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數(shù)列無(wú)窮小與極限

數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)數(shù)列簡(jiǎn)記為例如,簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為

極限與連續(xù)數(shù)列的定義域正整數(shù)集是無(wú)限集,沒有最大正整數(shù).

即對(duì)任意給定的正數(shù)C,總存在正整數(shù)N,使得

依次取

在幾何上,數(shù)列可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

數(shù)列的變化過(guò)程包含兩個(gè)相關(guān)的無(wú)限過(guò)程:n的主動(dòng)變化過(guò)程是自變量n的主動(dòng)變化過(guò)程和因變量的被動(dòng)變化過(guò)程.即n從1開始,不斷增大(每次加1,無(wú)限重復(fù)).我們將n的這種變化過(guò)程稱為n趨于無(wú)窮大,記為考察數(shù)列越來(lái)越接近坐標(biāo)原點(diǎn)0.

變化趨勢(shì).對(duì)于數(shù)列我們主要研究當(dāng)時(shí)的在數(shù)軸上,隨著n從1開始不斷增大,點(diǎn)與點(diǎn)0的接近程度,即先給定一個(gè)正數(shù),記之為

我們用比較法描述點(diǎn)然后比較

與

的大小.注意

等價(jià)于而在所有正整數(shù)中,大于的正整數(shù)有無(wú)限多個(gè),

我們從中任意選定一個(gè),記之為N,即于是當(dāng)時(shí),有即數(shù)列從某一項(xiàng)(第N+1項(xiàng))開始,每一項(xiàng)與極限是

常數(shù)0的距離都小于

我們把具有這種特征的數(shù)列稱為無(wú)窮小,也說(shuō)它的

定義2.1(數(shù)列極限的定義)

如果使得當(dāng)時(shí),不等式成立,記作設(shè)為數(shù)列,或稱數(shù)列是無(wú)窮小.

則稱當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限是0,

如果存在某個(gè)常數(shù)A,使得

則稱當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限是A,

或稱數(shù)列收斂于A.

記作如果不存在這樣的常數(shù)A,使得

則稱數(shù)列沒有極限,

或稱數(shù)列發(fā)散.

例2.1對(duì)任意的證明證所以

要使

只要

即

取正整數(shù)

定理2.1(無(wú)窮小比較定理)

證使得對(duì)于所有正整數(shù)

n,

由定義,A是常數(shù).如果存在正數(shù)C,設(shè)則故證及無(wú)窮小比較定理,有例2.3證明證注意到及無(wú)窮小比較定理,有由

例2.4證明證令由二項(xiàng)式定理,有

及無(wú)窮

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