專題8 填空題壓軸題之動點問題（解析版）

專題8填空題壓軸題之動點問題（解析版）

模塊一2022中考真題訓練

類型一用函數(shù)觀點描述幾何圖形

1．（2022?煙臺）如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個動點（不與點B，C重合），DE∥

AB，交AC于點E，EF∥BC，交AB于點F．設BD的長為x，四邊形BDEF的面積為y，y與x的函數(shù)

圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點P的坐標為（2，3），則AB的長為．

思路引領：根據(jù)拋物線的對稱性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，當BD＝2時，BDEF的面積為3，則

此時BF，AB＝2BF，即可解決問題．?

解：∵拋=物線3的頂點為（2，3），過點（0，0），

∴x＝4時，y＝0，

∴BC＝4，

作FH⊥BC于H，當BD＝2時，BDEF的面積為3，

?

∵3＝2FH，

∴FH，

3

∵∠A=BC2＝60°，

∴BF，

3

2

∵DE=∥A??B?，60°=3

∴AB＝2BF＝2，

3

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故答案為：2．

總結提升：本題3主要考查了動點的函數(shù)圖象問題，拋物線的對稱性，平行四邊形的性質，特殊角的三角

函數(shù)值等知識，求出BC＝4是解題的關鍵．

2．（2022?營口）如圖1，在四邊形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，動點P，Q同時從點A

出發(fā)，點P以cm/s的速度沿AB向點B運動（運動到B點即停止），點Q以2cm/s的速度沿折線AD→

DC向終點C運2動，設點Q的運動時間為x（s），△APQ的面積為y（cm2），若y與x之間的函數(shù)關系的

圖象如圖2所示，當x（s）時，則y＝cm2．

735

=

24

思路引領：根據(jù)題意以及函數(shù)圖像可得出△AED∽△APQ，則點Q在AD上運動時，△APQ為等腰直角

三角形，然后根據(jù)三角形面積公式得出當面積最大為9時，此時x＝3，則AD＝2x＝6cm，當3＜x≤4時，

過點P作PF⊥AD于點F，結合面積公式，分別表示出相關線段可得y與x之間的函數(shù)解析式，最后代

入求解即可．

解：過點D作DE⊥AB，垂足為E，

在Rt△ADE中，

∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，

∴，

??2

=

??2

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∵點P的速度為cm/s，點Q的速度為2cm/s，

∴APx，AQ＝22x，

∴=2，

??2?2

==

在?△?APQ2和?△AE2D中，

，∠A＝45°，

????2

==

?∴?△AE?D?∽△2APQ，

∴點Q在AD上運動時，△APQ為等腰直角三角形，

∴AP＝PQx，

=2

∴當點Q在AD上運動時，yAP?AQxx＝x2，

11

由圖像可知，當y＝9此時面積=最2大，x＝=32或×﹣23（×負2值舍去），

∴AD＝2x＝6cm，

當3＜x≤4時，過點P作PF⊥AD于點F，如圖：

此時S△APQ＝S△APF+S四邊形PQDF﹣S△ADQ，

在Rt△APF中，APx，∠PAF＝45°，

∴AF＝PF＝x，F(xiàn)D＝=6﹣2x，QD＝2x﹣6，

2

∴S△APQx（x+2x﹣6）?（6﹣x）6×（2x﹣6），

111

即y＝﹣=x2+26x+，2?2×

當x時，y＝﹣（）2+6，

77735

=×=

故答案2為：．224

35

總結提升：本4題考查了動點問題的函數(shù)圖像，注意分類討論，求出各段函數(shù)的函數(shù)關系式是解答本題的

關鍵．

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3．（2022?湖北）如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運動至點C

停止．若點P的運動速度為1cm/s，設點P的運動時間為t（s），AP的長度為y（cm），y與t的函數(shù)圖象

如圖2所示．當AP恰好平分∠BAC時t的值為22．

5+

思路引領：由圖象可得AB＝BC＝4cm，通過證明△APC∽△BAC，可求AP的長，即可求解．

解：如圖，連接AP，

由圖2可得AB＝BC＝4cm，

∵∠B＝36°，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠C＝72°，

∵AP平分∠BAC，

∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，

∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，

∴AP＝AC＝BP，

∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，

∴△APC∽△BAC，

∴，

????

