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初中幾何中線段和(差)的最值問題淺析一、兩條線段和的最小值問題基本圖形解析:(對稱軸為:動點(diǎn)所在的直線上)一)、已知兩個定點(diǎn):1、在一條直線m上,求一點(diǎn)P,使PA+PB最??;(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè):(2)點(diǎn)A、B在直線同側(cè):A’是關(guān)于A直線m的對稱點(diǎn)。2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。(1)兩個點(diǎn)都在直線外側(cè):(2)一個點(diǎn)在內(nèi)側(cè),一個點(diǎn)在外側(cè):(3)兩個點(diǎn)都在內(nèi)側(cè):(4)、臺球兩次碰壁模型=1\*GB3①:已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn),使得圍成的四邊形ADEB周長最短.
=2\*GB3②:已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長最短.二)、一個動點(diǎn),一個定點(diǎn):(一)動點(diǎn)在直線上運(yùn)動:點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動,在直線m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最小(在圖中畫出點(diǎn)P和點(diǎn)B)1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè):2、兩點(diǎn)在直線同側(cè):(二)動點(diǎn)在圓上運(yùn)動點(diǎn)B在⊙O上運(yùn)動,在直線m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫出點(diǎn)P和點(diǎn)B)1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè):2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè):三)、已知A、B是兩個定點(diǎn),P、Q是直線m上的兩個動點(diǎn),P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn),使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè):過A點(diǎn)作AC∥m,且AC長等于PQ長,連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長,即為P點(diǎn),此時P、Q即為所求的點(diǎn)。(2)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè):一、在三角形背景下探求線段和的最小值1.1在銳角三角形中探求線段和的最小值例題1如圖1,在銳角三角形ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M,N分別是AD和AB上的動點(diǎn),則BM+MN的最小值為
.分析:在這里,有兩個動點(diǎn),所以在解答時,就不能用我們常用對稱點(diǎn)法.我們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決.解:如圖1,在AC上截取AE=AN,連接BE.因?yàn)椤螧AC的平分線交BC于點(diǎn)D,所以∠EAM=∠NAM,又因?yàn)锳M=AM,所以△AME≌△AMN,所以ME=MN.所以BM+MN=BM+ME≥BE.因?yàn)锽M+MN有最小值.當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時,BE取最小值為4,以BM+MN的最小值是4.故填4.1.2在等邊三角形中探求線段和的最小值例2如圖2所示,等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,EM+CM的最小值為
.分析:要求線段和最小值,關(guān)鍵是利用軸對稱思想,找出這條最短的線段,后應(yīng)用所學(xué)的知識求出這條線段的長度即可.解:因?yàn)榈冗叀鰽BC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,所以點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于AD對稱,連接BE交AD于點(diǎn)M,這就是EM+CM最小時的位置,如圖2所示,因?yàn)镃M=BM,所以EM+CM=BE,過點(diǎn)E作EF⊥BC,垂足為F,因?yàn)锳E=2,AC=6,所以EC=4,在直角三角形EFC中,因?yàn)镋C=4,∠ECF=60°,∠FEC=30°,所以FC=2,EF==2.因?yàn)锽C=6,F(xiàn)C=2,所以BF=4.在直角三角形BEF中,BE==.二、在四邊形背景下探求線段和的最小值2.1在直角梯形中探求線段和的最小值例3如圖3,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,點(diǎn)P是AB上一個動點(diǎn),當(dāng)PC+PD的和最小時,PB的長為__________.分析:在這里有一個動點(diǎn),兩個定點(diǎn)符合對稱點(diǎn)法求線段和最小的思路,所以解答時可以用對稱法.解:如圖3所示,作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E,連接CE,交AB于點(diǎn)P,此時PC+PD和最小,為線段CE.因?yàn)锳D=4,所以AE=4.因?yàn)椤螦BC=90°,AD∥BC,所以∠EAP=90°.因?yàn)椤螦PE=∠BPC,所以△APE∽△BPC,所以.因?yàn)锳E=4,BC=6,所以,所以,所以,因?yàn)锳B=5,所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求線段和的最小值例4如圖4,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P是上底,下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn),則PA+PB的最小值為
.分析:根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道,點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D,這是解題的一個關(guān)鍵點(diǎn).其次運(yùn)用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個關(guān)鍵.解:如圖4所示,因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為A,連接BD,交EF于點(diǎn)P,此時PA+PB和最小,為線段BD.過點(diǎn)D作DG⊥BC,垂足為G,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,且AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,所以∠C=60°,∠GDC=30°,所以GC=,DG=.因?yàn)椤螦BC=60°,AD∥BC,所以∠BAD=120°.因?yàn)锳B=AD,所以∠ABD=∠ADB=30°,所以∠ADBC=30°,所以BD=2DG=2×=.所以PA+PB的最小值為.2.3在菱形中探求線段和的最小值例5如圖5菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中點(diǎn),P是對角線AC上的一個動點(diǎn),則PE+PB的最小值為
.分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)知道,點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D,這是解題的一個關(guān)鍵點(diǎn).解:如圖5所示,因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為D,連接DE,交AC于點(diǎn)P,此時PE+PB和最小,為線段ED.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,且∠BAD=60°,所以三角形ABD是等邊三角形.因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),AB=2,所以AE=1,DE⊥AB,所以ED==.所以PE+PB的最小值為.2.4在正方形中探求線段和的最小值例6如圖6所示,已知正方形ABCD的邊長為8,點(diǎn)M在DC上,且DM=2,N是AC上的一個動點(diǎn),則DN+MN的最小值為
