期末復(fù)習(xí)之與軸對(duì)稱圖形有關(guān)的熱考幾何模型（解析版）

與軸對(duì)稱圖形有關(guān)的熱考幾何模型（考題猜想，熱考+壓軸必刷40題10種題型）折疊模型雙垂直平分線導(dǎo)角見(jiàn)等腰，構(gòu)造三線合一平行平分出等腰等腰三角形雙腰上的高求定值等邊三角形類弦圖模型手拉手模型將軍飲馬問(wèn)題三動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題逆等線問(wèn)題一．折疊模型（共4小題）1．（22-23八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，∠AOB=α，點(diǎn)M是射線OA上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)N是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)MN，把∠AOB沿MN折疊，點(diǎn)O落在∠AOB所在平面內(nèi)的點(diǎn)(1)如圖1，點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，則α=___°．(2)如圖2，若α=45°，ON=2，折疊后點(diǎn)C在直線OB上方，CM與OB交于點(diǎn)E，且MN=ME，求∠OMN的度數(shù)及折痕MN(3)如圖3，若折疊后，直線MC⊥OB，垂足為點(diǎn)E，且OM=5，ME=3，直接寫(xiě)出此時(shí)ON的長(zhǎng)．【答案】(1)40；(2)30°，(3)ON=52或【分析】（1）由對(duì)折的性質(zhì)得：∠OMN=∠CMN，∠ONM=∠CNM，由∠CMA=20°及∠CNB=60°，則可求得（2）設(shè)∠OMN=α，由折疊知，∠NME=∠OMN=α；由三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)得：∠MEN=∠MNE=∠O+∠OMN=45°+α，由三角形內(nèi)角和即可求得α的度數(shù)；過(guò)N點(diǎn)作ND⊥OM于D，則易得OD=ND=1；再由含30度直角三角形的性質(zhì)得MN=2ND=2；（3）由勾股定理OE=4；分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在線段OE上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)N在線段OE延長(zhǎng)線上時(shí)；設(shè)ON=x，利用勾股定理建立方程求出x即可．【詳解】（1）解：由對(duì)折的性質(zhì)得：∠OMN=∠CMN，∵∠OMN+∠CMN+∠ACM=180°，∠ONM+∠CNM+∠CNB=180°，且∠CMA=20°，∠CNB=60°，∴∠OMN=1∴a=180°-∠OMN-∠ONM=180°-80°-60°=40°，故答案為：40；（2）解：設(shè)∠OMN=a，由折疊知，∠NME=∠OMN=a；∵M(jìn)N=ME，∠MNE=∠O+∠OMN，∴∠MEN=∠MNE=45°+a，∵∠MNE+∠MEN+∠NME=180°，∴2(45°+a)+a=180°，解得：a=30°，即∠OMN=30°；如圖，過(guò)N點(diǎn)作ND⊥OM于D，則∠OND=∠O=45°，∴OD=ND，由勾股定理得：2OD∴OD=ND=1；∵ND⊥OM，∴MN=2ND=2；（3）解：∵M(jìn)C⊥OB，∴OE=O①當(dāng)點(diǎn)N在線段OE上時(shí)，如圖，設(shè)ON=x，由折疊性質(zhì)得：CN=ON=x，CM=OM=5，∴NE=OE-ON=4-x，CE=CM-ME=5-3=2；∵M(jìn)C⊥OB，∴NE即(4-x)2解得：x=5即ON=5②當(dāng)點(diǎn)N在線段OE延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，設(shè)ON=x，由折疊性質(zhì)得：CN=ON=x，CM=OM=5，∴NE=ON-OE=x-4，CE=CM+ME=5+3=8；∵M(jìn)C⊥OB，∴NE即(x-4)2解得：x=10；即ON=10；綜上，ON=52或【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·期末）八上數(shù)學(xué)課本69頁(yè)，數(shù)學(xué)活動(dòng)《折紙與證明》中告訴我們：折紙常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)解決下列問(wèn)題．（1）如圖1，一個(gè)三角形的紙片中，MC>MB，證明：∠MBC>∠MCB．小龍同學(xué)通過(guò)折疊紙片，將MB折疊到MC上，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，展開(kāi)后得到折痕ME，如圖2，折痕ME交BC于點(diǎn)E，連接DE．幫助小龍同學(xué)寫(xiě)出證明過(guò)程．（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B-107,237，點(diǎn)C2,5①求點(diǎn)E坐標(biāo)；②直線l過(guò)點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)M，且∠ECM=45°，直線l沿y軸翻折恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，只用圓規(guī)在直線BM上求作點(diǎn)G，使EG與直線BM所夾的銳角等于∠ECM．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）③直接寫(xiě)出（2）中點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①E0,4；②見(jiàn)解析；③-2,5，-1,2【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得到∠MDE=∠MBC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證明；（2）①先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，令x=0，求出y的值，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；②以點(diǎn)E為圓心，EC為半徑畫(huà)弧，交直線BM于點(diǎn)G，點(diǎn)G'，點(diǎn)G，點(diǎn)G'為所求；③先利用對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BM的解析式為y=-3x-1，根據(jù)【詳解】（1）證明：由折疊的性質(zhì)得：∠MDE=∠MBC，∵∠MDE=∠MCB+∠CED，∴∠MDE>∠MCB，∴∠MBC>∠MCB；（2）解：①設(shè)直線BC的解析式為y=kx+bk≠0將B-107,237，解得：k=1∴直線BC的解析式為y=1令x=0，則y=4，∴E0,4②如圖所示，以點(diǎn)E為圓心，EC為半徑畫(huà)弧，交直線BM于點(diǎn)G，點(diǎn)G'，點(diǎn)G，點(diǎn)G∵直線l沿y軸翻折恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴直線l與直線BM關(guān)于y軸對(duì)稱，∵點(diǎn)C與點(diǎn)G關(guān)于y軸對(duì)稱，∴∠EGB=∠ECM=45°，∵EG=EG∴∠EG③由②知點(diǎn)C與點(diǎn)G關(guān)于y軸對(duì)稱，且C2,5，由①知E∴G-2,5∵B-設(shè)直線BM的解析式為y=k將B-107,237，解得：k'∴直線BM的解析式為y=-3x-1，設(shè)G'∵EG=EG∴0--2∴10m2+30m+25=5解得：m=-1，或m=-2，∵G-2,5∴G綜上，點(diǎn)G的坐標(biāo)為-2,5，-1,2．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱作圖，對(duì)稱的性質(zhì)，一次函數(shù)綜合問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)的距離，掌握對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖是兩個(gè)全等的直角三角形紙片，且AC:BC:AB=3:4:5，按如圖的兩種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過(guò)其中的一個(gè)頂點(diǎn)，且使該頂點(diǎn)所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為S1

