人教版九年級數(shù)學(xué)下冊教案

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第二十六章

反比例函數(shù)

26.1反比例函數(shù)

26.1.1反比例函數(shù)

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?置疑導(dǎo)入武漢至成都的高速公路仝程約1176加，某人開汽車要從武漢到成都，該

汽車的平均速度MAm/h）和時間Mh）之間的關(guān)系式為vt=\176,則，=—至，，和r之間

是什么關(guān)系呢？是一次函數(shù)或正比例函數(shù)關(guān)系嗎？

【教學(xué)與建議】教學(xué)：設(shè)計生活中的常見問題，讓學(xué)生認(rèn)識到反比例關(guān)系在實際生活中

普遍存在，盡快地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).建議：通過具體問題中的數(shù)量關(guān)系抽象出數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)

生領(lǐng)會到反比例函數(shù)作為?種數(shù)學(xué)模型在實際問題中的應(yīng)用.

?歸納導(dǎo)入1.實驗中學(xué)要種植一塊面積為1200/的矩形草坪，草坪的長為ym,寬

為xm,用含/的代數(shù)式表示y是—片

X

2.一個游泳池的容積為1800m\癡永池注滿水所用時間*單位：h）隨注水速度“單

位：nf7h）的變化而變化，用含/的代數(shù)式表示￡是_三二竺

3.已知某市的總面積為1.205X103Am之，人均占有面積$（單位：加7人）隨全市總?cè)丝?/p>

〃（單位：人）的變化而變化，用含〃的代數(shù)式表示S是§=1?28）X10.

【歸納】一般地，形如尸或（攵為常數(shù)，且4W0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).

X

【教學(xué)與建議】教學(xué)：根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，認(rèn)識并歸納反比例函數(shù)概念.建議：

學(xué)生自己練習(xí)，然后教師引導(dǎo)學(xué)生分析反比例函數(shù)關(guān)系的概念及模型，感受從特殊到一般的

思想.

二、命題熱點分析與示例

*命題角度1反比例函數(shù)的概念

k

反比例函數(shù)常見的三種形式：①尸一（AW0）；②尸女尸（4工0）；③燈=衣（y0）.

X

【例1】下列函數(shù)解析式中不是反比例函數(shù)的是（C）

]_xD

A.y=T7.B.y=2x-}C.y=-D.

【例2】如果直角三角形的面積一定，那么下列關(guān)于這個直角三角形邊的關(guān)系的說法中，

正確的是（B）

A.兩條直角邊成正比例B.兩條直角邊成反比例

C.一條直角邊與斜邊成正比例I）.一條直角邊與斜邊成反比例

*命題角度2確定未知字母的值或取值范圍

根據(jù)反比例函數(shù)的定義，求解析式中未知字母的值或取值范圍.

Ial-Q

【例3】已知反比例函數(shù)的解析式為尸——,則a的取值范圍是（0

X

A.a六3B.ak—3C.aH±3D.a=±3

【例4】已知函數(shù)尸（A+l）以2—5是反比例函數(shù)，且正比例函數(shù)y=Ax的圖象經(jīng)過第

一、三象限，則J的值為2.

*命題角度3確定反比例函數(shù)的解析式

由反比例函數(shù)(4W0)定義可知，只需一對滿足解析式的x,y的對應(yīng)值即可求得女

的值確定其函數(shù)解析式.

【例5】若點/1(4,-2)關(guān)于y軸對稱的點為8,則經(jīng)過點8的反比例函數(shù)的解析式為(D)

88

A.y=8xB.y=--;C.y=SxD.y=~

XX

k

【例6】已知反比例函數(shù)的圖象尸一經(jīng)過點(-2,2),則仁一4.

X

*命題角度4建立反比例函數(shù)模型

根據(jù)對常見幾何圖形的面積、物理學(xué)或?qū)嶋H生活中的一些成反比例關(guān)系的知識，建立.反

比例函數(shù)模型.

