期末復習之與勾股定理有關的常見幾何模型（解析版）

與勾股定理有關的常見幾何模型（熱考+壓軸必刷50題13種題型專項訓練）構造直角三角形螞蟻爬行模型直角三角形翻折模型【擴展】特殊四邊形的翻折模型構造直角三角形求代數(shù)式的最值利用勾股定理解決將軍飲馬問題勾股樹模型面積法求高趙爽弦圖梯子模型勾股差模型垂美四邊形見特殊角，作垂線一．構造直角三角形（共4小題）1．（23-24八年級上·河南鄭州·期中）如圖，某小區(qū)在相鄰兩樓之間修建了一個上方是以AB為直徑的半圓，下方是長方形的仿古通道，其中AD=2.1米，CD=2米，現(xiàn)有一輛裝滿家具的卡車高2.5米，寬1.6米，請問這輛送家具的卡車能否順利通過這個通道？請說明你的理由．【答案】卡車能通過，理由見解析【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，如圖，卡車能否通過，關鍵是車高2.5米與EG的比較，EF為2.1米，只需求GF，在直角三角形OFG中，半徑OG為1米，車寬的一半為OF=0.8米，運用勾股定理求出GF即可．【詳解】解：卡車能通過，理由如下，如圖，設點O為半圓的圓心，則AB的中點為點O，OG為半圓的半徑，∵AB=CD=2米，∴OG=1，OF=1.6÷2=0.8米，在Rt△OFG中，OGF=O∴EG=EF+GF=2.1+0.6=2.7米，∵2.7>2.5，∴卡車能通過．2．（2022八年級·全國·專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊長，向外作四個正方形，面積分別為S1，S2，S3和S4．若S1=4，【答案】8【分析】連接AC，構造Rt△ABC和Rt△ADC，然后在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC2，在Rt【詳解】如圖，連接AC，∵在Rt△ABC中，A∴AC∵在Rt△ADC中，A∴AC解得：S4【點睛】本題考查勾股定理，解決本題的關鍵是將面積轉(zhuǎn)化為勾股定理求邊長的平方即可．3．（22-23八年級上·江蘇泰州·階段練習）已知：如圖，在△ABC中，CD是△ABC的中線，CD=5，AC=8，BC=6．(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；(2)點E在CD上，且AE=BC，求證：∠AED=∠B．【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由見詳解(2)見詳解【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理逆定理及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理逆定理及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵；（1）延長CD，使得DF=CD=5，連接AF，由題意易得△ADF≌△BDCSAS，則有AF=BC=6,∠F=∠BCD，然后可得A（2）由（1）可知：∠F=∠BCD，AF=BC=6，∠ACB=90°，則有∠DCB=∠B，然后可得∠AED=∠F=∠BCD，進而問題可求證．【詳解】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下：延長CD，使得DF=CD=5，連接AF，如圖所示：∵CD是△ABC的中線，∴AD=BD，∵∠ADF=∠BDC，∴△ADF≌△BDCSAS∴AF=BC=6,∠F=∠BCD，∴AF∥BC，∵AC=8，CF=2CD=10，∴AF∴△AFC是直角三角形，即∠CAF=90°，∵AF∥BC，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；（2）解：由（1）可知：∠F=∠BCD，AF=BC=6，∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴∠DCB=∠B，∵AE=BC=AF，∴∠AED=∠F=∠BCD，∴∠AED=∠B．4．（24-25八年級上·山西運城·期中）閱讀與思考：下面是小亮同學寫的一篇數(shù)學日記，請仔細閱讀，并完成相應任務．××年××月××日星期三巧用方程解決三角形求高問題法國數(shù)學家笛卡爾在《指導思維的法則》一書中寫道：“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，一切數(shù)學問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)學問題，而一切代數(shù)學問題又都可以轉(zhuǎn)化為方程問題”．可見方程思想對于數(shù)學學習的重要性．今天數(shù)學課上，老師提出問題：在△ABC中，已知邊AB,AC,BC的長，求點A到BC邊的距離．小亮畫出的圖形如圖①所示：在△ABC中，已知：AB=13,AC=5,BC=12，小亮的同桌小明思索片刻就得出：點A到BC邊的距離為5；小明畫出的圖形如圖②所示：在△ABC中，已知：AB=15,BC=14,AC=13，經(jīng)過小組討論，大家得出了如下的解題思路：請你根據(jù)小亮的日記內(nèi)容完成下列各題：(1)寫出小明得出圖①中點A到BC距離為5的理由；(2)根據(jù)小亮小組討論的思路，寫出圖②中點A到BC的距離為；(3)根據(jù)（2）的解題思路解決下面的問題：如圖③，某商場樓梯長4m(AB=4m)，商場準備改善原有樓梯的安全性能，將樓梯長度加長2m【答案】(1)見解析(2)12(3)455【分析】題目主要考查勾股定理的應用，勾股定理的逆定理，理解題意，作出輔助線，熟練掌握勾股定理是解題關鍵．（1）根據(jù)勾股定理逆定理確定△ABC是直角三角形，即可求解；（2）根據(jù)題干思路，利用勾股定理代入求解即可；（3）作AD⊥BC交CB的延長線于D，根據(jù)題意得出AC=4+2=6m，設BD=xm，BC=3【詳解】（1）解：∵在△ABC中，AB=13,AC=5,BC=12，∴AC2∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°∴AC⊥BC，∴AC是點A到BC邊的距離，即點A到BC邊的距離為5；（2）解：如圖②，作AD⊥BC于D，設BD=x，則CD=BC-BD=14-x，∵Rt△ABD中，AD2=AB2∴AB2∴152解得：x=9，即BD=9，∴AD2∴點A到BC的距離為12，故答案為：12；（3）解：作AD⊥BC交CB的延長線于D，∵AB=4m∴AC=4+2=6m，設BD=xm，BC=3則CD=3+xm∵Rt△ABD中，AD2=AB2∴AB2∴42解得：x=116，即∴AD=AB∴樓梯的高度為4556二．螞蟻爬行模型（共5小題）5．（23-24八年級上·廣東佛山·期中）如圖，長方體ABCD-A'B'C'D'中，

(1)請你在所給的網(wǎng)格中，畫出螞蟻爬行的所有不同的直線路徑；(2)分別求出這幾種路徑的距離；(3)求螞蟻爬行的最短路程是多少？【答案】(1)見解析(2)從正面和上面：5；從左面和上面：29；從正面和右面：29(3)5【分析】本題主要考查的是勾股定理的應用，（1）按照從正面和上面；左面和上面；右面和上面，畫出圖形即可；（2）根據(jù)勾股定理即可解答；（3）將（2）中求得的距離進行比較，即可，本題的重點在于準確進行展開，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形進行計算，進行分類討論．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：從正面和上面：AC從左面和上面：AC從正面和右面：AC（3）解：根據(jù)（2）中可得，最短路徑為5．