(1)若AC=3，求S1(2)若AE=2，求S2【答案】(1)3(2)8【分析】（1）由題意可得BC=4，AB=5，設(shè)DM=CM=x，則BM=4-x，依據(jù)S△ABM=12AB×DM=（2）設(shè)AC=3x，BC=4x，AB=5x，由折疊可得，BC=BE=4x，EN=CN，可得AE=AB-BE=x=2，可知AB=10，BC=8，AN=3x-EN=6-EN，由S△ABN=12AB×EN=【詳解】（1）解：∵AC:BC:AB=3:4:5，AC=3，∴BC=4，AB=5，由折疊可得，DM=CM，∠ADM=∠C=90°，AD=AC=3，設(shè)DM=CM=x，則BM=4-x，∵S△ABM∴AB×DM=BM×AC，即5x=34-x解得x=3∴DM=3∴BD=AB-AD=2，∴S1（2）由AC:BC:AB=3:4:5，可設(shè)AC=3x，BC=4x，AB=5x，由折疊可得，BC=BE=4x，EN=CN，∴AE=AB-BE=x=2，則AB=5x=10，BC=4x=8，AN=3x-EN=6-EN，∵S△ABN∴AB×EN=AN×BC，即10×EN=6-EN解得EN=8∴S2【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用面積法求得某些線段的長(zhǎng)度．4．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·期末）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．點(diǎn)E為AD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接ME，將△AME沿ME翻折．(1)圖1沿ME折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，連接MD，若MD=CD，①求證CM⊥AB；②∠B的度數(shù)為_(kāi)________度；(2)如圖2，若點(diǎn)M和點(diǎn)B重合，連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△PBE，且BE=BC，設(shè)PB與AC相交于點(diǎn)F．求∠BFC度數(shù)．【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②67.5(2)60°【分析】（1）①證明BD=CD，可得BD=MD=CD，可得∠DBM=∠DMB，∠DMC=∠DCM，結(jié)合三角形的內(nèi)角和可得∠BMD+∠DMC=90°=∠BMC，可得CM⊥AB；②由對(duì)折可得：AM=CM，AE=CE，可得∠ACM=∠MAC=45°，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=1（2）如圖，連接EC，先證明△BCE是等邊三角形，得出∠BED=30°，再利用三角形的外角的性質(zhì)得出∠BFC=2∠BED即可；【詳解】（1）證明：①如圖，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，AD⊥BC，∵M(jìn)D=CD，∴BD=MD=CD，∴∠DBM=∠DMB，∠DMC=∠DCM，∵∠DBM+∠BMC+∠BCM=180°，∴∠BMD+∠DMC=90°=∠BMC，∴CM⊥AB；②由對(duì)折可得：AM=CM，AE=CE，而CM⊥AB，∴∠ACM=∠MAC=45°，∵AB=AC，∴∠B=1（2）如圖，連接EC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD，∴EB=EC，又∵EB=BC，∴BE=EC=BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠BEC=60°，∴∠BED=30°，由翻折的性質(zhì)可知：∠ABE=∠PBE=1∴∠ABF=2∠ABE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=2∠BAE，∴∠BFC=∠BAF+∠ABF=2∠BAE+∠ABE∴∠BFC的度數(shù)為60°；【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，內(nèi)角和定理的應(yīng)用等知識(shí)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．二．雙垂直平分線導(dǎo)角（共3小題）5．（22-23八年級(jí)上·廣西貴港·期末）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，交邊AB于M、N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．(1)若AB=3cm，求△CMN(2)若∠MFN=80°，求∠MCN的度數(shù)．【答案】(1)3(2)20°【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AM=CM，BN=CN，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠MNF+∠NMF，進(jìn)而求出∠A+∠B，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周長(zhǎng)=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=3(cm故△CMN的周長(zhǎng)為3cm（2）∵∠MFN=80°，∴∠MNF+∠NMF=180°-80°=100°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=100°，∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-100°=80°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×80°=20°，故∠MCN的度數(shù)為20°．6．（22-23八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，若∠BAC=110°，則【答案】40°【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握垂直平分線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠B+∠C=70°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE，AF=FC，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得【詳解】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、∴AE=BE，∴∠BAE=∠B,∠CAF=∠C，∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=70°，∴∠EAF=110°-70°=40°．7．（23-24八年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB,AC的垂直平分線交于點(diǎn)P，兩垂直平分線交△ABC的邊于點(diǎn)G，D，E，H，連接AD,AE,AP．

(1)求∠DAE的度數(shù)；(2)求證：AP平分∠DAE．【答案】(1)∠DAE=60°(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AD=DB,AE=EC，根據(jù)等角對(duì)等邊得出∠B=∠DAB,∠C=∠CAE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)P作AD,AE,BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M,F,N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與判定即可得證；【詳解】（1）∵GD,HE分別為AB,AC的垂直平分線，∴AD=DB,AE=EC，∴∠B=∠DAB,∠C=∠CAE，∴∠ADE=2∠B,∠AED=2∠C，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°，∴∠ADE+∠AED=2∠B+∠C∴∠DAE=60°；（2）證明：過(guò)點(diǎn)P作AD,AE,BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M,F,N，

