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文檔簡介

集合之間的關(guān)系及運算[知識整合]基礎(chǔ)知識1.集合與集合間的關(guān)系(1)子集:對于兩個集合A和B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,那么集合A叫集合B的子集,記作A?B或B?A,讀作A包含于B或B包含A.任何一個集合是它本身的子集,即A?A.子集的性質(zhì):①任何一個集合A是它本身的子集,即A?A.②空集是任何一個集合A的子集,即??A.③子集個數(shù):一個集合A的子集個數(shù)為2n,其中n是指集合A中的元素個數(shù).(2)真子集:如果集合A是集合B的子集且B中至少有一個元素不屬于A,則集合A是集合B的真子集,記作AB或BA,讀作A真包含于B或B真包含A.(3)集合相等:如果兩個集合的元素相同,則稱這兩集合相等.集合A與集合B相等記作A=B.(4)子集、真子集、相等的關(guān)系①如果A?B,則AB或A=B.②如果A?B,且B?A,則A=B;反之,如果A=B,則A?B且B?A.2.集合的運算(1)交集①定義:由屬于A且屬于B的所有元素組成的集合,叫作集合A與集合B的交集,記作A∩B,讀作A交B,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.如圖中陰影部分所示:A∩BA∩B=BA∩B=AA∩B=?②性質(zhì):a.A∩A=A;b.A∩?=?;c.A∩B=B∩A;d.A∩B?A,A∩B?B;e.如果A?B,則A∩B=A;反之,如果A∩B=A,那么A?B.(2)并集①定義:由屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集合,叫作集合A與集合B的并集,記作A∪B,讀作A并B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}.如圖中陰影部分所示:A∪BA∪B=AA∪B=BA∪B②性質(zhì):a.A∪A=A;b.A∪?=A;c.A∪B=B∪A;d.A?(A∪B),B?(A∪B);e.如果A?B,則A∪B=B;反之,如果A∪B=B,那么A?B.(3)補集①全集:在研究集合間的關(guān)系時,如果每一個集合都是某一個給定集合U的子集,那么稱這個給定的集合為這些集合的全集,通常用符號U表示.②補集定義:如果A是全集U的一個子集,那么由全集U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合叫作A在全集中的補集,記作?UA,讀作A在U中的補集.如圖中陰影部分所示:③補集的性質(zhì):a.A∩?UA=?;b.A∪?UA=U;c.?U(?UA)=A.基礎(chǔ)訓練1.下列關(guān)系式①0∈{-1,0,1};②0={x|x2=0};③A∈A∩B;④{奇數(shù)}?{整數(shù)};⑤{偶數(shù)}?{合數(shù)};⑥?∩{0}=?,其中正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.42.設(shè)集合A={3,4,5,6},B={1,3,5,7},則集合A∩B的元素的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.43.已知集合M={0,1,3,5},N={-2,3,4},則M∪N=()A.{-2,0,1,3,4,5}B.{-2,1,3,4,5}C.{3}D.{0,1,2,3,4,5}4.設(shè)全集U=R,集合M={x|x>5},則?UM=________.5.若集合A={a1,a2,a3,…,an},則集合A的子集共有________個,真子集共有________個,非空子集有________個,非空真子集有________個.[重難點突破]考點1集合之間的關(guān)系例1若a=1,集合A={x|x<eq\r(2)},則下列關(guān)系中正確的是()A.a(chǎn)AB.{a}AC.{a}∈AD.{a}?A【解析】由于元素a=1<eq\r(2),故a∈A,{a}A,故選B.反思提煉:元素與集合的關(guān)系是從屬關(guān)系,只能用“∈”或“?”表示;集合與集合間的關(guān)系是包含關(guān)系,用“?”、“”或“=”等符號表示.【變式訓練】用適當?shù)姆?=,,,?,?)填空:(1){0}________?(2){a,b}________{a}(3){1}________{1,2,3}(4){a,b,c}________{c,a,b}(5)R________Z(6){正方形}________{矩形}(7)A∩B________A(8){x|x<3}________{x|-2<x<1}(9){0,2}________{x|x2-2x=0}例2設(shè)集合A={x|-x2-x+2<0},B={x|2x-5>0},則集合A與B的關(guān)系是()A.B?AB.B?AC.B∈AD.A∈B【解析】集合A={x|-x2-x+2<0}={x|x>1或x<-2},B={x|2x-5>0}={x|x>2.5}.∴B?A,故選A.【變式訓練】已知集合A={x|x2=1},B={-1,0,2a-3},且A?B,則a的值是________.例3已知集合B?{1,2,3},求滿足條件的集合B的個數(shù).【解】滿足條件的集合B為:?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∴集合B共有8個.【變式訓練】已知集合B滿足{1,2}?B?{1,2,3,4,5},求滿足條件的集合B的個數(shù).反思提煉:本題給出集合B的一個子集,同時它又是另一集合的子集,求滿足條件集合B的個數(shù),考查了子集的含義,屬于基礎(chǔ)題.寫子集時注意按一定的順序,做到不重不漏.考點2集合的運算例4設(shè)集合A={0,1,2,3},B={-1,0,1},則A∩B等于()A.?B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2,3}【解析】∵A={0,1,2,3},B={-1,0,1},∴A∩B={0,1},故選B.