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設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng),位移函數(shù)為s(t),運(yùn)動(dòng)速度為物體在時(shí)間段內(nèi)的位移

微積分基本定理則有而所以定積分記為稱為積分上限函數(shù).是

x的函數(shù),設(shè)函數(shù)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù),上的一點(diǎn),并設(shè)

x為[a,b]注意:證定理6.2(微積分第一基本定理)

在[a,b]上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為即是

f(x)的一個(gè)原函數(shù).如果f(x)在[a,b]上連續(xù),則積分上限函數(shù)有由積分中值定理即解例6.10

設(shè)在

內(nèi)連續(xù)，求令則練習(xí)

解這是型未定式,應(yīng)用洛必達(dá)法則及等價(jià)無窮小代換來計(jì)算.例6.11計(jì)算極限

解例6.12證明所以令得原命題得證.證令練習(xí)設(shè)

在[0,1]上連續(xù),且

證明方程在[0,1]上只有一個(gè)實(shí)根.由零點(diǎn)定理和單調(diào)性，原方程在[0,1]只有一個(gè)實(shí)根.在[0,1]上為單調(diào)增加函數(shù).定理6.3(微積分第二基本定理,牛頓—萊布尼茨公式)證的一個(gè)原函數(shù),如果是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上因已知

是

的一個(gè)原函數(shù)，而

也是

的一個(gè)原函數(shù),令則令牛頓—萊布尼茨公式解解例6.13

計(jì)算定積分

例6.14

計(jì)算定積分

解例6.15

設(shè)

,求解例6.16

計(jì)算原式例6.17

計(jì)算解解因定積分是數(shù)值,于是例6.18設(shè)

則等式兩邊在[0,1]上積分,得練習(xí)計(jì)算練習(xí)

計(jì)算解練習(xí)

設(shè)連續(xù)，求解原式=而故練習(xí)求極限

解由定積分的定義,有練習(xí)設(shè)

,求

在[0,2]上的表達(dá)式

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