∵AD=BD,PG⊥AG，∴∠ADG=∠BDG，又∵∠ADG=∠PDM,∠BDG=∠PDN，∴∠PDM=∠ADG=∠BDG=∠PDN，∵PM⊥AD,PN⊥BC，∴PM=PN，同理PF=PN，∴PM=PF∴AP平分∠DAE．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)以及角平分的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．三．見(jiàn)等腰，構(gòu)造三線合一（共3小題）8．（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在△ABC的外部，∠ABD=∠C,∠D=90°．求證BC=2BD．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，先證明BE=CE，∠ABC=∠ACB，∠AEB=∠AEC=90°，再證明△ABD≌△ABE，即可得到結(jié)論，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)A作AE⊥BC于E，而AB=AC，∴BE=CE，∠ABC=∠ACB，∠AEB=∠AEC=90°，∵∠ABD=∠C,∠D=90°，∴∠D=∠AEB=90°，∠ABD=∠ABE，∵AB=AB，∴△ABD≌△ABE，∴BD=BE，∴BC=2BD．9．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線EF分別交邊BC,AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，且D為線段CE的中點(diǎn)．(1)求證：BE=AC；(2)若∠B=35°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)75°【分析】本題考查中垂線的判定和性質(zhì)，三線合一，三角形的內(nèi)角和定理：（1）連接AE，由題意可判定AD垂直平分CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC=AE=BE，即可證明結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE=35°，由直角三角形的性質(zhì)可得∠BAD的度數(shù)，即可求得∠EAD,∠CAD的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）證明：連接AE，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，且D為線段CE的中點(diǎn)，∴AD垂直平分CE，∴AC=AE，∵EF垂直平分AB，∴AE=BE，∴BE=AC；（2）解：∵AE=BE,∠B=35°，∴∠BAE=∠B=35°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-35°=55°，∴∠EAD=55°-35°=20°，∵AC=AE，AD⊥BC∴∠CAD=∠EAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=55°+20°=75°．10．（23-24八年級(jí)上·黑龍江大慶·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，過(guò)BC的中點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．(1)求證：DE=DF；(2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)110度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形“三線合一”，“等邊對(duì)等角”，角平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等，以及三角形的內(nèi)角和是180度，是解題的關(guān)鍵．（1）連接AD，根據(jù)“三線合一”得出AD平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求證；（2）先根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余得出∠B=35°，再根據(jù)“等邊對(duì)等角”得出∠C=∠B=35°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】（1）證明：連接AD，∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．（2）解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∵∠BDE=55°，∴∠B=35°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=35°，∴∠BAC=110°．11．（23-24八年級(jí)下·河南平頂山·期末）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF．(1)求證：△ABC是等邊三角形．(2)延長(zhǎng)ED交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：BE=FG．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）證Rt△AED≌Rt△CFDHL得∠A=∠C，又AB=AC得（2）連接BD，先證明∠G=∠DBF得DB=DG，進(jìn)而利用三線合一得FG=BF，由（1）知Rt△AED≌Rt△CFD得AE=CF【詳解】（1）證明：∵D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC∴AD=CD，∠AED=∠CFD=在Rt△AED和RtDE=DF∴Rt∴∠A=∠C∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠A=∠B=∠C∴△ABC是等邊三角形（2）證明：連接BD∵△ABC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)∴∠DBF=12∵EG⊥AB，∴∠G=90°-∠ABC=90°-60°=30°∴∠G=∠DBF∴DB=DG∵DF⊥BC∴FG=BF由（1）知Rt∴AE=CF∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF∴BE=FG【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三線合一，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三線合一，全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四．平行平分出等腰（共2小題）12．如圖，在△ABC中∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．若過(guò)點(diǎn)O作直線EF和邊BC平行，與AB交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，則線段EF和EB，F(xiàn)C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明？【答案】EF=EB+FC．理由見(jiàn)解析【分析】此題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，利用了等量代換的思想，熟練掌握性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．由BD為角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，再由EF與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，等量代換可得出∠EBD=∠EDB，利用等角對(duì)等邊得到EB=ED，同理得到FC=FD，再由EF=ED+DF，等量代換可得證．【詳解】解：EF=EB+FC．理由：∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB．又∵EF∥∴∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，∴∠BOE=∠EBO，∠COF=∠FCO，即EB=EO，F(xiàn)C=FO，∴EF=EO+FO=EB+FC．13．（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）用尺規(guī)作平行線的方法：已知：直線AB及直線AB外一點(diǎn)P．求作：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線CD，使得CD∥AB．尺規(guī)作圖步驟：如圖，①過(guò)點(diǎn)P作直線AB的相交線，與直線AB交于點(diǎn)H；②以點(diǎn)H為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線HP于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)F；③以點(diǎn)P為圓心，以線段HF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線HP于點(diǎn)M；④以點(diǎn)M為圓心，線段長(zhǎng)為EF半徑畫(huà)弧交前弧于點(diǎn)N；④過(guò)點(diǎn)P，N作直線CD．(1)在上述作圖步驟中通過(guò)______（填寫(xiě)合適的選項(xiàng)）可判定△PMN≌△HEF，從而可得到∠MPN=∠EHF．A．“SSS”B．“SAS”C．“ASA”D．“AAS”(2)在上述作圖步驟中用到的判定CD∥AB的依據(jù)是________________．(3)如圖3，在△ABC中，AB=AC，小明通過(guò)剛才的方法，作出了∠EAD=∠B，可以得到AD是△ABC底邊BC的平行線，那么AD是△ABC外角∠EAC的平分線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)A(2)同位角相等，兩直線平行(3)是，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由作圖可知，PM=HE，MN=EF，（2）根據(jù)平行線的判定定理作答即可；（3）由平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角可得∠EAD=∠DAC，進(jìn)而可證AD是△ABC外角∠EAC的平分線．【詳解】（1）解：由作圖可知，PM=HE，∴△PMN≌△HEFSSS故選：A；（2）解：由題意知，∠MPN=∠EHF，∴CD∥AB，∴判定CD∥AB的依據(jù)是同位角相等，兩直線平行，故答案為：同位角相等，兩直線平行；（3）解：AD是△ABC外角∠EAC的平分線，理由如下；∵∠EAD=∠B，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAD=∠DAC，∴AD是△ABC外角∠EAC的平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線等知識(shí)．熟練掌握作一個(gè)角等于已知角，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線是解題的關(guān)鍵．五．等腰三角形雙腰上的高求定值（共小題）14．（22-23八年級(jí)上·云南昆明·期末）如圖（1），已知在△ABC中，AB=AC，且∠B=60°，過(guò)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到△ABC兩邊AB、AC的距離分別為m，n，△ABC的高為

(1)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，m=n，并說(shuō)明理由．(2)如圖（2），試判斷m、n、h之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：m【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)m+n=h，證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，ME⊥AC于點(diǎn)E，由等邊三角形的性質(zhì)得出BM=CM，則S△ABM（2）連接AM，根據(jù)S△ABC（3）連接AM，根據(jù)S△AMC+S【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，m=n，理由：過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，ME⊥AC于點(diǎn)E，如圖，則MD=m，ME=n，

∵AB=AC，且∴△ABC是等邊三角形，∵AP⊥BC即AM⊥BC，∴BM=CM，∴S△ABM∴12∴MD=ME，∴m=n；（2）解：m+n=h．理由如下：如圖②，連接AM，則S△ABC

∴12AB?MD+1又∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=AC，∴m+n=h；（3）解：如圖，連接AM，則S△AMC