2=

∴?A?P＝A?B??PC＝4（4﹣AP），

∴AP＝22＝BP，（負值舍去），

5?

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∴t22，

4+25?2

故答=案為：12=2．5+

總結提升：本題5+是動點問題的函數(shù)圖象，考查了等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，證明三

角形相似是解題的關鍵．

類型二三角形、多邊形上的動點問題

4．（2022?遵義）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點M，N分別為BC，AC上的動點，且

AN＝CM，AB．當AM+BN的值最小時，CM的長為2．

=2?2

思路引領：過點A作AH⊥BC于點H．設AN＝CM＝x．AM+BN，欲求

2222

AM+BN的最小值，相當于在x軸上尋找一點P（x，0），到E（1=，1）1，+F（(10?，?)）+的(距離2)和+的?最小值，

如圖1中，作點F關于x軸的對稱點F′，當E，P，F(xiàn)′共線時，PE+PF的值最2小，此時直線EF′的

解析式為y＝（1）x，求出點P的坐標，可得結論．

解：過點A作AH2⊥+BC于?點2H．設AN＝CM＝x．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

=2

∴BC2，

22

∵AH=⊥BC(，2)+(2)=

∴BH＝AH＝1，

∴AH＝BH＝CH＝1，

∴AM+BN，

2222

欲求AM+B=N的1最+小(1值?，?相)當+于(在2x)軸+上?尋找一點P（x，0），到E（1，1），F(xiàn)（0，）的距離和的最

小值，如圖1中，2

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作點F關于x軸的對稱點F′，當E，P，F(xiàn)′共線時，PE+PF的值最小，

此時直線EF′的解析式為y＝（1）x，

當y＝0時，x＝2，2+?2

∴AM+BN的值最?小時2，CM的值為2，

解法二：過點C作CE⊥CB，使得CE?＝A2C，連接EM，過點A作AD⊥BC于點D．

∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，

∴△BAN≌△ECM（SAS），

∴BN＝EM，

∴AM+BN＝AM+ME，

∴當A，M，E共線時，AM+BN的值最小，

∵AD∥EC，

∴，

????

==2

∴C?M???1＝2．

2

=×?2

故答案為1：+22．

總結提升：本?題考2查等腰直角三角形的性質，軸對稱最短問題，一次函數(shù)的性質等知識，解題的關鍵是

學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．

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5．（2022?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點E為高AD上的一動點，以BE為邊作等邊△BEF，連

接DF，CF，則∠BCF＝30°，F(xiàn)B+FD的最小值為5．

3

思路引領：首先證明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作點D關于CF的對稱點G，

連接CG，DG，BG，BG交CF于點F′，連接DF′，此時BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的

長．

解：如圖，

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥CB，

∴∠BAE∠BAC＝30°，

1

∵△BEF=是2等邊三角形，

∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，

∴∠ABE＝∠CBF，

在△BAE和△BCF中，

，

??=??

∠???=∠???

∴?△?=BA?E?≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠BCF＝30°，

作點D關于CF的對稱點G，連接CG，DG，BG，BG交CF的延長線于點F′，連接DF′，此時BF′

+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長．

∵∠DCF＝∠FCG＝30°，

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∴∠DCG＝60°，

∵CD＝CG＝5，

∴△CDG是等邊三角形，

∴DB＝DC＝DG，

∴∠CGB＝90°，

∴BG5，

2222

∴BF+=DF?的?最?小?值?為=510，?5=3

故答案為：30°，5．3

總結提升：本題考查旋3轉的性質，等邊三角形的性質，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是正確尋找

全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．

6．（2022?廣州）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針

旋轉60°得到線段BP′，連接PP′，CP′．當點P′落在邊BC上時，∠PP′C的度數(shù)為120°；

當線段CP′的長度最小時，∠PP′C的度數(shù)為75°．

思路引領：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．利用全等三角形的性質證明∠BEP′＝90°，

推出點P′在射線EP′上運動，如圖1中，設EP′交BC于點O，再證明△BEO是等腰直角三角形，

可得結論．

解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．

∵△BPP′是等邊三角形，

∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，

∴∠ABP＝∠EBP′，

在△ABP和△EBP′中，

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，

??=??