【例7】已知甲、乙兩地相距20加，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛時間，(單

位：h)關(guān)于行駛速度M單位：Am/h)的函數(shù)關(guān)系式是(B)

20v10

A.t=20vB.t=C.?=737D.t=

v20v

【例8】計戈ij修建鐵路1200廂，那么鋪軌天數(shù)y(單位：天)是每日鋪軌量x(單位：Am)

的反比例函數(shù)嗎？解：因為尸:U22,所以y是*的反比例函數(shù).

X

'高效課堂教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1.正確理解反比例函數(shù)的概念及解析式.

2.能夠?qū)F(xiàn)實生活中的情景問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的反比例函數(shù)解析式.

二、教學(xué)重難點

▲重點

正確理解并掌握反比例函數(shù)的概念.

▲難點

確定實際問題中反比例函數(shù)的解析式.

三、教學(xué)設(shè)計

?活動1新課導(dǎo)入

1.上小學(xué)時我們曾經(jīng)學(xué)過速度八時間￡與路程s之間滿足以=s,如果路程s一定，

那么隨著速度/的增加，時間t減少.這兩個量之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.

2.一般地，在某一變化過程有兩個變量x和八如果對于變量x的每一個值，變量y都

有唯一的值與它對應(yīng),我們就稱p是x的函數(shù).其中，x是自變量，y是因變量.

?活動2探究新知

1.教材P2思考.

提出問題：

(1)在問題(1),(2),(3)中，變量間具有函數(shù)關(guān)系嗎？如果有，它們的自變量與因變量

分別是什么？根據(jù)問題，你能分別列出它們的解析式嗎？

(2)觀察所列出的三個函數(shù)關(guān)系式，它們有何共同特征？

k

(3)在/=一中，x=0行嗎？為什么？

X

學(xué)生完成并交流展示.

2.兩個變量x和y的乘積等于-6,用函數(shù)關(guān)系式表示出來是尸一巨

A"一

提出問題："

(1)/=--還可以表示成哪幾種形式？試試看；

(2)請給反比例函數(shù)下個定義.

?活動3知識歸納

b

1.一般地，形如y=-6為常數(shù)，〃=0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù).

X

2.反比例函數(shù)常見的三種形式：①尸4；②xy=k；③尸〃尸.

?活動4例題與練習(xí)

例1下列關(guān)系式中的y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，比例系數(shù)★是多少？

41x

(1)/=_;(2)y=——;(3)y=l一筋(4)xy=1；(5)y=-.

X乙

解：(1)是，4=4；(2)是，女=一^；(3)不是；(4)是，k=l；(5)不是.

例2教材P3例1.

例3當(dāng)m為何值時，下列函數(shù)是反比例函數(shù)？

2

解：(1)由3m—1=1,得m=G；

-5=-1,

⑵由L口八得m=-2.

2—*0,

練習(xí)

1.教材P3練習(xí)笫1,2,3題.

2.下列函數(shù)中反比例函數(shù)有(C)

122a

①孫=5；②y=3i；③尸一▼；④尸一(女為常數(shù)，20).

A.1個3.2個C.3個D.4個

3.若y=(m—1)Ain2-2是反比例函數(shù)，Mm=-1,此函數(shù)的解析式是_『=一：_.

4.已知y與x—1成反比例，且當(dāng)時，y=一：.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

⑵當(dāng)時，求x的值.

O

LI11

解：(1)設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=--.???當(dāng)時，曠=一可，，〃=￡，,P

x—1zob

7-,即p關(guān)于*的函數(shù)解析式為

1)Ov

(2)當(dāng)y=1時，則有!=,

6(I)，解得*=2.

?活動5完成附贈手冊

?活動6課堂小結(jié)

1.反比例函數(shù)的概念.

2.反比例函數(shù)的解析式.

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思

1.作業(yè)布置

⑴教材％習(xí)題26.1第1,2題;

(2)學(xué)生用書對應(yīng)課時練習(xí).