∴12AC?ME+12又∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=AB，∴n+h=m，∴m-n2∴m2兩邊同時(shí)除以2022得，m2∴m2+n【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，完全平方公式的應(yīng)用，運(yùn)用等積法建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．15．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期末）在△ABC中，AB=AC=a，AB邊上的高CD=h，點(diǎn)P是直線BC上任意一點(diǎn)，過(guò)P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且(1)如圖①，若點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，h，(2)如圖②，③，若點(diǎn)P在BC或CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，h，(3)若點(diǎn)P是直線BC上的點(diǎn)，h1=5，【答案】(1)h=h(2)在圖②中，h=h1-h(3)h2的值為3或【分析】（1）連接AP，根據(jù)面積法可得12AB×CD=12AB×PE+（2）點(diǎn)P在BC或CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AP，根據(jù)面積法可得h，h1，h（3）當(dāng)h1=5，h=8時(shí)，根據(jù)上述結(jié)論中h，h1，h本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，運(yùn)用面積法得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，運(yùn)用分類思想解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖，連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，∴S△ABC=12又∵∴12∵AB=AC，∴CD=PE+PF，即h=h（2）解：如圖，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AP，∵S∴12∵AB=AC，∴CD=PE-PF，即h=h如圖，點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AP，∵S∴12∵AB=AC，∴CD=PF-PE，即h=h（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，由（1）可知，h=h那么8=5+h故h2當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由（2）可知，h=h那么8=5-h故h2當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由（2）可知，h=h那么8=h故h2綜上所述，h2的值為3或1316．（21-22八年級(jí)上·山東臨沂·期中）閱讀下列材料：陽(yáng)陽(yáng)同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中AB=AC，BD是△ABC的高，P是BC邊上一點(diǎn)，PM、PN分別與直線AB，AC垂直，垂足分別為點(diǎn)M、求證：BD=PM+PN．陽(yáng)陽(yáng)發(fā)現(xiàn)，連接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP他又畫(huà)出了當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上，且上面問(wèn)題中其他條件不變時(shí)的圖形，如圖2所示，他猜想此時(shí)BD、PM、PN之間的數(shù)量關(guān)系是：BD=PN-PM．請(qǐng)回答：(1)請(qǐng)補(bǔ)全陽(yáng)陽(yáng)同學(xué)證明猜想的過(guò)程：證明：連接AP，∵S△ABC=∴12AC?BD=12∵AB=AC，∴BD=PN-PM．(2)參考陽(yáng)陽(yáng)同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，PM、PN、PQ分別與直線AB、AC、BC垂直，垂足分別為點(diǎn)M、①如圖3，若點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，猜想BD、PM、PN、PQ之間的數(shù)量關(guān)系并寫(xiě)出推理過(guò)程．②若點(diǎn)P在如圖4所示的位置，利用圖4探究得此時(shí)BD、PM、PN、PQ之間的數(shù)量關(guān)系并寫(xiě)出推理過(guò)程．【答案】(1)S△APB，PN，PM(2)①BD=PM+PN+PQ，理由見(jiàn)解析；②BD=PM+PQ-PN，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)圖2，結(jié)合閱讀材料填寫(xiě)即可；（2）①連接AP、BP、CP，根據(jù)②連接AP、BP、CP，根據(jù)本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積等，作出輔助線運(yùn)用類比方法構(gòu)建三個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接AP，∵S△ABC∴12∵AB=AC,∴BD=PN-PM，故答案為：S△APB，PN，PM（2）解：①BD=PM+PN+PQ．理由如下：如圖3，連接AP、∵S△ABC∴12∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PN+PQ．②BD=PM+PQ-PN．理由如下：如圖4，連接AP、∵S△ABC∴12∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PQ-PN．17．（21-22八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ARP+S(1)類比與推理如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，等邊△ABC的高為h(2)理解與應(yīng)用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC內(nèi)部是否存在一點(diǎn)O，點(diǎn)O到各邊的距離相等？若存在，求出這個(gè)距離r的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)存在，2【分析】（1）連接PA，PB，PC，仿照面積的割補(bǔ)法，得出∵S（2）作∠ACB與∠ABC的角平分線相交于O，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)O到各邊的距離相等，連接AO，根據(jù)S△OBC+S【詳解】（1）解：連接PA，PB，PC，∵S∴12∵BC=AC=AB，∴r1+r（2）解：存在，作∠ACB與∠ABC的角平分線相交于O，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，作OE⊥AC于E，作OF⊥AB于F，∵AO平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，∴OD=OE，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OF⊥AB，∴OD=OF，∴OD=OE=OF，∴△ABC內(nèi)部是否存在一點(diǎn)O，點(diǎn)O到各邊的距離相等．連接AO，設(shè)OD=OE=OF=r∵∴1∴1∴r=2．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用面積分割法，求線段之間的關(guān)系．18．（23-24八年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC,P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP=(1)深入探究將“在△ABC中，AB=AC,P為BC上一點(diǎn)”改成“P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)”，作PE⊥AB，PF⊥AC,PM-⊥BC,BG⊥AC，垂足分別為E、F(2)理解與應(yīng)用當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外，（1）結(jié)論是否成立?若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，PE、PF、【答案】(1)PE+PF+PM=BG，理由見(jiàn)解析(2)PE+PF-PM=BG，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積；（1）連接PA、PB、PC，利用S△ABP（2）連接PA、PB、PC，利用S△ABP【詳解】（1）PE+PF+PM=BG，理由如下：連接PA、PB、PC，則S∵等邊三角形ABC，∴AB=AC=BC，∵PE⊥AB，PF⊥AC,PM∴12∴12∴PE+PF+PM=BG；（2）PE+PF-PM=BG，理由如下：連接PA、PB、PC，則S∵等邊三角形ABC，∴AB=AC=BC，∵PE⊥AB，PF⊥AC,PM∴12∴12∴PE+PF-PM=BG．六．等邊三角形類弦圖模型（共3小題）19．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）【課本鞏固】如圖①，在等邊△ABC中，D為邊AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AD=BE，連接AE與CD相交于點(diǎn)F．（1）AE與CD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，AE與CD構(gòu)成的銳角夾角∠CFE的度數(shù)是______；【探究發(fā)現(xiàn)】（2）在（1）的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)G，使FG=FC，連接BG，CG，如圖②所示，求證：GA平分∠BGC．【拓展延伸】（3）如圖③，在等邊△ABC中，D為邊AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AD=BE，CF=3AF，CE=3BE，求AFEF【答案】（1）AE=CD，60°；（2）見(jiàn)解析；（3）4【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式；（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由（1）可知，∠CFE=60°，求得∠AFC=120°，推出△CFG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CF=CG，∠FCG=∠CGF=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFC=∠BGC=120°，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（3）連接BF，設(shè)S△ADF=S，S△BEF=y，得出S△FBD【詳解】（1）解：如圖①，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，在△ABE和△CAD中AB=CA∴△ABE≌△CAD(SAS)∴AE=CD，∠BAE=∠ACD，∵∠CFE=∠ACD+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，故答案為：AE=CD，60°；（2）證明：由（1）可知，∠CFE=60°，∴∠AFC=120°，∵FG=FC，∴△CFG是等邊三角形，∴CF=CG，∠FCG=∠CGF=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠ACB=60°，∴∠ABC=∠FCG，∴∠ACB-∠FCB=∠FCG-∠FCB，即∠ACF=∠BCG，∴△ACF≌△BCG(SAS∴∠AFC=∠BGC=120°，∴∠BGF=∠BGC-∠BGF=120°-60°=60°，∴∠BGF=∠CGF，∴GA平分∠BGC；（3）如圖所示，連接BF，設(shè)S△ADF在等邊△ABC中，AB=BC，又∵AD=BE，∴BD=CE=AB-AD，∴BD=CE=3BE=3AD，∴S△FAD又∵S△FAD=S，則同理可得，S△FBE:S∴S△FEC∵S△BFDS△AFD∴S△AFC∴AFEF20．（23-24八年級(jí)上·廣東汕頭·期末）在等邊△ABC的頂點(diǎn)A，C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以相同的速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過(guò)t分鐘后，它們分別爬行到D，E處，請(qǐng)問(wèn)：

(1)如圖1，爬行過(guò)程中，CD和BE的數(shù)量關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)蝸牛們分別爬行到線段AB，CA的延長(zhǎng)線上的D，E處時(shí)，若EB的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)Q，其他條件不變，蝸牛爬行過(guò)程中∠CQE的大小將會(huì)保持不變，請(qǐng)你證明：∠CQE=60°；(3)如圖3，如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著線段BC的延長(zhǎng)線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，求證：DF=EF．【答案】(1)CD=BE(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）證明△ADC≌△CEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)△ADC≌△CEB，得到∠ADC=∠E，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（3）過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于H，證明△DFH≌△EFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明．【詳解】（1）解：CD=BE，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，由題意得：AD=CE，在△ADC和△CEB中，AD=CE∠A=∠ACB∴△ADC≌△CEBSAS∴CD=BE；（2）證明如下：由（1）可知△ADC≌△CEBSAS∴∠ADC=∠E，∵∠E+∠ABE=∠BAC=60°，∠DBQ=∠ABE，∴∠CQE=∠ADC+∠DBQ=60°；（3）證明：過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于H，∴∠HDF=∠CEF，∵△ABC為等邊三角形，∴△ADH為等邊三角形，∴HD=AD，∵AD=CE，∴DH=CE，在△DFH和△EFC中，∠HDF=∠CEF∠DFH=∠EFC∴△DFH≌△EFCAAS∴DF=EF．21．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形，底角頂點(diǎn)連起來(lái)，在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形，小明把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手模型”．