【變式訓練】已知集合A={0,1,2,3},B={x|x-1<2},則A∩B=()A.{0,1}B.{2,3}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}例5設(shè)集合A={0,1},B={-1,0},則A∪B=()A.?B.{0}C.{-1,0,1}D.{0,1}【解析】因為A={0,1},B={-1,0},所以A∪B={-1,0,1},故選C.【變式訓練】已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x>2},則A∪B=________.例6設(shè)全集U={0,1,2,3,5},A={0,1,2,3},B={0,3,5},則A∩?UB=()A.{2,5}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2,3}【解析】全集U={0,1,2,3,5},則?UB={1,2},A∩?UB={0,1,2,3}∩{1,2}={1,2},故選B.【變式訓練】已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,3,5},N={2,5},則?U(M∪N)=(){2,4}B.{4}C.{1,2,3,5}D.{1,3}[課堂訓練]1.已知集合A={-1,0,1,2},則下列關(guān)系成立的是()A.-1?AB.{-1,0}∈AC.0AD.{0,1}A2.設(shè)集合A=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1,2,3)),B=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3,4,5)),則A∩B=()A.?B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1,2))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1,2,3,4,5))3.下列各組集合中,表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={1,2},N={(1,2)}4.設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,4},B={2,3,4,5}.則?UA∩?UB等于()A.{1,2,3,4,5}B.{6}C.{3,5}D.{2,4,6}5.設(shè)全集U={1,2,3,4,5},A={1,4},?UA的所有子集的個數(shù)是()A.3B.6C.7D.86.集合M滿足{1}?M?{1,2,3,4},那么這樣的不同集合M共有________個.7.設(shè)集合A={(x,y)|2x-y=0},B={(x,y)|x-2y=5},則A∩B=__________.8.已知集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≤a},若A∩B≠?,則實數(shù)a的取值范圍是________.9.寫出滿足{0,1}A?{0,1,2,3,4}的所有集合A.10.已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,求實數(shù)a的取值范圍.集合之間的關(guān)系及運算答案知識整合基礎(chǔ)訓練1.C【解析】①0∈{-1,0,1}正確;④{奇數(shù)}?{整數(shù)}正確;⑥?∩{0}=?正確.2.B【解析】A∩B={3,5},有兩個元素,故選B.3.A【解析】M∪N={-2,0,1,3,4,5},故選A.4.{x|x≤5}【解析】由補集的定義可得.5.2n,2n-1,2n-1,2n-2【解析】若一個非空集合A={a1,a2,…,an},則該集合的子集數(shù)為2n,真子集的個數(shù)為2n-1,非空子集的個數(shù)為2n-1,非空真子集的個數(shù)為2n-2,這些公式要注意區(qū)分.重難點突破【例1】【變式訓練】,,,=,,,?,,=【例2】【變式訓練】2【解析】∵A={x|x2=1}={1,-1},A?B,∴2a-3=1,a=2.【例3】【變式訓練】【解】滿足條件的集合B為:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},∴集合B共有8個.【例4】【變式訓練】C【解析】由題可知:B={x|x-1<2}={x|x<3},故A∩B={0,1,2}.【例5】【變式訓練】{x|x>-1}【例6】【變式訓練】B【解析】M∪N={1,2,3,5},則?U(M∪N)={4},故選B.課堂訓練1.D【解析】-1∈A,{-1,0}A,0∈A,故選D.2.B【解析】∵A={1,2,3},B={3,4,5},∴A∩B={3}.3.B【解析】根據(jù)集合的定義,依次分析選項可得:對于A:M、N都是點集,(2,3)與(3,2)是不同的點,則M、N是不同的集合,故不符合;對于B:M、N都是數(shù)集,都表示2,3兩個數(shù),是同一個集合,符合要求;對于C:M是點集,表示直線x+y=1上所有的點,而N是數(shù)集,表示函數(shù)x+y=1的值域,則M、N是不同的集合,故不符合;對于D:M是數(shù)集,表示1,2兩個數(shù),N是點集,則M、N是不同的集合,故不符合;故選B.4.B【解析】∵全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,4},B={2,3,4,5},∴?UA={3,5,6},?UB={1,6},∴?UA∩?UB={6},故B為正確答案.5.D【解析】?UA={2,3,5},則其所有子集的個數(shù)為23=8個,故選D.6.8【解析】{1}、{1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,3,4}、{1,2,3,4}.7.eq

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