2.教學(xué)反思

26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第1課時反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?類比導(dǎo)入1.一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象分別是什么？

2.請分別畫出y=2x與y=f+l的圖象.

4

3.類比一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的畫法，你能畫出反比例函數(shù)/=」的圖象嗎？

x

【教學(xué)與建議】教學(xué):通過對一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象以及畫函數(shù)圖象的知識的回顧，

類比舊知識的學(xué)習(xí)方法、數(shù)學(xué)思想來學(xué)習(xí)新知識.建議：教學(xué)強調(diào)畫函數(shù)圖象的一般步驟”列

表、描點、連線”及注意點“光滑的曲線”.

?復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.正比例函數(shù)/=&(4工0)的圖象是一條直線,當(dāng)力0時，圖象在_

第一、三象限:當(dāng)K0時，圖象在第二、四象限.

2.畫二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象的一般步驟是：列表、描點、連線.

3.反比例函數(shù)常見的三種形式是―丘上，y=kx\,xy=k,其中A是—賞

AH"

數(shù)且4W0.

【酒后建議】教學(xué):復(fù)習(xí)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而探索反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).建

議：先自主學(xué)習(xí)，再小組討論歸納.

二、命題熱點分析與示例

*命題角度1考查反比例函數(shù)圖象所在的象限

反比例函數(shù)y="的圖象所在象限由4的正負(fù)決定，當(dāng)衣＞0時，圖象在第一、三象限；

X

當(dāng)々＜0時，圖象在第二、四象限.

2

［例1］反比例函數(shù)產(chǎn)=-的圖象位于(A)

A

A.第一、三象限B.笫二、三象限

C.第一、二象限D(zhuǎn).第二、四象限

芯+1

【例2】反比例函數(shù)j，=一——的圖象大致是(B)

yyy

V2_

ABCD

*命題角度2確定待定字母的值或取值范圍

kk

反比例函數(shù)尸-的圖象在第一、三象限時，〃＞0；反比例函數(shù)了=一的圖象在第二、四

X

象限時,k＜0.

2

【例3】若反比例函數(shù)尸一的圖象過點(a,b),則劭=2

X

【例4】已知反比例函數(shù)尸口.

X

(1)若函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則4:

(2)若在每個象限內(nèi)，y隨X的增大而增大，則攵＞4.

*命題角度3考查在同一平面直角坐標(biāo)系中不同函救圖象的位置

解決同一平面直角坐標(biāo)系中兩種函數(shù)圖象共存的問題，根據(jù)函數(shù)解析式中字母的正負(fù)來

判斷.

【例5】函數(shù)左與y="在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(D)

X

/

【例6】函數(shù)j，=2的大致圖象是(D)

*命題角度4考杳反比例函數(shù)圖象的增減性

解決反比例函數(shù)圖象的增減性問題，當(dāng)〃>()時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；

當(dāng)K0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

2

(例7］在反比例函數(shù)尸一；圖象上有三個點力(為，力,8(照,先),C(矛“次)，若用<0〈即〈矛：“

則下列結(jié)論中正確的是(C)

A.y3<j2<yiB.乂5〈姓

C.j<><y3<yiD.

一、教學(xué)目標(biāo)

1.進(jìn)一步熟悉作函數(shù)圖像的步驟，能夠作出反比例函數(shù)的圖象.

2.通過對反比例函數(shù)的圖象的分析，探索并掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).

二、教學(xué)重難點

▲重點

反比例i函數(shù)的圖象及其性質(zhì).

▲難點

反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

三、教學(xué)設(shè)計

?活動1新課導(dǎo)入

1.正比例函數(shù)尸履的圖象是一條直線一,當(dāng)〃:>0時，圖象在第一、第三象限;

當(dāng)上0時，圖象在第二、第四癡艮.

2.請分別畫出y=2x與y=-2x的圖象.

3.如何用描點法畫一個函數(shù)的圖象.

?活動2探究新知

1.教材3例2.