【材料理解】（1）如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是．【深入研究】（2）如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，請(qǐng)判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；【深化模型】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求證：AD+CD=BD【答案】（1）△ACE，BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，證明見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，理解題中“手拉手模型”，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，利用類比方法證明是解答的關(guān)鍵．（1）先得到∠BAD=∠CAE，再證明△ABD≌（2）同理先得到∠CAE=∠BAD，再證明△ABD≌△ACESAS，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE（3）作∠DBH=∠ABC=60°，BD=BH，連接DH，證明△BDH是等邊三角形，得到DH=BD，∠BDH=60°，進(jìn)而得到D、C、H三點(diǎn)共線，則BD=DH=CH+CD，然后證明△ABD≌△CBHSAS得到AD=CH【詳解】解：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌∴BD=CE，故答案為：△ACE；BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠BAD，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE，∴∠BPC=∠BAC=90°，∴BD⊥CE．（3）證明如圖，作∠DBH=∠ABC=60°，BD=BH，連接DH，

∴△BDH是等邊三角形，∴DH=BD，∠BDH=60°，∵∠BDC=60°，∴D、C、H三點(diǎn)共線，∴BD=DH=CH+CD，∵∠ABC-∠DBC=∠DBH-∠DBC，∴∠ABD=∠CBH，又AB=BC，BD=BH，∴△ABD≌△CBHSAS∴AD=CH，∴AD+CD=BD．七．手拉手模型（共6小題）22．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖1，已知△ABC，△CDE均為等邊三角形，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，連接AE，(1)判斷線段AE，BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)求線段AE與線段BD的夾角∠AFB的度數(shù)．(3)如圖2，若點(diǎn)B，C，E不在同一條直線上，則（1）（2）中的結(jié)論_____________（填“成立”或“不成立”）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)60°(3)成立【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟悉等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△ACE≌△BCD，即可得出AE=BD；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠EAC=∠DBC，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出∠AFB；（3）用和（1）（2）同樣的方法，即可解答．【詳解】（1）解：AE=BD；理由如下：∵△ABC，∴AC=BC，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠ACD+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD；（2）解：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC，∴∠AFB=180°-∠EAC-∠CAB-∠ABD=180°-∠DBC-∠CAB-∠ABD=180°-∠CAB-=180°-∠CAB-∠ABC=60°；（3）解：∵△ABC，∴AC=BC，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠ACD+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，∴∠AFB=180°-∠EAC-∠CAB-∠ABD=180°-∠DBC-∠CAB-∠ABD=180°-∠CAB-=180°-∠CAB-∠ABC=60°．故答案為：成立．23．（23-24八年級(jí)下·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）【問(wèn)題情境】如圖1，△ABD與△AEC都是等邊三角形，連接BE，CD，點(diǎn)M，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，連接AM，AN，MN．

【猜想證明】請(qǐng)證明：（1）求證：BE=CD；（2）求證：△AMN是等邊三角形．【類比探究】如圖2，△ABD與△AEC都是等腰直角三角形，連接BE，CD，點(diǎn)M，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，連接AM，AN.請(qǐng)?zhí)骄浚海?）若點(diǎn)N恰好也是AE的中點(diǎn)，且AE=2，求△ABE的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）△ABE的面積為2【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）由等邊三角形的的性質(zhì)得AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=60°，可推導(dǎo)出∠BAE=∠DAC，進(jìn)而證明△BAE≌△DAC，得出BE=CD；（2）由BM=12BE，DN=12CD，且BE=CD，證明BM=DN，而AB=AD，∠ABM=∠AND，可證明（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=90°，可推導(dǎo)出∠BAE=∠DAC，進(jìn)而證明△BAE≌△DAC，得BE=CD，∠ABE=∠ADC，而B(niǎo)M=12BE，DN=12CD，所以BM=CD，可證明△BAM≌△DAN，得∠BAM=∠DAN，AM=AN，推導(dǎo)出∠MAN=∠BAD=90°，因?yàn)椤驹斀狻拷猓海?）∵△ABD與△AEC都是等邊三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，∴∠BAE=∠DAC=60°+∠DAE，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACSAS∴BE=CD．（2）證明：∵點(diǎn)M，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，∴BM=12BE∵BE=CD，∴BM=DN，∵△BAE≌△DAC，∴∠ABE=∠ADC，在△BAM和△DAN中，AB=AD∠ABM=∠ADN∴△BAM≌△DAN(SAS∴∠BAM=∠DAN，AM=AN，∴∠MAN=∠DAN+∠DAM=∠BAM+∠DAM=∠BAD=60°，∴△AMN是等邊三角形．（3）∵△ABD與△AEC都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=90°，∴∠BAE=∠DAC=90°+∠DAE，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACSAS∴BE=CD，∠ABE=∠ADC，∵點(diǎn)M，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，∴BM=12BE∴BM=DN，在△BAM和△DAN中，AB=AD∠ABM=∠ADN∴△BAM≌△DAN(SAS∴∠BAM=∠DAN，AM=AN，∴∠MAN=∠DAN+∠DAM=∠BAM+∠DAM=∠BAD=90°，∵AE=2，且點(diǎn)N也是AE的中點(diǎn)，∴AM=AN=EN=1∴S∵AE=2AN，BE=2EM，∴S∴S∴△ABE的面積為2．24．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）已知△ABC是等邊三角形．(1)如圖1，點(diǎn)D、E分別為AB，AC邊上的點(diǎn)，CE=AD，連接BE，CD相交于點(diǎn)F．求∠BFD的度數(shù)；(2)如圖2，AE∥BC，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)F在射線AE上，AC與DF相交于點(diǎn)Q，且①求證：DC=DF；②作FH⊥AC于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們探究線段AD，AC，CH之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)結(jié)論加以證明．【答案】(1)60°(2)①證明見(jiàn)解析；②AC+AD=2CH【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明△ADC≌△CEB，可得∠ACD=∠CBE，再結(jié)合三角形的外角的平分線可得結(jié)論；（2）①如圖，過(guò)D作DT∥BC，證明△ADT為等邊三角形，可得∠ADT=60°=∠CDF，DA=DT，再證明△ADF≌△TDC，可得②延長(zhǎng)BA過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BA于點(diǎn)G，連接CF，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥EN于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，證明Rt△FAH≌Rt△FAGHL得出AH=AG，證明Rt△NDF≌Rt△MDCHL得出∠NDF=∠MDC，證明【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形．∴AB=AC=BC，∠A=∠ACB=60°，∵CE=AD，∴△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴∠BFD=∠CBE+∠DCB=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°；（2）證明：①如圖，過(guò)D作DT∥BC交AC于∴∠ATD=∠ACB=60°，而∠BAC=60°，∴△ADT為等邊三角形，∴∠ADT=60°=∠CDF，DA=DT，∴∠ADF=∠CDT，∵AE∥∴∠FAC=∠ACB=60°，∴∠FAC=∠CDF=60°，∵∠AQF=∠DQC，∴∠AFD=∠ACD，∴△ADF≌△TDC，∴DF=DC；②AC+AD=2CH；理由如下；延長(zhǎng)BA，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BA于點(diǎn)G，連接CF，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥EA于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，如圖所示：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=∠BAC=60°，∵AE∥∴∠EAC=∠ACB=60°，∴∠FAG=180°-60°-60°=60°，∴∠FAG=∠EAC，∵FG⊥AB，F(xiàn)H⊥AC，∴FH=FG，∵AF=AF，∴Rt△FAH≌∴AH=AG，∵∠NAD=∠GAF=60°，∴∠NAD=∠DAM=60°，∵DN⊥AN，DM⊥AM，∴DN=DM，∵DF=DC，∴Rt△NDF≌∴∠NDF=∠MDC，∴∠NDF-∠MDF=∠MDC-∠MDF，∴∠NDM=∠FDC=60°，∵DF=DC，∴△DCF為等邊三角形，∴CF=CD=DF，∵FH=FG，F(xiàn)D=FC，∴Rt△FHC≌∴CH=DG，∴CH=DG=AD+AG=AD+AH，∴AH=CH-AD，∴AC=CH+AH=CH+CH-AD=2CH-AD，即AC+AD=2CH．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．25．（22-23八年級(jí)上·浙江寧波·期末）規(guī)定：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．