.分析:根據(jù)正方形的性質(zhì)知道,點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D,這是解題的一個關(guān)鍵點(diǎn).解:如圖6所示,因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為B,連接BM,交AC于點(diǎn)N,此時DN+MN和最小,為線段BM.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BC=CD=8.因?yàn)镈M=2,所以MC=6,所以BM==10.所以DN+MN的最小值為10.例7如圖7,在邊長為2cm的正方形ABCD中,點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P為對角線AC上一動點(diǎn),連接PB、PQ,則△PBQ周長的最小值為
cm.(結(jié)果不取近似值).分析:在這里△PBQ周長等于PB+PQ+BQ,而BQ是正方形邊長的一半,是一個定值1,所以要想使得三角形的周長最小,問題就轉(zhuǎn)化成使得PB+PQ的和最小問題.因?yàn)轭}目中有一個動點(diǎn)P,兩個定點(diǎn)B,Q符合對稱點(diǎn)法求線段和最小的思路,所以解答時可用對稱法.解:如圖7所示,根據(jù)正方形的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱,連接DQ,交AC于點(diǎn)P,連接PB.所以BP=DP,所以BP+PQ=DP+PQ=DQ.在Rt△CDQ中,DQ==,所以△PBQ的周長的最小值為:BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1.故答案為+1.
三、在圓背景下探求線段和的最小值例8如圖8,MN是半徑為1的⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,∠AMN=30°,B為AN弧的中點(diǎn),P是直徑MN上一動點(diǎn),則PA+PB的最小值為(
)(A)2
(B)
(C)1
(D)2分析:根據(jù)圓的對稱性,作出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)D,連接DB,則線段和的最小值就是線段DB的長度.解:如圖8,作出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)D,連接DB,OB,OD.因?yàn)椤螦MN=30°,B為AN弧的中點(diǎn),所以弧AB的度數(shù)為30°,弧AB的度數(shù)為30°,弧AN的度數(shù)為60°.根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系定理得到:∠BON=30°.由垂徑定理得:弧DN的度數(shù)為60°.所以∠BOD=∠BON+∠DON=30°+60°=90°.所以DB==.所以選擇B.四、在反比例函數(shù)圖象背景下探求線段和的最小值例9如圖9,正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限的圖象交于A點(diǎn),過A點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為M,已知三角形OAM的面積為1.(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合),且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在x軸上求一點(diǎn)P,使PA+PB最小.分析:利用三角形的面積和交點(diǎn)坐標(biāo)的意義,確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的第一個關(guān)鍵.要想確定出PA+PB的最小值,關(guān)鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小,同學(xué)們可以聯(lián)想我們以前學(xué)過的對稱作圖問題,明白了最小的內(nèi)涵,解題的過程就迎刃而解了.解:(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),且點(diǎn)A在第一象限,所以O(shè)M=x,AM=y.因?yàn)槿切蜲AM的面積為1,所以所以xy=2,所以反比例函數(shù)的解析式為y=.(2)因?yàn)閥=x與y=相交于點(diǎn)A,所以=x,解得x=2,或x=-2.因?yàn)閤>0,所以x=2,所以y=1,即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1).因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,且點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上,所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2,所點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),所以點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-2).設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,所以,解得k=3,b=-5,所以函數(shù)的解析式為y=3x-5,當(dāng)y=0時,x=,所以當(dāng)點(diǎn)P在(,0)時,PA+PB的值最?。?/p>
五、在二次函數(shù)背景下探求線段和的最小值例10如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,),△AOB的面積是.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式;(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C,使△AOC的周長最?。咳舸嬖?,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;分析:在這里△AOC周長等于AC+CO+AO,而A,O是定點(diǎn),所以AO是一個定長,所以要想使得三角形的周長最小,問題就轉(zhuǎn)化成使得AC+CO的和最小問題.因?yàn)轭}目中有一個動點(diǎn)C,兩個定點(diǎn)A,O符合對稱點(diǎn)法求線段和最小的思路,所以解答時可以用對稱法.解:(1)由題意得:所以O(shè)B=2.因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,);(2)因?yàn)锽(-2,0),O(0,0),所以設(shè)拋物線的解析式為:y=ax(x+2),將點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,)代入解析式得:3a=,所以a=,所以函數(shù)的解析式為y=+x.(3)存在點(diǎn)C.如圖10,根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)O是對稱點(diǎn),所以連接AB與拋物線的對稱軸x=-1交AC于C,此時△AOC的周長最小.設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.過點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F,則BE=EO=EF=1.因?yàn)椤鰾CE∽△BAF,所以,所以,所以CE=.因?yàn)辄c(diǎn)C在第二象限,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,).六、在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值例11如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=3,OB=4,D為邊OB的中點(diǎn).
