專題31三角形與新定義綜合問題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題31三角形與新定義綜合問題

【例1】（2022?淮安區(qū)模擬）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對（can），如圖1，在△ABC

中，AB＝AC，底角∠B的鄰對記作canB，這時canB＝＝．容易知道一個角的大小與這個角的鄰對

值是一一對應(yīng)的，根據(jù)上述角的鄰對的定義，解下列問題：

（1）can30°＝，若canB＝1，則∠B＝°．

（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周長．

第1頁共20頁.

【例2】（2022?柯城區(qū)校級三模）定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這個三角形為“標(biāo)準(zhǔn)三

角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于點D，AB＝CD，則△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形．

【概念感知】

判斷：對的打“√”，錯的打“×”．

（1）等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．

（2）頂角為30°的等腰三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．

【概念理解】

若一個等腰三角形為標(biāo)準(zhǔn)三角形，則此三角形的三邊長之比為．

【概念應(yīng)用】

（1）如圖，若△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形，CD⊥AB于點D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．

（2）若一個標(biāo)準(zhǔn)三角形的其中一邊是另一邊的倍，求最小角的正弦值．

第2頁共20頁.

【例3】（2020?五華區(qū)校級三模）愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，

即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是ABC的中線，

AM⊥BN于點P，像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．

【特例探究】

（1）如圖1，當(dāng)∠PAB＝45°，c＝時，a＝，b＝；如圖2，當(dāng)∠PAB＝30°，c＝2時，

a2+b2＝；

【歸納證明】

（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你

的結(jié)論．

【拓展證明】

（3）如圖4，在ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD＝3AE，BC＝3BF，連接AF、BE、

CE，且BE⊥CE于?E，AF與BE相交點G，AD＝3，AB＝3，求AF的長．

第3頁共20頁.

【例4】（2020?岳麓區(qū)校級二模）定義：在△ABC中，若有兩條中線互相垂直，則稱△ABC為中垂三角形，并且

把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周長，記作L，即L＝AB2+BC2+CA2．

（1）如圖1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分別是AC，BC邊上的中線，若AC＝BC，求證：△AOB

是等腰直角三角形；

（2）如圖2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分別是邊BC，AC上的中線，且AE⊥BD于點O，試探究△ABC

的方周長L與AB2之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（3）如圖3，已知拋物線y＝與x軸正半軸相交于點A，與y軸相交于點B，經(jīng)過點B的

直線與該拋物線相交于點C，與x軸負(fù)半軸相交于點D，且BD＝CD，連接AC交y軸于點E．

①求證：△ABC是中垂三角形；

②若△ABC為直角三角形，求△ABC的方周長L的值．

第4頁共20頁.

【例5】（2020?安徽模擬）通過學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比

值是一一對應(yīng)的，因此，兩條邊長的比值與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立

邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對（can），如圖（1）在△ABC中，AB

＝AC，底角B的鄰對記作canB，這時canB＝，容易知道一個角的大小與這個角的鄰對值也是一

一對應(yīng)的．根據(jù)上述角的鄰對的定義，解下列問題：

（1）can30°＝；

（2）如圖（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周長．

第5頁共20頁.

一．解答題（共20題）

1．（2022秋?如皋市期中）定義：一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．

（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有（只填寫序號）．

①頂角是30°的等腰三角形；

②等腰直角三角形；

③有一個角是30°的直角三角形．

（2）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，

延長DA到點E，連接BE．

①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；

②點P在線段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個是等腰三角形，一個

是“倍角三角形”，請直接寫出∠E的度數(shù)．

第6頁共20頁.

2．（2022秋?義烏市校級月考）【概念認(rèn)識】如圖①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，

BE叫做∠ABC的“三分線”，其中，BD是“鄰AB三分線“，BE是“鄰BC三分線”．

【問題解決】（1）如圖②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的三分線BD交AC于點

D．求∠BDC的度數(shù)．

（2）如圖③所示，在△ABC中．BP，CP分別是∠ABC的鄰BC三分線和∠ACB的鄰BC三分線，且∠BPC

＝140°．求∠A的度數(shù)．

【延伸推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所

在的直線交于點P，若∠A＝m°（m＞54），∠ABC＝54°．求出∠BPC的度數(shù)．（用含m的式子表示）

第7頁共20頁.