提出問題：

(1)我們知道，正比例函數(shù)的圖象是一條直線，那么反比例函數(shù)'="的圖象是什

*4

么形狀呢？你能用“描點”的方法畫出反比例函數(shù)y=2和的圖象嗎？

xx

(2)觀察尸與卜="的圖象，圖象在向下、向上延伸時，會與x軸、y軸相交嗎？為

XX

什么？

(3)教材P5思考.

學(xué)生完成并交流展示.

2.教材P.探究

提出問題：

(D請仿照P,例2回出閑數(shù)了=一目與尸=一且的圖象；

XX

(2)觀察你所畫出的圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征以及不同點嗎？每個函數(shù)的圖象分別

位于哪幾個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的變化情況如何？

(3)反比例函數(shù)是軸對稱圖形嗎？是中心對稱圖形嗎？

學(xué)生完成并交流展示.

?活動3知識歸納

?般地，反比例函數(shù)y="的圖象是雙曲線，它具有以下性質(zhì)：

X

(1)當(dāng)力0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每一個象限內(nèi)，y隨*的

增大而減小：

(2)當(dāng)K0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每一個象限內(nèi)，y隨彳的

增大而增大；

(3)反比例函數(shù)的圖象是釉對稱圖形，直線p=x和1一x是它的對稱軸:它也是—

中心對稱圖形,對稱中心是坐標(biāo)原點..

?活動4例題與練習(xí)

例1已知反比例函數(shù)y=(m-l)Am2-3的圖象在第二、第四象限，求m的值，并指出

在每個象限內(nèi)，y隨x的變化情況.

解：???7=(m—1)城一3是反比例函數(shù)，.?.m"'-3=-1,且m—1#(),.,.m=土鏡,又二

圖象在第二、第四象限，???m—1<0,???m=-m.在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

例2己知反比例函數(shù)尸匕電(m為常數(shù))的圖象在第一、第三象限.

X

(1)求m的取值范圍；

(2)如圖，若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過。力8勿的頂點D,點48的坐標(biāo)分別為(0,3),(-

2,0),求出該反比例函數(shù)的解析式；

(3)若力(乂，㈤,6(加,㈤都在該反比例函數(shù)的圖象上,旦M>M>0,則y\和y2有怎樣的

大小關(guān)系？

解：(1)由題意，得1—2m>0,解得；

(2廣??四邊形/仇必為平行四邊形，［(0,3),?(—2,0),:.AD〃OB,AD=OB=2,，點〃

的坐標(biāo)為(2,3).將〃(2,3)代入反比例函數(shù)尸匕④，得

1—2m=2X3=6,，反比例函數(shù)

的解析式為y=~；

X

⑶y".

練習(xí)

1.教材匕練習(xí)第1,2題.

9

2.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=-的圖象有一個交點的縱坐標(biāo)是2,則。的

X

值為「L.

3A-—Q

3.已知反比例函數(shù)尸-7工的圖象在其所在的象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，求A

x\5T—k

的值.

f3A-9>0,①l

解：由題意，得｛/由①，得〃>3,由②，得仁±2m,綜合①@得仁

2V5.

?活動5完成附贈手冊

?活動6課堂小結(jié)

1.反比例函數(shù)的圖象.

2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思

1.作業(yè)布置

⑴教材P8習(xí)題26.1第3,5題；

(2)學(xué)生用書對應(yīng)課時練習(xí).

2.教學(xué)反思

第2課時反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合運用

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?復(fù)習(xí)導(dǎo)入反比例函數(shù)守=>k的圖象是雙曲線.

X

(1)當(dāng)冷0時，圖象的兩支分別位于第一、第三象限，在每一個象限內(nèi)，y隨才增大

而一減小..

(2)當(dāng)在<0時，圖象的兩支分別位于第二、第四象限,在每一個象限內(nèi)，y隨才增大

而增大.

【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過對反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的回顧，為本課更深入探討反比

例函數(shù)的性質(zhì)及綜合應(yīng)用奠定基礎(chǔ).建議：提問為什么要強調(diào)“在每一個象限內(nèi)”討論函數(shù)

圖象的增減.