6．（24-25八年級上·廣東佛山·期中）綜合與實踐【問題情境】數(shù)學綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為5、3、1，A和B是一個臺階兩個相對的端點．【探究實踐】老師讓同學們探究：如圖①，若A點處有一只螞蟻要到B點去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到B點的最短路程是多少？（1）同學們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，連接AB，經(jīng)過計算得到AB長度即為最短路程，則AB=；（直接寫出答案）【變式探究】（2）如圖③，一只圓柱體玻璃杯，若該玻璃杯的底面周長是48厘米，高是7厘米，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點B，求該螞蟻爬行的最短路程是多少厘米？【拓展應用】（3）如圖④，若圓柱體玻璃杯的高10厘米，底面周長為24厘米，在杯內(nèi)壁離杯底2厘米的點A處有一滴蜂蜜．此時，一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿1厘米，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不計）【答案】（1）13；（2）該螞蟻爬行的最短路程是25厘米；（3）螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是15厘米【分析】本題考查了平面展開——最短路徑問題，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關鍵．（1）直接利用勾股定理進行求解即可；（2）將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可；（3）將玻璃杯側(cè)面展開，將玻璃杯側(cè)面展開，作B關于EF的對稱點B'，作B'D⊥AE，交AE延長線于點D，連接A【詳解】解：（1）由題意得：BC=5，AC=1+3∴AB=A故答案為：13；（2）將圓柱體側(cè)面展開，如下圖：由題意得：AC=12×48=24∴AB=A∴該螞蟻爬行的最短路程25厘米；（3）如下圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作B關于EF的對稱點B'，作B'D⊥AE，交AE延長線于點D，連接由題意得：DE=12B∴AD=AE+DE=8+1=9cm∵底面周長為24cm∴B'∴AB由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是AB7．（23-24七年級上·山東威?！て谥校┮恢晃浵佋诹⒎襟w的表面積爬行．(1)如圖1，當螞蟻從正方體的一個頂點A沿表面爬行到頂點B，怎樣爬行路線最短？說出你的理由．(2)如圖1，如果螞蟻要從邊長為1cm的正方體的頂點A沿最短路線爬行到頂點C，那么爬行的最短距離d的長度應是下面選項中的（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）這樣的最短路徑有條．(3)如果將正方體換成長AD=3cm，寬DF=3cm，高AB=1cm的長方體（如圖2所示），螞蟻仍需從頂點A【答案】(1)沿線段AB爬行；理由見解答過程(2)D；6(3)螞蟻爬行的最短路線是沿面AF和面FC展開后所連接的線段AE；理由見解答過程【分析】本題考查了勾股定理的拓展應用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．（1）根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短，求出即可；（2）根據(jù)圖形可得出最短路徑為5cm（3）將立方體采用兩種不同的展開方式得出最短路徑即可．【詳解】（1）解：沿線段AB爬行；理由如下：如圖所示，根據(jù)兩點之間線段最短，沿線段AB爬行即可；（2）解：如圖所示：最短路徑的長度為d=2∵2<5<3，即如圖所示：∴路線有6條，故選：D；6；（3）解：螞蟻爬行的最短路線是沿面AF和面FC展開后所連接的線段AE；理由如下：如圖2.1和圖2.2所示作圖，分別連接AE，圖2.1中AE=B圖2.2中AE=A∵37∴圖2.2中的路徑最短．8．（24-25八年級上·廣東深圳·期中）【項目式學習】在圓柱表面，螞蟻怎么爬行路徑最短？（π取3）素材1：如圖1，圓柱體的高AC為12cm，底面直徑BC為6cm，在圓柱下底圓周上的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面圓周上與A點對應的B若螞蟻沿圖1中的折線A→C→B爬行的最短路徑記為“路線一”，此時最短路程是12+6=18cm．將圓柱沿著AC將側(cè)面展開得到圖2，請在圖2中畫出螞蟻爬行的最短路徑記為“路線二”，此時最短路程是cm；比較可知：螞蟻爬行的最短路徑是路線（用“一”或“二”素材2：如圖3所示的實踐活動器材包括：底面直徑為6cm，高為10（1）兩種路線路程的長度如表所示（單位：cm）：圓柱高度沿路線一路程x沿路線二路程y比較x與y的大小511106x>y41097x>y3a3b（2）填空：表格中a的值是；表格中b表示的大小關系是；（3）經(jīng)歷上述探究后，請你思考：若圓柱的半徑為r，圓柱的高為h．在r不變的情況下，當圓柱半徑為r與圓柱的高度h存在怎樣的數(shù)量關系時，螞蟻在圓柱表面的兩種爬行路線的路程相等？【答案】素材1：15，二；（2）9，x<y；（3）當r=4【分析】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，勾股定理，熟練掌握知識點的應用及分類討論思想是解題的關鍵．（1）根據(jù)勾股定理以及線段長度得出即可；（2）利用圓柱形木塊的高為3，底面半徑為6，即可得出沿爬行的路程長并比較大??；（3）構造方程h+2r=h【詳解】解：（1）圖2中畫出螞蟻爬行的最短路徑為：展開后，半圓長為12根據(jù)勾股定理，此時最短路程為12∵15<18，由此可知，螞蟻爬行的最短路徑為路線二；故答案為：15，二；（2）a=3+6=9，∵9<310∴表格中b表示的大小關系是x<y，故答案為：9，x<y；（3）根據(jù)題意可得h+2r=h即h2∴r=4故當r=49．（24-25八年級上·廣東深圳·階段練習）如圖，已知圓柱底面的周長為12，圓柱的高為8，在圓柱的側(cè)面上，過點A，C嵌有一圈長度最短的金屬絲．(1)現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AB剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是______．(2)如圖①，求該長度最短的金屬絲的長．(3)如圖②，若將金屬絲從點B繞四圈到達點A，則所需金屬絲最短長度是多少？(4)如圖③，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁【答案】(1)A(2)20(3)8(4)10【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關鍵是掌握圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．（1）由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題；（2）要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時，根據(jù)勾股定理計算即可；（3）若將金屬絲從點B繞四圈到達點A，則所需金屬絲最短長度是以周長及14的高為直角三角形的斜邊長的4（4）如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作B關于EF的對稱點B'，根據(jù)兩點之間線段最短可知A【詳解】（1）解：因圓柱的側(cè)面展開面為長方形，AC展開應該是兩線段，且有公共點C．故選：A；（2）解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長度．∵圓柱底面的周長12，圓柱的高AB=8，∴該長度最短的金屬絲的長為2AC=28（3）解：若將金屬絲從點B繞四圈到達點A，則所需金屬絲最短長度是以周長及14的高為直角三角形的斜邊長的4412（4）解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作B關于EF的對稱點B'，作B'D⊥AE，交AE延長線于點D

