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文檔簡介
專題22解答題重點(diǎn)出題方向圓的證明與計算（解析版）
模塊一2022中考真題解析
1．（2022?南通）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，BD為O的直徑，AC平分∠BAD，CD＝2，點(diǎn)E在
BC的延長線上，連接DE．⊙⊙2
（1）求直徑BD的長；
（2）若BE＝5，計算圖中陰影部分的面積．
2
思路引領(lǐng)：（1）由BD為O的直徑，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以
BC＝DC，△BDC是等腰⊙直角三角形，即可求出BD的長；
（2）因?yàn)锽C＝DC，所以陰影的面積等于三角形CDE的面積．
解：（1）∵BD為O的直徑，
∴∠BCD＝∠DCE⊙＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝DC＝2，
∴BD＝224；
（2）∵BE2＝×52，=
∴CE＝3，2
∵BC＝DC2，
∴S陰影＝S△CDE26．
1
總結(jié)提升：本題=考2查×了圓2×的3性2質(zhì)=，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計算，熟練掌握圓周
角定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022?呼和浩特）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，交線段CA的延長
線于點(diǎn)E，連接BE．⊙
（1）求證：BD＝CD；
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（2）若tanC，BD＝4，求AE．
1
=2
思路引領(lǐng)：（1）連接AD，利用直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三線
合一性質(zhì)即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論可得BD＝DC＝4，BC＝8，然后在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出
AD的長，從而利用勾股定理求出AC的長，最后證明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性質(zhì)求出CE
的長，進(jìn)行計算即可解答．
（1）證明：連接AD，
∵AB是O的直徑，
∴∠ADB⊙＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：∵BD＝DC＝4，
∴BC＝DB+DC＝8，
在Rt△ADC中，tanC，
1
=
∴AD＝CD?tanC＝422，
1
×=
∴AC22，
2222
∵AB=是?O?的+直?徑?，=2+4=5
∴∠AEB⊙＝90°，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CEB，
∴，
????
=
∴????，
??8
=
425
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∴CE，
16
=5
∴AE＝C5E﹣AC，
6
=55
∴AE的長為．
6
5
5
總結(jié)提升：本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟
練掌握圓周角定理，以及解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
3．（2022?婁底）如圖，以BC為邊分別作菱形BCDE和菱形BCFG（點(diǎn)C，D，F(xiàn)共線），動點(diǎn)A在以BC
為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接EF交BC于點(diǎn)O．設(shè)∠G＝．
（1）求證：無論為何值，EF與BC相互平分；并請直接寫出使EF⊥BθC成立的值．
（2）當(dāng)＝90°時θ，試給出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，請說明理由．θ
θ
思路引領(lǐng)：（1）證明四邊形DEGF是平行四邊形，可得結(jié)論；
（2）當(dāng)tan∠ABC＝2時，EF垂直平分線段AC．證明OJ∥AB，可得結(jié)論．
（1）證明：∵四邊形BCFG，四邊形BCDE都是菱形，
∴CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，
∵D，C，F(xiàn)共線，
∴G，B，E共線，
∴DF∥EG，DF＝GE，
∴四邊形DEGF是平行四邊形，
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∴EF與BC互相平分．
當(dāng)EF⊥FG時，∵GF＝BG＝BE，
∴EG＝2GF，
∴∠GEF＝30°，
∴＝90°﹣30°＝60°；
θ
（2）解：當(dāng)tan∠ABC＝2時，EF垂直平分線段AC．
理由：如圖（2）中，設(shè)AC交EF于點(diǎn)J．
∵四邊形BCFG是菱形，
∴∠G＝∠FCO＝90°，
∵EF與BC互相平分，
∴OC＝OB，
∴CF＝BC，
∴FC＝2OC，
∴tan∠FOC＝tan∠ABC，
∴∠ABC＝∠FOC，
∴OJ∥AB，
∵OC＝OB，
∴CJ＝AJ，
∵BC是直徑，
∴∠BAC＝∠OJC＝90°，
∴EF垂直平分線段AC．
總結(jié)提升：本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活
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運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．
4．（2022?武漢）如圖，以AB為直徑的O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE
的延長線交O于點(diǎn)D，連接BD．⊙
（1）判斷△⊙BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的長．
10
思路引領(lǐng)：（1）由角平分線的定義可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠
DBE，所以BD＝ED，因?yàn)锳B為直徑，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）連接OC、CD、OD，OD交BC于點(diǎn)F．因?yàn)椤螪BC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因
為OB＝OC．所以O(shè)D垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因?yàn)?/p>
OB＝OD＝5．設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝1（02）2﹣（5﹣t5）2，解
出t的值即可．5
（1）解：△BDE為等腰直角三角形．
證明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：計算∠AEB＝135°也可以得證．
（2）解：連接OC、CD、OD，OD交BC于點(diǎn)F.
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∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．10
∵AB＝10，5
∴OB＝OD＝5．
設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，5
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分別延長AC，BD相交于點(diǎn)G．則△ABG為等腰三角形，先計算AG＝10，BG＝4，AD＝4，
再根據(jù)面積相等求得BC．55
總結(jié)提升：此題是圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，證明△BDE是等
腰直角三角形是解題關(guān)鍵．
5．（2022?威海）如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，延長CD至點(diǎn)E．
（1）若AB＝AC，求證：∠ADB＝∠A⊙DE；
（2）若BC＝3，O的半徑為2，求sin∠BAC．
⊙
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思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求證；
（2）連接CO并延長交O于點(diǎn)F，連接BF，根據(jù)圓周角定理得出∠FBC＝90°，∠F＝∠BAC，解直
角三角形即可得解．⊙
（1）證明：∵四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADE＝∠ABC，⊙
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE；
（2）解：連接CO并延長交O于點(diǎn)F，連接BF，
⊙
則∠FBC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，
∴sinF，
??3
∵∠F＝=∠??BA=C4，
∴sin∠BAC．
3
總結(jié)提升：此=題4考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理
是解題的關(guān)鍵．
6．（2022?湖北）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接CE交BD于點(diǎn)F，延長CE交
⊙
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O于點(diǎn)G，連接BG．
⊙（1）求證：FB2＝FE?FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的長．
思路引領(lǐng)：（1）利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（2）連接OE，利用平行線分線段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴．
∴∠?