高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)題型專項(xiàng)集訓(xùn)題型練8大題專項(xiàng)（六）文

題型練8大題專項(xiàng)(六)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題1.已知函數(shù)f(x)=sinxx(x>(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上的單調(diào)性;(2)證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(π,2π)上存在唯一的極值點(diǎn)x0,且f(x0)<232.(2022廣西柳州二模)已知函數(shù)f(x)=12ax2(a+1)x+lnx(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)<0恒成立,求a的取值范圍.3.已知函數(shù)f(x)=lnx(1)若不等式f(x)≥lna2a+1在x∈[a,2a](0<a(2)若x1,x2∈[2,+∞),且x1>x2,求證:f(x1)f(x2)<134.已知函數(shù)f(x)=x2+(m2)xmlnx.(1)討論f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)設(shè)函數(shù)g(x)=12x2+mlnx,P,Q為曲線y=f(x)g(x)上任意兩個(gè)不同的點(diǎn),設(shè)直線PQ的斜率為k,若k>m恒成立,求m的取值范圍5.已知函數(shù)f(x)=12axa+1ln(1)若函數(shù)f(x)為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.6.已知函數(shù)f(x)=exsinxkx(k∈R)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)若對(duì)任意x∈0,π2,f(x(2)設(shè)x1,x2∈0,π2,且x1+x2=答案：1.(1)解:由于f(x)=sinxx(x>0),得f'(x)=xcosx-sinxx2(x>0),設(shè)g(x)=xcosxsinx(x>0),其導(dǎo)函數(shù)g'(x)=xsinx,在區(qū)間(0,π)上,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,且g(0)=所以在區(qū)間(0,π)上,f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞減.(2)證明:由(1)知,在區(qū)間(π,2π)上,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,且g(π)=π<0,g(2π)=2π>0,所以存在唯一的x0∈(π,2π),使得f'(x0)=0,在區(qū)間(π,x0)上,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,2π)上,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間(π,2π)上的唯一極小值,其中f'4π3=32-23π169π2<0,f'3π2=1由于f4π3>f3π2,所以f(x02.解:(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x+lnx,所以f'(x)=1+1x,所以f'(1)=1+1=0又f(1)=1,所以f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=1.(2)f(x)=12ax2(a+1)x+lnx的定義域?yàn)?0,+∞f'(x)=ax(a+1)+1x①當(dāng)a>0時(shí),由12ax2(a+1)x>0,解得x>2+2a所以存在x0∈2+2a,+∞,使得12ax02(a+1)此時(shí)f(x0)=12ax02(a+1)x0+ln②當(dāng)a≤0時(shí),ax1<0.令f'(x)>0,解得0<x<1;令f'(x)<0,解得x>1,所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(1)=12a1要使f(x)<0恒成立,只需12a1<0,解得a>2又a≤0,所以2<a≤0.綜上所述,a的取值范圍為(2,0].3.(1)解:由已知得f'(x)=1-lnxx2,令f'(x所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+∞).所以當(dāng)0<a≤e2時(shí),f(x)max=ln2a2a≥lna2a+當(dāng)e2<a≤e時(shí),f(x)max=1e≥lna2a+1,而lna2a+1>(2)證明:令G(x)=f(x)13x2=lnxx-1則G'(x)=1-lnxx令H(x)=33lnx2x3(x≥2),則H'(x)=3x6x2因?yàn)閤≥2,所以H'(x)<0,所以H(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞減,所以H(x)≤H(2)=133ln2<0,所以G'(x)<0,所以G(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)閤1,x2∈[2,+∞),且x1>x2,所以G(x1)<G(x2),即f(x1)13x12<f(x2)13x22,所以f(x1)4.解:(1)依題意,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=2x+m2mx令f'(x)=0,得x=m2或x=1①當(dāng)m2>1,即m<在區(qū)間(0,1)和-m2,+∞上,f'(x)>0,在區(qū)間1,-m2上,f'(②當(dāng)0<m2<1,即2<m<在區(qū)間0,-m2和(1,+∞)上,f'(x)>0,在區(qū)間-m2,1上,f'(x)③當(dāng)m2=1,即m=f'(x)=(2x+m)(x-1④當(dāng)m2≤0,即m≥0時(shí),在區(qū)間(0,1)上,f'(x)<0,在區(qū)間(1,+∞)上,f'(x)>0,此時(shí)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)綜上,當(dāng)m=2時(shí),f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0;當(dāng)m≥0時(shí),f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1;當(dāng)m<2或2<m<0時(shí),f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.(2)令h(x)=f(x)g(x),則h(x)=12x2+(m2)x2mlnx設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1,x2∈(0,+∞),則k=h(不妨設(shè)x1>x2,則由k=h(x1)-h(x2)x1-x2>m恒成立,可得h(令c(x)=h(x)mx,則c(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>0時(shí),c'(x)≥0恒成立,即h'(x)m=x+m22mxm=x又x∈(0,+∞),所以x22x2m≥0恒成立,所以2m≤(x22x)min.因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),x22x=(x1)21≥1,所以2m≤1,解得m≤12故m的取值范圍為(∞,12]5.解:(1)由題意知,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).∵f(x)=12axa+1ln∴f'(x)=12a1∵函數(shù)f(x)為減函數(shù),∴f'(x)≤0,即12a≤1-lnxx設(shè)m(x)=1-lnxx2,則m'(∴m(x)在區(qū)間(0,e32)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(e32,∴m(x)min=m(e32)=∴12a≤12e3,即故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(∞,e3].(2)易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f(x)=12設(shè)h(x)=12ax2(a1)xlnx則原命題等價(jià)于函數(shù)h(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.可知h'(x)=ax(a1)1x=a∴當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴若函數(shù)h(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則必有h(1)=12a+1<0,即a>2此時(shí),在x∈(1,+∞)內(nèi),有h(2)=2a2(a1)ln2=2ln2>0;在x∈(0,1)內(nèi),∵h(yuǎn)(x)=12a(x22x)+xlnx∵1<x22x<0,∴h(x)>12a+xlnx∴h(e-12a)>12a+e-1∴h(x)在區(qū)間(0,1),(1,+∞)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),故a>2符合題意;當(dāng)a=1時(shí),可知函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴函數(shù)h(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)1<a<0時(shí),可知函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間1,-1a內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間-1a,+∞內(nèi)單調(diào)遞減,∴函數(shù)h(x)的極小值為∴函數(shù)h(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)a<1時(shí),可知函數(shù)h(x)在區(qū)間0,-1a內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間-1a,1內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴函數(shù)h(x)的極小值為h-1a=12a∴函數(shù)h(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+∞).6.(1)解:f'(x)=exsinx+excosxk,令g(x)=exsinx+excosxk,所以g'(x)=2excosx.當(dāng)x∈0,π2時(shí),g'所以g(x)=exsinx+excosxk在區(qū)間0,π2上單調(diào)遞增,所以gπ2=eπ2k≥g(當(dāng)1k≥0時(shí),即k≤1時(shí),f'(x)=g(x)≥0恒成立,故f(x)在區(qū)間0,所以f(x)≥f(0)=0,滿足條件;當(dāng)eπ2k≤0時(shí),即eπ2≤k時(shí),f'(x)=g(x)≤0恒成立,故函數(shù)f(所以f(x)≤f(0)=0,不滿足條件;當(dāng)1k<0且eπ2k>0時(shí),即eπ2>k>1時(shí),存在x0∈0,π2使得當(dāng)x∈[0,x0]時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