專題30 中考命題核心元素全等三角形的基本模型的應(yīng)用（原卷版）

專題30中考命題核心元素全等三角形的基本模型的應(yīng)用（原卷版）

模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練

模型一平移模型

【模型解讀】有一組邊共線或部分重合，另兩組邊分別平行，常要在移動(dòng)方向上加(減)公共線段，構(gòu)

造線段相等，或利用平行線性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角相等．

基本圖形：

典例1（2022春?廣州期中）如圖，點(diǎn)A、D、B、E在一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求證：

△ABC≌△DEF．

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2021春?高州市校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．

（1）求證：∠E＝∠F．

（2）若EA＝CA，∠A＝40°，求∠D的度數(shù)．

2．（2022秋?武城縣月考）如圖，在四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，DE∥BC，∠ADE＝∠ECB，

（1）求證：△AED≌△EBC；

（2）當(dāng)AB＝6時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

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模型二對(duì)稱模型

【模型解讀】所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點(diǎn)就是全等三角形

的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，解題時(shí)要注意其隱含條件，即公共邊或公共角相等．

基本圖形：

典例2（2021秋?黃埔區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我們把這種兩組鄰邊分別相

等的四邊形叫做“箏形”，

（1）求證：△ABC≌△ADC；

（2）測(cè)量OB與OD、∠BOA與∠DOA，你有何猜想？證明你的猜想．

（3）在“箏形”ABCD中，已知AC＝6，BD＝4，求“箏形”ABCD的面積．

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2022秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，AC、DB相交于點(diǎn)O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．

（1）求證：△ABO≌△DCO；

（2）若∠OBC＝34°，求∠OCB的度數(shù)．

模型三一線三垂直

【模型解讀】一線：經(jīng)過直角頂點(diǎn)的直線(BE)；三垂直：直角兩邊互相垂直(AC⊥CD)，分別過直角兩

邊上的點(diǎn)向過直角頂點(diǎn)的直線作垂線(AB⊥BC，DE⊥CE)．利用“同角的余角相等”找等角(如∠1＝∠2)．

基本圖形：

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典例3（2022秋?汝城縣期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上運(yùn)動(dòng)，且始終保持

BE＝CF．連接AE、BF．

（1）求證：△ABE≌△BCF；

（2）求證：AE⊥BF；

（3）若AB＝10cm，紅螞蟻P以2.6厘米/秒的爬行速度從點(diǎn)B出發(fā)，黑螞蟻Q以3厘米/秒的爬行速度

從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿正方形ABCD的邊爬行，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，兩只螞蟻第一次在正方形ABCD

的哪條邊上相遇？

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2020?蘇州）問題1：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一點(diǎn)，PA＝PD，∠

APD＝90°．求證：AB+CD＝BC．

問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一點(diǎn)，PA＝PD，∠APD＝90°．求

的值．

??+??

??

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2．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是

BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，連接AP，則AP與BC的位置關(guān)系是；

（2）如圖2，若點(diǎn)P在線段BD上，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AP于點(diǎn)F，則CF，BE

和EF這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系是；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若BE的延長(zhǎng)線交直線AD于點(diǎn)M，求證：CP＝AM；

（4）如圖4，已知BC＝4，若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，過點(diǎn)C

作CF⊥AP于點(diǎn)F，設(shè)線段BE的長(zhǎng)度為d1，線段CF的長(zhǎng)度為d2，試求出點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中d1+d2

的最大值．

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模型四旋轉(zhuǎn)模型

【模型解讀】可看成將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形之間存在兩種情況：

(1)無重疊：兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn)，無重疊部分一般有一對(duì)相等的角隱含在平行線、對(duì)頂角中．

(2)有重疊：兩個(gè)三角形含有一部分公共角，運(yùn)用角的和差得到等角．

典例4（2021秋?長(zhǎng)豐縣月考）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接

BD，CE，BD與CE交于點(diǎn)O，BD與AC交于點(diǎn)F．

（1）求證：BD＝CE．

（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．

（3）若G為CE上一點(diǎn)，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．

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針對(duì)訓(xùn)練

1．（2022春?駐馬店期末）如圖，在△ADC中，DB是高，點(diǎn)E是DB上一點(diǎn)，AB＝DB，EB＝CB，M，

N分別是AE，CD上的點(diǎn)，且AM＝DN．

（1）試說明：△ABE≌△DBC；

（2）探索BM和BN的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

2．（2021?南通一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是平面內(nèi)異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，以線段AE為邊

作正方形AEFG，連接EB，

GD．

（1）如圖1，求證EB＝GD；

（2）如圖2，若點(diǎn)E在線段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的長(zhǎng)．

2

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模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)

1．（2021秋?西山區(qū)期末）如圖，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：△ABC≌△DEF．

2．（2020秋?開福區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，

連接DE交AC于點(diǎn)F．

（1）若∠C＝40°，求∠B的度數(shù)；

（2）若AD平分∠BDE，求證：AE＝AC．

3．（2022秋?南昌期末）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，DE⊥

AB于點(diǎn)F，且AB＝DE．

（1）求證：△ACB≌△EBD；

（2）若DB＝12，求AC的長(zhǎng)．

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4．如圖（1）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開始按順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)，PM交AB（或AD）于點(diǎn)E，PN交邊AD（或CD）于點(diǎn)F，當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時(shí)，∠MPN

的旋轉(zhuǎn)隨即停止

（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點(diǎn)A時(shí)，PN也恰好過點(diǎn)D，此時(shí)，△ABP△PCD（填：

“≌”或“～”）；

（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明

??

理由；??

（3）拓展延伸：設(shè)AE＝t，當(dāng)△EPF面積為4.2時(shí)，直接寫出所對(duì)應(yīng)的t的值．

5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過C點(diǎn)任作一條直線PQ，過A作AM⊥PQ于M，過B

作BN⊥PQ于N．

（1）如圖1，當(dāng)直線MN在△ABC的外部時(shí)，MN，AM，BN有什么關(guān)系呢？為什么？

（2）如圖2，當(dāng)直線MN經(jīng)過△ABC內(nèi)部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不

成立，請(qǐng)指出MN與AM，BN之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由

.

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6．（2021?泗洪縣三模）如圖，E、F是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，BE∥DF．求證：AE＝CF．

7．（2021秋?遷安市期末）小明將兩個(gè)大小不同的含45°角的直角三角板如圖1所示放置在同一平面內(nèi)．從

圖1中抽象出一個(gè)幾何圖形（如圖2），B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，連結(jié)DC．猜想線段CD與BE

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明．

8．（2020?渝中區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為線段CD上一

點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AE，設(shè)F為AE的中點(diǎn)，作CG⊥CF交直線AB于點(diǎn)G．

（1）猜想：線段AG、BC、EC之間有何等量關(guān)系？并加以證明；

（2）如果將題設(shè)中的條件“E為線段CD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）”改變?yōu)椤癊為直線CD上任意一點(diǎn)”，試

探究發(fā)現(xiàn)線段AG、BC、EC之間有怎樣的等量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，不用證明．

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9．（2020秋?鹽都區(qū)期末）已知：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別為點(diǎn)C、D，

且AC＝BD．求證：OA＝OB．

10．（2021?南通一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是平面內(nèi)異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，以線段AE為

邊作正方形AEFG，連接EB，GD．

（1）如圖1，求證EB＝GD；

（2）如圖2，若點(diǎn)E在線段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的長(zhǎng)．