專題26以旋轉(zhuǎn)為載體的幾何綜合問題 （解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題26以旋轉(zhuǎn)為載體的幾何綜合問題

【例1】（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內(nèi)部，

連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．

(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

(2)延長ED交直線BC于點F．

①如圖2，當(dāng)點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；

②如圖3，當(dāng)點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．

【答案】(1)，理由見解析

(2)①??=??；②，理由見解析

??=??+??∠???=45°

【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到，再由全等

三角形的性質(zhì)求解；△???≌△??????

（2）①根據(jù)線段繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到得到是等邊三角形，

由等邊三角形的性?質(zhì)?和（1）的結(jié)論來求解；②6過0°點A作??△?于?點?G，連接AF，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到?，?⊥??，進(jìn)而得到

????

，進(jìn)而求出，結(jié)合∠?，?E?D=＝∠E?C?得?到??=??，再用等腰△直??角?三∽角△形

?的?性?質(zhì)求解．∠???=90°??=????=??

（1）

解：．

證明：??∵=??是等邊三角形，

∴△，???．

∵?線?段=??繞點∠?A?按?逆=時60針°方向旋轉(zhuǎn)得到，

∴??，，60°??

∴??=??∠??，?=60°

∴∠???=∠???，

∠????∠???=∠????∠???

第1頁共68頁.

即．

在∠???=和∠???中

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌；△??????

（?2）?=??

解：①

理由：?∵?線=段??+繞?點?A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，

∴是等?邊?三角形，60°??

∴△???，

由（??1）=得??=??，

∴??=??；

②?過?點=A?作?+??=?于?點+G?，?連接AF，如下圖．

??⊥??

∵是等邊三角形，，

∴△???，??⊥??

1

∴∠???=2∠???=3．0°

??3

∵??=co是s∠等?邊??三=角2形，點F為線段BC中點，

∴△???，，，

1

∴??=????⊥??，∠???=2∠???=30°

??3

∴??=cos∠???=，2，

????

∴∠???=∠?????=??，

即∠???+∠???，=∠???+∠???

∴∠???=∠???，

∴△???∽△???．

∵∠???=，∠???＝=90，°

∴??=??，????

即??=?是?等腰直角三角形，

△???

第2頁共68頁.

∴．

【點∠?睛??】本=題45主°要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直

角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識是解答

關(guān)鍵．

【例2】（2022·山東菏澤·中考真題）如圖1，在中，于點D，

在DA上取點E，使，連接BE、CE．△???∠???=45°,??⊥??

??=??

(1)直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；

(2)如圖2，將繞點D旋轉(zhuǎn)，得到（點，分別與點B，E對應(yīng)），連接、，

′′′′′

在旋轉(zhuǎn)△的?過??程中與的位置△關(guān)?系?與?（1?）中?′的CE與AB的位置關(guān)系是否??一致???請

′

說明△理??由?；??′??

(3)如圖3，當(dāng)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線與AD、分別交于點G、F，若

′

，△求???的長．??′????=

′

?【?答,?案?】=(1)3CE⊥?AB?，理由見解析

(2)一致，理由見解析

(3)

53

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，

可得結(jié)論；

（2）通過證明，可得，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；

′′′′

（3）由等腰直角△的??性?質(zhì)?和△直??角?三角形的∠性??質(zhì)?可=得∠???，即可求解．

′

【詳解】（1）如圖，延長CE交AB于H，??=3??

第3頁共68頁.

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，

∵DE=CD，

∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，

∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，

∴CE⊥AB；

（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致

′

的，理由△如?下??：??′??

如圖2，延長交于H，

′′

????

由旋轉(zhuǎn)可得：CD=，=AD，

′′

∵∠ADC=∠ADB=?90?°，??

∴，

′′

∵∠???=∠??，?

????

′′

∴??=??=1,

′′

△???～△???，

′′

∴∵∠???+=∠∠D?G?C?=90°，∠DGC=∠AGH，

′

∴∠?D?A?+∠AGH=90°，

′

∴∠AHC?=90°，

；

′′

∴（?3?）如⊥圖??3，過點D作DH于點H，

′

⊥??

第4頁共68頁.

∵△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，

∴，

′′

∠???=30°,??=??=??，

′′′

∴∠???=120°,∠???，=∠???=30°

′′

∵∴?A?D=⊥2D?H?，,?A?H==??DH=，

′

，3??

′

∴由?（?2）=可3知??：，

′′

△???～，△???