由題意得：DE=1∴AD=AE+DE=6cm∵底面周長為16cm∴B∴AB由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為AB三．直角三角形翻折模型（共4小題）10．（24-25八年級上·山西晉中·期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點，把△ABC沿著直線DE折疊，頂點B的對應點是B'(1)如圖1，如果點B'和頂點A重合，求CE(2)如圖2，如果點B'落在AC的中點上，求CE【答案】(1)7(2)55【分析】本題考查折疊問題以及勾股定理，熟練掌握折疊的基本性質(zhì)是解題關鍵；（1）設CE=x，則BE=8-x，在Rt△ACE（2）根據(jù)中點性質(zhì)，先得到CB'=【詳解】（1）解：設CE=x，則BE=8-x．由折疊可得：AE=BE=8-x．在Rt△ACE由CE得：x2解得：x=7即CE的長為74（2）∵點B'落在AC∴CB設CE=y，則B'在Rt△由CE得y2解得：y=55即CE的長為551611．（20-21八年級下·福建南平·階段練習）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，將△BDE沿直線DE折疊，使B落在AC【答案】CE的長度為154或【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應用，熟記性質(zhì)并表示出△B'CE的三邊的長度，然后利用勾股定理列出方程是解題的關鍵，要注意分情況討論，設CE=x，則BE=BC-CE=8-x，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得B【詳解】解：設CE=x，則BE=BC-CE=8-x，∵△BDC沿直線DE折疊B落在B'∴B∵點B'為AC的三等分點，AC=6∴B'C=2當B'C=2時，在B'C2解得：x=15當B'C=4時，在B'C2解得：x=3，綜上所述，CE的長度為154或312．（24-25八年級上·江蘇南京·期中）如圖，在△ABC中，點H為AB邊上的一點，AH=15，CH=8，AC=17，BH=6．(1)求BC的長；(2)已知點E為線段AB上一點，△BCE為等腰三角形，求線段HE的長度；(3)點P是直線AB上任意一點，把△ACH沿著直線CP翻折，直接寫出當AP為何值時，點H翻折后的對應點H'恰好落在直線AC【答案】(1)10(2)6或4或7(3)515或【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，翻折變換，熟練掌握勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、及分類討論是解題的關鍵．（1）根據(jù)勾股定理逆定理判斷△ACH是直角三角形，在根據(jù)勾股定理即可解答；（2）當CB=CE時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可解答；當點E在線段AB上，且BC=BE時，根據(jù)HE=BE-BH可得答案；當EB=EC時，根據(jù)勾股定理可得答案；（3）設AP=a，分別當點P在線段AB上時，或點P在AB延長線上時，根據(jù)PH'=PH【詳解】（1）∵AH=15，CH=8，AC=17，∴AH2+C∴AH∴△ACH是直角三角形，且∠AHC=90°，∴CH⊥AB，∴∠BHC=90°，∵BH=6，CH=8，∴BC=∴BC的長為10；（2）①當CB=CE時：∵CB=CE，CH⊥AB，∴H為BE中點，∵BH=6，∴HE=BH=6；②當點E在線段AB上，且BC=BE時：∵BC=10，∴BE=BC=10，∴HE=BE-BH=10-6=4，③當EB=EC時：如圖在Rt△CHE∵HE2+CH∴HE∴HE=綜上所述，線段的長度為6或4或73（3）①當點P在線段AB上時，如圖：設AP=a，則PH∵CH∴AH在Rt△AP根據(jù)勾股定理可得92解得a=51∴AP=51②當點P在AB延長線上時，如圖：設AP=a，則PH∵CH∴AH在Rt△AP根據(jù)勾股定理可得252解得a=85∴AP=85綜上所述，AP的值為515或8513．（24-25八年級上·福建三明·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°(1)如圖1，把△ABC折疊，使點B與點C重合，折痕交AB于點D，交BC于點E．求證：D是AB的中點；(2)如圖2，把△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕交AB于點D，交BC于點F．求BF的長；(3)如圖3，M為BC邊上一點，△ABM沿著AM折疊，得到△AB1M，邊AB1交BC于點N【答案】(1)證明見解析(2)BF=(3)BM=2【分析】本題考查了折疊與三角形的問題，勾股定理，掌握折疊性質(zhì)以及勾股定理是解題的關鍵．（1）先證CD=BD,∠B=∠BCD，再證明∠A=∠ACD進而得出AD=BD即可；（2）設AF=BF=x，則CF=8-x，在Rt△ACE（3）先求出∠AMB=135°，得出∠AMC=45°，進而求出AC=MC=6，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵折疊后點B與點C重合，∴CD=BD,∠B=∠BCD，在Rt△ABC中，∴∠BCD+∠ACD=∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴AD=CD，∴AD=BD，即D是AB的中點；（2）解：∵直線DF是對稱軸，∴AF=BF，∵AC=6,BC=8，設AF=BF=x，則CF=8-x在Rt△ACF中，∠C=90°∴AC∴62解得x=25∴BF=25（3）解：由題意得：∠AMB=∠AMB1，∴∠BMB∴∠AMB=∠AMB∴∠AMC=180°-135°=45°，∵∠C=90°，∴∠CAM=∠CMA=45°，∴AC=MC=6，∵BC=8，∴BM=8-6=2．四．【擴展】特殊四邊形的翻折模型（共4小題）14．（24-25八年級上·江蘇常州·期中）如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，點D落在點D'處，折痕為EF(1)求證：△ABE≌△AD(2)若AB=4cm，EF=5cm，求【答案】(1)證明見解析；(2)BC的長為163【分析】（1）利用全等判定方法ASA證明全等三角形即可；（2）過點F作FG⊥BC交BC于G，先用勾股定理求出EG=3cm，設DF=xcm，用x表示出AF的長，進而在Rt△AD'【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是長方形，∴AB=CD,∠BAC=∠B=∠C=∠D=90°，由折疊知，CD=AD∴AB=AD∴∠BAD-∠EAF=∠EAD∴∠BAE=∠D在△ABE和△AD∠B=∠D∴△ABE≌△AD（2）解：如圖，過點F作FG⊥BC交BC于G，又∵∠BAC=∠B=90°，∴四邊形ABGF是矩形，∴AB=CD=FG=4cm，BG=AF在Rt△EFG中，∠EGF=90°∴EF∴EG=E設DF=xcm，則D'∵△ABE≌△AD∴BE=D∴AF=BG=BE+EG=3+x在Rt△AD'∴AF即3+x2解得：x=7∴BC=AD=AF+FD=3+x+x=3+7∴BC的長為163【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，學會作垂直輔助線構造直角三角形，以及在直角三角形中運用勾股定理是解題的關鍵．15．（24-25八年級上·江西景德鎮(zhèn)·期中）如圖，在平面直角坐標系中，將長方形ABCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處，若點D的坐標為(10,8)．(1)寫出點F的坐標．(2)求EF的長．【答案】(1)F(6,0)(2)EF=5【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．（1）由點D的坐標可知AD=OC=10，AO=CD=8，根據(jù)翻折的性質(zhì)可知AF=10，由勾股定理可求得OF=6，進而可求出點F的坐標．（2）設EF=x，由折疊得DE=x，則CE=8-x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵點D的坐標為10,8，在矩形AOCD中，∴AD=OC=10，AO=CD=8，由折疊的性質(zhì)的可知：AF=AD=10ED=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF=∴F6,0（2）解：設EF=x，由折疊得DE=x，則CE=8-x，∵OF=6，∴CF=10-6=4，在Rt△ECF中，42解得：x=5，∴EF=5．16．（24-25八年級上·江蘇淮安·期中）如圖，在長方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=4，AB∥CD，AD∥BC．N是邊CD上一點，CN=2．若M為AB邊上一個動點，將四邊形BCNM沿MN折疊，點B、C的對應點分別為點B'、C'，若線段MB'與邊(1)如圖1，證明：△EMN為等腰三角形；(2)如圖2，當點M與點A重合時，求線段DE的長；(3)點M從點A向點B運動的過程中，①線段DE的最大值為_________；②請直接寫出點E運動的路徑長為_________．【答案】(1)見解析(2)3(3)①4；②2【分析】本題考查翻折變換，等腰三角形的判定，勾股定理與折疊問題等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）由折疊的性質(zhì)得∠BMN=∠EMN，又AB∥CD，有∠ENM=∠BMN，故∠EMN=∠ENM，EM=EN，知△EMN為等腰三角形；（2）設DE=x，在Rt△ADE中，可得42+（3）①由題意可知，DE=8-EN，則當EN最小時，DE取得最大值，由垂線段最短可知，如圖，當點M運動到MB'⊥AB時，此時N②如圖，當點M運動到點B落在CD時，此時點B'與E″重合，求得此時DE″=8-25，根據(jù)點M從點A向點【詳解】（1）證明：由折疊的性質(zhì)得∠BMN=∠EMN，∵AB∥CD，∴∠ENM=∠BMN，∴∠EMN=∠ENM，∴EM=EN，∴△EMN為等腰三角形；（2）解：設DE=x，∵CD=10，AD=4，CN=2，∴EN=8-x，由（1）知AE=EN=8-x，在Rt△ADE中，A∴42∴x=3，即DE=3；（3）①由折疊可知，BC=B'C由題意可知，DE=CD-CN-EN=10-2-EN=8-EN，則當EN最小時，DE取得最大值，由垂線段最短可知，如圖，當點M運動到MB'⊥AB∴此時E'N最小，且E'N=B則此時DE即DE的最大值為4，故答案為：4；②如圖，當點M運動到點B落在CD時，此時點B'與E∴B'此時DE點M從點A向點B運動的過程中，點E的運動軌跡為E→E則其運動路徑為：DE故答案為：2517．