期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十四大題型總結(jié)（蘇科版）（解析版）

八上期末必刷解答壓軸題（江蘇期末真題14大類型提分練）目錄類型一、全等三角形的綜合問題 1類型二、等腰三角形的性質(zhì)與判定壓軸問題 9類型三、等邊三角形的性質(zhì)與判定壓軸問題 19類型四、勾股定理與幾何的計(jì)算與證明 30類型五、勾股定理的證明材料閱讀題 40類型六、三角形與翻折壓軸問題 46類型七、三角形與幾何動(dòng)點(diǎn)問題 54類型八、三角形與新定義探究問題 60類型九、一次函數(shù)與行程問題 72類型十、一次函數(shù)與最大利潤問題 78類型十一、一次函數(shù)與分配方案問題 82類型十二、一次函數(shù)與新定義探究問題 87類型十三、一次函數(shù)與方程、不等式壓軸問題 93類型十四、一次函數(shù)與幾何壓軸問題 102類型一、全等三角形的綜合問題1．（23-24八年級(jí)上·江蘇無錫·期末）【問題】我們已經(jīng)研究了等腰三角形的一些基本性質(zhì)，如“等邊對(duì)等角”“三線合一”等．對(duì)于一般三角形，有哪些對(duì)應(yīng)的性質(zhì)呢？【探索1】小華猜想：在△ABC中，如果AB>AC，那么∠C>∠B．也就是說：三角形中較大的邊所對(duì)的角也比較大（簡(jiǎn)稱“大邊對(duì)大角”）．小華把AC沿∠A的平分線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C處，如圖（1）得到證明思路．請(qǐng)根據(jù)這個(gè)思路，結(jié)合圖（1）寫出證明過程：【探索2】小華通過畫圖發(fā)現(xiàn)：若AM、AD、AH分別是△ABC的中線、角平分線和高線，且AB≠AC，則點(diǎn)D在直線BC上的位置始終處于點(diǎn)你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是否一定成立？如果成立，不妨設(shè)AB>AC，請(qǐng)結(jié)合圖（2）進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)舉出反例．【答案】探索1：見解析；探索2：一定成立，見解析【分析】（1）如圖（1），作△ABC的角平分線AD，在AB上取點(diǎn)C'，使AC'=AC，連接C'D，則∠CAD=∠C'AD，證明△ACD≌△A（2）由題意知，要證明點(diǎn)D的位置處于點(diǎn)M和點(diǎn)H之間，只要證明∠BAM<∠BAD<∠BAH即可；①證∠BAM<∠BAD：如圖（2），延長(zhǎng)AM至點(diǎn)E，使ME=AM，連接BE．證明△ACM≌△EBMSAS，則∠CAM=∠E，AC=BE，∠E>∠BAE，即∠CAM>∠BAM，由∠BAM<12∠BAC，可得∠BAM<∠BAD．②證∠BAD<∠BAH：由題意知，∠BAD=12∠BAC=90°-【詳解】（1）證明：如圖（1），作△ABC的角平分線AD，在AB上取點(diǎn)C'，使AC'∴∠CAD=∠C在△ACD和△AC∵AC=AC∴△ACD≌△AC∴∠ACD=∠AC∵∠AC∴∠AC∴∠C>∠B．（2）解：一定成立，證明如下；由題意知，要證明點(diǎn)D的位置處于點(diǎn)M和點(diǎn)H之間，只要證明∠BAM<∠BAD<∠BAH．∵AM、AD、∴BM=CM，∠BAD=∠CAD=1①證∠BAM<∠BAD：如圖（2），延長(zhǎng)AM至點(diǎn)E，使ME=AM，連接BE．在△ACM和△EBM中，∵AM=EM∠AMC=∠EMB∴△ACM≌△EBMSAS∴∠CAM=∠E，AC=BE，∵AB>AC，∴AB>BE，∴∠E>∠BAE，即∠CAM>∠BAM，∴∠BAM<12∠BAC②證∠BAD<∠BAH：由題意知，∠BAD=12∠BAC=∵∠BAH=90°-∠B，∴∠BAD-∠BAH=1∴∠BAD<∠BAH．綜上可得，∠BAM<∠BAD<∠BAH．∴點(diǎn)D的位置處于點(diǎn)M和點(diǎn)H之間．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，中線，高線，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握角平分線，中線，高線，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇·期末）如圖，在△ABC中．AD是BC邊上的中線，交BC于點(diǎn)D．(1)如下圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．求證：△ACD≌△EBD．(2)如下圖，若∠BAC=90°，試探究AD與BC有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如下圖，若CE是邊AB上的中線，且CE交AD于點(diǎn)O．請(qǐng)你猜想線段AO與OD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)AD=1(3)AO=2OD，理由見解析．【分析】（1）利用SAS可得△ACD≌△EBD；（2）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，先根據(jù)△ACD≌△EBD證得∠C=∠CBE，AC=BE，進(jìn)而得到AC∥EB，AD=1（3）延長(zhǎng)OE到點(diǎn)M，使EM=OE，連接AM．延長(zhǎng)OD到點(diǎn)N，使DN=OD，連接BM，BN，BO，證得△MOB≌△NBOASA可得MB=NO，進(jìn)而得到AO=2OD本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中線，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：在△ACD和△EBD中，DA=DE∴△ACD≌△EBDSAS（2）解：AD=1延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，如圖由（1）得△ACD≌△EBD，∴∠C=∠CBE，AC=BE∴AC∥EB，∴∠BAC+∠ABE=180°，∵∠BAC=90°，∴∠ABE=90°，∴∠BAC=∠ABE在△ABC和△BAE中AC=BE∴△ABC≌△BAE∴BC=AE，∴AD=1（3）AO=2OD，理由如下：延長(zhǎng)OE到點(diǎn)M，使EM=OE，連接AM．延長(zhǎng)OD到點(diǎn)N，使DN=OD，連接BM，BN，BO，如圖，由（1）得△AOE≌△BME，△ODC≌△NDB，∴∠AOE=∠BME，∠OCD=∠NBD，AO=BM，∴AO∥BM，∴∠MBO=∠BON，∠MOB=∠NBO在△MOB和△NBO中，∠MBO=∠BONOB=OB∠MOB=∠NBO∴△MOB≌△NBO∴MB=NO，∴AO=2OD．3．（22-23八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）已知：如圖1，OA=2，OB=4，以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC

(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)：(2)如圖2，OA=2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以P為直角頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，求(3)如圖3，點(diǎn)F坐標(biāo)為-3,-3，點(diǎn)G0,m在y軸負(fù)半軸，點(diǎn)Hn,0在x軸的正半軸上，且FH⊥FG，求【答案】(1)-6,-2(2)2(3)m+n=-6【分析】（1）過C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，證明△MAC≌△OBA(AAS)，即可求出OM和（2）過D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，根據(jù)四邊形OEDQ是矩形，得到DE=OQ，進(jìn)而證明△AOP≌△PQD(AAS)，從而得到PQ的值，再根據(jù)DE=OQ得到（3）先證明四邊形OSFT是正方形，得到FS=FT=3，進(jìn)一步證明△FSH≌△FTG(ASA)，從而得到GT=HS，再根據(jù)坐標(biāo)值求出GT,HS的表達(dá)式，最后根據(jù)【詳解】（1）解：如下圖所示，過C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∴∠MAC=∠OBA，在△MAC和△OBA中，∠CMA=∠AOB∠MAC=∠OBA∴△MAC≌∴CM=OA=2，MA=OB=4．∴OM=6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為-6,-2；（2）解：如圖2，過D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，∵DE⊥AE，∴∠OQD=∠QDE=∠DEO=∠EOQ=90°，∴四邊形OEDQ是矩形，∴DE=OQ，∵∠APO+∠QPD=90°，∠APO+∠OAP=90°，∴∠QPD=∠OAP，在△AOP和△PQD中，∠AOP=∠PQD=90°∠QPD=∠OAP∴△AOP≌∴OA=PQ=2∴OP-DE=OP-OQ=PQ=2（3）解：如圖3，過點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于點(diǎn)S，F(xiàn)T⊥y軸于點(diǎn)T，∵∠HSF=∠GTF=90°=∠SOT，F(xiàn)S=FT=3,∴四邊形OSFT是正方形，∴∠SFT=90°=∠HFG，∴∠SFH+∠TFH=∠GFT+∠TFH，∴∠SFH=∠GFT，在△FSH和△FTG中，∠HSF=∠GTFFS=FT∴△FSH≌∴GT=HS，∵G0,m，Hn,0，點(diǎn)F坐標(biāo)為∴OT=OS=3，∴GT=-3-m，HS=n-(-3)=n+3∴-3-m=n+3，∴m+n=-6．【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)系，直角三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加正確的輔助線，構(gòu)造出全等三角形．類型二、等腰三角形的性質(zhì)與判定壓軸問題4．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖1，在△ABC中，AB=AC，BC=6，∠BAC=90°，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且在AC右側(cè)，BC上方，∠BDC=90°，連接AD，作AF⊥AD，交BD于點(diǎn)(1)圖1中與∠ACD相等的角是________；(2)如圖2，延長(zhǎng)AD與射線BC相交于點(diǎn)E，①求∠CDE的度數(shù)；②過點(diǎn)F作AD的平行線，交BC于點(diǎn)G，求GE的長(zhǎng)．【答案】(1)∠ABF；(2)①∠CDE=45°；②GE=6．【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)．（1）先證明∠BAF=∠CAD，在△ABQ和△CDQ中，∠BAQ=∠CDQ=90°，∠AQB=∠DQC，即可解答；（2）①由（1）證明△AFD是等腰直角三角形，即可解答；②過點(diǎn)B作BN⊥BE交AF的延長(zhǎng)線于N，連接GN，過點(diǎn)B作BM⊥BF交FN于點(diǎn)M，證得△BAN≌△CAEASA，進(jìn)而證得△BFM是等腰直角三角形，△NBM≌△GBF【詳解】（1）解：∵AF⊥AD，∠BAC=90°，∴∠BAC-∠FAC=∠FAD-∠FAC，∴∠BAF=∠CAD，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)Q，在△ABQ和△CDQ中，∠BAQ=∠CDQ=90°，∠AQB=∠DQC，∴∠ABF=∠ACD，故答案為：∠ABF；（2）①由（1）得△ABF≌∴AF=AD，∴△AFD是等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，∵∠BDC=90∴∠CDE=180°-∠ADF-∠BDC=45°；②如圖，過點(diǎn)B作BN⊥BE交AF的延長(zhǎng)線于N，連接GN，過點(diǎn)B作BM⊥BF交FN于點(diǎn)M，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABN=135°，∵∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠CAE=90°，∴∠BAN=CAE，在△BAN和△CAE中，∠ABN=∠ACEAB=AC∠BAN=∠CAE∴△BAN≌△CAEASA∴BN=CE，∵FG∥AD，∴∠NFG=∠FAD=90°，∵△AFD是等腰直角三角形，∴∠AFD=∠BFM=45°，∴△BFM是等腰直角三角形，∴∠MBF=90°，∠BMF=∠BFM=45°，∵∠NBM+∠MBG=∠MBG+∠GBF=90°，∴∠NBM=∠GBF，在△NBM和△GBF中，∠NBM=∠GBFBM=BF∠BMN=∠BFG=135°∴△NBM≌△GBFASA∴BN=BG=CE，∴GE=GC+CE=GC+BG=BC=6．5．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·期末）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．點(diǎn)E為AD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接ME，將△AME沿ME翻折．(1)圖1沿ME折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，連接MD，若MD=CD，①求證CM⊥AB；②∠B的度數(shù)為_________度；(2)如圖2，若點(diǎn)M和點(diǎn)B重合，連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△PBE，且BE=BC，設(shè)PB與AC相交于點(diǎn)F．求∠BFC度數(shù)．【答案】(1)①證明見解析；②67.5(2)60°【分析】（1）①證明BD=CD，可得BD=MD=CD，可得∠DBM=∠DMB，∠DMC=∠DCM，結(jié)合三角形的內(nèi)角和可得∠BMD+∠DMC=90°=∠BMC，可得CM⊥AB；②由對(duì)折可得：AM=CM，AE=CE，可得∠ACM=∠MAC=45°，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=1（2）如圖，連接EC，先證明△BCE是等邊三角形，得出∠BED=30°，再利用三角形的外角的性質(zhì)得出∠BFC=2∠BED即可；【詳解】（1）證明：①如圖，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，AD⊥BC，∵M(jìn)D=CD，∴BD=MD=CD，∴∠DBM=∠DMB，∠DMC=∠DCM，∵∠DBM+∠BMC+∠BCM=180°，∴∠BMD+∠DMC=90°=∠BMC，∴CM⊥AB；②由對(duì)折可得：AM=CM，AE=CE，而CM⊥AB，∴∠ACM=∠MAC=45°，∵AB=AC，∴∠B=1（2）如圖，連接EC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD，∴EB=EC，又∵EB=BC，∴BE=EC=BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠BEC=60°，∴∠BED=30°，由翻折的性質(zhì)可知：∠ABE=∠PBE=1∴∠ABF=2∠ABE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=2∠BAE，∴∠BFC=∠BAF+∠ABF=2∠BAE+∠ABE∴∠BFC的度數(shù)為60°；【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，內(nèi)角和定理的應(yīng)用等知識(shí)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．（21-22八年級(jí)上·江蘇南通·期末）△ABC中，∠ACB=90°，AC＝BC，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F．(1)如圖1，分別延長(zhǎng)AC，BF相交于點(diǎn)E，求證：BE＝AD；(2)如圖2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的長(zhǎng)；(3)如圖3，M是FB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD平分∠MAC，試探究AC，CD，AM之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)見解析(2)5(3)AC＋CD＝AM，理由詳見解析【分析】（1）欲證BE＝AD，只要證明△ACD≌△BCE即可；（2）如圖2，分別延長(zhǎng)BF，AC交于點(diǎn)E，先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABF＝∠E，由等腰三角形的判定和性質(zhì)以及（1）中結(jié)論即可求解；（3）如圖3中，分別延長(zhǎng)BF，AC交于點(diǎn)E，由（1）可得△ACD≌△BCE，得CD＝CE，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，∵BF⊥AD，∴∠AFB＝∴∠CAD+∠E=90°，∵∠ACB＝∴∠BCE＝∴∠CBE+∠E=90°，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACD和△BCE中∠ACD∴△ACD≌△BCE（ASA），∴BE＝AD；（2）解：如圖2，分別延長(zhǎng)BF，AC交于點(diǎn)E，由（1）知：BE＝AD＝5，∵AD平分∠BAC，BF⊥AD，∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°，∴∠ABF＝∠E，∴AB＝AE，∴BF＝12BE＝5（3）解：AC＋CD＝AM，理由如下：如圖3，分別延長(zhǎng)BF，AC交于點(diǎn)E，由（1）可得△ACD≌△BCE，∴CD＝CE，∵BF⊥AD，∴∠AFE＝∵AF平分∠EAM，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠M＝∠E，∴AM＝AE＝AC＋CE，∴AC＋CD＝AM．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題，涉及角平分線的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等角的余角相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．7．（21-22八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E．(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1，連接CE，則△BCE的形狀是_______________，∠CDB=____________°；(2)探索：如圖2，點(diǎn)P為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射線DE于Q，連接BQ，即△BPQ是等邊三角形；思路：在線段BD上截取點(diǎn)H，使DH=DP，得等邊△DPH，由∠DPQ=∠HPB，PD=PH，∠QDP=∠BHP，易證△PDQ≌△PHB（ASA），得PQ=PB，即△BPQ是等邊三角形．試判斷線段DQ、DP、AD之間的關(guān)系，并說明理由；(3)類比：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AD之間運(yùn)動(dòng)時(shí)連接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射線DE于Q，連接BQ．①試判斷△BPQ的形狀，并說明理由；②若AD=2，設(shè)AP=x，DQ=y，請(qǐng)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)等邊三角形，60；(2)AD=DQ+DP，見解析；(3)①△BPQ是等邊三角形，見解析；②y=-x+4【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求得∠ABC=60°，再根據(jù)角平分線的定義求得∠ABD=∠CBD=∠A=30°，則AD=BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得AE=BE，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CE=BE，根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)思路和全等三角形的性質(zhì)得出BH=DQ，結(jié)合AD=BD，BD=DH+BH即可解答；（3）延長(zhǎng)BD至F，使DF=PD，連接PF，可證得△PDF是等邊三角形，則有PF=PD，∠F=∠PDF=∠DPF=60°，進(jìn)而可得∠F=∠PDQ=60°，證明∠BPF=∠QPD，利用ASA證明△PBF≌△PQD，得出PB=PQ，BF=DQ，結(jié)合∠BPQ=60°和AD=BD即可得出①②的結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°∴∠ABD=∠A，∠CDB=90°－∠CBD=60°，∴AD=BD，又DE⊥AB，∴AE=BE=12AB，又∠ACB=90°∴CE=12AB=BE，又∠ABC=60°∴△BCE是等邊三角形，故答案為：等邊三角形，60；（2）解：AD=DQ+DP，理由為：在線段BD上截取點(diǎn)H，使DH=DP，如圖2，∵∠CDB=60°，∴△DPH為等邊三角形，∴DP=PH，∠DPH=∠DHP=60°，又∠BPQ=60°，∴∠DPQ+∠QPH=∠HPB+∠QPH=60°，∠BHP=120°，∴∠DPQ=∠HPB，∵∠A=30°，DE⊥AB，∴∠QDP=∠A+∠AED=30°+90°=120°，∴∠QDP=∠BHP，在△PDQ≌△PHB中，∠DPQ=∠HPB∴△PDQ≌△PHB（ASA），∴DQ=BH，PQ=PB，∵AD=BD，∠BPQ=60°，∴△BPQ為等邊三角形，AD=BD=BH+DH=DQ+DP，即AD=DQ+DP；（3）解：①△BPQ為等邊三角形，理由為：延長(zhǎng)BD至F，使DF=DP，連接PF，設(shè)DQ和BP相交于O，如圖3，∵∠PDF=∠CDB=60°，∴△PDF為等邊三角形，∴PF=DP，∠F=∠PDF=∠DPF=60°，∵∠A=30°，DE⊥AB，