?類比導(dǎo)入填表分析正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的區(qū)別.

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx(BO)y=*(k￥0)

「曲線

圖象形狀直線

第一、三象限第一、二象限

yy

/一

位置

攵＞0

/OXOX

增減性每個象限內(nèi)，y隨>的增大而增大每個象限內(nèi)，y隨*的增大而減小

第一四象限第一四象限

J

K0位置

OVO

增減性每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小每個象限內(nèi)，，隨x的增大而增大

【教學(xué)與建議】教學(xué)：類比導(dǎo)入，為本課時探冗綜合應(yīng)用反比例的圖象和性質(zhì)奠定

基礎(chǔ).建議：分小組討論后再填表.

二、命題熱點分析與示例

*命題角度1反比例函數(shù)解析式、圖象性質(zhì)

反比例函數(shù)（A為常數(shù)，發(fā)0）的圖象上任取一點（Y,如，則仁小幾

X

k

【例1】已知反比例函數(shù)尸一經(jīng)過點（2,-2）和（叫1）,則m的值是（C）

人

A.2B.1C.-4D.4

k

【例2】已知點尸（3,-2）在反比例函數(shù)曠=-（4W0）的圖象上，則4=一6：在第四

X

象限內(nèi)，函數(shù)值y隨x的增大而」

*命題角度2考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)4的幾何意義

k

由雙曲線y=一上的任意一點向兩坐標(biāo)軸引垂線，所構(gòu)成的矩形的面積為定值k,這一

X

點與一個垂足及原點所確定的三角形的面積為定值9.

9

【例3】如圖，點少在反比例函數(shù)產(chǎn)=-（x>0）的圖象上，過點8分別向x軸、p軸作垂

X

線，垂足分別為4C,則△。歷的面枳為（A）

C.3D.4

2

【例4】如圖，根據(jù)圖象寫出反比例函數(shù)的解析式為—丘二:

*命題角度3反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合

反比例函數(shù)與兒何圖形的綜合，解題的方法是綜合利用函數(shù)、方程、幾何性質(zhì)進(jìn)行解題.

2

【例5】如圖，在反比例函數(shù)9=二（x>0）的圖象上，有點A，月，它們的橫坐標(biāo)

x

依次為1,2,3,4.分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左

3

到右依次為$,￡,W,則S+S+￡=_?_.

2

（）\1234

（例6］如圖，點力是反比例函數(shù)y=~（水0）的圖象上的一點，過點力作平行四邊形ABCD,

A

使點B,C在>軸上，點〃在y軸上.已知平行四邊形力伙力的面積為6,則k的值為一包.

“命題角度4一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是抓住函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)與線段改度

的關(guān)系，活用待定系數(shù)法求解析式，活用面積公式和圖形特點，將不等式、函數(shù)、方程（組）、

幾何圖形結(jié)合起來解決問題.

【例7】如圖，一次函數(shù)y=4x+〃（AW0）的圖象與反比例函數(shù)度=，（m為常數(shù)且BIWO）

X

的圖象都經(jīng)過點力（一1，2）,4（2,-1）,結(jié)合圖象，則不等式杉+力&的解集是（C）

A.K-lB.-1<KO

C.水一1或(K水2D.一1<水0或x>2

【例8】如圖，已知直線y=Ad+8與x軸、y軸相交于P,。兩點，與％=生的圖象相

X

交于力(一2,m),8(1,〃)兩點，連接見仍.給出下列結(jié)論：①女兒<0：②m+彳〃=0；③5k

及=S△做；④由圖象知y>〃2時，X的取值范圍是K-2或0<水1,其中正確結(jié)論的序號是

一、教學(xué)目標(biāo)

1.分析實際問題中變量之間的關(guān)系建立反比例函數(shù)模型，進(jìn)而解決實際問題.