（24-25八年級上·四川成都·期中）在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=16．(1)如圖①，將矩形紙片沿AN折疊，點B落在對角線AC上的點E處，求BN的長：(2)如圖②，點M為AB上一點，將△BCM沿CM翻折至△ECM，ME與AD相交于點G，CE與AD相交于點F、且MG=GF，求BM的長：(3)如圖③，將矩形紙片ABCD折疊，使頂點B落在AD邊上的點E處，折痕所在直線同時經(jīng)過AB、BC(包括端點)，請直接寫出DE的最大值和最小值．【答案】(1)6(2)48(3)DE的最小值為4，最大值為4【分析】本題考查了勾股定理，折疊問題，全等三角形的性質(zhì)與判定；（1）設BN=x，在Rt△ENC（2）由ASA證明△GAM≌△GEF，得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，因此DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）當折痕所在直線經(jīng)過點A時，如圖1所示；此時DE最小=AD-AB；當折痕所在直線經(jīng)過點C時，如圖2所示：此時DE最大，由勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：設BN=NE=a，NC=16-a，AC=AB2在Rt△ENC中，由勾股定理得：a解得：a=6，∴BN=6；（2）解：設BM=x，由折疊的性質(zhì)得：∠E=∠B=90°=∠A，在△GAM和△GEF中，∠A=∠EAG=GE∴△GAM≌△GEFASA∴GM=GF，∴AF=ME=BM=x，EF=AM=12-x，∴DF=16-x，CF=16-12-x在Rt△DFC中，由勾股定理得：(x+4)解得：x=485∴BM=485（3）當折痕所在直線經(jīng)過點A時，如圖1所示：此時DE最小=AD-AB=16-12=4；當折痕所在直線經(jīng)過點C時，如圖2所示：此時DE最大，CE=CB=16，由勾股定理得：DE=16綜上所述，DE的最小值為4，最大值為47五．構造直角三角形求代數(shù)式的最值（共4小題）18．（21-22八年級下·廣西桂林·期中）如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC，(1)求當x等于何值時，AC=CE?(2)當x=4時，求AC+CE的長．(3)利用圖形求代數(shù)式x2【答案】(1)11(2)2(3)6【分析】本題考查了勾股定理，線段和最小，數(shù)形結(jié)合思想（1）根據(jù)題意，AC=CE時，AC2=CE2，繼而得到A（2）當x=4時，BC=BD-CD=12-x=8，利用勾股定理計算即可．（3）根據(jù)x2+16+構造AB＝2，DE＝4，【詳解】（1）根據(jù)題意，AB⊥BD，當AC=CE時，AC∴AB∵AB＝∴BC=BD-CD=12-x，∴4+12-x解得x=11（2）根據(jù)題意，AB⊥BD，∴AC∵AB＝∴當x=4時，BC=BD-CD=12-x=8，∴AC=A故AC+CE=217（3）根據(jù)x2+16+構造AB＝當A，C，E三點共線時，最小，延長ED到點F，過點A作AF⊥DF于點F，則四邊形ABDF是矩形，故AF=BC=12,AB=DF=4,EF=CD+DF=6．故AE=A19．（2024八年級上·全國·專題練習）[探究]已知a，b均為正實數(shù)，且a+b=3，求a2+4+b2+9的最小值，通過分析，小文想到了構造圖形解決此問題：如圖，AB=3,AC=2,BD=3,AC⊥AB,BD⊥AB，且C,D兩點在直線AB的異側(cè)．點E是線段①用含a的代數(shù)式表示CE=_______，用含b的代數(shù)式表示DE=________；②據(jù)此求出a2【答案】①a2+4，b2+9【分析】本題主要考查了勾股定理的運用，最短距離等知識點，①根據(jù)圖形，運用勾股定理即可求解，②運用材料提示，構造圖形后，用兩點之間線段最短得出直角三角形，運用勾股定理即可求解，掌握勾股定理的運算，最短路徑的運用，合理作出圖形是解題的關鍵．【詳解】①∵△ACE和△BDE是直角三角形，∠A=∠B=90°∴在Rt△ACE中，AC=2，AE=a∴CE=A∴在Rt△BED中，BD=3，BE=b∴DE=B故答案為：a2+4，②如圖所示，過點D作AB的平行線交CA延長線于點G，∴AG=BD=3，DG=AE+BE=AB=3，當點C，E，D三點共線時，a2∴CE+DE=a在Rt△CDG中，CG=CA+AG=2+3=5，DG=AB=3∴CD=C∴a2+4+20．（23-24八年級上·福建泉州·期末）我們知道，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．【知識應用】如圖1，點G為線段AD上的一點，分別過點A、D作AE⊥AD于A，DF⊥AD于D，連結(jié)（1）若AE=1，DF=5，AD=8，設AG=x，用含x的代數(shù)式表示GE+GF的長；（2）參照（1）的思想方法，構圖求代數(shù)式x2【能力遷移】（3）如圖2，正方形ABCD中，點E在BC邊上，點G在AD邊上，且AF⊥EG．已知DF=3,AB=8，求AE+FG的最小值．【答案】（1）GE+GF=1+x2+8-x2+25（【分析】本題主要考查了軸對稱求最短路線以及勾股定理等知識，本題利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過構造直角三角形，利用勾股定理求解．（1）根據(jù)勾股定理分別列代數(shù)式表示GE、（2）作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，設BC=x，則AE的長即為代數(shù)式x2+4+12-x2（3）作EH⊥AD，垂足為H，證明△DAF≌△HEG，設DG=x，則AH=8-3-x=5-x，得出AE+FG=5-x2+【詳解】解：（1）∵AE⊥AD，DF⊥AD，AE=1，DF=5，AD=8，設AG=x，在Rt△AEG中，GE=在Rt△FDG中，GF=∴GE+GF=1+（2）如右圖所示，作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，設BC=x，則AE的長即為代數(shù)式x2過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，則AB=DF=2，所以AE=A即x2+4+（3）作EH⊥AD，垂足為H，在正方形ABCD中，AD=AB,∠DAB=∠ABE=∠D=90°，∴四邊形ABEH為矩形，∴EH=AB=AD=8,BE=AH，∵AF⊥EG，∴∠EGH+∠DAE=∠EGH+∠HEG=90°，∴∠DAE=∠HEG，∴△DAF≌△HEG，∴DF=GH=3，設DG=x，則AH=8-3-x=5-x，在Rt△DFG中，F(xiàn)G=在Rt△AHE中，AE=∴AE+FG=5-x與（2）同理得：AE+FG最小值為5221．（24-25八年級上·江蘇淮安·期中）勾股定理具有豐富的文化內(nèi)涵，它揭示了直角三角形的三邊關系，搭建起幾何與代數(shù)之間的橋梁，為解決幾何問題拓寬了思路．請完成下面問題：(1)如圖，請你用兩種不同方法表示梯形ABCD的面積，從而驗證勾股定理．(2)如圖，在直線l的同側(cè)有兩個點C、D，已知點C和點D到直線l的距離分別為2和5，且CD=73．現(xiàn)要在直線l上取點P，使得PD+PC①請用無刻度直尺和圓規(guī)在圖2中確定點P的位置（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）②直接寫出PC+PD的最小值為_________；(3)借助上面的思考過程，直接寫出9+x2+【答案】(1)見解析(2)①見解析；②113(3)41【分析】本題考查軸對稱—最短問題，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．（1）由梯形，三角形面積公式即可證明問題；（2）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，作D關于直線l的對稱點D'，連接CD'與直線l②根據(jù)勾股定理求出CM，根據(jù)矩形的性質(zhì)分別求出CH，D'H，根據(jù)勾股定理求出CD（3）作A關于直線l的對稱點A'，連接CA'與直線l交于點P，則PA+PC【詳解】（1）證明：由題意可知，梯形ABCD的面積第一種表示方法：S梯形ABCD=S△ADE第二種表示方法：S梯形ABCD=12AD+BCAE+BE則ab+1∴a2（2）①作D關于直線l的對稱點D'，連接CD'與直線l由軸對稱可知，PD=PD∴PD+PC=PD'+PC≥CD'故，點P即為所求；②作CH⊥l，D'H⊥CH，相交于點H，作CM⊥DD'于點則D'H=MC，在Rt△CDM中，CD=73，∴CM=C在Rt△CD'∴PD+PC的最小值為113，故答案為：113；（3）如圖，作AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB=3，CD=1，BD=5，PB=x，則PD=5-x，∴PA+PC=x作A關于直線l的對稱點A'，連接CA'與直線l交于點P，類比（2）可知，此時PA+PC作A'E⊥CD于E，則BD=由勾股定理得，CA'=A'∴x2+9+故答案為：41．22．（24-25八年級上·陜西安康·階段練習）閱讀并回答下列問題【幾何模型】如圖①，A、B是直線l同側(cè)的兩個定點，問題：在直線l上找一點P，使PA+PB值最?。椒ǎ喝鐖D②，作B點關于l的對稱點B'，連接AB'交l于P