(1)如圖①，在△ABC與△ADE中，AB=AC，當(dāng)∠BAC、∠BAD、∠BAE、滿足條件____時(shí)，△ABC與△ADE互為(2)如圖②，在△ABC與△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，BE、CD相交于點(diǎn)M，連AM，求證：MA(3)如圖③，在四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD=AB，AC=BC+DC，求∠BAD的度數(shù)．【答案】(1)∠BAE=∠BAC+∠BAD(2)見(jiàn)解析(3)∠BAD=60°【分析】（1）頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．據(jù)此推導(dǎo)出∠BAC、∠BAD、∠BAE的關(guān)系便可；（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M，作AN⊥CD于點(diǎn)N，再證明△ABE≌△ACD得AM=AN，再根據(jù)角平分線的判定定理得結(jié)論；（3）延長(zhǎng)CD至E，使得DE=BC，連接AE，證明△ABC≌△ADE，進(jìn)而得△ACE是等邊三角形，便可得∠BAD=∠CAE=60°．【詳解】（1）解：∵在△ABC與△ADE中，AB=AC，AD=AE，∴當(dāng)∠BAC=∠DAE時(shí)，△ABC與△ADE互為“兄弟三角形”，∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∴∠BAE=∠BAC+∠BAD，故當(dāng)∠BAE=∠BAC+∠BAD時(shí)，△ABC與△ADE互為“兄弟三角形”，故答案為∠BAE=∠BAC+∠BAD；（2）解：∵在△ABC與△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD(SAS)∴AB=AC，∠ABE=∠ACD．過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，作AN⊥CD于點(diǎn)N，如圖②，

∴∠AHB=∠ANC=90°，∴△ABH≌△ACN(AAS∴AH=AN（全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等），∴HA平分∠BMD；（3）解：延長(zhǎng)CD至E，使得DE=BC，連接AE，如圖③，

∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，∵AB=AD，∴△ABC≌△ADE(SAS)∴AC=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AC=BC+DC=DE+DC=CE，∴AC=CE=AE，∴∠CAE=60°，∴∠BAD=60°．【點(diǎn)睛】此題考查了新定義，等腰三角形的定義，等邊三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形是解本題的關(guān)鍵．26．（22-23八年級(jí)上·遼寧撫順·期末）如圖，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分別以AB、AC為腰在AB左側(cè)、AC右側(cè)作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，連接CD、BE．

(1)如圖1，當(dāng)∠BAD=∠CAE=60°時(shí)，①△ABD、△ACE的形狀是____________；②求證：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如圖2，當(dāng)AB=AD，AC=AE時(shí)，②如圖3，當(dāng)AB=DB，AC=EC時(shí)，【答案】(1)①等邊三角形；②證明見(jiàn)解析(2)①成立，理由見(jiàn)解析；②不成立，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)有一個(gè)內(nèi)角是60度的等腰三角形是等邊三角形即可求解；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，證明△BAE≌（2）①證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②根據(jù)已知可得△BAE與【詳解】（1）解：①∵△ABD是等腰三角形，△ACE是等腰三角形，∠BAD=∠CAE=60°∴△ABD、△ACE是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．②證明：∵△ABD、△ACE是等邊三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△BAE與△DAC中，∵AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌∴BE=DC．（2）解：①當(dāng)AB=AD，AE=AC時(shí)，成立．理由：如圖，∵AB=AD，∠BAD=∠EAC，AE=AC，∴∠BAE=∠DAC