∴∠PDQ=90°－∠A=60°，∴∠F=∠PDQ=60°，∵∠DPF+∠DPB=∠BPQ+∠DPB，又∠BPQ=60°，∴∠BPF=∠QPD，在△PBF和△PQD中，∠F=∠PDQPF=DP∴△PBF≌△PQD（ASA），∴PB=PQ，BF=DQ，又∠BPQ=60°，∴△BPQ為等邊三角形；②∵DF=DP，BF=DQ，AD=BD，∴DQ=BF=BD+DF=AD+DP，∵AD=2，AP=x，DQ=y，∴y=2+2－x，即y=－x+4．【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系和運(yùn)用，利用類比的方法解決問題是解答的關(guān)鍵．類型三、等邊三角形的性質(zhì)與判定壓軸問題8．（22-23八年級(jí)上·江蘇南通·期末）已知，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)M，N分別是AB，AC邊上的定點(diǎn)，且MN∥BC，點(diǎn)D在射線MN上移動(dòng)，如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)N(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)M重合時(shí)，BD和CE仍相等嗎？若相等，請(qǐng)寫出證明過程，若不相等，請(qǐng)說明理由；(2)如圖3，延長(zhǎng)BD，CE交于點(diǎn)P，隨著點(diǎn)D的移動(dòng)，BD和CE的夾角(3)如圖4，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊，向右作等邊△DEF，連接AF．若AB=6，則AF的最小值為___________，此時(shí)∠FAD=___________°【答案】(1)BD=CE，見解析(2)沒有改變，見解析(3)92；【分析】（1）結(jié)論：BD=CE，證明△BAD?△CAE(SAS（2）沒有改變，∠BPC=60°.如圖3中，BP與AC交點(diǎn)記為點(diǎn)G，利用全等三角形的性質(zhì)可解決問題；（3）如圖4中，在AB的右邊作等邊三角形BDK，連接FK，直線FK交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，交BC于點(diǎn)T，連接AF，由△BDE?△KDF,推出∠DKF=∠DBE=90°,推出點(diǎn)F在直線FJ.上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AF⊥FJ時(shí)，AF的值最小【詳解】（1）BD=CE

∵△ADE和△ABC是等邊三角形∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD?△CAE，∴BD=CE．（2）沒有改變，∠BPC=60°理由：如圖3，BP與AC交點(diǎn)記為點(diǎn)G∵△BAD?△CAE