【模型應用】如圖③，若A、E兩點在直線l同側(cè)，分別過點A、E作AB⊥BD，ED⊥BD，C為線段BD上一動點，連接AC、EC．已知AB=5，DE=3，BD=15，設CD=x．

（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長為______．（2）①請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小，并求出最小值；②根據(jù)①中的規(guī)律和結(jié)論，直接寫出代數(shù)式x2+36+【拓展應用】由x2+1+x-32+4=x-02+1+x-32+22可得代數(shù)式的幾何意義：如圖，建立平面直角坐標系，點Px,0是x軸上一點，則x-0

（3）求代數(shù)式x+12【答案】（1）25+15-x2+x2+90<x<15；（2）①當A、C、E【分析】此題考查了勾股定理，構造直角三角形解決問題，正確理解題意構造直角三角形是解題的關鍵：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，（2）①若點C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和>第三邊知，AC+CE>AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最?。虎谟散俚慕Y(jié)果利用勾股定理求得AE的值．（3）仿照例題構造直角三角形，利用勾股定理求解即可【詳解】解：（1）由勾股定理知AC=25+∴AC+CE=25+15-x故答案為：25+15-x（2）①當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小，如下圖，

∴AC+CE=AE=AB+DE②根據(jù)①中規(guī)律可以構造出如圖所示，

同理可得：x故答案為15；（3）由x+12+9+4-x2+1可得代數(shù)式的幾何意義：如圖，建立平面直角坐標系，點Px,0是x軸上一點，則x+12+9可以看成點P與點A-1,3的距離，4-x2+1

x+12+9∴代數(shù)式x+12+9+【點睛】此題考查了軸對稱求最短路線以及勾股定理等知識，解題的關鍵是利用了數(shù)形結(jié)合的思想，求形如x2六．利用勾股定理解決將軍飲馬問題（共4小題）23．（23-24八年級下·廣西南寧·期中）2024年“廣西三月三·八桂嘉年華”文化旅游品牌活動在南寧青秀山風景區(qū)拉開帷幕．大家身著民族服飾共赴一場民俗文化盛宴．如圖，在地圖上A、B兩站直線距離為25km，C、D為青秀山和園博園民俗文化活動場地，且DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在小明要在直線AB上找到地點(1)若要使得C、D兩活動點到地點E的距離相等，則小明所在的E站應在離A站多少km處？(2)若要使得地點E到C、D兩地的距離之和最短，則小明所在的E站應在離A站多少km處？并求出DE+CE的最短距離．【答案】(1)小明所在的E站應在離A站10km(2)則要使得地點E到C、D兩地的距離之和最短，則小明所在的E站應在離A站多少15km處，此時DE+CE的值為252【分析】本題考查了勾股定理的應用以及等角對等邊的性質(zhì)，利用勾股定理正確建立方程是解題關鍵．（1）先根據(jù)垂直的定義可得∠A=∠B=90°，再根據(jù)勾股定理可得AE2+AD2=DE2，（2）作點D關于AB的對稱點D'，連接CD'交AB于點E'，即E'到C、D站的距離之和最短，過點D'作D'F⊥CB的延長線于點F，證明D'F=CF，由勾股定理得出【詳解】（1）解：∵使得C,D兩活動點到地點E站的距離相等，∴DE=CE，∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∴AE2+A∴AE設AE=xkm，則BE=AB-AE=∵DA=15km，CB=10∴x2解得：x=10，∴AE=10km則小明所在的E站應在離A站10km（2）作點D關于AB的對稱點D'，連接CD'交AB即E'到C、D站的距離之和最短，過點D'作D'則∠F=90°，D'F=AB=25，∴D'∴CD∴E'C+E此時∠BCE∴∠AE∴∠AD∴AE則要使得地點E到C、D兩地的距離之和最短，則小明所在的E站應在離A站多少15km處，此時DE+CE的值為25224．（24-25八年級上·江蘇常州·期中）（1）如圖1，正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD的中點，連接AE、BF．交于點P．請直接寫出線段AE與BF之間的關系；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接PC，試說明PC平分∠EPF；（3）如圖3，若點E、F分別是BC、CD上的動點，且AB=1，BE=DF，請直接寫出AE+BF的最小值．

【答案】（1）AE=BF,AE⊥BF（2）見解析（3）5【分析】（1）證明△ABE≌△BCF，得到AE=BF，∠BAE=∠FBC，進而推出∠BPE=90°，得到AE⊥BF即可；（2）過點C作CM⊥BF,CN⊥PE，易得四邊形CNPM為長方形，證明△CMF≌△CNE，得到CM=CN，即可得出結(jié)論；（3）在CD上截取CG=DF，連接AG，證明△ADG≌△BCF，得到BF=AG，連接BG，同法可得△ABE≌△BCG，得到AE=BG，延長BC至點H，使CH=BC，連接AH，易得CG垂直平分BH，得到BG=HG，進而推出AE+BF=AE+AG=AG+BG=AG+HG≥AH，利用勾股定理求出AH的長即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）AE=BF,AE⊥BF，理由如下：∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，∵點E、F分別是BC、CD的中點，∴BE=1∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∠BAE=∠FBC，∴∠AEB+∠FBC=∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BPE=90°，∴AE⊥BF；（2）過點C作CM⊥BF,CN⊥PE，如圖，

