工程力學(xué)I課件：桿件的變形分析及剛度設(shè)計(jì)

桿件的變形分析

及剛度設(shè)計(jì)

9.1拉（壓）桿的變形與位移9.2圓軸扭轉(zhuǎn)的變形及剛度計(jì)算9.3直梁彎曲變形的積分法和圖解法9.4彎曲梁的剛度計(jì)算9.5組合變形桿件的位移桿件在受到外力的作用下會(huì)發(fā)生變形，不同的內(nèi)力會(huì)引起不同的變形，構(gòu)件受力變形的程度用變形位移來(lái)度量。

過(guò)大的變形會(huì)影響結(jié)構(gòu)或機(jī)構(gòu)的正常使用，例如齒輪軸產(chǎn)生過(guò)大的變形會(huì)影響齒間的嚙合。因此工程上對(duì)受力構(gòu)件的變形有一定的限制。

當(dāng)然，在一些特定的場(chǎng)合又需要較大的位移，因此計(jì)算桿件在不同內(nèi)力下的變形位移是有實(shí)際意義的.9.1拉（壓）桿的變形與位移軸向外力的作用下，桿件的內(nèi)力是軸力，會(huì)使桿沿其軸向尺寸伸長(zhǎng)或縮短，同時(shí)其橫向尺寸將縮短或伸長(zhǎng)，軸向尺寸的變化稱為軸向變形，橫向尺寸的變化稱為橫向變形。

軸向應(yīng)變橫向應(yīng)變等截面直桿有：

根據(jù)胡克定律：桿的抗拉剛度，對(duì)于長(zhǎng)度相等且受力相同的桿件，其拉伸(壓縮)剛度越大則桿件的變形越小。

一、拉伸壓縮直桿的變形計(jì)算（基本情況）1、有兩個(gè)以上的外力作用；2、截面形狀發(fā)生變化3、材料性質(zhì)發(fā)生變化；4、截面尺寸發(fā)生變化二、拉伸壓縮直桿的變形計(jì)算（復(fù)雜情況）直桿系一般桿件例9-1對(duì)于已知階梯形直桿受力如圖9-2（a）所示，材料的彈性模量，桿各段的橫截面面積分別為，要求：(1)作軸力圖；(2)計(jì)算桿的總伸長(zhǎng)量。解:(1)畫(huà)軸力圖。(2)求桿的總伸長(zhǎng)量。各段桿的軸向變形分別為:桿的總伸長(zhǎng)量為:

例9-2如圖所示實(shí)心圓鋼桿AB和AC在桿端A鉸接，在A點(diǎn)作用有鉛垂向下的力F。已知F=30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，鋼的彈性模量E=200GPa。試求A點(diǎn)在鉛垂方向的位移。解:(1)研究節(jié)點(diǎn)A，由節(jié)點(diǎn)A的平衡條件：解得各桿的軸力為(3)求A點(diǎn)在鉛垂方向的位移。分別過(guò)AB和AC伸長(zhǎng)后的點(diǎn)和作二桿的垂線，相交于點(diǎn)A“，再過(guò)點(diǎn)A”作水平線，與過(guò)點(diǎn)A的鉛垂線交于點(diǎn),有則點(diǎn)A的鉛垂位移為※由此可見(jiàn)，變形與位移既有聯(lián)系又有區(qū)別。位移是指其位置的移動(dòng)，而變形是指構(gòu)件尺寸的改變量。變形是標(biāo)量，位移是矢量

(2)計(jì)算桿AB和AC的伸長(zhǎng)。利用胡克定律，有其中：9.2圓軸扭轉(zhuǎn)的變形及剛度計(jì)算工程設(shè)計(jì)中，對(duì)于承受扭轉(zhuǎn)變形的圓軸，除了要求足夠的強(qiáng)度外，還要求有足夠的剛度，即要求軸在彈性范圍內(nèi)的扭轉(zhuǎn)變形不能超過(guò)一定的限度。對(duì)某些重要的軸或者傳動(dòng)精度要求較高的軸，均要進(jìn)行扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算。

兩個(gè)相距的橫截面的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的計(jì)算公式：對(duì)于變截面多段軸，沿軸長(zhǎng)受到多個(gè)外力偶作用時(shí)，可由下式確定兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：式中Gip：抗扭剛度。為了消除軸的長(zhǎng)度對(duì)變形的影響，引入單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角:一、圓軸扭轉(zhuǎn)的變形計(jì)算

通常將單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角作為扭轉(zhuǎn)變形指標(biāo)。單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件二、圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度計(jì)算

例9-3

軸AB段是空心軸，內(nèi)外徑之比為，BC段是實(shí)心軸，承受的外力偶矩及其長(zhǎng)度如圖示，已知軸材料G=80GPa,許用應(yīng)力,許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角,試根據(jù)強(qiáng)度條件和剛度條件設(shè)計(jì)空心軸的外徑D和實(shí)心軸的直徑d。解:(1)作扭矩圖(2)根據(jù)強(qiáng)度條件進(jìn)行設(shè)計(jì)AB段BC段(3)根據(jù)剛度條件進(jìn)行設(shè)計(jì)

AB段BC段為使軸同時(shí)滿足強(qiáng)度條件和剛度條件，并且一般情況下剛度條件要求更為嚴(yán)格，所以軸的直徑應(yīng)選取較大值，即可取9.3直梁彎曲變形的積分法和圖解法一、彎曲變形的撓度和轉(zhuǎn)角圖示的右手直角坐標(biāo)系。當(dāng)梁在面內(nèi)發(fā)生彎曲時(shí)，梁的軸線由直線變?yōu)槊鎯?nèi)的一條光滑連續(xù)曲線，稱為梁的撓曲線。梁的每一個(gè)截面不僅發(fā)生了線位移，而且還繞中性軸偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生了角位移。

w向上為正，向下為負(fù)。忽略沿梁軸方向的線位移。

3、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度1、撓曲線：對(duì)稱彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為平面xy內(nèi)的一條曲線。2、撓度w

