圖，過點(diǎn)F的直線與Γ2交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在Γ2上，并使得ΔABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在F的右側(cè)，設(shè)ΔAFG、ΔCQG的面積分別為S1、S2，是否存在銳角θ,使得cosθ成立？請說明理由.4．已知雙曲線的焦距為3，其中一條漸近線的方程為2y=0．以雙曲線C的實(shí)軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E，過原點(diǎn)O的動直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn).若點(diǎn)P滿足|PA|=|PB|，求證為定值.M為橢圓上的動點(diǎn)，以M為圓心，MF2為半徑作圓M.（1）求橢圓C的方程；（2）若圓M與y軸有兩個交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍.6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C上的點(diǎn)M滿足|M=120o.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）作直線垂直于x軸，交橢圓C于點(diǎn)Q，R，點(diǎn)P是橢圓C上異于Q，R兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線PQ，PR分別與x軸交于S，T兩點(diǎn)，判斷|OS|.|OT|是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.7．已知橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(—,0),F2(,0)，且橢圓E經(jīng)過（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M是橢圓E上位于第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，A，B分別為橢圓E的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線MB與x軸交于點(diǎn)C，直線MA與y軸交于點(diǎn)D，求四邊形ABCD的面積.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:過點(diǎn)A（1）求橢圓E的方程；（2）點(diǎn)Q(x0，y0)是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，設(shè)P，M，N是橢圓E上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)且滿足，求證：直線OM與ON的斜率乘積為定值.9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:過點(diǎn)A（1）求橢圓E的方程；（2）點(diǎn)Q(x0，y0)是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，設(shè)P，M，N是橢圓E上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)且滿足探討是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.10．定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)P到曲線Γ上的點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到曲線Γ的距離．在平離與到A點(diǎn)的距離相等，記P點(diǎn)的軌跡為曲線W.(Ⅱ)過原點(diǎn)的直線l(l不與坐標(biāo)軸重合）與曲線W交于不同的兩點(diǎn)C，D，點(diǎn)E在曲線W上，且CE丄CD，直線DE與x軸交于點(diǎn)F，設(shè)直線DE，CF的斜率分別為k1，k2，求k2l:y=kx+m交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B，且OA.OB=0(O（1）求橢圓C的方程.（2）討論3m22k2是否為定值．若為定值，求出該定值，若不是，請說明理由.12．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的上、下頂 (Ⅱ)過F2的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求F2MF2(Ⅲ)過橢圓的右頂點(diǎn)C的直線l與橢圓交于點(diǎn)D（點(diǎn)D異于點(diǎn)C)，與y軸交于點(diǎn)P（點(diǎn)P異于坐標(biāo)原點(diǎn)O)，直線AD與BC交于點(diǎn)Q．證明：●為定值.(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與曲線C相交于異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)D、E，且直線AD與直線AE的斜率之和為2，則直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，說明理由.14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Ω:的離心率為直線l:y=2上的點(diǎn)和橢圓Ω上點(diǎn)的最小距離為1.（1）求橢圓Ω的方程；（2）已知橢圓Ω的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B，C是Ω上的不同于A的兩點(diǎn)，且點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線AB，AC分別交直線l于點(diǎn)E，F(xiàn)．記直線AC與AB的斜率分別為k1，k2.①求證：k1.k2為定值；②求ΔAEF的面積的最小值.15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，（1）設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2—PB2=4，求點(diǎn)P的軌跡；設(shè)x1=2，x2=，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）.16．已知A是橢圓的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，且在E上，且AM.AN=0.（1）當(dāng)|AM|=|AN|時，求ΔAMN的面積；（2）當(dāng)19|AM|=8|AN|時，求k的值.17．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)F(1,0)．過點(diǎn)F作斜率為k(k≠0)的直線l，交橢圓G于A、B兩點(diǎn)，M(2,0)是一個定點(diǎn)．如圖所示，連AM、BM，分別交橢圓G于C、D兩點(diǎn)（不同于A、B)，記直線CD的斜率為k1.(Ⅱ)在直線l的斜率k變化的過程中，是否存在一個常數(shù)λ,使得k1=λk恒成立？若存在，求出這個常數(shù)λ;若不存在，請說明理由.橢圓的左焦點(diǎn)F1斜率為k1(k1≠0)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)R(1,0)，延長AR，BR分別與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為k2，求的值及直線CD所經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)