∴∠ABD=∠ACE又∵∠BGA=∠CGP

∴180°-∠ACE-∠CGP=180°-∠ABD-∠BGA即∠BPC=∠BAC=60°（3）如圖4中，在AB的右邊作等邊三角形BDK，連接FK，直線FK交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，交BC于點(diǎn)T，連接AF，∵△BDK,△DEF是等邊三角形，∴同法可證△BDE?△KDF,∴∠DKF=∠DBE=∴點(diǎn)F在直線FJ.上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AF⊥FJ時(shí)，AF的值最小∵∠DKB=∠DBK=60°,∠DKJ=90°,∴∠BKJ=90°-60°=30°,∵AB=6,D是AB的中點(diǎn)，∴DB=DK=3,∵∠DBK=∠J+∠BKJ=60°,∴∠J=∠BKJ=30°,∴BJ=BK=3,∴AJ=AB+BJ=6+3=9,∵AF⊥FJ,∴AF=∴AF的最小值為92，此時(shí)，故答案為：92，【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題9．（22-23八年級(jí)上·江蘇·期末）已知AD為等邊△ABC的角平分線，動(dòng)點(diǎn)E在直線AD上（不與點(diǎn)A重合），連接BE．以BE為一邊在BE的下方作等邊△BEF，連接CF．(1)如圖1，若點(diǎn)E在線段AD上，且DE=BD，則∠CBF=______度．(2)如圖2，若點(diǎn)E在AD的反向延長(zhǎng)線上，且直線AE，CF交于點(diǎn)M．①求∠AMC的度數(shù)；②若△ABC的邊長(zhǎng)為8，P，Q為直線CF上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=10．連接BP，BQ．判斷△BPQ的面積是否為定值．若是，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)15(2)①60°；②是；20【分析】（1）已知等邊三角形，推論出等腰直角三角形，直接計(jì)算即可．（2）①通過手拉手模型證明全等推出等角即可；②已知底邊求面積，推出高的值即可，聯(lián)系第①問中的角度，直接推理出30°的直角三角形，代值計(jì)算即可．【詳解】（1）∵AD為等邊△ABC的角平分線∴AD⊥BC∵DE=BD∴∠EBD=45°∵△BEF是等邊三角形∴∠EBF=60°∴∠CBF=60°-45°=15°（2）①∵△ABC和△BEF均為等邊三角形，∴AB=CB，EB=FB，∠EBF=∠ABC=60°，∴∠EBA=∠FBC．在△ABE和△CBF中，AB=CB∴△ABE≌△CBF（SAS）∴∠AEB=∠CFB．又∵∠AEB＋∠EBF=∠CFB＋∠AMC∴∠AMC=∠EBF=60°②過B作BN⊥CM于N，由①可知，∠AMC=60°∴∠DCM=30°∵BC=8∴在Rt△BNC中，BN=∵PQ=10∴S∴△BPQ的面積為定值，20．【點(diǎn)睛】此題考查手拉手全等模型，和等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過全等證明角度相等，推出特殊角度的三角形，將面積用公式用底和高表示出來，直接求高然后代值判斷即可．10．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）某興趣小組在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等邊三角形進(jìn)行了再探究．如圖，在等邊三角形ABC中，過點(diǎn)B作射線BM∥AC，在射線CB上取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作∠APE=60°，∠APE的邊PE交射線BM于點(diǎn)(1)【動(dòng)手操作】如圖1，若點(diǎn)P在線段CB上，圖中與∠EPB相等的角為________；(2)【問題探究】在（1）的基礎(chǔ)上，探究線段PA與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】當(dāng)點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)時(shí)，用等式表示線段BC，BP，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)∠PAC(2)AP=PE，理由見解析(3)當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，BC=BP+BE，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=BP+BC，理由見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行推理即可解答；（2）如圖：延長(zhǎng)MB至H，使BH=BP，連接PH，然后證明△BPH是等邊三角形，，再運(yùn)用“ASA”可證△APB≌△EPH(3)當(dāng)點(diǎn)P在BC上和CB延長(zhǎng)線上兩種，分別運(yùn)用“ASA”可證△APB≌△EPH，可得【詳解】（1）解：∵等邊三角形ABC，∴∠ACB=60°，∵∠APE=60°，∴∠ACB=∠APE=60°，∵∠ACB+∠PAC=∠APB=∠APE+∠EPB，∴∠PAC=∠EPB．故答案為：∠PAC．（2）解：如圖：延長(zhǎng)MB至H，使BH=BP，連接PH，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC,∠ACB=∠ABC=60°，∵BM∥∴∠ACB=∠CBH=60°，又∵BH=BP，∴△BPH是等邊三角形，∴PH=BP=BH，∴.∠APB=∠EPH，∴△APB≌∴AP=PE．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，BC=BP+BE，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=BP+BC，理由如下：當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，由（2）可知：△APB≌∴AB=EH，∴BC=EH=EB+BH=BE+BP；如圖2：當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，在BE上截取BH=BP，連接PH，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC,∠ACB=∠ABC=60°，∵BM∥∴∠ACB=∠PBH=60°，又∵BP=BH，∴△BPH是等邊三角形，∴PH=BP=BH，∴∠APB=∠EPH，∠EHP=∠ABP=120°∴△APB≌∴EH=AB，∴BE=BH+EH=BP+BC．綜上，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，BC=BP+BE，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=BP+BC．11．（22-23八年級(jí)上·江蘇南京·期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°．求證BC=1①補(bǔ)全證明過程．證明：如圖2，取AB中點(diǎn)D，連接CD．∴BD=AD=1在△ABC中，∠C=90°，∴______；∴CD=BD．又∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°．∴△BCD為______三角形．∴BC=BD=1②請(qǐng)用文字概括①所證明的命題：____________．（2）如圖3，某市三個(gè)城鎮(zhèn)中心D，E，F(xiàn)恰好分別位于一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，在三個(gè)城鎮(zhèn)中心之間鋪設(shè)通信光纜，以城鎮(zhèn)D為出發(fā)點(diǎn)設(shè)計(jì)了三種連接方案：方案1：DE+EF；方案2：DG+EF（G為EF的中點(diǎn)）；方案3：OD+OE+OF（①設(shè)DE=6，通過計(jì)算，比較三種連接方案中鋪設(shè)的光纜長(zhǎng)度的長(zhǎng)短；②不計(jì)算，比較三種連接方案中鋪設(shè)的光纜長(zhǎng)度的長(zhǎng)短，并說明理由．【答案】（1）①CD=12AB；等邊；②在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（2）①【分析】（1）取AB中點(diǎn)D，連接CD．由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，結(jié)合∠A=30°，可證△BCD為等邊三角形，即可證明BC=BD=1（2）①方案二中，利用腰三角形三線合一的性質(zhì)、勾股定理可求得DG；方案三中，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可證OE=OF=OD，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可證OE=2OH，進(jìn)而可求得OD+OE+OF=63，分別計(jì)算出三種連接方案中鋪設(shè)的光纜長(zhǎng)度，比較大小即可；②過O作OH⊥EF，OI⊥DF，垂足為H，I，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可證OD+OE+OF=OD+OE+OH+OI=DH+EI，再根據(jù)DH<DE=EF可得OD+OE+OF<DG+EF【詳解】解：（1）補(bǔ)全證明過程如下：證明：如圖2，取AB中點(diǎn)D，連接CD．∴BD=AD=1在△ABC中，∠C=90°，∴CD=1∴CD=BD．又∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°．∴△BCD為等邊三角形．∴BC=BD=1故答案為：CD=12AB（2）①方案1：DE+方案2：∵△DEF是等邊三角形，∴DE=EF，∠EDF=60°．∵G為EF的中點(diǎn)，∴DG⊥EF，EG=GF=3，∠EDG=30°．∴∠EGD=90°，∴DG=6∴EF+DG=6+33方案3：如圖3，延長(zhǎng)DO交EF于H，∵O為△DEF三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OE=OF=OD．∵DE=DF，∴DH⊥EF，EH=FH=3．∵DE=DF=EF，∴△DOE≌△DOF≌△EOFSSS∴∠OEF=∠OFE=∠OED=∠ODE=∠ODF=∠OFD=30°．在△OEH中，∠OHE=90°．∴OE=2OH．∴OE=2∴OD+OE+OF=63∵63∴OD+∴方案三最短，方案一最長(zhǎng)．②在△DEG中，∠DGE=90°，DG<DE．∴DG+EF<DE+EF．易證∠DFO=∠EFO=1過O作OH⊥EF，OI⊥DF，垂足為H，I，∴OH=OI=1∵ED=EF，OD=OF，∴E，O在DF的垂直平分線上．∴EO⊥DF．即E，O，I在一條直線上．同理，D，O，H在一條直線上，∴OD+OE+OF=OD+OE+OH+OI=DH+EI，易證DH=DG=EI，DH<DE=EF，∴DH+EI<DG+EF，即OD+OE+OF<DG+EF．∴OD+OE+OF<EF+DG<DE+EF．∴方案三最短，方案一最長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確作輔助線，綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)，逐步進(jìn)行推導(dǎo)論證．類型四、勾股定理與幾何的計(jì)算與證明12．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，且AD<AB，作射線(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BP上．①求證：△ABD≌△ACE；②判斷BD與CE的位置關(guān)系，并說明理由；(2)△ABC和△ADE如圖2放置時(shí)，請(qǐng)你直接判斷（1）中①和②的結(jié)論是否仍然成立，并結(jié)合圖1、圖2計(jì)算：若BP=8，點(diǎn)A到PB的距離為2，求AB的長(zhǎng)度；(3)如圖3，點(diǎn)D在邊BC上，連接BE分別交AD，AC于點(diǎn)F，G，取BC中點(diǎn)O，連接AO交BE于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)N，連接MN，NG【答案】(1)①見解析；②BD與CE垂直，理由見解析；(2)（1）中①和②結(jié)論仍然成立，理由見解析；AB的長(zhǎng)度為226或2(3)17【分析】（1）根據(jù)圖形及等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，再由全等三角形的判定即可證明；②設(shè)AC與BP交于點(diǎn)O，由①（2）（1）中①和②結(jié)論仍然成立，設(shè)AB與CE交于點(diǎn)O，CE與DF交于點(diǎn)F，證明方法同（1）一致；然后對(duì)兩個(gè)圖分別作出輔助線，利用全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理求解即可；（3）連接CM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出OA⊥BC,OA=OB=12BC【詳解】（1）①證明∵∠BAC=∴∠BAC-∴∠BAD=∴△ABD≌△ACE(SAS)；②如圖