∴△BAE≌∴BE=DC；②當(dāng)AB=DB，AC=EC時(shí)，不成立．理由：如圖，∵∠BAD=∠CAE≠60°，

∴AB=DB≠AD，AC=EC≠AE，∴△BAE與△DAC不全等，∴BE≠DC．八．將軍飲馬問(wèn)題（共6小題）27．（23-24八年級(jí)下·廣東深圳·期末）【綜合實(shí)踐活動(dòng)】【問(wèn)題背景】如圖1，A，B表示兩個(gè)村莊，要在A，B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)抽水站P，使得它到兩個(gè)村莊的距離和最短，抽水站P應(yīng)該修建在什么位置？【數(shù)學(xué)建?！啃±ぐl(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題可以用軸對(duì)稱知識(shí)解決，他先將實(shí)際問(wèn)題抽象成如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖2，A，B是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l上．P在何處時(shí)，PA+PB的值最小．畫(huà)圖：如圖3，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連結(jié)AB'與直線l交于點(diǎn)P證明：∵B和B'關(guān)于直線l∴直線l垂直平分B∴PB=________，∴PA+PB=PA+P根據(jù)“________”（填寫(xiě)序號(hào)：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短；③兩點(diǎn)確定一列條直線．）可得PA+PB'最小值為_(kāi)_______（填線段名稱），此時(shí)P點(diǎn)是線段AB【問(wèn)題拓展】如圖4，村莊B的某物流公司在河的對(duì)岸有一個(gè)倉(cāng)庫(kù)C（河流兩側(cè)河岸平行，即GD∥EF），為了方便渡河，需要在河上修建一座橋MN（橋的長(zhǎng)度固定不變，等于河流的寬度且與河岸方向垂直），請(qǐng)問(wèn)橋MN修建在何處才能使得B到C的路線最短？請(qǐng)你畫(huà)出此時(shí)橋MN的位置（保留畫(huà)圖痕跡，否則不給分）．【遷移應(yīng)用】光明區(qū)某濕地公園如圖5所示，四邊形AEDC為花海景區(qū)，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，長(zhǎng)方形CFGH為人工湖景區(qū)，為了方便市民觀景，公園決定修建一條步行觀光路線（折線AM-MN-BN），A為起點(diǎn)，終點(diǎn)B在ED上，BD=30米，MN為湖邊觀景臺(tái)，長(zhǎng)度固定不變(MN=40米），且需要修建在湖邊所在直線CF上，步行觀光路線的長(zhǎng)度會(huì)隨著觀景臺(tái)位置的變化而變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出步行觀光路線的最短長(zhǎng)度．【答案】【數(shù)學(xué)建?！縋B'，①，AB【分析】本題考查了軸對(duì)稱—最短路徑問(wèn)題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問(wèn)題沒(méi)這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題．目前，往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以后還會(huì)學(xué)習(xí)一些線段轉(zhuǎn)化的方法．【數(shù)學(xué)建?！坑纱怪逼椒志€的性質(zhì)得PB=PB'，由兩點(diǎn)之間線段最短得【問(wèn)題拓展】解過(guò)B作BB'垂直于河岸，使得BB'=NM，連接CB'交另一河岸于N，過(guò)N【遷移應(yīng)用】過(guò)B作BB'∥FC，使得BB'=NM，作B'關(guān)于直線FC對(duì)稱點(diǎn)B″【詳解】PB'，①，解：【問(wèn)題拓展】橋MN修建在如圖所示的位置才能使得B到C的路線最短；解：【遷移應(yīng)用】如圖所示，過(guò)B作BB'∥FC，使得BB'=NM，作B'關(guān)于直線FC對(duì)稱點(diǎn)B″，延長(zhǎng)B″B'交∵BB'∥∴四邊形BB∴BN=B∵B'關(guān)于直線FC對(duì)稱點(diǎn)B″∴B'M=B″M∴AM+BN=AM+B在Rt△ABAB∴AM+BN+MN=405故步行觀光路線的最短長(zhǎng)度為40528．（23-24七年級(jí)下·河南焦作·期末）唐朝著名詩(shī)人李頎的代表作品《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題．如圖1，詩(shī)中將士在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)．請(qǐng)問(wèn)在何處飲馬才能使總路程最短？我們可以用軸對(duì)稱的方法解決這個(gè)問(wèn)題．(1)如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'與直線l交于點(diǎn)C理由：如圖3，在直線l上另取不同于點(diǎn)C的任一點(diǎn)C'，連接因?yàn)辄c(diǎn)B、B'關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)C、C'在直線所以CB=，C'B=所以AC+CB=AC+CB'在△AC'B可得A所以AC+CB<A即AC+CB最?。?2)遷移應(yīng)用：如圖4，△ABC是等邊三角形，N是AB的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，AD=6，M是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BM、MN，則BM+MN的最小值是．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到CB=CB'，（2）連接MC，NC，根據(jù)題意得到當(dāng)點(diǎn)N，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，BM+MN有最小值，即NC的長(zhǎng)度，然后根等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：理由：如圖3，在直線l上另取不同于點(diǎn)C的任一點(diǎn)C'，連接因?yàn)辄c(diǎn)B、B'關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)C、C'在直線所以CB=CB'，所以AC+CB=AC+CB在△AC可得A所以AC+CB<A即AC+CB最?。蚀鸢笧椋篊B'，（2）解：如圖所示，連接MC，NC，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD垂直平分BC，∴BM=CM，∴BM+MN=CM+MN≥NC，∴當(dāng)點(diǎn)N，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，BM+MN有最小值，即NC的長(zhǎng)度，∵AD=6，N是AB的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，∴NC=AD=6，∴BM+MN的最小值為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，三角形三邊關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確掌握兩點(diǎn)之間，線段最短是解題的關(guān)鍵．29．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)的部分內(nèi)容．請(qǐng)根據(jù)所給教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫(xiě)出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)程．定理應(yīng)用：△ABC(1)如圖②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E，垂足分別為M，(2)如圖③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分別是【答案】(1)20(2)10【分析】教材呈現(xiàn)：根據(jù)“SAS”證明△PCA≌△PCB即可；定理應(yīng)用：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理證明AD=BD，AE=EC，那么△ADE的周長(zhǎng)就轉(zhuǎn)化為（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，可知AD是BC的垂直平分線，所以想到過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)P，此時(shí)EP+BP=CE，【詳解】（1）教材呈現(xiàn)：證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∵AC=BC，∴△PCA≌△PCB(∴PA＝定理應(yīng)用：∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、∴AD=BD，∵△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=20，故答案為：20．（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)P，∵AB=AC，∴BD=DC=1∴AD是BC的垂直平分線，∴BP=PC，∴BP+EP=CP+EP=CE，此時(shí)BP+EP的值最小，∴△ABC的面積=1∴CE=10，則BP+EP的最小值為10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．30．（22-23八年級(jí)上·陜西渭南·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面積為12，AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，若D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，求△BDM周長(zhǎng)的最小值．【答案】8【分析】連接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，從而可得△BDM周長(zhǎng)的最小值．【詳解】解：連接AD、AM∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC,∴S解得AD=6，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,AM=BM,∴AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值,∴△BDM的周長(zhǎng)最小值=BM+MD+BD=AD+【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，同時(shí)涉及等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．31．（23-24八年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在∠MON內(nèi)．

(1)如圖①，點(diǎn)P關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)分別是G、H，連接①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形？為什么？②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，若∠MON=30°，A、B分別是射線OM、ON上的點(diǎn)，AB⊥ON于點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q分別為OA、AB上的兩個(gè)定點(diǎn)，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動(dòng)點(diǎn)【答案】(1)①△OGH是等邊三角形，理由見(jiàn)解析；②GH=2OP，理由見(jiàn)解析(2)PE+QE的最小值為5．【分析】（1）①由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得OP=OG=OH，∠POM=∠GOM，∠PON=∠HON．根據(jù)“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”即可得出△OGH是等邊三角形；②當(dāng)∠MON=90°時(shí)，∠GOH=180°，G、O、H在同一直線上，由此可得GH與OP的數(shù)量關(guān)系；（2）過(guò)Q作ON的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接PQ'，交ON于點(diǎn)E，連接QE，則PE+QE的最小值為PQ'，由已知條件可得∠OAB=60°，易得AP=5，AQ'【詳解】（1）解：①△OGH是等邊三角形，∵點(diǎn)P關(guān)于OM對(duì)稱的點(diǎn)為G，∴OP=OG，∠POM=∠GOM，同理OP=OH，∠PON=∠HON，∴OG=OH，∵∠MON=30°，∴∠GOH=60°，∴△OGH是等邊三角形．②GH=2OP，當(dāng)∠MON=90°時(shí)，∠GOH=180°，∴G、O、H在同一直線上，OP=OG=OH．∵GH=OG+OH=2OC，∴GH=2OP；（2）解：過(guò)Q作ON的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接PQ'，交ON于點(diǎn)E