由（1）知：AE⊥BF，∴∠NPM=90°，∵CM⊥BF,CN⊥PE，∴∠CMF=∠CNP=∠CMP=∠NPM=90°，∴四邊形CNPM為長方形，∴∠NCM=90°，∵∠BCF=90°，∴∠NCE=∠FCM=90°-∠ECM，∵點E、F分別是BC、CD的中點，BC=CD，∴CE=CF，∴△CMF≌△CNE，∴CM=CN，又∵CM⊥BF,CN⊥PE，∴PC平分∠EPF；（3）在CD上截取CG=DF，連接AG，∵BE=DF,BC=CD，∴CE=CF，∵AD=BC，∠D=∠BCD=90°，∴△ADG≌△BCF，∴BF=AG，∴AE+BF=AE+AG，連接BG，同法可得：△ABE≌△BCG，∴AE=BG，∴AE+BF=AE+AG=AG+BG，延長BC至點H，使CH=BC，連接AH，則：CG垂直平分BH，∴BG=HG，∴AE+BF=AE+AG=AG+BG=AG+HG≥AH，在Rt△ABH中，AB=1,BH=2BC=2∴AH=1∴AE+BF的最小值為：5．

【點睛】本題全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，中垂線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點，熟練掌握相關知識點，添加輔助線構造特殊三角形和全等三角形是解題的關鍵．25．（23-24八年級上·山西晉中·階段練習）“最短路徑問題”是數(shù)學中一類具有挑戰(zhàn)性的問題．其實，數(shù)學史上也有不少相關的故事．如下即為其中較為經(jīng)典的一則：古希臘有一位久負盛名的學者，名叫海倫．他精通數(shù)學，物理，聰慧過人．有一天，一位將軍向他請教一個問題：如圖①，將軍從A地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到B地的馬棚，為使馬走的路程最短，應該讓馬在什么地方飲水？

大數(shù)學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖②，作點B關于直線l的對稱點B'，連接AB'與直線l交于點P，連接PB請你在下列的閱讀、理解、應用的過程中，完成解答．理由：如圖③，在直線l上另取任一點P'，連接AP'，B∵直線l是點B，B'的對稱軸，點P，P'在∴PB=______，P'B=______，（依據(jù)∴AP+PB=AP+PB'在△AP'B'中，∵∴AP+PB<AP+P'B【歸納總結(jié)】在解決上述問題的過程中，我們利用軸對稱變換，把點A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中點P為AB'與l的交點，即由此，可拓展為“求定直線上一動點與直線同側(cè)兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學模型．【模型應用】如圖④，圓柱形玻璃杯，高為14cm，底面周長為16cm．在杯內(nèi)離杯底3cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短路程為【答案】PB'，P'B'【分析】由軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關系解答即可；把圖④的半個側(cè)面展開為矩形EFGH，如圖，作點A關于EH的對稱點A'，連接A'C交EH于P，作CD⊥EF于D【詳解】理由：如圖③，在直線l上另取任一點P'，連接AP'，B∵直線l是點B，B'的對稱軸，點P，P'在∴PB=PB'，∴AP+PB=AP+PB在△AP'B'∴AP+PB<AP+P'B故答案為：PB'，P'【模型應用】解：把圖④的半個側(cè)面展開為矩形EFGH，如圖，作點A關于EH的對稱點A'，連接A'C交EH于P，作CD⊥EF

∴A'由【歸納總結(jié)】可知螞蟻到達蜂蜜的最短路程為AP+PC=A∵EF=14cm∴DE=EF-DF=11cm∴A'又∵圓柱形玻璃杯底面周長為16cm∴CD=8cm∴A'∴螞蟻到達蜂蜜的最短路程為17cm故答案為：17．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關系的應用，勾股定理．理解題意，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關鍵．26．（24-25八年級上·廣東茂名·階段練習）如圖1，A村和B村在一條大河CD的同側(cè)，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和4千米，又知道CD的長為現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水．有兩種方案備選方案1：水廠建在C點，修自來水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如圖2）方案2：作A點關于直線CD的對稱點A'，連接A'B交CD于M點，水廠建在M點處，分別向兩村修管道AM和BM．（即AM+BM從節(jié)約建設資金方面考慮，將選擇管道總長度較短的方案進行施工，請利用已有條件分別進行計算，判斷哪種方案更合適．【答案】方案1路線短，更合適．理由見解析【分析】本題考查了勾股定理的應用，軸對稱的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關鍵．方案1：過點A作AE⊥BD于點E，方案2：過A'作A'H⊥BD交BD【詳解】解：方案1：過點A作AE⊥BD于點E，∵BD=4,AC=1，∴BE=3，在Rt△ABE中，A∴AB=4∴AC+AB=1+5=6；方案2：過A'作A'H⊥BD交BD∵AA'∴AA∵A∴CD=A同理A'∵AC=A∴BH=BD+DH=BD+A∴∵AM∴AM+BM=A∵6<41∴方案1路線短，更合適．七．勾股樹模型（共4小題）27．（22-23八年級下·湖南永州·階段練習）如圖②，它可以看作是由邊長為a、b、c的兩個直角三角形（如圖①c為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點在同一條直線上，

(1)請從面積出發(fā)寫出一個表示a、b、c的關系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足S1＋S(3)如圖⑥所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S【答案】(1)a(2)3個(3)S1【分析】（1）A、C、D三點在同一條直線上，得∠BCE=90°，S△BCE=12c（2）如圖③，S1=a2,S2=b2,S3=c2，可得S1＋S2=S3；如圖④，S1=1（3）如圖⑥，S1+S2=【詳解】（1）解：∵A、C、D三點在同一條直線上，∴∠BCE=180°-∠ACB-∠ECD=180°-∠DEC-∠ECD=180°-90°=90°.∴S△BCE又S△BCE∴12∴a2

（2）解：如圖③，S1∵a2∴S1

如圖④，S1∵a2∴S1

如圖⑤，如圖，對于等邊△GFH，若邊長為a，過點D作HI⊥GF，垂足為I，Rt△GHI中，GI=12∴S△GFH∴S1同理有：S2=3∵a2∴S1

故有：3個．（3）解：S1+S

S=1=1∵a2+b∴S1【點睛】本題考查勾股定理的證明及運用；理解勾股定理所表達的直角三角形三邊關系是解題的關鍵．28．（23-24八年級上·浙江溫州·期中）項目背景我校八年級數(shù)學興趣小組成員自主開展數(shù)學微項目研究，結(jié)合本階段學習內(nèi)容知識點，他們對“勾股樹”產(chǎn)生了濃厚的興趣．素材一畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”．是由畢達哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似一棵樹，被稱為畢達哥拉斯樹．素材二經(jīng)過小組討論，制定了如下規(guī)則：1．畫出不同類型三角形形成的樹形圖；2．所畫的基礎三角形周長為8cm，其中一條邊長固定為2素材三