3．（2022春?石嘴山校級期末）[問題情境]

我們知道：在平面直角坐標(biāo)系中有不重合的兩點A（x1，y1）和點B（x2，y2），若x1＝x2，則AB∥y軸，且線

段AB的長度為|y1﹣y2|；若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線段AB的長度為|x1﹣x2|．

[拓展]

現(xiàn)在，若規(guī)定：平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點M（x1，y1）、N（x2，y2）之間的折線距離為d（M，N）

＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：圖中，點M（﹣1，1）與點N（1，﹣2）．

之間的折線距離d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5，

[應(yīng)用]

解決下列問題：

（1）已知點E（3，2），點F（1．﹣2），求d（E，F(xiàn)）的值；

（2）已知點E（3，1），H（﹣1，n），若d（E，H）＝6，求n的值；

（3）已知點P（3，4），點Q在y軸上，O為坐標(biāo)系原點，且△OPQ的面積是4.5，求d（P，Q）的值．

第8頁共20頁.

4．（2022春?鎮(zhèn)江期末）定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，我們稱這兩個角互為“開心

角”，這個三角形叫做“開心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，則∠A與∠B互為“開

心角”，△ABC為“開心三角形”．

【理解】

（1）若△ABC為開心三角形，∠A＝144°，則這個三角形中最小的內(nèi)角為°；

（2）若△ABC為開心三角形，∠A＝70°，則這個三角形中最小的內(nèi)角為°；

（3）已知∠A是開心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個開心角，試確定∠A的取值范圍，并說明理由；

【應(yīng)用】

如圖，AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，交BC于點E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延長BA和DC交于點P，

已知∠P＝30°，若∠BAE是開心△ABE中的一個開心角，設(shè)∠BAE＝∠，求∠的度數(shù)．

αα

5．（2022春?崇川區(qū)期末）定義：如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足+2＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇

妙三角形”．αβαβ

（1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．

求證：△ABD為“奇妙三角形”

（2）若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形；

（3）如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數(shù)．

第9頁共20頁.

6．（2022春?亭湖區(qū)校級月考）定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到

這邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”．如圖1，△ABC中，點D是BC邊上一點，

連接AD，若AD2＝BD?CD，則稱點D是△ABC中BC邊上的“好點”．

（1）如圖2，△ABC的頂點是4×3網(wǎng)格圖的格點，請僅用直尺畫出（或在圖中直接描出）AB邊上的所有“好

點”點D；

（2）△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，點D是BC邊上的“好點”，求線段BD的長；

（3）如圖3，△ABC是O的內(nèi)接三角形，點H在AB上，連結(jié)CH并延長交O于點D．若點H是△BCD

中CD邊上的“好點”．⊙⊙

①求證：OH⊥AB；

②若OH∥BD，O的半徑為r，且r＝3OH，求的值．

⊙

第10頁共20頁.

7．（2021秋?如皋市期末）【了解概念】

定義：如果一個三角形一邊上的中線等于這個三角形其中一邊的一半，則稱這個三角形為半線三角形，這條

中線叫這條邊的半線．

【理解運用】

（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，試判斷△ABC是否為半線三角形，并說明理由；

【拓展提升】

（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，M為△ABC外一點，連接MB，MC，若△ABC和△

MBC均為半線三角形，且AD和MD分別為這兩個三角形BC邊的半線，求∠AMC的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，若MD＝，AM＝1，直接寫出BM的長．

8．（2021秋?順義區(qū)期末）我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正度．

如圖1，在△ABC中，AB＝AC，的值為△ABC的正度．

已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC邊上的動點（D與A，B，C不重合）．

（1）若∠A＝90°，則△ABC的正度為；

（2）在圖1，當(dāng)點D在腰AB上（D與A、B不重合）時，請用尺規(guī)作出等腰△ACD，保留作圖痕跡；若△

ACD的正度是，求∠A的度數(shù)．

（3）若∠A是鈍角，如圖2，△ABC的正度為，△ABC的周長為22，是否存在點D，使△ACD具有正度？

若存在，求出△ACD的正度；若不存在，說明理由．

第11頁共20頁.

9．（2021秋?丹陽市期末）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：

如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有

＝1．

下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：

證明：如圖（2），過點A作AG∥BC，交DF的延長線于點G，則有，，∴

＝1．

請用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖（3），△ABC三邊CB，AB，AC的延長線分別交直線l于X，Y，Z三點，證明：＝1．

請用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：

（2）如圖（4），等邊△ABC的邊長為2，點D為BC的中點，點F在AB上，且BF＝2AF，CF與AD交于點

E，則AE的長為．

（3）如圖（5），△ABC的面積為2，F(xiàn)為AB中點，延長BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四

邊形BCEF的面積為．

第12頁共20頁.