∠???=∠???′

∴?△?A=B?P?≌′△EBP′（SAS），

∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，

∴點P′在射線EP′上運動，

如圖1中，設EP′交BC于點O，

當點P′落在BC上時，點P′與O重合，此時∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，

當CP′⊥EP′時，CP′的長最小，此時∠EBO＝∠OCP′＝30°，

∴EOOB，OP′OC，

11

==

∴EP′＝2EO+OP′2OBOCBC，

111

∵BC＝2AB，=2+2=2

∴EP′＝AB＝EB，

∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，

∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，

∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．

故答案為：120°，75°．

總結提升：本題考查旋轉的性質，矩形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直

角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中

考填空題中的壓軸題．

7．（2022?柳州）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內一個動點，且EG＝

2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為

22．

5?

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思路引領：連接DG，將DG繞點D逆時針旋轉90°得DM，連接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，

利用SAS證明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再說明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH

＝CD＝4，求出CM的長，再利用三角形三邊關系可得答案．

解：連接DG，將DG繞點D逆時針旋轉90°得DM，連接MG，CM，MF，

作MH⊥CD于H，

∵∠EDF＝∠GDM，

∴∠EDG＝∠FDM，

∵DE＝DF，DG＝DM，

∴△EDG≌△MDF（SAS），

∴MF＝EG＝2，

∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，

∴△DGC≌△MDH（AAS），

∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，

∴CM2，

22

∵CF≥=CM4﹣+M2F，=5

∴CF的最小值為22，

故答案為：22．5?

總結提升：本題5?主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形

三邊關系等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．

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8．（2022?遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，點P為斜邊AB上的一個動

點（點P不與點A、B重合），過點P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點D和點E，連接DE，PC交

于點Q，連接AQ，當△APQ為直角三角形時，AP的長是3或2．

3

思路引領：由已知求出AB＝4，AC＝2，再分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°兩種情況進行討論，即可

求出答案．3

解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，

∴∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC＝2×2＝4，

∴AC2，

2222

當∠A=PQ＝??90?°?時?，=如圖41，?2=3

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，

∴∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC＝2×2＝4，

∴AC2，

2222

∵∠A=PQ＝??∠?AC?B?＝=90°4，?∠2CA=P＝∠3BAC，

∴△CAP∽△BAC，

∴，即，

????234

==

∴?A?P＝3?，???23

當∠AQP＝90°時，如圖2，

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∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，

∴四邊形DPEC是矩形，

∴CQ＝QP，

∵∠AQP＝90°，

∴AQ垂直平分CP，

∴AP＝AC＝2，

綜上所述，當△3APQ為直角三角形時，AP的長是3或2，

故答案為：3或2．3

總結提升：本題考查3了直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，掌握含30度角的直角三角形的性

質，相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，線段垂直平分線的判定與性質，分類討論的數(shù)學思

想是解決問題的關鍵．

9．（2022?陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分別是邊AD、BC上的動點，且AM

＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分別為E、F，則ME+NF的值為．

15

2

思路引領：連接AC交BD于O，根據(jù)菱形的性質得到BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，根據(jù)勾股定理

7

求出OA，證明△DEM∽△DOA，根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，用含=A2M的代數(shù)式表示ME、NF，

計算即可．

解：連接AC交BD于O，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，

7

=2

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由勾股定理得：OA，

2227215

∵ME⊥BD，AO⊥B=D，?????=4?(2)=2

∴ME∥AO，

∴△DEM∽△DOA，

∴，即，

??????4???

=15=

????4

2

解得：ME，

415?15??

=

同理可得：NF8，

15??

=

∴ME+NF，8

15

=

故答案為：2．

15

2

總結提升：本題考查的是相似三角形的判定和性質、菱形的性質、勾股定理，掌握相似三角形的判定定

理是解題的關鍵．

10．（2022?盤龍區(qū)二模）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，點

E為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B運動，同時，點Q在線段CD上由C

點向D點運動．當點Q的運動速度為或3或或cm/s時，能夠使△BPE與△CQP全等．

9515

1344

思路引領：設點P在線段BC上運動的時間為ts，分兩種情況討論，①點P由B向C運動時，△BPE≌

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△CQP②△BPE≌△CPQ，③點P由C向B運動時，△BPE≌△CQP，④△BPE≌△CPQ，根據(jù)全等