解決問題任務一小明畫出了銳角△ABC，AB=AC，BC=2，則S3S任務二小金畫出了直角△DEF，∠DFE=90°，EF=2，計算S2任務三小山畫出了鈍角△GHI，∠GIH=120°，HI=2，則S2+項目總結(jié)綜合以上三位同學的圖形以及計算結(jié)果，小組成員大膽猜想結(jié)論：周長一定的情況下，由______三角形形成的S3【答案】任務一：94；任務二：1649cm【分析】本題考查了勾股定理的應用、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理是解題關鍵．任務一：先求出AB=AC=3cm，再利用正方形的面積公式求解即可得；任務二：先利用勾股定理求出DE,DF的長，再利用正方形的面積公式求解即可得；任務三：過點G作GO⊥HI，交HI延長線于點O，設GI=2xcmx>0，則GH=6-2xcm，OI=xcm，OG=3xcm，【詳解】解：任務一：由題意可知，AB=AC=3cm，BC=2∴S1=B∴S故答案為：94任務二：由題意可知，DE+DF=8-2=6cm①∵∠DFE=90°，EF=2cm∴DE2-D∴DE-DF=23聯(lián)立①②得：DE=10則S2任務三：如圖，過點G作GO⊥HI，交HI延長線于點O，則∠OIG=60°,∠OGI=30°,∠O=90°，設GI=2xcmx>0，則∴OI=xcm，OG=∴OH=HI+OI=2+x在Rt△GHO中，OH2解得x=8∴GI=16則S2故答案為：93249項目總結(jié)：組成員大膽猜想結(jié)論：周長一定的情況下，由鈍角三角形形成的S3在任務一中，S3在任務二中，S3在任務三中，S3∵22<200∴周長一定的情況下，由鈍角三角形形成的S329．（23-24八年級上·山西運城·期中）綜合與實踐勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．如圖2，直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c．

(1)如圖3，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，分別向外部作正方形，直接寫出S1，S2，S3(2)如圖4，以Rt△ABC的三邊為直徑，分別向外部作半圓，請判斷S1，S2(3)如圖5，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為80，OC=5，直接寫出該飛鏢狀圖案的面積．【答案】(1)S1(2)S1(3)120【分析】本題考查了勾股定理的運用，正方形的面積公式，圓面積公式，關鍵是掌握勾股定理的靈活運用．（1）根據(jù)正方形的面積公式：邊長乘邊長，結(jié)合直角三角形的三邊a，b，c為邊，即a2（2）根據(jù)半圓的面積公式：12乘π乘半徑乘半徑，然后進行化簡，結(jié)合直角三角形的三邊a，b，c為邊，即a（3）易知AB+AC=20，設AC為x，則AB=20-x，AO=x+5，根據(jù)勾股定理建立x+52【詳解】（1）解：依題意：S1=a2，由勾股定理得，a2∴S1故答案為：S1（2）解：依題意，S1=12由勾股定理得，a2則π∴S1（3）解：由題意知，外圍輪廓（實線）的周長為80，且四個直角三角形是全等的，∴AB+AC=80÷4=20，∵OC=5，∴OB=OC=5，設AC為x，則AB=20-x，AO=x+5，在Rt△ABO中，由勾股定理可得，x+5解得：x=7，∴AO=12，△ABO的面積=1∵該飛鏢狀圖案的面積由四個直角三角形面積組成，∴該飛鏢狀圖案的面積=30×4=120．30．（22-23八年級下·江西南昌·期中）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為S1，S2，S3，利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關系滿足S1②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，也滿足S1+S2(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則a2+【答案】(1)①3；②滿足，證明見解析(2)m【分析】（1）設兩直角邊分別為x，y，斜邊為z，用x，y，z分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，根據(jù)x2+y2=z2，求解S1，S2（2）由題意知，SA=a2，SB=b【詳解】（1）①解：設兩直角邊分別為x，y，斜邊為z，則圖2中，S1∵x2∴S1+S圖3中，S1=πx2∵πx∴S1+S圖4中，S1=12x?x?∵3x∴S1+S∴這3個圖形中面積關系滿足S1+S故答案為：3；②解：滿足，證明如下：由題意知a2+b2=∴S1（2）解：由題意知，SA=a2，SB=b∴a2故答案為：m2【點睛】本題考查了勾股定理，勾股樹．解題的關鍵在于正確的表示各部分的面積．八．面積法求高（共3小題）31．（23-24八年級下·全國·期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，△ABC的頂點A，B，C均在格點上．若AD⊥BC于點D，則線段AD的長為【答案】2【分析】由勾股定求出AC2=5，AB2=20，BC2=25，得到AC=5，AB=25，BC=5【詳解】解：由勾股定理得：AC2=22∴AC=5，AB=25，∵AC∴Δ∵AD⊥BC，∴△ABC的面積=1∴5×2∴AD=2．故答案為：2．32．（23-24八年級下·云南楚雄·期末）如圖在2×2的方格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，則邊AC上的高為．