設(shè)AC與BP交于點(diǎn)O，由①得：∠ABD=∵∠AOB=∴∠CPO=∴BD與CE垂直；（2）如圖所示：

（1）中①和②結(jié)論仍然成立，理由如下：設(shè)AB與CE交于點(diǎn)O，CE與DF交于點(diǎn)F，∵∠BAC=∴∠BAC+∴∠BAD=∴△ABD≌△ACE(SAS∴∠ABD=∵∠AOC=∴∠BFO=∴BD與CE垂直；如圖3，

當(dāng)CE與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P時(shí)，連接AP，作AF⊥AP交BP于點(diǎn)F，∴∠PAF=∴∠BAF=由上得∠ACE=∵AB=AC，∴△BAF≌△CAP(SAS∴AF=AP，∴FG=PG，∴PG=AG=2，∴BG=BP-PG=8-2=6，∴AB=AG如圖4，

當(dāng)線段CE與線段BD相交于點(diǎn)P時(shí)，連接AP，作AF⊥AP交BD于點(diǎn)F，同理得PG=AG=2，∴BG=BP+PG=8+2=10，∴AB=AG綜上可得：AB的長(zhǎng)度為226或2（3）如圖5所示：

連接CM，∵AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，∠BAC=90°∴OA⊥BC,OA=OB=12BC∴∠BOM=90°∵AH⊥BG，∴∠AHM=90°∵∠AMH=∴∠OBM=∴△BOM≌△AON(ASA∴OM=ON，∴CN=5-ON，∴∠ONM=∴∠ONM=∴MN∥∴S△CMN∴12∴CN?OM=4，∴ON?(5-ON)=4，∴ON2∴ON2故答案為：17．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中點(diǎn)的性質(zhì)及勾股定理解三角形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線圖形，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．13．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）已知△ABC是等邊三角形，D是射線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至E，使CE=AD．連接BD，ED．(1)如圖，若D是AC的中點(diǎn)，求證DB=DE；(2)若D是邊AC上一點(diǎn)（不與中點(diǎn)重合），則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)若D是邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DBC=30°，AB=7，請(qǐng)直接寫出AE【答案】(1)見解析(2)（1）中的結(jié)論還成立，證明見解析(3)AE的長(zhǎng)為7【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠BCA=60°，∠CBD=12∠ABC=30°，再證CD=CE，得∠CDE=∠CED（2）過點(diǎn)D作DF∥AB交BC于F，則∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC，證△CDF為等邊三角形，得CD=DF=CF，再證△BFD≌△ECD，即可得出結(jié)論；（3）證∠ABD=90°，則∠ADB=30°，再由勾股定理得BD=21，同（2）得：DB=DE=21，進(jìn)而證明∠CDE=90°，然后由勾股定理即可求出【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BCA=60°，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴∠CBD=12∠ABC=30°∵AD=CE，∴CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∵∠CDE+∠CED=∠BCD=60°，∴∠CED=30°，∴∠CED=∠CBD，∴DB=DE；（2）解：（1）中的結(jié)論還成立，證明如下：如圖1，過點(diǎn)D作DF∥AB交BC于F，則∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC，∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB，∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF，∴△CDF為等邊三角形，∴CD=DF=CF，∴AC-CD=BC-CF，即AD=BF，∵AD=CE，∴BF=CE，∵∠BFD=180°-∠CFD=120°，∠ECD=180°-∠DCF=120°，∴∠BFD=∠ECD，在△BFD和△ECD中，BF=CE∠BFD=∠ECD∴△BFD≌△ECDSAS∴DB=DE；（3）解：如圖2，∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，AC=AB=7∵∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°，∴∠ADB=90°-∠BAC=30°，∴AD=2AB=27∴BD=A同（2）得：DB=DE=21∴∠DEC=∠DBC=30°，∵∠DCE=∠ACB=60°，∴∠CDE=180°-∠DEC-∠DCE=180°-30°-60°=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=即AE的長(zhǎng)為7．14．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上，且∠ADC=45°．(1)已知：AB=13，BD=52，求AD(2)BD【答案】(1)17；(2)是定值，定值為1．【分析】1過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，利用勾股定理求出AE、DE即可得出結(jié)果；2過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，由勾股定理得到BD2=2BE2，C本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，做出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，則∠BED=∠AEB=90°，∵∠ADC=45°，∴∠EBD=90°-45°=45°，∴BE=DE，∴2BE∴DE=BE=B∴AE∴AE=12，∴AD=AE+DE=17；（2）解：是定值．過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，則∠BED=∠BEA=∠CND=∠CNA=90°，由（1）知BD2=2BE2∵AB=AC，∴BD2+C∴45°+∠DAB=45°+∠ACN，∴∠DAB=∠ACN，∵∠BEA=∠CNA=90°∴△AEB≌△CNAAAS∴CN=AE，∴B15．（23-24八年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）在△ABC中，AC=2AB，點(diǎn)D為直線BC上一點(diǎn)，AD=AE,∠BAC=∠DAE，連接ED交AC于F．(1)如圖1，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，若EF=3，求BD的長(zhǎng)；(2)如圖2，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)M，使得BM=BD，連接AM,CE，求證：AM=CE；(3)如圖3，若∠BAC=90°,∠ADB=45°,DE=2，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+EP最小時(shí)，直接寫出這個(gè)最小值．【答案】(1)3(2)證明見解析(3)AP+PE的最小值為：10．【分析】（1）證明得△ABD≌△AFE，得到EF=BD，即可求得BD=3；（2）延長(zhǎng)AB至H，使BH=AB，連接DH，由SAS證明△ABM≌△HBD，得到AM=DH，由SAS證明△AHD≌△ACE，得到CE=DH，從而得證；（3）過A作AH⊥DE于H，證明∠ADB=45°=∠ADE，AH=DH=12DE=1，可得BD⊥DE，如圖，作E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接PE'，可得當(dāng)A，P，【詳解】（1）解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠FAE∵AC=2AB，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，∴AB=AF在△ABD和△AFE中AB=AF∴△ABD≌△AFE∴EF=BD，∵EF=3，∴BD=3；（2）延長(zhǎng)AB至H，使BH=AB，連接DH，在△ABM和△HBD中，MB=DB∠ABM=∠HBD∴△ABM≌△HBDSAS∴AM=DH，∵∠HAD+∠DAC=∠HAC，∴∠HAD=∠CAE，∵AC=2AB，∴AH=AC，在△AHD和△ACE中，AH=AC∠HAD=∠CAE∴△AHD≌△ACESAS∴CE=HD，∴CE=AM；（3）過A作AH⊥DE于H，∠BAC=90°，點(diǎn)D為直線BC上一點(diǎn)，AD=AE,∠BAC=∠DAE，DE=2，∴∠ADB=45°=∠ADE，AH=DH=1∴BD⊥DE，如圖，作E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接PE∴PE=PE'，DE=DE∴AP+PE=AP+PE∴當(dāng)A，P，E'三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PE最短，即A由勾股定理可得：AE∴AP+PE的最小值為：10．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．類型五、勾股定理的證明材料閱讀題16．（23-24八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）【材料閱讀】我國古人對(duì)勾股定理的研究非常深邃．如圖1，已知直角三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c（c為斜邊），由勾股定理：c2=a2+b2從而得到了勾股定理的推論：已知直角三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c（c為斜邊），則a=【問題解決】如圖2，已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=41,BC=8,AC=5，如何計(jì)算△ABC的面積？據(jù)記載，古人是這樣計(jì)算的：作BC邊上的高AH．以BH,CH的長(zhǎng)為斜邊和直角邊作Rt△DEF（如圖3