10．（2021秋?洪江市期末）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間

的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角

形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．

（1）如圖1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割線，且AD＝CD，求∠ACB的度數(shù)；

（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；

（3）如圖3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰

三角形，求完美分割線CD的長．

11．（2021秋?石景山區(qū)期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，點P是線段CB上的一個動點（不

與點B，C重合），過點P作直線l⊥CB交AB于點Q．給出如下定義：

若在AC邊上存在一點M，使得點M關(guān)于直線l的對稱點N恰好在△ACB的邊上，則稱點M是△ACB的關(guān)于

直線l的“反稱點”．

例如，圖1中的點M是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點”．

（1）如圖2，若CP＝1，點M1，M2，M3，M4在AC邊上且AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6．在點M1，

M2，M3，M4中，是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點”為；

（2）若點M是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點”，恰好使得△ACN是等腰三角形，求AM的長；

（3）存在直線l及點M，使得點M是△ACB的關(guān)于直線l的“反稱點”，直接寫出線段CP的取值范圍．

第13頁共20頁.

12．（2021秋?鄞州區(qū)期末）【問題提出】

如圖1，△ABC中，線段DE的端點D，E分別在邊AB和AC上，若位于DE上方的兩條線段AD和AE之積

等于DE下方的兩條線段BD和CE之積，即AD×AE＝BD×CE，則稱DE是△ABC的“友好分割”線段．

（1）如圖1，若DE是△ABC的“友好分割”線段，AD＝2CE，AB＝8，求AC的長；

【發(fā)現(xiàn)證明】

（2）如圖2，△ABC中，點F在BC邊上，F(xiàn)D∥AC交AB于D，F(xiàn)E∥AB交AC于E，連結(jié)DE，求證：DE

是△ABC的“友好分割”線段；

【綜合運用】

（3）如圖3，DE是△ABC的“友好分割”線段，連結(jié)DE并延長交BC的延長線于F，過點A畫AG∥DE交

△ADE的外接圓于點G，連結(jié)GE，設(shè)＝x，＝y(tǒng)．

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

②連結(jié)BG，CG，當(dāng)y＝時，求的值．

第14頁共20頁.

13．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）定義1：如圖1，若點H在直線l上，在l的同側(cè)有兩條以H為端點的線段MH、

NH，滿足∠1＝∠2，則稱MH和NH關(guān)于直線l滿足“光學(xué)性質(zhì)”；

定義2：如圖2，在△ABC中，△PQR的三個頂點P、Q、R分別在BC，AC、AB上，若RP和QP關(guān)于BC

滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)于AB滿足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱△PQR

為△ABC的光線三角形．

閱讀以上定義，并探究問題：

在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三個頂點D、E、F分別在BC、AC，AB上．

（1）如圖3，若FE∥BC，DE和FE關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，求∠EDC的度數(shù)；

（2）如圖4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點E，D．

①證明：△DEF為△ABC的光線三角形；

②證明：△ABC的光線三角形是唯一的．

第15頁共20頁.

14．（2021秋?豐臺區(qū)期末）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段AB及點P，給出如下定義：

若點P滿足PA＝PB，則稱P為線段AB的“軸點”，其中，當(dāng)0°＜∠APB＜60°時，稱P為線段AB的“遠(yuǎn)

軸點”；當(dāng)60°≤∠APB＜180°時，稱P為線段AB的“近軸點”．

（1）如圖1，點A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（2，0），則在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4

（0，4）中，線段AB的“軸點”是；線段AB的“近軸點”是．

（2）如圖2，點A的坐標(biāo)為（3，0），點B在y軸正半軸上，∠OAB＝30°．若P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點”，

請直接寫出點P的橫坐標(biāo)t的取值范圍．

第16頁共20頁.

15．（2022秋?長沙期中）概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．

從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割

成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角開中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我

們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．

理解概念：

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，請寫出圖中兩對“等角三角形”．

概念應(yīng)用：

（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°．求證：CD為△ABC的等角分割線．

動手操作：

（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割線，請求出所有可能的∠ACB的度數(shù)．

16．（2022春?華州區(qū)期末）閱讀下面的材料，然后解答問題：

我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．

（1）理解并填空：

①根據(jù)奇異三角形的定義，請你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？（填“是”或“不是”）

②若某三角形的三邊長分別為1、、2，則該三角形（填“是”或“不是”）奇異三角形．

（2）探究：在Rt△ABC，兩邊長分別是a、c，且a2＝50，c2＝100，則這個三角形是否是奇異三角形？請說

明理由．

第17頁共20頁.

17．（2022?任城區(qū)三模）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖①在△ABC中，

AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是

相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：

（1）sad60°＝．

（2）sad90°＝．

（3）如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．

第18頁共20頁.

18．（2021?柯城區(qū)模擬）定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這個三角形為