三角形的對應邊相等列方程解出即可．

解：設點P在線段BC上運動的時間為ts，

①點P由B向C運動時，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm，

∵△BPE≌△CQP，

∴BE＝CP＝5，

∴5＝8﹣3t，

解得t＝1，

∴BP＝CQ＝3，

此時，點Q的運動速度為3÷1＝3（cm/s）；

②點P由B向C運動時，

∵△BPE≌△CPQ，

∴BP＝CP，

∴3t＝8﹣3t，

t，

4

=

此時3，點Q的運動速度為：5（cm/s）；

415

③點P由C向B運動時，CP÷＝33t=﹣84，

∵△BPE≌△CQP，

∴BE＝CP＝5，

∴5＝3t﹣8，

解得t，

13

∴BP＝=C3Q＝3，

此時，點Q的運動速度為3（cm/s）；

139

④點P由C向B運動時，÷3=13

∵△BPE≌△CPQ，

∴BP＝CP＝4，

3t﹣8＝4，

t＝4，

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∵BE＝CQ＝5，

此時，點Q的運動速度為5÷4（cm/s）；

5

=4

綜上所述：點Q的運動速度為cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；

9515

故答案為：或3或或．1344

9515

總結提升：1本3題考查三4角4形全等的判定，掌握動點問題在解決全等三角形時邊長的表示及分情況討論，

它們也是解決問題的關鍵．

類型三有關圓的動點問題

11．（2022?寧波）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點O在BC上，以OB為半徑的圓與AC相切于點

A．D是BC邊上的動點，當△ACD為直角三角形時，AD的長為或．

36

25

思路引領：根據(jù)切線的性質定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可．

解：連接OA，過點A作AD⊥BC于點D，

∵圓與AC相切于點A．

∴OA⊥AC，

由題意可知：D點位置分為兩種情況，

①當∠CAD為90°時，此時D點與O點重合，設圓的半徑＝r，

∴OA＝r，OC＝4﹣r，

∵AC＝2，

在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，

解得：r，

3

=

即AD＝AO2；

3

=

②當∠ADC＝290°時，AD，

?????

=

∵AO，AC＝2，OC＝4﹣r??，

35

=2=2

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∴AD，

6

=5

綜上所述，AD的長為或，

36

故答案為：或．25

36

25

總結提升：本題主要考查了切線的性質和勾股定理，熟練掌握這些性質定理是解決本題的關鍵．

12．（2022?東城區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1，0）與（7，

0）．對于坐標平面內的一動點P，給出如下定義：若∠APB＝45°，則稱點P為線段AB的“等角點”．

①若點P為線段AB在第一象限的“等角點”，且在直線x＝4上，則點P的坐標為（4，33）；

②若點P為線段AB的“等角點”，并且在y軸正半軸上，則點P的坐標為（0，3±）或2（+0，﹣3

±）．2

2

思路引領：①根據(jù)P在直線x＝4上畫圖1，作△APB的外接圓C，連接AC，BC，可知AB＝6，OC的

半徑為3，最后計算PD的長可得點P的坐標；

②同理根據(jù)2作輔助線，計算OP和OP1的長，可得點P的坐標，注意不要丟解．

解：①如圖1，作△APB的外接圓，設圓心為C，連接AC，BC，

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∵點A與點B的坐標分別是（1，0）與（7，0），

∴AB＝7﹣1＝6，

∵∠APB＝45°，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC＝3，

∴PC＝3，2

∵點P在直2線x＝4上，

∴AD＝4﹣1＝3，

∴AD＝BD，

∵CD⊥AB，

∴CD＝AD＝3，

∴P（4，33），

故答案為：（24，+33）；

②如圖2所示，同2理+作△APB的外接圓，設圓心為C，過C作CD⊥x軸于D，作CE⊥OP于E，連接

PC，P1C，

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在y軸上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，

則①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝3，

2

由勾股定理得：PE，

22

∴PO＝3，=(32)?4=2

同理得：+OP12＝3，

∴P（0，3±）?，2

綜上分析，點P2的坐標為（0，3±）．

故答案為：（0，3±）．2

總結提升：本題主要考2查了坐標和圖形的性質，圓周角定理，勾股定理等知識，解題關鍵是作△APB的

外接圓．

模塊二2023中考押題預測

13．（2022?駐馬店二模）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點M是四

邊形ABCD內的一個動點，滿足∠AMD＝90°，則點M到直線BC的距離的最小值為32．

3?