(1)若E為邊OA上的一個動點(diǎn),當(dāng)△CDE的周長最小時,求點(diǎn)E的坐標(biāo);(2)若E、F為邊OA上的兩個動點(diǎn),且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時,求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).分析:本題的最大亮點(diǎn)是將一個動點(diǎn)求最小值和兩個動點(diǎn)求最小值問題糅合在一起,并很好的運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中.解:(1)如圖12,作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),連接C與x軸交于點(diǎn)E,連接DE.若在邊OA上任取點(diǎn)(與點(diǎn)E不重合),連接C、D、.由D+C=+C>C=D+CE=DE+CE,所以△的周長最小.因?yàn)樵诰匦蜲ACB中,OA=3,OB=4,D為OB的中點(diǎn),所以BC=3,DO=O=2.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2),設(shè)直線C的解析式為y=kx+b,則,解得k=2,b=-2,所以函數(shù)的解析式為y=2x-2,令y=0,則x=1,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0);(2)如圖13,作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),在CB邊上截取CG=2,連接G與x軸交于點(diǎn)E,在EA上截EF=2.因?yàn)镚C∥EF,GC=EF,所以四邊形GEFC為平行四邊形,有GE=CF.又DC、EF的長為定值,所以此時得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長最小.因?yàn)樵诰匦蜲ACB中,OA=3,OB=4,D為OB的中點(diǎn),CG=2,所以BC=3,DO=O=2,BG=1.所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2),設(shè)直線G的解析式為y=kx+b,則,解得k=6,b=-2,所以函數(shù)的解析式為y=6x-2,令y=0,則x=,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,0),所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(+2,0)即F的坐標(biāo)為(,0)二、求兩線段差的最大值問題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析:1、在一條直線m上,求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大;(1)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè):解析:延長AB交直線m于點(diǎn)P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,P’A—P’B<AB,而PA—PB=AB此時最大,因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。(2)點(diǎn)A、B在直線m異側(cè):解析:過B作關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時PB=PB’,PA-PB最大值為AB’例題1如圖,拋物線y=-eq\f(1,4)x2-x+2的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)B.(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn),求證:PA-PB≤AB;(3)當(dāng)PA-PB最大時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).2.如圖,已知直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)D,拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn),與x軸交于B、C兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)(1,0).(1)求該拋物線的解析式;(2)動點(diǎn)P在x軸上移動,當(dāng)是直角三角形時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M,使|AM-MC|的值最大,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).3、在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-4,-1)和(-2,-5);點(diǎn)P是y軸上的一個動點(diǎn),⑴點(diǎn)P在何處時,PA+PB的和為最???并求最小值。⑵點(diǎn)P在何處時,∣PA—PB∣最大?并求最大值。4.如圖,直線y=-eq\r(,3)x+2與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)A為y軸正半軸上的一點(diǎn),⊙A經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)O,直線BC交⊙A于點(diǎn)D.(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)過O,C,D三點(diǎn)作拋物線,在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使線段PO與PD之差的值最大?若存在,請求出這個最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo).若不存在,請說明理由.6、已知:如圖,把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中,OC=3,BC=2,取AB的中點(diǎn)M,連接MC,把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO.
(1)試直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上,點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動,過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,連接OP.
①若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似,試求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)T,使得|TO-TB|的值最大?三、其它非基本圖形類線段和差最值問題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中,在該三角形中,其他兩邊是已知的,則所求線段的最大值為其他兩線段之和,最小值為其他兩線段之差。2、在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。3、線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起來,再連接首尾端點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短以及點(diǎn)到線的距離垂線段最短的基本依據(jù)解決。1、如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時,點(diǎn)C
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