′′

∴∵∠A?D?⊥?BC=，∠C?D??==，30°

∴DG=1，CG=2DG3=2，

∴CG=FG=2，

，

′′

∵∴∠A?G?=?2G=F=340，°,??⊥??

∴AD=AG+DG=4+1=5，

∴．

'

【點??睛=】本3題??是=三5角形3綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．

【例3】（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點在正方形的對角線上，正方形

與正方形有公共點．???????????

?????

(1)如圖1，當(dāng)點在上，在上，求的值為多少；

2??

??????2??

第5頁共68頁.

(2)將正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；

??

(3)?，????，將正方形?(0繞°<逆?時<針90方°)向旋轉(zhuǎn)??，當(dāng)，，

2

三?點?共=線8時2，?請?直=接2寫?出?的長度．??????(0°<?<360°)??

?【答案】(1)2??

(2)

(3)2或

46?4246+42

【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得??∥??，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明

????1

，根據(jù)相似三?角?形=的??性=質(zhì)2即可求解；∠???=∠???

△（3?）??分∽兩△種?情??況畫出圖形，證明△ADG∽△ACE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股

定理即可得出答案．

（1）

解：正方形與正方形有公共點，點在上，在上，

∵???????????????

∴??∥??

????

∴=

????

????

四邊形是正方形∴=

????

∵????

∴??=2??

2??2??2??

∴（2）2??=??=??=2×2=2

解：如圖，連接，

??

正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，

∵??????(0°<?<90°)

∴∠???=∠???

????1

∵==

????2

第6頁共68頁.

，∴△???∽△???

????

∴（3?）?=??=2

解：①如圖，

，，

2

∵??=82??,=2??,，

2

∴??=三??點=共8線2，??=2×82=8??=2??=16

∵?,?,?中，，

2222

Rt△?????=???，??=16?8=83

∴由?（?2=）?可?知???=83?8，

△?，??∽△???

????

∴??=??=2．

?????82×83?8

∴②?如?圖=：??=16=46?2=46?42

由（2）知ADG∽△ACE，

∴△，

????2

∴D??G==??C=E，2

2

∵四邊形2ABCD是正方形，

∴AD=BC=8，AC=，

22

∵AG=AD，2??+??=16

2

2

第7頁共68頁.

∴AG=AD=8，

2

∵四邊形2AFEG是正方形，

∴∠AGE=90°，GE=AG=8，

∵C，G，E三點共線．

∴∠AGC=90°

∴CG=，

2222

∴CE=CG??+EG?=?8?+=8，16?8=83

∴DG=CE=3．

2

綜上，當(dāng)2C，4G，6E+三4點2共線時，DG的長度為或．

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似4三6角?形4的2性質(zhì)4與6判+定4，2正方形的性質(zhì)，勾股

定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．

【例4】（2022·山東濰坊·中考真題）【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個含角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足O處，

將甲繞點O順4時5°針旋轉(zhuǎn)一個銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，

并連接，如圖③所示，交于E，交于F，通過證明，可得

??．,??????????△???≌△???

?請?你=證?明?：．

??=??

【遷移應(yīng)用】

延長分別交所在直線于點P，D，如圖④，猜想并證明與的位．置．關(guān)系．

【拓?展?延伸】??,??????

小亮將圖②中的甲、乙換成含角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接，

如圖⑥所示，其他條件不變，3請0°你猜想并證明與的數(shù)．量．關(guān)系．??,??

????

第8頁共68頁.

【答案】證明見解析；垂直；

【分析】證明?，?即=可得3?出?結(jié)論；通過，可以求出

△???，?△得?出?結(jié)?論；證明∠???=∠?，??得出∠??，?得+出

????3

∠結(jié)?論?；?+∠???=90°??⊥??△???∽△?????=??=3

【詳解】證明：，

∵??=?，?,??⊥??

∴??=??,∠???=90°，

∵∠???+∠???，=90°,∠???+∠???=90°

∴∠???=∠，???

∵??=??，

∴△????△；???

∴遷移??應(yīng)=用?：?，

證明：??⊥??，

∵△????，△???

∴∠???=∠???，

∵∠???+∠???=45°，

∴∠???+∠??，?=45°

∵∠???=45°，

∴∠???+∠??，?+∠???=90°

∴∠???=9；0°

∴拓展??延⊥伸?：?，

證明：在??=中3?，?，

??3

在??△中?，??tan30°=?，?=3

??3

??△??，?tan30°=??=3

????

∴由上??一=問??題可知，，

，∠???=∠???

