高等數(shù)學教程（第4版）課件：求導法則

定理3.2若函數(shù)

導數(shù)的計算3.2.1導數(shù)的四則運算法則則它們的和、差、積、商(分母不為零)在點x處均可導,且證(2)由導數(shù)的定義及可導必連續(xù),有

設(3)設由運算法則(2),有

則推論例3.12設求解故練習

求的導數(shù).解例3.13設求解練習設解故3.2.2反函數(shù)的求導法則定理3.3設函數(shù)即:反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).內(nèi)可導,且有證因為連續(xù),于是,

反函數(shù)的導數(shù)為例3.14求函數(shù)的導數(shù).解同理可得即:

因變量對自變量求導,等于因變量對中間變3.2.3復合函數(shù)的求導法則定理3.4若函數(shù)復合而成,量求導,乘以中間變量對自變量求導(鏈式法則)證(1)式兩邊同時乘以,整理得令注意,(2)式對任意的都成立.

特別地,對任意的

則由產(chǎn)生的復合函數(shù)的增量為

由(2)式,有在(3)式中令

此時定理得證.

解解例3.15求函數(shù)的導數(shù).例3.16求函數(shù)的導數(shù).解例3.17

求函數(shù)的導數(shù).解例3.18

求函數(shù)的導數(shù).解例3.19求函數(shù)(n為常數(shù))的導數(shù).解因例3.20求函數(shù)的導數(shù).即導數(shù)基本公式:特別地,特別地,注意:

初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù).說明:任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導公式和上述求導法則求出;解例3.21求函數(shù)

的導數(shù).解例3.22求函數(shù)的導數(shù).解練習求函數(shù)的導數(shù).解練習求函數(shù)的導數(shù).解解練習求函數(shù)的導數(shù).練習求函數(shù)練習冪指函數(shù)的導數(shù).解因求設問題:變速直線運動的加速度.3.2.4高階導數(shù)變化率,因加速度a是速度v對時間

t的定義3.2

若導數(shù)存在,的二階導數(shù),記作三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù),

二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),記作二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).

求函數(shù)的高階導數(shù)就是多次連續(xù)地對函數(shù)求規(guī)定:導數(shù),仍應用前面所學的求導方法計算高階導數(shù)．1.由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).高階導數(shù)求法舉例例3.23證明下列函數(shù)的

階導數(shù)公式：證明(1)直接求導有假定成立，則由數(shù)學歸納法知(2)直接求導有假定則由數(shù)學歸納法知練習設解則2.高階導數(shù)的運算法則萊布尼茲公式設函數(shù)u和v

具有n階導數(shù),則解例3.24設,求.所以，當時，解例3.25設,求.由萊布尼茲公式得令則練習設解因練習設解由萊布尼茲公式我們并不需要將隱函數(shù)顯化后求導.

1.隱函數(shù)的導數(shù)3.2.5幾種特殊的求導法利用復合函數(shù)的求導法則即可.

而是方程兩邊對x求導,等式仍然成立,將

y視為x的函數(shù),例3.26求由開普勒方程解解得方程兩邊對x求導,確定的隱函數(shù)的導數(shù)例3.27設由方程確定，解解得方程兩邊對x求導,求曲線上橫坐標處的切線方程和法線方程.所求的切線方程為所求的法線方程為例3.28求由方程確定的隱函數(shù)解方程兩邊對x求導得解得的二階導數(shù).將代入上式，得故練習設曲線C的方程為解方程兩邊對x求導,所求切線方程為顯然通過原點.法線方程為法線通過原點.練習設解方程兩邊對x求導,方程(1)兩邊再對x求導,得得得代入代入觀察函數(shù)方法:

先在等式兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).--------對數(shù)求導法適用范圍:2.對數(shù)求導法:多個函數(shù)相乘和冪指函數(shù)的情形.例3.29求的導數(shù).解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導,例3.30設解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導,練習設解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導,練習設解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導,解練習設兩邊對x求導,得兩邊對x求導,得由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則,得3.參數(shù)方程所確定函數(shù)的導數(shù)連續(xù)的函數(shù)在參數(shù)方程中,