【答案】3【分析】此題考查了勾股定理，以及三角形的面積，易求△ABC的面積，再根據(jù)勾股定理可求出AC的長，進而根據(jù)面積公式即可求得AC邊上的高的長．【詳解】解：由題意可得S△ABC又AC=2∴AC邊上的高為2×3故答案為：3533．（24-25八年級上·陜西西安·期中）已知在正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）中，格點△ABC（即△ABC的三個頂點都在小正方形的頂點處）的三條邊AB，AC，BC的長分別為5，22，17(1)在網(wǎng)格中畫出△ABC．(2)求邊AC上的高．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查了勾股定理和網(wǎng)格中三角形面積的計算，熟練掌握割補法求三角形的面積是解題的關鍵．（1）利用勾股定理得出格點A、B、C，再畫出△ABC即可；（2）作出邊AC上的高BD，先利用割補法求出S△ABC=3，再根據(jù)S△ABC【詳解】（1）解：如圖所示，△ABC即為所求；∵AB=12+22∴△ABC即為所求．（2）解：作邊AC上的高BD，如圖，∵S△ABC又∵S△ABC∴3=1∴BD=322，即邊AC九．趙爽弦圖（共4小題）34．（24-25八年級上·浙江·期中）勾股定理的證明方法多種多樣，我國古代數(shù)學家趙爽構造“弦圖”證明了勾股定理，后人稱其為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成．如圖1為趙爽弦圖，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，連接AE交BG于點P，連接BE，得到圖2，若∠ABE=∠AEB．(1)求證：EF=DF；(2)若EF=2，求PE的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；（1）根據(jù)等角對等邊得出AB=AE，進而可得AD=AE，根據(jù)三線合一，即可得證；（2）由（1）得：EF=DF，可以求得AG=HE=2，進而證明△APG≌△EPH，得出PG=PH=1，再根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠ABE=∠AEB∴AB=AE∵AB=AD∴AE=AD∵∠DFA=90°∴EF=DF（2）由（1）得：EF=DF∵EF=2，趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成，∴AG=HE=EF=2，在△APG,△EPH中，∠AGP=∠EHP∴△APG≌△EPH∴PG=PH=1，在Rt△HPE中，∴PE=35．（22-23八年級下·山東濰坊·期中）閱讀材料，解決問題：三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明．實際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關系．如圖1，這是由8個全等的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的三角形拼成的“弦圖”．(1)在圖1中，正方形ABCD的面積可表示為______，正方形PQMN的面積可表示為______（用含a，b的式子表示）；(2)請結(jié)合圖1用面積法說明a+b2，ab，a-b(3)已知a+b=7，ab=5，求正方形EFGH的面積．【答案】(1)a+b2；(2)a+b2(3)正方形EFGH的面積為39【分析】本題考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面積，關鍵是應用正方形的面積公式進行計算．（1）由正方形面積公式即可得到答案；（2）由正方形ABCD的面積=正方形MNPQ的面積+直角三角形的面積×8，即可得到答案；（3）由正方形EFGH的面積=正方形ABCD的面積-直角三角形的面積×4，得到正方形EFGH的面=(a+b)【詳解】（1）解：正方形ABCD的面積可表示為a+b2，正方形PQMN的面積可表示為a-b故答案為：a+b2；a-b（2）解：∵正方形ABCD的面積=正方形MNPQ的面積+直角三角形的面積×8，∴(a+b)∴a+b（3）解：∵正方形EFGH的面積=正方形ABCD的面積-直角三角形的面積×4，∴正方形EFGH的面積=(a+b)36．（23-24八年級下·遼寧葫蘆島·階段練習）中國數(shù)學史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學家是公元3世紀三國時期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，圖中正方形MNKT的邊長為2，正方形ABCD的邊長為10，求正方形EFGH的邊長．【答案】2【分析】此題考查了勾股定理的應用，完全平方公式等知識，設每個直角三角形的斜邊為c，直角邊分別為a、b，其中a>b，由勾股定理可得a2+b2=c2，由正方形MNKT的邊長為2得到a-b=2，則a-b2=4，由正方形ABCD【詳解】解：設每個直角三角形的斜邊為c，直角邊分別為a、b，其中a>b，則a2∵正方形MNKT的邊長為2，∴a-b=2，∴a-b2∵正方形ABCD的邊長為10，∴a+b=10，∴a+b∴a-b2∴c2∴c=52由題意可得，正方形EFGH的邊長為c．即正方形EFGH的邊長為213故答案為：237．（23-24八年級下·安徽阜陽·期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．(1)弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a．較短的直角邊為b，斜邊長為c，結(jié)合圖①，試驗證勾股定理；(2)如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓線的周長為24，OC=3，求該飛鏢狀圖案的面積；(3)如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S【答案】(1)見解析；(2)該飛鏢狀圖案的面積是24；(3)10【分析】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，一元二次方程，（1）依據(jù)圖1中的正方形的面積可以用四個三角形面積和中間小正方形面積之和表示，也可以用直角三角形斜邊的邊長表示，即可得；（2）根據(jù)四個全等的直角三角形，外圍輪廓線的周長為24得直角三角形的斜邊長為6，設AC=x，依題意有x+32（3）設每個三角形的面積都為y，則S1=S2+4y，S掌握勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】（1）解：a-b2a2則a2（2）解：∵四個全等的直角三角形，外圍輪廓線的周長為24，∴直角三角形的斜邊長為：24÷4=6，設AC=x，依題意有x+32x14x=14，解得：x=1，12故該飛鏢狀圖案的面積是24．（3）解：設每個三角形的面積都為y，∴S1=S∴S1又∵S1∴S2一十．梯子模型（共4小題）38．（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=10，AB=12，△ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當點B在邊ON上運動時，點A隨之在邊OM上運動，△ABC的形狀保持不變，在運動過程中，點C到點O的最大距離為（

）A．12.5 B．13 C．14 D．15【答案】C【分析】此題考查的是勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及三角形的三邊關系等知識，證出OC最大時的長為CD+OD是解本題的關鍵．由先等腰三角形的性質(zhì)得BD=12AB=6，由勾股定理求出CD=8，再由三角形的三邊關系得OC≤OD+DC，則當O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD【詳解】解：取AB的中點D，連接CD，如圖所示：∵AC=BC=10，AB=12，∵點D是AB邊中點，∴BD=1∴CD=B連接OD，OC，有OC≤OD+DC，當O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD，又∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點，∴OD=1∴OD+CD=6+8=14，即點C到點O的最大距離為14，故選：C．39．（20-21八年級下·貴州安順·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC=4,BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（

）A．22+2 B．26+2 C．【答案】A【分析】取AC的中點D，連接OD，BD，在運動過程中，點O、點B到AC的中點D的距離不變，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得B、D、O在一條直線上時，點B到原點O的最大可得出答案．【詳解】解：如圖，取AC的中點D，連接OD，BD，∵OB≤OD+BD，∴當O、D、B三點共線時，OB的值最大，即OD+BD的長，∵點D為AC的中點，∴OD=CD=1在Rt△BCD中，BD=B∴點B到原點的最大距離是22故選：A.【點睛】此題主要考查了兩點間的距離的最值問題，以及勾股定理的應用和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，在解題過程中應用三角形兩邊之和大于第三邊，正確判斷當三點共線時距離最大是解決本題的關鍵．40．（21-22八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，射線OA⊥射線OB于點O，線段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于點C，當線段CD的兩個端點分別在射線OB和射線OA上滑動時，點E到點O的最大距離為【答案】8【分析】取CD的中點M，以O為圓心，OM為半徑作EF，交OA、OB于E、F，先根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OM=CM=12CD=3，進而由勾股定理求出ME=5，根據(jù)三角形的三邊關系即可求出即點E到點O【詳解】解：如圖，取CD的中點M，以O為圓心，OM為半徑作EF，交OA、OB于E、F．∵CD=6，M為CD的中點，射線OA⊥射線OB于點O，∴OM=CM=1∵CE=4，且CE⊥CD于點C，∴ME=CE∵點M在EF上運動，∴OE≤ME+OM，當M在OE與EF的交點M'∴OE≤8，即點E到點O的最大距離為8，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，勾股定理及三角形三邊的關系，取直角三角形斜邊上中點連斜邊上的中線是解題的關鍵．41．（2021八年級上·全國·專題練習）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝1，求運動過程中，點D到點O的最大距離．【答案】2＋1【分析】取AB的中點E，連接OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，再根據(jù)勾股定理列式求出DE的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長，兩者相加即可得．【詳解】解：如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，∵OD≤OE＋DE，∴當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝12AB＝1DE＝AD2+AE2∴OD的最大值為：2＋1．【點睛】此題考查勾股定理，三角形三邊的關系，矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半的性質(zhì)．一十一．勾股差模型（共2小題）42．（21-22八年級上·遼寧朝陽·期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于．【答案】69【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2），＝132?102，＝69．故答案為：69．【點睛】此題考查了勾股定理的知識，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，分別兩次運用勾股定理求出MC2和MB2．43．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC．(1)求證：AB(2)當AB=8，BC=6，AC=213時，求AD【答案】(1)證明見解析；(2)AD=43【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關證明和計算及解二元一次方程組，熟練掌握和運用勾股定理是解決問題的關鍵．（1）在Rt△ABD和Rt△ADC中，分別運用勾股定理可得AB2=A（2）根據(jù)第一問的結(jié)論，可求出BD2-CD2的值，利用平方差公式，結(jié)合BC=BD+CD=6，可求得BD-CD，而BD+CD=6，由此可求得BD【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，∴在Rt△ABD和RtAB2=A∴AB移項得：AB故AB（2）解：∵AB2-AC∴BD∴BD∵BC=6，即BD+CD=6，∴BD-CD=2，∴BD+CD=6BD-CD=2，解得BD=4∴AD∴AD=43一十二．垂美四邊形（共3小題）44．（23-24八年級下·河南鄭州·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，若AD=3，BC=8，則A【答案】73【分析】本題考查勾股定理的應用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型是解題關鍵．在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得BO2+C【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：∴CB∵AB∴AB故答案為：73．45．（23-24八年級上·遼寧沈陽·階段練習）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，B