河北省石家莊市第八十九中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024年度第一學(xué)期八年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷（冀教版）本試卷共6頁，考試時(shí)間120分鐘，滿分120分．注意事項(xiàng)：1．答卷前將密封線左側(cè)的項(xiàng)目填寫清楚．2．答案須用藍(lán)色、黑色鋼筆或圓珠筆書寫．一、選擇題（本大題共16個(gè)小題，共38分，1～6題，每小題3分；7～16小題，每小題2分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1.下列圖案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念是解決問題得關(guān)鍵．【詳解】解：圖案A、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；圖案B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；圖案C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；圖案D、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；則既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有2個(gè)，故選：B．2.若最簡(jiǎn)二次根式可以與合并，則的值可以是（）A.5 B.4 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】本題考查合并同類二次根式，涉及同類二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、合并同類二次根式等知識(shí)，由題意，將化為最簡(jiǎn)二次根式，從而得到，解方程即可得到答案，熟記最簡(jiǎn)二次根式及同類二次根式的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，是最簡(jiǎn)二次根式，且可以與合并，，解得，故選：C．3.取下列各數(shù)時(shí)，使代數(shù)式有意義的是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】本題考查二次根式有意義的條件，涉及解不等式，掌握二次根式有意義的條件是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：代數(shù)式有意義，，解得，故選：D．4.下列分式中，最簡(jiǎn)分式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了最簡(jiǎn)分式的定義，根據(jù)最簡(jiǎn)分式的定義逐個(gè)判斷即可，能熟記最簡(jiǎn)分式的定義是解此題的關(guān)鍵，分式的分子和分母除了公因式1，再?zèng)]有其它的公因式，這樣的分式叫最簡(jiǎn)分式．【詳解】解：A、，原分式不是最簡(jiǎn)分式，故A不符合題意；B、是最簡(jiǎn)分式，故B符合題意；C、，原分式不是最簡(jiǎn)分式，故C不符合題意；D、，原分式不是最簡(jiǎn)分式，故D不符合題意．故選：．5.用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于45°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)直角三角形中（）A.兩個(gè)銳角都大于45° B.兩個(gè)銳角都小于45C.兩個(gè)銳角都不大于45° D.兩個(gè)銳角都等于45°【答案】A【解析】【分析】用反證法證明命題的真假，應(yīng)先按符合題設(shè)的條件，假設(shè)題設(shè)成立，再判斷得出的結(jié)論是否成立即可．【詳解】用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于45°”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)兩個(gè)銳角都大于45°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．6.已知，則的平方根為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，平方根等知識(shí)．先根據(jù)題意得到，再根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方根與算術(shù)平方根的關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴平方根為．故選：D7.如圖，已知，．要使，添加的條件可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定、平行的性質(zhì)；先利用題目已知條件推導(dǎo)出、，再根據(jù)選項(xiàng)一一判斷即可．【詳解】解：，，，，，可知B、C選項(xiàng)可由題目條件推導(dǎo)出，不可作為添加條件，故B、C選項(xiàng)不符合題意；若，則，故A選項(xiàng)符合題意；若，結(jié)合、得到“邊邊角”，不可判定三角形全等，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：A．8.如圖所示，，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求得數(shù)軸上表示的點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離，再利用實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系即可求得答案．【詳解】解：，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系及勾股定理，利用勾股定理求得數(shù)軸上表示的點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離是解題的關(guān)鍵．9.如圖所示，在等邊三角形中，，為上一點(diǎn)，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形，，得到，直線是線段的垂直平分線，繼而得到，結(jié)合計(jì)算即可．【詳解】∵等邊三角形，，∴，∴直線是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，故選B．10.如圖，△ABC在中，∠B＝45°，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D．交BC于點(diǎn)E，且∠BAE與∠EAC的比為4：1，則∠C的度數(shù)為（）A.20° B.22.5° C.25° D.30°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線得出，推出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出．即可求出答案．【詳解】解：是的垂直平分線，，，，，與的比為，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．11.