思路引領：取AD的中點O，連接OM，過點M作ME⊥BC交BC的延長線于E，過點O作OF⊥BC于

F，交CD于G，則OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解決問題．

解：取AD的中點O，連接OM，過點M作ME⊥BC交BC的延長線于E，過點O作OF⊥BC于F，交

CD于G，則OM+ME≥OF．

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∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，

∴OMAD＝2，

1

∵AB∥=C2D，

∴∠GCF＝∠B＝60°，

∴∠DGO＝∠CGF＝30°，

∵AD＝BC，

∴∠DAB＝∠B＝60°，

∴∠ADC＝∠BCD＝120°，

∴∠DOG＝30°＝∠DGO，

∴DG＝DO＝2，

∵CD＝4，

∴CG＝2，

∴OG＝2OD?cos30°＝2，GF，OF＝3，

∴ME≥OF﹣OM＝323，=33

∴當O，M，E共線時3，?ME的值最小，最小值為32．

總結提升：本題考查解直角三角形，垂線段最短，直3角?三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是學

會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．

14．（2022?普定縣模擬）如圖，點M是∠AOB平分線上一點，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE，如

=5

果P是OB上一動點，則線段MP的取值范圍是MP．

15

≥3

思路引領：過M點作MF⊥OB于F，如圖，先根據(jù)角平分線的性質得到ME＝MF，∠AOM＝30°，再

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利用含30度角的直角三角形三邊的關系得到ME，所以MF，然后根據(jù)垂線段最短可確定線

1515

段MP的取值范圍．=3=3

解：過M點作MF⊥OB于F，如圖，

∵OM平分∠AOB，ME⊥OA，MF⊥OB，

∴ME＝MF，∠AOM∠AOB60°＝30°，

11

在Rt△OME中，∵∠=M2OE＝30=°2，×

∴MEOE，

3315

==×5=

∴MF3，33

15

∵P是=OB3上一動點，

∴MP≥MF，

即線段MP的取值范圍為MP．

15

≥

故答案為：MP．3

15

≥3

總結提升：本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了垂線段最

短．

15．（2022?徐州二模）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝2，點D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB，AC邊上的動

點，則△DEF周長的最小值為3．

思路引領：作點D關于AB的對稱點G，作點D關于AC的對稱點H，連接GH，GA，GE，GB，HA，

HF，HC，過點A作AI⊥BC于I，過點A作AJ⊥GH于J．根據(jù)軸對稱的性質，兩點之間，線段最短確

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定△DEF周長的最小值是GH，根據(jù)等邊三角形的性質，等腰三角形三線合一的性質和直角三角形的邊

角關系確定GH＝AD，再根據(jù)垂線段最短確定當AD⊥BC時，△DEF周長取得最小值為AI，最后根據(jù)等

邊三角形的性質和直角三角形的邊角關系即可求解．

解：如圖，作點D關于AB的對稱點G，作點D關于AC的對稱點H，連接GH，GA，GE，GB，HA，

HF，HC，過點A作AI⊥BC于I，過點A作AJ⊥GH于J．

∴GE＝DE，HF＝DF，AG＝AD，AH＝AD，∠GAB＝∠DAB，∠HAC＝∠DAC，

∴AG＝AH，C△DEF＝DE+DF+EF＝GE+HF+EF，

∴∠GAJ＝∠HAJ∠GAH，△DEF周長的最小值是GH．

1

∵三角形ABC是等=邊2三角形，

∴∠BAC＝∠ABC＝60°

∴∠DAB+∠DAC＝60°，

∴∠GAB+∠HAC＝60°，

∴∠GAH＝∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC＝120°，

∴∠GAJ＝∠HAJ＝60°，

∴GJ＝AG×sin∠GAJAGAD，J＝AH×sin∠HAJAHAD，

3333

∴GH＝GJ+HJAD=，2=2=2=2

∴當AD取得最=小值3時，GH取得最小值，即△DEF周長取得最小值．

∴當AD⊥BC時，即點D與點Ⅰ重合時，ADEF周長取得最小值為AI，

∵AB＝2，3

∴AI＝AB×sin∠ABC，

∴AI＝3．=3

∴△3DEF周長的最小值是3．

故答案為：3．

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總結提升：本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題，作出點D關于AC、BC的對稱點，將△DEF的周長