(1)用古人的方法計(jì)算DFD=B=[（__________）2-（__________）2]-[（__________）2-（__________）2=__________(2)試直接利用閱讀材料中勾股定理的推論繼續(xù)完成△ABC面積的計(jì)算過程；(3)你還有其他計(jì)算△ABC的面積的方法嗎？寫出解答過程．【答案】(1)AB(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．（1）由題中勾股定理的推論將空格補(bǔ)充完整即可；（2）根據(jù)材料中勾股定理的推論，完成△ABC面積的計(jì)算過程即可；（3）設(shè)CH=x,BH=8-x，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）D=B==16故答案為：AB，（2）在Rt△DEF由勾股定理的推論a=(c+a)2-b∵DE+EF=BH+CH=BC=8,DF2∴EF=82∴CH=3，在Rt△ACH中，A∴AH=4，∴SΔ（3）如圖2，設(shè)CH=x,BH=8-x，由勾股定理，得AH（41）解得x=3，∴CH=3，∴AH=5∴S△AHC17．（22-23八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1、S2【答案】(1)①見解析；②29(2)3(3)S【分析】（1）①將圖中各個(gè)幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：a2+b2=c2=17，（2）根據(jù)題意得：a2（3）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點(diǎn)表示出（S1+S【詳解】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即c2=1在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即(a+b)2=c在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即12(a+b)(a+b)=1②在圖1中：a2+b圖2中大正方形的面積為：a+b2∵b-a2=5，∴17-2ab=5，2ab=12，∴a+b2∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：a2如圖4：即有：S1=a2，∴S1如圖5：S1=12πa∵18∴S1如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正△XYZ的邊長(zhǎng)為u，過頂點(diǎn)x作XV⊥YZ，V為垂足，如圖，在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，∵XV⊥YZ，∴YV=VZ=12YZ=∴在Rt△XYV中，有XV=∴正△XYZ的面積為：S=1∴S1=12×a×∵3∴S1∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S故答案為：3；（3）關(guān)系：S1以a為直徑的半圓面積為：12以b為直徑的半圓面積為：12以c為直徑的半圓面積為：12三角形的面積為：S3∴S1即：S1結(jié)合（1）的結(jié)論：a∴S1【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．類型六、三角形與翻折壓軸問題18．（22-23八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，∠AOB=α，點(diǎn)M是射線OA上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)N是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)MN，把∠AOB沿MN折疊，點(diǎn)O落在∠AOB所在平面內(nèi)的點(diǎn)(1)如圖1，點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，則α=___°．(2)如圖2，若α=45°，ON=2，折疊后點(diǎn)C在直線OB上方，CM與OB交于點(diǎn)E，且MN=ME，求∠OMN的度數(shù)及折痕MN(3)如圖3，若折疊后，直線MC⊥OB，垂足為點(diǎn)E，且OM=5，ME=3，直接寫出此時(shí)ON的長(zhǎng)．【答案】(1)40；(2)30°，(3)ON=52或【分析】（1）由對(duì)折的性質(zhì)得：∠OMN=∠CMN，∠ONM=∠CNM，由∠CMA=20°及∠CNB=60°，則可求得（2）設(shè)∠OMN=α，由折疊知，∠NME=∠OMN=α；由三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)得：∠MEN=∠MNE=∠O+∠OMN=45°+α，由三角形內(nèi)角和即可求得α的度數(shù)；過N點(diǎn)作ND⊥OM于D，則易得OD=ND=1；再由含30度直角三角形的性質(zhì)得MN=2ND=2；（3）由勾股定理OE=4；分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在線段OE上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)N在線段OE延長(zhǎng)線上時(shí)；設(shè)ON=x，利用勾股定理建立方程求出x即可．【詳解】（1）解：由對(duì)折的性質(zhì)得：∠OMN=∠CMN，∵∠OMN+∠CMN+∠ACM=180°，∠ONM+∠CNM+∠CNB=180°，且∠CMA=20°，∠CNB=60°，∴∠OMN=1∴a=180°-∠OMN-∠ONM=180°-80°-60°=40°，故答案為：40；（2）解：設(shè)∠OMN=a，由折疊知，∠NME=∠OMN=a；∵M(jìn)N=ME，∠MNE=∠O+∠OMN，∴∠MEN=∠MNE=45°+a，∵∠MNE+∠MEN+∠NME=180°，∴2(45°+a)+a=180°，解得：a=30°，即∠OMN=30°；如圖，過N點(diǎn)作ND⊥OM于D，則∠OND=∠O=45°，∴OD=ND，由勾股定理得：2OD∴OD=ND=1；∵ND⊥OM，∴MN=2ND=2；（3）解：∵M(jìn)C⊥OB，∴OE=O①當(dāng)點(diǎn)N在線段OE上時(shí)，如圖，設(shè)ON=x，由折疊性質(zhì)得：CN=ON=x，CM=OM=5，∴NE=OE-ON=4-x，CE=CM-ME=5-3=2；∵M(jìn)C⊥OB，∴NE即(4-x)2解得：x=5即ON=5②當(dāng)點(diǎn)N在線段OE延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，設(shè)ON=x，由折疊性質(zhì)得：CN=ON=x，CM=OM=5，∴NE=ON-OE=x-4，CE=CM+ME=5+3=8；∵M(jìn)C⊥OB，∴NE即(x-4)2解得：x=10；即ON=10；綜上，ON=52或【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（23-24八年級(jí)上·江蘇·期末）在生活中、折紙是一種大家喜歡的活動(dòng)、在數(shù)學(xué)中，我們可以通過折紙進(jìn)行探究，探尋數(shù)學(xué)奧秘．【紙片規(guī)格】三角形紙片ABC，∠ACB=120°，CA=CB，點(diǎn)D是底邊AB上一點(diǎn)．【換作探究】(1)如圖1，若AC=6，AD=23，連接CD，求CD(2)如圖2，若AC=6，連接CD，將△ACD沿CD所在直線翻折得到△ECD，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.若DE所在的直線與△ABC的一邊垂直，求AD的長(zhǎng)；(3)如圖3，將△ACD沿CD所在直線翻折得到△ECD，邊CE與邊AB交于點(diǎn)F，且DE∥BC，再將△DFE沿DF所在直線翻折得到△DFG，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，DG與CE、BC分別交于H，K，若KH=1，請(qǐng)直接寫出【答案】(1)2(2)33-3或23或(3)3+【分析】（1）作CE⊥AB于E，求得∠A=∠B=30°，從而得出CE=12AC=3，AE=（2）當(dāng)DE⊥AB時(shí)，連接AE，作CG⊥AB于G，依次得出∠DAE=∠DEA=45°，∠CAE=∠CAD+∠DAE=30°+45°=75°，∠CEA=∠CAE=75°，∠ACE=30°，∠ACD=∠DCE=15°，∠CDG=∠CAB+∠DAC=45°，從而DG=CG，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)ED⊥AC時(shí)，設(shè)ED交AC于點(diǎn)W，CE交AB于V，可推出∠AVC=90°，∠ACE=60°，從而∠ACD=∠DCE=30°，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)DE⊥BC時(shí)，可推出∠ACB+∠BCE=180°，從而∠ACD=∠DCE=90°，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)DE⊥AB時(shí)，作CH⊥AB于點(diǎn)H，先求出（3）可推出△CKH和△CDH及△CHK是直角三角形，且∠HCK=30°，∠HDF=30°，∠DCH=45°，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖1，作CE⊥AB于E，∴∠AEC=90°，∵CA=CB，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴CE=12AC=3∴DE=AE-AD=33∴CD=D（2）解：如圖2，當(dāng)DE⊥AB時(shí)，連接AE，作CG⊥AB于G，由翻折得：AD=DE，∠CAD=∠CED，AC=CE，∴∠DAE=∠DEA=45°，∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=30°+45°=75°，∴∠CEA=∠CAE=75°，∴∠ACE=30°，∴∠ACD=∠DCE=15°，∴∠CDG=∠CAB+∠DAC=45°，∴DG=CG，由（1）知：CG=3，AG=33∴AD=AG-DG=33如圖3，當(dāng)ED⊥AC時(shí)，設(shè)ED交AC于點(diǎn)W，CE交AB于∴∠E+∠ACE=90°，∵∠E=∠A，∴∠A+∠ACE=90°，∴∠AVC=90°，∴∠ACE=60°，∴∠ACD=∠DCE=30°，∴∠ACD=∠A，∴AD=CD，∵CV=3，∴CD=3∴AD=CD=23如圖4，當(dāng)DE⊥BC時(shí)，∵∠E=∠A=30°，∴∠BCE=60°，∴∠ACB+∠BCE=180°，∴∠ACD=∠DCE=90°，∴AD=6如下圖，當(dāng)DE⊥AB時(shí)，∠ADE=90°，∴∠ADC=∠CDE=45°，作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵∠A=30°,AC=6，∴CH=1在Rt△CDH中，∴CH=DH=3，∴CD=3綜上所述：AD=33-3或23或4（3）解：如圖5，∵DE∥BC，∴∠BCF=∠E=30°，∠EDF=∠B=30°，∵∠ACB=120°，∴∠ACE=90°，∴∠ECD=∠ACD=1∵將△DFE沿DF所在直線翻折得到△DFG，∴∠GDF=∠EDF=30°，∴∠EDG=60°，∴∠CHK=∠EHD=90°，∴DH=CH=3∴FH=3∴CF=CH+FH=3∴AC=3【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形．類型七、三角形與幾何動(dòng)點(diǎn)問題20．（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，已知A(4,m)為正比例函數(shù)y=34x的圖象上一點(diǎn)，AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B．點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線OA方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P(1)過點(diǎn)P作PQ⊥OA交直線AB于點(diǎn)Q，若△APQ≌△ABO，求t的值；(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的，使得△POB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)1或4(2)存在，54或2或【分析】本題考查了函數(shù)上的點(diǎn)，全等三角形的判定，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理；（1）由點(diǎn)在函數(shù)圖象上得A(4,3)，由勾股定理得OA=AB2+OB2=5，①當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，（2）①當(dāng)PB=OP時(shí)，點(diǎn)P在線段OB的垂直平分線上，作PD⊥OB，②當(dāng)OP=OB時(shí)，③當(dāng)BP=BO時(shí)，過點(diǎn)B作BH⊥AB，即可求解；掌握判定方法，能根據(jù)P點(diǎn)的不同位置和等腰三角形的腰不同進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵A(4,m)為正比例函數(shù)y=3∴m=3∴A(4,3)，∴AB=3，OB=4，∴OA=AB2+OB①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，∵△APQ≌△ABO，∴AP=AB=3，∴OP=OA-AP=5-3=2，∴t=2②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵△APQ≌△ABO，∴AP=AB=3，∴OP=OA+AP=5+3=8，∴t=8綜上所述：t的值1或4；（2）解：存在；①如圖，當(dāng)PB=OP時(shí)，點(diǎn)P在線段OB的垂直平分線上，作PD⊥OB，∴OD=OB，∴∠BOP=∠OBP，∵AB⊥x軸，∴∠ABO=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠BOP+∠BAP=90°，∴∠ABP=∠BAP，∴PA=PB，∴PA=PB=PO，∴OP=1∴t=5②如圖，當(dāng)OP=OB時(shí)，∴OP=OB=4，∴t=4③如圖，當(dāng)BP=BO時(shí)，過點(diǎn)B作BH⊥AB，∴OP=2OH，∴1∴1解得：BH=12∴OH===16∴OP=2×=32∴t=32故t的值為54或2或1621．（22-23八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，CB=12cm，CA=9cm，P是從C點(diǎn)出發(fā)的動(dòng)點(diǎn)，沿著C-B-A在三角形邊上運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm．設(shè)(1)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，t=秒；(2)當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB=cm；（用含t的代數(shù)式表示）(3)若存在某一時(shí)刻t，使得時(shí)間為t秒時(shí)△CBP1的面積與時(shí)間為(t+4)秒時(shí)△CAP(4)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△ACP為等腰三角形（直接寫出答案）．【答案】(1)19.5(2)t-12(3)t=(4)當(dāng)t=9或815或18或19.5時(shí)，△ACP【分析】（1）由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，則可得出答案；（2）由題意可得出答案；（3）由三角形公式得出BP（4）分三種情況如圖1和2，當(dāng)AC=PC時(shí)，可以求出t=9或815，如圖3，當(dāng)AP=CP時(shí)，作PE⊥AC，于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出E是AC的中點(diǎn)，進(jìn)而得出P是AB的中點(diǎn)，就可以求出t=19.5，如圖4，當(dāng)AC=AP時(shí)，就可以求出t=18【詳解】（1）解：∵∠C=90°，CB=12cm，CA=9∴AB=C若P為AB的中點(diǎn)，∴BP=1∴t=12+7.5=19.5，故答案為：19.5；（2）解：∵CB=12cm∴PB=t-12故答案為：t-12；（3）解：由題意可知點(diǎn)P在AB上，設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，∵S△CP1∴BP∴t-12=(15+12)-(t+4)，∴t=35（4）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，AC=PC，∴PC=9cm，∴t=9；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB上，AC=PC，作CF⊥AB于點(diǎn)F，∵SΔABC∴CF=AC?BC∴AF=A∴AP=2AF=54∴CB+BP=12+15-54∴t=81如圖3，當(dāng)AP=CP時(shí)，作PE⊥AC于E，∴∠AEP=90°，AE=CE．∵∠ACB=90°，∴∠AEP=∠ACB，∴EP∥∴AP=BP，∴BP=7.5，∴t=12+7.5=19.5；如圖4，當(dāng)AP=AC時(shí)，CB+BP=12+15-9=18(cm)∴t=18；∴當(dāng)t=9或815或18或19.5時(shí)，△ACP【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用勾股定理求值是關(guān)鍵．類型八、三角形與新定義探究問題22．（21-22八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）我們定義：若一條線段將三角形分割成2個(gè)等腰三角形，則這條線段是這個(gè)三角形的“黃金線”．若兩條線段將一個(gè)三角形分割成3個(gè)等腰三角形，則這兩條線段是這個(gè)三角形的“鉆石線”．例如：如圖1，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，過點(diǎn)C作∠ACD=30°，ΔACD和ΔBCD都是等腰三角形，則線段CD是ΔABC的“黃金線”．延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使AB=BE，連接AE，兩條線段AB、CD將ΔACE分割成3個(gè)等腰三角形，則這兩條線段AB、CD是(1)如圖2，已知銳角ΔABC中，∠BAC=25°，∠ABC=75°，若存在線段BD是ΔABC的“黃金線”，則其中鈍角等腰三角形的頂角是________(2)如圖3，已知ΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作∠BCD=40°，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD邊上的一點(diǎn)E恰好在OD的垂直平分線上，求證：線段CO、OE是ΔACD的“鉆石線(3)若一個(gè)等腰三角形有“黃金線”，則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是_______．【答案】(1)130(2)見解析(3)36°、45°、72°、（5407）【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可；（2）證明△AOC，△OCE，△CED都是等腰三角形即可；（3）設(shè)底角度數(shù)為x，分三種情況利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．【詳解】（1）如圖2中，∵BD是“黃金線”，∴DA=DB，∴∠DAB=∠DBA=25°，∴∠CDB=∠A+∠DBA=50°，∵∠ABC=75°，∴∠CBD=75°-25°=50°，∴∠CDB=∠CBD=50°，∴△ADB，△CDB都是等腰三角形，∴∠ADB=180°-25°-25°=130°，故答案為：130；（2）證明：如圖3中，∵∠ACB=90°，AO=OB，∴OC=OA=OB，∴△AOC是等腰三角形，∵∠BCD=40°，∴∠ACD=90°+40°=130°，∴∠D=180°-130°-30°=20°，∵點(diǎn)E在OD的垂直平分線上，∴ED=EO，∴∠D=∠EOD=20°，∴∠OEC=∠D+∠EOD=40°，∵∠OCA=∠A=30°，∴∠OCB=90°-30°=60°，∴∠ECO=60°+40°=100°，∴∠COE=180°-100°-40°=40°，∴∠OCE=∠CEO=40°，∴CO=CE，∴△CEO，△OED都是等腰三角形，∴線段CO、OE是△ACD的“鉆石線”；（3）①設(shè)△ABC是以AB、AC為腰的銳角三角形，BD為“雙等腰線”，如圖5，當(dāng)AD=BD，BD=BC時(shí)，設(shè)∠A=x°，則∠ABD=x°，∴∠BDC=∠C=2x°，∴∠ABC=∠C=2x°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x°+2x°+2x°=180°，∴x=36°，2x=72°，∴∠C=72°，②設(shè)△ABC是以AB、AC為腰的鈍角三角形，AD為“雙等腰線”，如圖6，當(dāng)AB=BD，AD=CD時(shí)，設(shè)∠B=y°，則∠C=y°，∵AD=CD，∴∠DAC=∠C=y°，∴∠ADB=2y°，∵AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=2y°，∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∴y°+2y°+2y°=180°，∴y=36°，∴∠B=∠C=36°，③設(shè)△ABC是以AB、AC為腰的直角三角形，AD為“雙等腰線”，如圖7，當(dāng)AB=BD，AD=CD時(shí)，AD為BC的垂直平分線，設(shè)∠B=z°，則∠C=z°，∠BAD=z°，∴∠B+∠BAD=90°，∴z°+z°=90°，∴z=45°，∴∠B=∠C=45°，④設(shè)頂角為x，可得，x+3x+3x=180°解得：x=（1807）°∴∠C=3x=（5407）°故答案為：36°、45°、72°、（5407）°【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解三角形的“黃金線”，“鉆石線”的定義，屬于中考創(chuàng)新題型．23．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）【閱讀】規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別與另一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，那么稱這兩個(gè)三角形互為等角三角形．從三角形（非等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是等角三角形，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的等角分割線．