已知實(shí)數(shù)、滿足，且、恰好是等腰的兩條邊的邊長(zhǎng)，則的周長(zhǎng)是（）A.10 B.8 C.10或8 D.6【答案】A【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的非負(fù)性，等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系定理，先計(jì)算m，n的值，再根據(jù)分類思想計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)三角形的三邊為時(shí)，此時(shí)，三角形不存在；當(dāng)三角形的三邊為時(shí)，此時(shí)三角形存在，且周長(zhǎng)為；故選：A．12.如圖，已知，點(diǎn)P在邊OA上，，點(diǎn)M，N在邊OB上，，若，則OM的長(zhǎng)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】過P作，根據(jù)等腰三角形形三線合一及直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可得到答案．【詳解】解：過P作，∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，故選：C．．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形形三線合一及直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，解題關(guān)鍵是作出輔助線．13.已知，，則與的關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次根式混合運(yùn)算，涉及分母有理化、二次根式加減乘除混合運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握分母有理化，根據(jù)選項(xiàng)運(yùn)用二次根式加減乘除混合運(yùn)算逐個(gè)驗(yàn)證是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，A、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．14.對(duì)于，，有以下兩個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．對(duì)于這兩個(gè)結(jié)論，說法正確的是（）A.①對(duì)②不對(duì) B.①不對(duì)②對(duì) C.①②均對(duì) D.①②均不對(duì)【答案】B【解析】【分析】先運(yùn)用作差法得到，然后再根據(jù)x的取值分類討論即可解答．【詳解】解：∵∴當(dāng)時(shí)，，則，即①不正確；當(dāng)，即時(shí)，，則，即②正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減、分式的大小比較等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用分式的加減運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．15.如圖，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C在直線l上，且是等腰三角形．符合條件的點(diǎn)C有（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線于點(diǎn)，然后作的垂直平分線，交直線于點(diǎn)，由此即可得．【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線于點(diǎn)，然后作的垂直平分線，交直線于點(diǎn)．則符合條件的點(diǎn)共有5個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．16.如圖，在銳角三角形中，，的面積為8，平分．若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】本題考查了最短路線問題，角平分線的性質(zhì)，垂線段最短定理．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，根據(jù)“垂線段最短”，即可得為的值最小，再利用面積公式求出的值，即可得出答案，解題關(guān)鍵是利用垂線段最短解決最值問題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，平分，，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，等于的值，，的面積為8，，，的最小值為4，故選：B．二、填空題（本大題共3個(gè)小題；共10分．17小題2分，18～19小題各4分，每空2分）17.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查平方差公式的逆用，先利用平方差公式得到，再代入求值即可．【詳解】解：，故答案為：．18.如圖，在四邊形中，，，連接，，，若為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)的最小值為______，若點(diǎn)為邊中點(diǎn)，則長(zhǎng)為______.【答案】①.3②.【解析】【分析】由，，，，得∠ABD=∠DBC=30°，進(jìn)而得到：BD=6，CD=2，BC=4，根據(jù)面積法和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求解.【詳解】∵，，，，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴BD=2AD=6，CD=BD÷=6÷=2，BC=2CD=4，當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP的值最小，此時(shí)，DP===3，當(dāng)點(diǎn)為邊中點(diǎn)，DP=BC=×4=2.故答案是：3，.【點(diǎn)睛】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握面積法求直角三角形斜邊上的高，是解題的關(guān)鍵.19.如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，邊的垂直平分線交、、于點(diǎn)、、，連接、．（1）若，則的度數(shù)為______；（2）若，，則線段的長(zhǎng)為______．【答案】①.##21度②.13【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)；掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得，垂直平分，利用垂直平分線的性質(zhì)即可證明得，可知，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得，三角形外角的性質(zhì)得，即可解答；（2）根據(jù)，即有，，在（1）中已證明，，在中，有，則有，解之即可求解．【詳解】解：（1）∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∴平分，，則，垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∵，∴，∵在（1）中已證明，，∴，∵在中，有，∴，解得：．故答案為：13．三、解答題（本大題共7個(gè)小題；共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20.