∴△???∽△?，??

????3

∴??=??=3．

∴【點??睛=】本3題??考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及知識點：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等角的余角相等，解題關(guān)鍵結(jié)合圖形靈活應(yīng)用相關(guān)的判定與性質(zhì)．

【例5】（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，，D，E，

F分別為的中點，連接．△?????=??=25,??=4

??,??,????,??

第9頁共68頁.

(1)如圖1，求證：；

5

(2)如圖2，將?繞?點=D2?順?時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，當(dāng)射線交于點G，射線

交于點∠N?時?，?連接并延長交射線于點M，判∠?斷??與的?數(shù)?量關(guān)??系，并說明理

?由?；??????????

(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，求的長．

【答案】(1)見解析??⊥????

(2)，理由見解析

5

(3)??=2??

10

3

【分析】（1）連接，可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得

，根據(jù)?中?位線定?理?可⊥得??，即可得證；??=

11

（2?2?）=證明5，根據(jù)?（?1=）2的??結(jié)=論2即可得；

5

（3）連接△?，?過?點∽△作???于，證明??=，2可?得?，勾股定

145

理求得??，根據(jù)???⊥???，△???∽△??，?可得??=2??=5，進(jìn)而

??3??3

求得?，?,根??據(jù)tan∠???求=得??=4，根∠?據(jù)?（?2=）∠的?結(jié)??論tan∠?，??即=可?求?解=．4

5

（1）????=??+??????=2??

證明：如圖，連接，

??

第10頁共68頁.

，D，E，F(xiàn)分別為的中點，

∵??=??=2，5,??=4，??,??,??

1

∴??=2??=2，??⊥??

1

∴??=2??=，5

5

∴（2?）?=2??

，理由如下，

5

?連?接=2，?如?圖，

??，D，E，F(xiàn)分別為的中點，

∵??=??=25,??=4，??,??,??

1

∴四??邊=形2??=是??平,行??四∥?邊?形，

∴????，

∴∠???=∠?，

1

∵??=2??=，??

∴∠???=∠?，

∴∠???=∠???，

∴180°?∠???=，180°?∠???

∴∠???=∠???

將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，

∵∠???，∠???

∴∠???=∠???，

∵∠???+∠???，=∠???+∠???

∴∠???=∠???，

∴△???∽△?，??

????5

∴??=??=2，

5

∴（3?）?=2??

第11頁共68頁.

如圖，連接，過點作于，

?????⊥???

中，,

1

Rt△?????=2??，=2

22

∴??=?????=4，

11

△???

∵?=2?????=2?，????

?????4×485

∴??=??，=25=5

∵??⊥??，

∴△???∽△?，??

????1

∴??=??=2，

145

∴??=2?中?，=5

Rt△???

，

2

2224525

??=??中，???=2?5=5

Rt△???

，

22

224535

??=?????=5?5=5

35，

??53

4

∴tan∠??，?=??=55=4

∵??∥??，

∴∠???=∠???，

??3

∴tan∠???=??=4，

442585

∴??=3??=3×5=15，

854545

∴??=??+??=，15+5=3

∵△???∽△?，??

????5

∴??=??=2．

554510

∴??=2??=2×3=3

第12頁共68頁.

【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定

理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)

鍵．

一、解答題【共20題】

1．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點旋轉(zhuǎn)（），

，，連接，．????△??????<??

∠???=90°??=??????

(1)如圖，求證：≌；

(2)直線1與相交△于?點??．△???

如圖??，??于點?，于點，求證：四邊形是正方形；

①如圖2，連??接⊥?，?若??，?⊥??，直?接寫出在旋??轉(zhuǎn)?的?過程中，線段長度的

②最小值．3????=4??=2△?????

【答案】(1)見解析

(2)①見解析②

26

【分析】根據(jù)證明三角形全等即可；

根據(jù)1鄰邊相等SA的S矩形是正方形證明即可；

2作①交于點，作于點，證明是等腰直角三角形，求出

②的最小??值⊥，?可?得結(jié)??論．???⊥???△?????

【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，

，∵．????

∴??=??，∠???=90°．

∵??=??∠??，?=90°

∴∠???=∠???，

∴在∠???=和∠???中，

△???△???

??=??

∠???=∠???

??=??

第13頁共68頁.

≌；

∴（△2）???證△明?：?如?圖SAS中，設(shè)與相交于點．

①2?????