∴PE+QE最小值為PQ∵∠MON=30°，∠ABO=90°，∴∠OAB=60°．∵AQ=OP=2，QB=1.5，∴AB=3.5，∴OA=2AB=7，∴AP=5．∵點(diǎn)Q與Q'關(guān)于ON∴QB=Q∴AQ∴△APQ∴PQ即PE+QE的最小值為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的關(guān)鍵．32．（21-22八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，鐵路上A、B兩站相距8km，C、D為兩個(gè)村莊，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B，已知AC=2km，BD=4km，現(xiàn)在要在鐵路AB上修建一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使得P到C、D兩村的距離和最短．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出P【答案】圖見(jiàn)解析，PC+PD的最小值為10km【分析】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題．作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'D與AB的交點(diǎn)就是P點(diǎn)，點(diǎn)P【詳解】解：如圖，作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'D與AB點(diǎn)P即為中轉(zhuǎn)站的位置；過(guò)C'作C'E⊥DB則BE=AC'=AC=2∴DE=BD+BE=6km在Rt△DEC'∴C∴PC+PD的最小值為10km九．三動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（共3小題）33．（21-22八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，銳角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面積是6，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△DEF【答案】247/【分析】根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，將△DEF周長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為一條直線，如圖所示（見(jiàn)詳解），作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接AM，AE，AN，三角形AMN是等邊三角形，△DEF周長(zhǎng)DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AE的值最小，△ABC的面積是6，BC=7【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接AM，AD，AN，∴AM=AE=AN，即AB是EM的垂直平分線，AC是EN的垂直平分線，且∠MAB=∠BAE，∠CAE=∠CAN∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°，∴∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAC+∠CAN，即∠MAN=2(∠BAE+∠EAC)=2×30°=60°，∴三角形AMN是等邊三角形，∴AM=AN=MN=AE，∴當(dāng)點(diǎn)M,D,F,N在一條直線上時(shí)，△DEF周長(zhǎng)DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AD的值最小，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，可知當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE最小，即△DEF周長(zhǎng)最小，∵△ABC的面積是6，BC=6，即S△ABC∴AD=247，即△DEF周長(zhǎng)最小故答案為：247【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的對(duì)稱性找最短路徑，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，理解和掌握垂直平分線的性質(zhì)，對(duì)稱軸的性質(zhì)找最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵．34．（21-22七年級(jí)下·重慶沙坪壩·期末）如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E、F在AD上，連接BE，CE，CF，延長(zhǎng)CF交BE于點(diǎn)G．(1)若AE：ED＝2：3，S△ABC＝20，則S△ABE＝；(2)若GE＝GF，∠BAE+∠ECF＝∠GEF．求證：AE＝EF；(3)如圖2，在（2）條件下，點(diǎn)P、M、N分別是△GEF三邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠BAF＝60°，∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，直接寫(xiě)出FPAP【答案】(1)4(2)見(jiàn)解析(3)PF【分析】（1）由AD是BC邊上的中線，可得S△ABD＝S△ADC＝12S△ABC，由題意知S△ABE：S△BED＝2：3（2）延長(zhǎng)ED至Q，使DQ＝ED，則可證△BDE≌△CDQ（SAS），再證明△ABE≌△ECF（AAS），即可求解．（3）作P點(diǎn)關(guān)于GE的對(duì)稱點(diǎn)K，連接GK，KP，作P點(diǎn)關(guān)于GF的對(duì)稱點(diǎn)L，連接GL，PL，連接KL交GE于M，交GF于N，連接MP，NP，則△PMN的周長(zhǎng)＝PM+MN+PN＝KM+MN+NL≥KL，設(shè)∠GBC+∠GCB＝α，在△GEC中，α+12a+60°+90°﹣12a＝180°，可得α＝30°，從而得到△GLK是等邊三角形，當(dāng)GP【詳解】（1）∵AD是BC邊上的中線，∴S△ABD＝S△ADC＝12S△ABC∵S△ABC＝20，∴S△ABD＝10，∵AE：ED＝2：3，∴S△ABE：S△BED＝2：3，∴S△ABE＝25S△ABD＝4故答案為：4；（2）如圖1，延長(zhǎng)ED至Q，使DQ＝ED，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵∠BDE＝∠CDQ，∴△BDE≌△CDQ（SAS），∴CQ＝BE，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠GFE＝∠QFC，∴CF＝CQ，∴BE＝CF，∵∠BAE+∠ECF＝∠GEF，∠GFE＝∠ECF+∠FEC，∴∠BAE＝∠FEC，∵∠GEF＝∠BAE+∠ABE，∠GFE＝∠FEC+∠ECF，∴∠ABE＝∠ECF，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AE＝EF；（3）如圖2，作P點(diǎn)關(guān)于GE的對(duì)稱點(diǎn)K，連接GK，KP，作P點(diǎn)關(guān)于GF的對(duì)稱點(diǎn)L，連接GL，PL，連接KL交GE于M，交GF于N，連接MP，NP，∴MP＝KM，PL＝NL，∴△PMN的周長(zhǎng)＝PM+MN+PN＝KM+MN+NL≥KL，設(shè)∠GBC+∠GCB＝α，∴∠EGF＝α，∵GE＝GF，∴∠GEF＝90°﹣12由（2）知，∠CEF＝∠BAF，∠ABE＝∠ECF，∵∠BAF＝60°，∴∠CEF＝60°，∵∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，∴∠ECF＝12在△GEC中，α+12a+60°+90°﹣12∴α＝30°，∴∠EGF＝30°，∴∠KGL＝60°，∴△GLK是等邊三角形，∴當(dāng)GP最小時(shí)，LK就最小，∴GP⊥EF，∴GE＝GF，∴P點(diǎn)是EF的中點(diǎn)，∵EF＝AE，∴PFAP【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的綜合題，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離，垂線段最短是解此題的關(guān)鍵．35．動(dòng)手操作：請(qǐng)按要求作圖．（規(guī)范作圖，保留作圖痕跡即可，不要求尺規(guī)作圖）（1）如圖（1），P是∠ABC內(nèi)一定點(diǎn)，F(xiàn)為射線BC邊上一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谏渚€BA上找一點(diǎn)E，使得PE+EF最小．（2）如圖（2），P是∠ABC內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為射線BA、BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)作出使得PE+EF最小的E點(diǎn)和F點(diǎn)．（3）如圖（3），P是∠ABC內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為射線BA、BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)作出使得PE+PF+EF最小的E點(diǎn)和F點(diǎn)．拓展應(yīng)用：（4）如圖（4），△ABC為銳角三角形，∠ABC=30°，AC=6，△ABC的面積為33，點(diǎn)E、F、P分別為△ABC三邊AB、BC、AC上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出滿足條件的周長(zhǎng)最小的△EFP，并求出△EFP周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析；（3）作圖見(jiàn)解析；（4）作圖見(jiàn)解析，△PEF的周長(zhǎng)有最小值為11.【詳解】試題分析：（1）作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P^'，連接P^'F交AB于E，則此時(shí)PE+EF最??；（2）作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M，連接MP交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥BC于F交AB于E，則此時(shí)PE+EF最??；（3）作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M，關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN交AB于E，交BC于F，則此時(shí)PE+EF+PE最??；（4）作點(diǎn)P關(guān)于線段AB的對(duì)稱點(diǎn)M，關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN交AB于E，交BC于點(diǎn)F，則此時(shí)△PEF的周長(zhǎng)為MN的長(zhǎng)度．試題解析：解：（1）如圖①，作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P^'，連接P^'F交AB于E，則此時(shí)PE+EF最??；（2）如圖②，作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M，連接MP交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥BC于F交AB于E，則此時(shí)PE+EF最?。唬?）如圖③，作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M，關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN交AB于E，交BC于F，則此時(shí)PE+EF+PE最?。唬?）如圖④，作點(diǎn)P關(guān)于線段AB的對(duì)稱點(diǎn)M，關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN交AB于E，交BC于點(diǎn)F，則此時(shí)△PEF的周長(zhǎng)為MN的長(zhǎng)度．∵∠ABC=30°，∴∠MBN=60°且BM=BP=BN，∴△MBN為等邊三角形，∴當(dāng)BP⊥AC時(shí)，MN有最小值，即△PEF的周長(zhǎng)有最小值，C△PEF點(diǎn)睛：本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，