復(fù)習(xí)備考時(shí)，王老師在黑板上寫了一道分式化簡(jiǎn)題的正確計(jì)算結(jié)果，隨后用字母A代替了原題目的一部分：（1）求代數(shù)式A，并將其化簡(jiǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求x的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)被除式=商×除式，被減式=差+減式，然后根據(jù)分式的乘法和加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可解答；(2)利用(1)的結(jié)論可得，然后按照解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可解答．【小問1詳解】．解：由題意得：【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，去分母，得，解這個(gè)整式方程，得經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程解，故當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，分式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在中，是的垂直平分線，，D為的中點(diǎn)．（1）求證：（2）若，則【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由題意可判定垂直平分，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，即可證明結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求，由直角三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)，即可求得，的度數(shù)，進(jìn)而可求解．小問1詳解】證明：連接，如圖所示：∵于點(diǎn)D，且D為線段的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．22.琪琪在解題“計(jì)算：”時(shí)，發(fā)現(xiàn)“▲”處的數(shù)字印刷不清楚．（1）若“▲”處的數(shù)字是，請(qǐng)計(jì)算結(jié)果；（2）若該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是．通過計(jì)算說明原題中“▲”是幾？【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查二次根式混合運(yùn)算，涉及完全平方差公式、二次根式加減乘除運(yùn)算、解方程等知識(shí)，熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)“▲”處的數(shù)字是時(shí)，代入式子，利用完全平方差公式及二次根式加減乘除混合運(yùn)算法則求解即可得到答案；（2）設(shè)，則列出方程，利用完全平方差公式及二次根式加減乘除混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得到，解方程即可得到答案．【小問1詳解】解：當(dāng)“▲”處的數(shù)字是時(shí)，；【小問2詳解】解：設(shè)，則，∴，∴，解得．23.如圖，中，，，是邊上的中線，過作，垂足為，過作交的延長(zhǎng)線于．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握三角形全等的判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）證兩條線段相等，通常用全等，已經(jīng)有一組邊相等，一組角相等了，因此只需再找一組角即可利用角角邊進(jìn)行解答；（2）得到即可求解．【小問1詳解】證明：∵，∴，∴，∴，在和中，∵，，，∴，∴．【小問2詳解】解：∵，∴，∵是邊上的中線，∴，在中，∵，且，∴，解得，∴．24.如圖，在中，，，，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）線段______，______；（用含的式子表示）（2）當(dāng)為何值時(shí)，是以為底邊的等腰三角形？（3）當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？【答案】（1）；（2）（3）3或【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，等腰三角形的定義，特殊直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確列出，關(guān)于的表示式，并根據(jù)等腰三角形的定義及含角直角三角形的性質(zhì)，列出一元一次方程．（1）根據(jù)路程時(shí)間速度，即可得出，關(guān)于的表示式；（2）根據(jù)等腰三角形的定義，得當(dāng)時(shí)是以為底的等腰三角形，列出方程，求解即可；（3）分情況討論：當(dāng)時(shí)，得，根據(jù)“直角三角形中，的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”，得，列出方程，求解即可；當(dāng)時(shí)，，得，列出方程求解即可．【小問1詳解】解：由題意得，，，故答案為：；．【小問2詳解】解：∵是以為底的等腰三角形，∴，即，解得，∴當(dāng)時(shí)，是以為底邊的等腰三角形．【小問3詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∴，∴，解得；②當(dāng)時(shí)，則，∵，∴，∴，即，解得，綜上所述，為3或時(shí)，為直角三角形．25.為了加快推進(jìn)環(huán)境建設(shè)，構(gòu)建生態(tài)宜居城市，實(shí)現(xiàn)“河暢、水清、岸綠、景美”的目標(biāo)，九龍坡區(qū)計(jì)劃安排甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)對(duì)一條全長(zhǎng)為4100米的河道進(jìn)行清淤施工．經(jīng)調(diào)查知：甲隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度是乙隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度的倍，甲隊(duì)清淤1200米的河道比乙隊(duì)清淤同樣長(zhǎng)的河道少用2天．（1）甲、乙兩隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度分別是多少米？（2）若該條河道先由甲隊(duì)單獨(dú)清淤2天，余下的河道由甲乙兩隊(duì)合作清淤．已知甲隊(duì)施工一天的費(fèi)用為萬元，乙隊(duì)施工一天的費(fèi)用為萬元，求完成該條河道清淤施工的總費(fèi)用．【答案】（1）甲隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度是300米，乙隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度分別是200米；（2）完成該條河道清淤施工的總費(fèi)用是萬元．【解析】【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度是x米，則甲隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度是米，利用工作時(shí)間=工作總量：工作效率，結(jié)合甲隊(duì)清淤1200米的河道比乙隊(duì)清淤同樣長(zhǎng)的河道少用2天，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出乙隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度，再將其代入中，即可得出甲隊(duì)每天清淤的河道長(zhǎng)度；（2）設(shè)乙隊(duì)施工y天，則甲隊(duì)