轉化為MN的長是解題的關鍵．

16．（2022?仁懷市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，點D為邊AB的中點，

點P為邊AC上的動點，則PB+PD的最小值為．

43

思路引領：先作點D關于AC的對稱點E，連接AE，PE，DE，則AE＝AD，PE＝PD，當B，P，E在同

一直線上時，BP+PD＝BP+PE＝BE，再判定△ADE是等邊三角形，求得Rt△ABE中，BE，即可

得到PB+PD的最小值為．=43

解：如圖所示，作點D關4于3AC的對稱點E，連接AE，PE，DE，則AE＝AD，PE＝PD，

∴BP+PD＝BP+PE，

∴當B，P，E在同一直線上時，BP+PD＝BP+PE＝BE，

∵∠BAC＝30°，

∴∠DAE＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴∠ADE＝60°，

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又∵D為AB上的中點，

∴DE＝AD＝DB，

∴∠DEB∠ADE＝30°＝∠ABE，

1

∴∠AEB＝=920°，

∵AB＝8，

∴AE＝4，

∴Rt△ABE中，BE，

即PB+PD的最小值=為43，

故答案為：．43

總結提升：4本題3主要考查了軸對稱﹣最短路線問題，等邊三角形的性質、勾股定理等，凡是涉及最短距

離的問題，一般要考慮線段的性質定理，利用軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．

17．（2022?亭湖區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，A（3，3），B（6，0），點D、E是OB的三等分點，點

P是線段AB上的一個動點，若只存在唯一一個點P使得PD+PE＝a，則a需滿足的條件是：

或6＜a≤2．?=25

10

思路引領：根據(jù)題意若只存在唯一一個點P使得PD+PE＝a，則PD+PE取得最小值或最大值，作點E

關于AB的對稱點E'，連接DE'交AB于點P，則PD+PE＝PD+PE'＝DE'＝a即可．

解：若只存在唯一一個點P使得PD+PE＝a，

則PD+PE取得最小值，

作點E關于AB的對稱點E'，連接DE'交AB于點P，

則PD+PE＝PD+PE'＝DE'，

∵A（3，3），B（6，0），

∴OA＝AB3

22

∴（3）=2+（33+）32=＝622，

22

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∴△AOB為等腰直角三角形，

∴∠ABO＝45°，

∵點D、E是OB的三等分點，

∴OD＝DE＝EB＝2，

根據(jù)軸對稱的性質可得，∠ABE＝∠ABE'＝45°，EB＝E'B＝2，

∴∠EBE'＝90°，

∴，

22

即??+??時=，?只?+存?在?唯′=一?一?個′=點P4使+得2P=D+2PE5＝a，

當?P=在2A5點時，PD+PE＝2，P在B點時PD+PE＝6，

∴PD+PE的最大值為2，1最0小值為2，

∴或6＜a≤21，05

?=2510

總結提升：本題考查了坐標與圖形，軸對稱的性質，勾股定理等知識點，讀懂題意得出若只存在唯一一

個點P使得PD+PE＝a，則PD+PE取得最小值或最大值是解本題的關鍵．

18．（2022?夏邑縣校級模擬）如圖，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，點D為AC的中點，點E

為邊AB上一個動點，連接DE，點A關于直線DE的對稱點為點F，分別連接DF，EF，當EF⊥AC時，

AE的長為或．

3

3

3

思路引領：當直線EF與直線AC垂直時，如圖1，如圖2，根據(jù)對稱的性質得到和等腰三角形的判定和

性質定理以及直角三角形的性質即可得到結論．

解：∵AC＝BC＝2，點D為AC的中點，

∴ADAC＝1，

1

①當直=線2EF與直線AC垂直時，如圖1，

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∵點A關于直線DE的對稱點為點F，

∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，

∵∠AGE＝90°，

∴∠AEG＝60°，

∴∠AED＝∠FED＝30°，

∴AD＝DE＝1，

過D作DM⊥AE與M

∴AE＝2AM＝21；

3

②當直線EF與×直2線×AC=垂3直時，如圖2，

∵將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點F處，

∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，

∵∠AGE＝∠FGD＝90°，

∴∠FDG＝60°，

∴∠ADE＝∠FDE＝30°，

∴∠A＝∠ADE，

∴AE＝DE，

∴AGAD，

11

=2=2

∴AE，

3

=

故答案為3：或．

3

3

3

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總結提升：本題考查了翻折變換（折疊問題）等腰三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質，正