：橫截面的形心沿載荷方向的線位移以逆時(shí)針的轉(zhuǎn)角為正，反之為負(fù)工程實(shí)際中，小變形情形下，有于是可以得到小變形下?lián)隙群娃D(zhuǎn)角之間的關(guān)系：即，將撓曲線方程對(duì)x求一次導(dǎo)數(shù)即可以得到轉(zhuǎn)角方程4、撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系各個(gè)截面的撓度和轉(zhuǎn)角均是截面形心坐標(biāo)x的函數(shù)，因此有撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程：對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，根據(jù)微積分中函數(shù)與曲率之間的關(guān)系該式稱為梁平面彎曲時(shí)撓曲線近似微分方程。實(shí)踐表明，由此方程求得的撓度和轉(zhuǎn)角，對(duì)工程計(jì)算來(lái)說(shuō)，已足夠精確。

二、

撓曲線的微分方程以及彎矩M的正負(fù)符號(hào)規(guī)定在小變形情況下，有：平面曲線的曲率數(shù)學(xué)計(jì)算：梁的撓曲線近似微分方程可用直接積分的方法求解。將撓曲近似微分方程積分，可得梁的轉(zhuǎn)角方程，再積分一次，即可得梁的撓曲線方程：式中C和D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件或光滑連續(xù)條件來(lái)確定。三、積分法求梁的位移連續(xù)條件邊界條件例9-4圖示簡(jiǎn)支梁AB受集中力P作用，試求該梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。解:(1)求約束反力并列梁的彎矩方程

簡(jiǎn)支梁的支反力為

按圖所示建立坐標(biāo)系，分兩段列出梁的彎矩方程為：

AC段CB段(2)列出梁的各段的撓曲線近似微分方程并積分。將和兩段的撓曲線近似微分方程及積分結(jié)果，列表如下。

(3)確定積分常數(shù)由于梁的撓曲線應(yīng)該是一條光滑連續(xù)的曲線，因此，在和兩段撓曲線的交界截面處，撓曲線應(yīng)有相同的撓度和轉(zhuǎn)角AC段CB段當(dāng)時(shí)，，即：

有上式可解得：梁在約束、兩端的撓度為零當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)分別帶入兩段的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，可得：

梁和段的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程列于下表：AC段CB段

※需要說(shuō)明的是，光滑條件和連續(xù)條件是不同的，如圖9-7所示梁，梁與梁在鉸接，兩段梁在處的撓度相同（滿足連續(xù)條件），但在處的轉(zhuǎn)角不相同（不滿足光滑條件）。

圖9-7

四、用疊加法求梁的彎曲變形

在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無(wú)關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時(shí)桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。

用疊加法求等截面梁的變形時(shí)，每個(gè)載荷作用下的變形可查教材計(jì)算得出。查表時(shí)應(yīng)注意載荷的方向、跨長(zhǎng)及字符一一對(duì)應(yīng)。例求圖中所示梁跨中點(diǎn)的撓度及A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。已知，梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。=+

例9-5圖示外伸梁，簡(jiǎn)支段受均布載荷的作用，而外伸段自由端上作用有一集中力，求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度EI。

解:分別考慮q和F單獨(dú)作用外伸梁在集中力作用下，C截面的撓度和轉(zhuǎn)角均布載荷作用下，有9.4彎曲梁的剛度計(jì)算對(duì)于工程中承受彎曲的構(gòu)件，除了強(qiáng)度要求以外，常常還有剛度要求，即使梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角不超過(guò)某一規(guī)定的限度：式中，和分別是許可撓度和許可轉(zhuǎn)角，它們由工程實(shí)際情況確定。工程中通常以度（。）表示，而許可撓度通常表示為：(L是梁的跨度，機(jī)械工程中一般取)。這兩個(gè)剛度條件中，撓度的剛度條件是主要的剛度條件，而轉(zhuǎn)角的剛度條件是次要的剛度條件。與拉伸壓縮及扭轉(zhuǎn)類似，根據(jù)梁的剛度條件可以進(jìn)行剛度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許用載荷。

解:查型鋼表，可得。根據(jù)表11-1可知，在F和q作用下，梁產(chǎn)生的最大撓度均位于跨中。

例9-6如圖所示簡(jiǎn)支梁，受載荷與共同作用下發(fā)生彎曲變形，已知，截面為36a工字鋼，材料彈性模量，試校核梁的剛度。剛度符合要求。9.5組合變形桿件的位移求組合變形桿件的位移，仍遵循小變形、線彈性變形范圍和疊加原理適用的原則，將組合變形分解為幾個(gè)基本變形，分別計(jì)算后疊加。根據(jù)位移的情況可代數(shù)疊加或矢量疊加。彎曲、扭轉(zhuǎn)組合變形桿件的主要內(nèi)力是扭矩和彎矩，可采用疊加法求其位移。

例題9-7如圖所示為一搖臂軸ABC，在自由端受垂直地面的力F作用，已知軸長(zhǎng)為，臂長(zhǎng)為a，軸的抗彎剛度和抗扭剛度分別為和，臂的抗彎剛度為，求C端的位移。

采用分段剛化法，首先將搖臂BC