【理解】（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)等角三角形．______；______【嘗試】（2）如圖2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=60°，∠B=40°．求證：CD為△ABC的等角分割線．【應(yīng)用】（3）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的等角分割線，請(qǐng)直接寫出∠ABC的度數(shù)．【答案】（1）△ACB與△ADC，△ACB與△CDB，△ADC與△CDB；（2）見解析；（3）18°或28°或36°或44°【分析】本題是三角形綜合題，考查了等角三角形的定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等角三角形的定義解答；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACD=∠DCB=1（3）分△ACD是等腰三角形，DA=DC、DA=AC和△BCD是等腰三角形，DB=BC、DC=BD四種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°∴∠A=∠DCB，同理，∠B=∠ACD，∵∠ACB=∠ADC=∠CDB，∴△ABC與△ACD，△ABC與△BCD，△ACD與△BCD是等角三角形；（2）∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°∵CD為角平分線，∴∠ACD=∠DCB=1∴∠ACD=∠A，∴CD=DA，∵在△DBC中，∠DCB=40°，∴∠BDC=180°-∠DCB-∠B=80°，∴∠BDC=∠ACB，∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∴CD為△ABC的等角分割線；（3）當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖，DA=DC時(shí)，∠ACD=∠A=48°，∴∠ACB=∠BDC=48°+48°=96°，∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-48°-96°=36°