，

∵∠???=90°．

∴∠???≌+∠???=，90°

∵△???△???．

∴∠???=∠???，

∵∠???=∠???．

∴∠???+∠??，?=∠???+∠???=90°

∴∠???=9，0°，

∵四??邊形⊥???是?矩⊥形??，

∴????．

∴四∠?邊?形?=90是°正方形，

∵??，??．

∴??=??∠??．?=∠???=90°

∴又∠???=∠???，

∵∠??≌?=∠??．?=90°

∴△???△．???

∴矩?形?=??是正方形；

∴解：?作???交于點，作于點，

②??⊥???????⊥???

∵

∴∠???=≌∠???=．90°,∠???=90°?∠???=∠???,??=??

△???．△???

∴??=??

第14頁共68頁.

，，

222

∵??最=大?時?，???最小，??=最4大值．

∴??最小值??最小值??．=??=2

∴由??可知=，??=是2等腰3直角三角形，

2最①小值△???．

∴【?點?睛】本=題屬2?于?四=邊2形6綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直

角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬

于中考壓軸題．

2．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運

動，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)?角?等??于??，=連4,接??=．3???

????∠?????

(1)當(dāng)點E在上時，作，垂足為M，求證；

(2)當(dāng)??時，求?的?長⊥；????=??

(3)連接??=，3點2E從點?B?運動到點D的過程中，試探究的最小值．

【答案】??(1)見詳解??

(2)或

(3)313

3

5

【分析】（1）證明即可得證．

（2）分情況討論，△當(dāng)?點??E?在△B?C?上?時，借助，在中求解；當(dāng)點E

在CD上時，過點E作EG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥△A?C??于?點△H?，?借?助??△???并利用勾股

定理求解即可．△????△???

（3）分別討論當(dāng)點E在BC和CD上時，點F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比

較取最小即可．

（1）

如圖所示，

由題意可知，，，

°

∠??，?=∠?=90∠???=∠???

∴由∠旋?轉(zhuǎn)??性=質(zhì)∠知?：??AE=AF，

第15頁共68頁.

在和中，

△???△???

，

∠?=∠???

{∠???=∠???

，

??=??

∴△????△．???

∴??=??

（2）

當(dāng)點E在BC上時，

在中，，，

則??△?????=4，??=32

22

在??=??中?，??=，2，

則??△?????=4，??=3

22

由（??1=）可?得?，+??=5，

在中，??=??=，2，

則??△?????=2，??=?????=5?4=1

22

當(dāng)點??E=在?CD?上+時??，如=圖，3

過點E作EG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥AC于點H，

同（1）可得，

△????△???，

∴由?勾?股=定?理?得=??=3,??=??=3,；??=2

22

故CF的長為??或=3．+2=13

（3）313

如圖1所示，當(dāng)點E在BC邊上時，過點D作于點H，

??⊥??

第16頁共68頁.

由（1）知，，

°

故點F在射線∠?M?F?上=運9動0，且點F與點H重合時，DH的值最?。?/p>

在與中，

△???△??，?

∠???=∠???

{

∠???=∠???，

∴??△???~?，?△???

??????

即∴??=??=??，

1????

∴4=3，=5，

35

∴??=4??=4，

511

?在?=???與??=4中?，4=4

△???△??，?

∠???=∠???

{

∠???=∠???，

∴??△??，?~??△???

????

∴??=??

即5，

14

11

??=4

，

11

故??=的5最小值；

11

??5

如圖2所示，當(dāng)點E在線段CD上時，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，得到線

段AR，連接FR，過點D作，，∠???

由題意可知，?，?⊥????⊥??

在與∠??中?=，∠???

△???△???

，

??=??

{∠???=∠???

，

??=??

∴△????△???，

°

∴∠???=∠???=90

第17頁共68頁.

故點F在RF上運動，當(dāng)點F與點K重合時，DF的值最??；

由于，，，

°

故四邊??形⊥D?Q?RK?是?矩⊥形??；∠???=90

，

∴??=??，

412

∴??=???cos，∠???=3×5=5

∵??=??=3，

123

故∴?此?時=D?F?的=最??小?值?為?；=3?5=5

3

由于，故DF的最5小值為．

3113

5<55

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股

定理、解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是各性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用．

3．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，

∠ECF＝90°，點E在BC上，點F在CD上，P為EF中點，連接AF，G為AF中點，連接

PG，DG，將Rt△ECF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）．

(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時，DG與PG的關(guān)系為；

(2)如圖2，當(dāng)α＝90°時

①求證：△AGD≌△FGM；

②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

【答案】(1)且

(2)①見解析；??②=成?立?，?理?由⊥見?解?析

第18頁共68頁.