確的作出圖形是解題的關鍵．

19．（2022?新昌縣模擬）在△ABC中，∠A＝60°，點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點，分別連

結BP和PQ．把△ABC分割成三個三角形．若分割成的這三個三角形都是等腰三角形，則∠ABC的度數(shù)

可以是80°．

思路引領：根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論．

解：∵∠A＝60°，BP和PQ把△ABC分割成三個三角形都是等腰三角形，

∴△ABP是等邊三角形，

∴∠ABP＝∠A＝60°，

①如圖1，

當BP＝BQ，PQ＝CQ時，

則∠C＝∠CPQ，∠BPQ＝∠BQP，

∴∠C+∠CBP＝∠APB＝60°，

∴∠CBP＝60°﹣∠C，

∵∠BQP＝∠C+∠CPQ＝2∠C，

∴2∠C+2∠C+60°﹣∠C＝180°，

∴∠C＝40°，

∴∠ABC＝80°；

②如圖2，當BQ＝PQ＝PC時，

則∠PBQ＝∠BPQ，∠C＝∠CQP，

∵∠PQB＝180°﹣∠CQP＝180°﹣∠C，

∴∠QBP+∠BPQ+∠BQP＝∠PBQ+∠PBQ+180°﹣∠C＝∠PBQ+∠PBQ+180°﹣（60°﹣∠PBQ）＝

180°，

∴∠PBQ＝20°，

∴∠ABC＝80°，

綜上所述，∠ABC的度數(shù)可以是80°，

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故答案為：80°．

總結提升：本題考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質，分類討論是解題的關鍵．

20．（2022?新化縣一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5．點E為邊AC上的動點，

點F為邊AB上的動點，則線段FE+EB的最小值是．

5

2

思路引領：作F關于AC的對稱點F'，延長AF'、BC交于點B'，當B、E、F'共線且與AB'垂直時，求BD

的長即可．

解：作F關于AC的對稱點F'，延長AF'、BC交于點B'，作BD⊥AB'于D，

∴∠BAB'＝30°，EF＝EF'，

∴FE+EB＝BE+EF'，

∴當B、E、F'共線且與AB'垂直時，BE+EF'長度最小，即求BD的長，

在△ABD中，BDAB，

15

==

故答案為：．22

5

2

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總結提升：本題主要考查軸對稱﹣最短路線問題，將BE+EF轉化為求線段BD是解題的關鍵．

21．（2022?順城區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，點M是射線AC上的

一個動點，MC＝1，連接BM，以AB為邊在AB的上方作∠ABE＝∠AMB，直線BE交AC的延長線于點

F，則CF＝或．

618

75

思路引領：分兩種情況根據(jù)含30°角的直角三角形的性質求解即可．

解：如圖，過點F作FH⊥BM于點H，

∴∠BHF＝90°，

∵∠ABE+∠ABF＝180°，∠AMB+∠BMF＝180°，∠ABE＝∠AMB，

∴∠ABF＝∠BMF，

∵∠ABF+∠A+∠AFB＝180°，∠BMF+∠MBF+∠AFB＝180°，

∴∠A＝∠MBF，

∵∠A＝30°，

∴∠MBF＝∠A＝30°，

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∴HFBF，

1

設CF=＝2x，

∵MC＝1，

∴MF＝MC+CF＝x+1，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝90°，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，

∴BC＝AC?tan30°＝62，

3

∴BM×3，=BF3，

22222

=??+??=13=??+??=12+?

∴HFBF，

112

=2=212+?

∵MF?BCBM?FH，

11

=

∴2（x+1）×22，

1112

3=×13×12+?

∴x2或x（舍2去），2

618

如圖=，7過點=F?作5FH⊥BM，交BM的延長線于點H，

∴∠BHF＝90°，

設CF＝x，

∵MC＝1，

∴MF＝CF﹣MC＝x﹣1，

同理，BM，BF，HFBF，

2112

=13=12+?=2=212+?

∵MF?BCBM?FH，

11

=

∴2（x﹣1）×22，

1112

3=×13×12+?

222

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