當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖，DA=AC時(shí)，∠ACD=∠ADC=1

∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=66°+48°=114°，∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-48°-當(dāng)△ACD是等腰三角形，CD=AC的情況不存在，當(dāng)△BCD是等腰三角形，如圖，DC=BD時(shí)，

∠ACD=∠BCD=∠B=1當(dāng)△BCD是等腰三角形，如圖，DB=BC時(shí)，∠BDC=∠BCD，

設(shè)∠BDC=∠BCD=x，則∠B=180°-2x，則∠ACD=∠B=180°-2x，由題意得，180°-2x+48°=x，解得，x=76°，∴∠B=180°-2x=180°-2×76°=28°，當(dāng)△BCD是等腰三角形，CD=CB的情況不存在，∴∠ABC的度數(shù)為18°或28°或36°或44°．24．（20-21八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）定義：若兩個(gè)有公共底邊的等腰三角形的頂角互補(bǔ)，且兩個(gè)三角形在公共底邊的兩側(cè)．則稱這兩個(gè)等腰三角形為“相關(guān)等腰三第形”．如圖1，AB=AC,DB=DC且∠A+∠D=180°，則△ABC與△BCD是“相關(guān)等腰三角形”概念理解（1）如圖2，四邊形ABCD是正方形，則圖中有對(duì)“相關(guān)等腰三第形”．（2）如圖3，AB=AD,BC=CD,∠ABD=30°,AB⊥BC，試說明，△ABD與△BCD是“相關(guān)等腰三角形”探究應(yīng)用（3）在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(5,0),(0,4)．①如圖4，點(diǎn)E在邊OC上，點(diǎn)F在邊BC上，△EFO與△AEO是“相關(guān)等腰三第形”，求點(diǎn)E,F的坐標(biāo)②如圖5，點(diǎn)M是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，△PMO與△CPO是“相關(guān)等腰三角形”，直線CP與直線AB交于點(diǎn)N，當(dāng)OM=AN時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)：【答案】（1）2；（2）見解析；（3）①F2,4,E0,2.5；②M2013,0或者【分析】（1）直接根據(jù)“相關(guān)等腰三第形”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）證明△BCD為等邊三角形可得∠C=60°，再證明∠A=120°，根據(jù)“相關(guān)等腰三第形”的定義進(jìn)行判斷即可；（3）①設(shè)F為a,4，E0,b,運(yùn)用勾股定理求出②分類討論，結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA∵AB=CB，AD=CD，∠ABC=∠ADC=180°∴△BAC與△DAC是“相關(guān)等腰三第形”同理，△ABD和△CBD是“相關(guān)等腰三第形”故答案為：2；（2）證明：∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵∠ABD=30°,∴∠DBC=60°,又∵BC=CD,∴△BCD為等邊三角形∴∠C=∠BDC=60°,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=30°,∴∠A=180°-2×30°=120°,∴∠A+∠C=180°,又∵△ABD和△BCD均為等腰三角形，且在公共底邊BD的兩側(cè)∴△ABD與△BCD是“相關(guān)等腰三角形”（3）①解：設(shè)F為a,4，CF=a∵△EFO與△AFO是等腰三角形∴AF=OA=5,EF=OE=b∵四邊形OABC為矩形∴∠ABC=∠FCE=90°,根據(jù)勾股定理CE2+CF2=EF2,A∴解得a=2,b=2.5∴F②情形一，如圖5，∵△PMO與△CPO是“相關(guān)等腰三角形”，∴CP=PO，MP=MO，∠PCO+∠PMO=180°∴∠COP=∠CPO，∠MOP=∠MPO,∵∠COP+∠MOP=90°∴∠MPO+∠CPO=90°，即MP⊥CN又OM=AN∴PM=AN設(shè)OM=PM=AN=x，MD=y∴PD=y2-∴CN=PC+PD+ND=4+y∴52又42解得，x=∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20情形二：如圖6，點(diǎn)P在BC上時(shí)，∵△PMO與△CPO是“相關(guān)等腰三角形”，∴CP=PO，MP=MO，∠PCO+∠PMO=180°又∠PCO=90°∴∠PMO=90°∴四邊形OMPC是正方形，∴OM=OC=4∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0）情形三：如圖7，∵△PMO與△CPO是“相關(guān)等腰三角形”，∴CP=PO，MP=MO，設(shè)OM=x，則AM=5-x∵OM=AN∴BN