【分析】（1）先判斷出，得出，，再用直角三角形

斜邊的中線等于斜邊的一△半??和?三?△角形??中?位線定理??、=三?角?形∠外?角??和=定∠理?，??即可得出結(jié)論；

（2）①先判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；

②由①知，∠???=∠，?得??，??=??得出，根據(jù)題（1），

得出△?，??得?△?????=，?得???=??．=又?根?據(jù)點?是?=?的?中點，是??=??

的中位??線=，?等?量代換△得????△??．?根據(jù)??=??得???，且??△???

，?推?出=??△，??又?根?據(jù)△???，∠同??旁?內(nèi)=角∠互??補(bǔ)?，得∠???=，

∠即???+∠?．??=90°∠???=90°??∥??∠???=90°

（?1）?⊥??

解：∵四邊形ABCD是正方形

∴，

∵∠?=∠為?等??腰=直9角0°三角??形=??=??=??

∴△???

∴?C?E＝=C?F?，

∴??=??

∴△????，△???

∵?點?=是??的∠中?點??=∠???

∴???

1

∴??=2??

1

∵?為?=2中??點，為中點

∴?是??的?中位??線

∴??△??，?

1

∴??=2??，??∥??

又?∵?在=??∠中???=∠???

∴△????且?=??=??

∴∠???=∠???∠???+∠???=∠???

∵2∠???=∠???

∴∠???+∠???+∠???=90°

∴2∠???+∠???=90°

∴∠???+∠???=90°

∴∠???+∠???=90°

故??⊥??且．

??=????⊥??

第19頁共68頁.

故答案是：DG=PG且DG⊥GP；

（2）

①證明：∵四邊形是正方形，

∴????∠???=∠???

∵?點?∥是??的中點

∴???

∴?在?=??和中

△???△???

∠???=∠???

{

∴??=??

∠???=∠???

解：△②??（?1?）△中?的??結(jié)(論???)且成立

證明：由①知，??=????⊥??

∴，△????△???

∴??=????=??=??

1

∴??=??=2??

∵??=??

∴??=??

又?∵?=??，

∴??=??∠???=∠???=90°

∴△????△，???

∵?點?=是??的∠中?點??=∠???

∴???

11

又?∵?=為??中=點2，??為=2?中?點

∴?是??的中?位線??

∴??△??，?

1

∴??=2????∥??

又?∵?=??

∴∠???=∠???+∠???=90°

∴∠???+∠???=90°

∴∠???=90°

又∠∵???=90°

∴??∥??

∴∠???+∠???=180°

∠???=90°

第20頁共68頁.

∴

故??⊥??且．

【點??睛=】?此?題?是?四⊥邊?形?綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰

直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是全等三角形性質(zhì)，三角形中位線定

理，等量代換的轉(zhuǎn)換運用．

4．（2022·山東青島·中考真題）如圖，在中，，

將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到Rt△???，連接∠???．=點9P0°從,?點?=B出5c發(fā)m,，??沿=3方cm向

勻速△運??動?，速度為；同時，點Q90從°點A△出?發(fā)?，?沿方?向?勻速運動，速度為?．?交

于點F，連接1cm/．s設(shè)運動時間為??．解答下列問題：1cm/s??

????,???(s)(0<?<5)

(1)當(dāng)時，求t的值；

(2)設(shè)四??邊⊥形??的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

2

(3)是否存在某??一??時刻t，使?(cm)？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)??∥??

16

(2)5s

1237

(3)存?=在2，??10?+14

65

?=29s

【分析】（1）利用得，即，進(jìn)而求解；

?????4

（2）分別過點C，P△作???∽△?????=，垂??足分別4=為5M，N，證得，

????

，求得，??⊥?，?,再??證⊥??得，△得??出?∽△???，根據(jù)??=??=

??1216????4

5

??四邊形??=5??=5△???∽△即?可?求?出?表?達(dá)=式??；??=??=

????△???△???△???△???

（?3）當(dāng)=?時+???，易?證?，得出，則，進(jìn)而

????5???

1613

??∥??∠???=∠???△???∽△???????55

求出t值．==

（1）

解：在中，由勾股定理得，

22

∵Rt繞△點??A?按逆時針方向旋轉(zhuǎn)?得?到=?????=25?9=4

∴△???，，，90°△，???

∵??=5??=3??=4∠???=90°∠???=90°

∴??⊥??

∠???=∠???=90°

第21頁共68頁.

又

∴∠???=∠???

∴△???∽△???

????

∴??=??

?4

∴4=5

16

答：?=當(dāng)5時，t的值為．

16

??⊥??5s

（2）

解：分別過點C，P作，垂足分別為M，N

∵??⊥??,??⊥??

∴∠?+∠???=90°,∠???+∠???=90°

又∠?=∠???

∴∠???=∠???=90°

∴△???∽△???

??????

∴??=??=??

534

∴4=??=，??

1216

∵??=5，??=5

∴∠?=∠?∠???=∠???=90°

∴△???∽△???

????

∴??=??

???

∴5=4

4

∴??=5?

111116

?△???=2??????=2×3×4=6,?△???=2??????=2×5×5=8

114611

∴?△???=??????=×3×?=?,?△???=??????=?(5??)

四邊形225522

?=?????=?△???+?△?????△?????△???

16

=6+8??(5??)??

25

1237

=???+14

210

第22頁共68頁.

∴

1237

（3?）=2??10?+14

解：假設(shè)存在某一時刻t，使

??∥??

∵

12

∴??=5,??=5

1213

∵??=?????=5?5=5

∴??∥??

又∠???=∠???

∴∠???=∠???=90°

∴△???∽△???

????

∴??=??

5???

1613

5=5

∴

65

∴存?=在2時9刻，使．

65

【點睛】本題?=考2查9s了旋轉(zhuǎn)??與∥相?似?，利用勾股定理求線段長，平行線的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

找到相似圖形是解決問題的關(guān)鍵，是中考中的?？碱}．

5．（2022·遼寧·本溪市教師進(jìn)修學(xué)院中考真題）在中，，線段

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至（不與重合），旋轉(zhuǎn)△角?記?為?，∠???的=平90分°,線??=與??射線?相?

交于點E，連接．???????∠???????

??

第23頁共68頁.

(1)如圖①，當(dāng)時，的度數(shù)是_____________；

(2)如圖②，當(dāng)?=20°∠時??，?求證：；

(3)當(dāng)0°<?<90°時，請直?接?寫+出2??的=值．2??

??

【答案0°】<(1?)<180°,??=2????

(2)見解析45°

(3)或

22+222?2

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，當(dāng)時可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算

的角度，再由，是??=?的?平分?線=可20知°，由三角形外角的性∠質(zhì)??，?

通過∠???=90°即??可得∠?出?答?案；∠???=35°

（2）∠延??長?=到∠?F?，?使?∠???，連接，先證明，可推導(dǎo)、

??、??=，?再?由已知?條?件及等腰△三?角?形?的≌△性?質(zhì)?推?導(dǎo)∠???=∠???，

∠然?后??證=明∠???∠??=?，?推導(dǎo)，在中，由三角函∠數(shù)?可??計=算∠???=45°，

即可證明△???≌△???；∠???=90°??△?????=2??

（3）分兩?種?情+況2?討?論=：2①??當(dāng)時，借助（2）可知，再求

??

的值即可；②當(dāng)0°時<，?在<線9段0°BD上取點F，使得??=(2，結(jié)2合?（22)?）?中??

，可知90°≤、?<180°，易證明?，?可=推?導(dǎo)?△、???≌

△?、????=，??∠???=∠???，在△???≌△中?，??由三角函數(shù)∠?可?計?=算∠?????=，

?即?可推∠?導(dǎo)??=90°∠???=，∠再??求?=的45值°即可?．?△?????=2??

??

（1）??=(22+2)????

解：由旋轉(zhuǎn)可知，，當(dāng)時，

可知??=???=20°，

180°??180°?20°

∵∠???=∠，???是=2的=平分2線，=80°

∴∠???=90°??∠???，

∠?????90°?20°

∴∠???=2=2=35°．

故答∠?案??為=：∠??；??∠???=80°?35°=45°

（2）45°

證明：延長到F，使，連接．

????=????

第24頁共68頁.

∵，，

∴??=??，??=??

∵??平=分??，

∴??∠???，

∵∠???=，∠???

∴??=??，

∴△???≌△???，，，

∵∠???=∠，???∠???=∠???∠??=??

∴??=??，

∵∠???=∠???，

∴∠???+∠???=180°，

∵∠???+∠??，?=180°

∴∠???=90°，

∵∠???=360°?(∠???+∠???)?∠???=360°?180°?90°=90°

∴∠???=∠???，

1

∵∠???=∠???=2×9，0°=45°