2.體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密性，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

3.培養(yǎng)學(xué)生運用代數(shù)方法解決實際問題的能力.

二、教學(xué)重難點

▲重點

靈活運用反比例函數(shù)性質(zhì)解決問題.

▲難點

反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

三、教學(xué)設(shè)計

?活動1新課導(dǎo)入

3

1.若點力(7,為)，8(5,%)在雙曲線y=一二上，則y,一的大小關(guān)系為人.

X

k

2.若點(一2,%),(―1,%),(1,④在反比例函數(shù)尸一(K0)的圖象上，則九加

X

期的大小關(guān)系為.

3.點加一2,a),8(—1,6),C(3,c)在雙曲線尸或(4>0)上，試確定a,b,。的大小

X

關(guān)系為c>a>」.

?活動2日究新知

1.教材P7例3.

提出問題：

(1)點加2,6)在第幾象限？因為反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點水2,6),所以這個函數(shù)圖象

的兩支分別位于第幾象限？在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而怎樣變化？

(2)對于第(1)問，還有其他的解答方法嗎？要判斷函數(shù)的性質(zhì)，我們首先可以求反比例

函數(shù)的解析式？求反比例函數(shù)的解析式一般用什么方法？請同學(xué)們試著用待定系數(shù)法求出這

個函數(shù)的解析式，并根據(jù)該函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答第(1)問；

(3)我們?nèi)绾闻袛帱c在不在函數(shù)的圖象上？

學(xué)生完成并交流展示.

2.教材內(nèi)例4.

提出問題：

(1)反比例函數(shù)圖象的分布有哪幾種可能？由圖可知這個函數(shù)的圖象的一支位于第幾象

限？所以另一支必位于第幾象限？怎么求常數(shù)m的取值范圍？

(2)要比較y和攻的大小，可以根據(jù)反比例函數(shù)的什么來解答？因為ni—5>0,所以這個

函數(shù)的性質(zhì)是什么？因此當(dāng)汨>照時，力和現(xiàn)有怎樣的大小關(guān)系？

(3)第(2)問除了課本上的解答方法，還有其他方法嗎？請同學(xué)們試著用圖象法或數(shù)形結(jié)

合法比較M和%的大小.

學(xué)生完成并交流展示.

3.(1)如圖①，點P是反比例函數(shù)圖象上的一點，為_Lx軸于點4連接〃〃若&皿=8,

則這個反比例函數(shù)的解析式是尸一坨一；

(2)如圖②，點〃是反比例函數(shù)圖至上的一點，用_Lx軸于點4加工9軸于點氏四邊形

19

為利的面積為12,則這個反比例函數(shù)的解析式是尸一1.

X

(3)由(1)(2)你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生完成并交流展示.

?活動3知識歸納

已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點力(&力)(其中aWO,。工0),可求出這個反比例函數(shù)的解

析式.解題步驟如下：

(1)設(shè)這個反比例函數(shù)的解析式為一三&_—；(2)把/y=卜代入這個反比

A,

例函數(shù)的解析式，解出k=ab；⑶所求的反比例函數(shù)為一^女；(4)過點力作x軸，

--------------z-x---

y軸的垂線，兩垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積S=1AL—.

?活動4例題與練習(xí)

例1如圖，一次函數(shù)尸履+〃的圖象與反比例函數(shù)尸夕的圖象相交于48兩點.

X

(1)根據(jù)圖象，寫出點48的坐標(biāo);

(2)求出兩函數(shù)的解析式；

(3)根據(jù)圖象回答：當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值.

解：⑴力(-6,-2),5(4,3)；

(2)把8(4,3)代入y=K,得3=?,Am=12,.??/=—■.把力(-6,-2),8(4,3)代

XX

-64+6=-2,A-o9

人尸kx+b,得<解得j2???一次函數(shù)解析式為x+1；

4A+Q3,

*=L

(3)由圖象可知，當(dāng)一6<><0或x>4時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值.

8

k

例2如圖，已知反比例函數(shù)7=-(〃>0)的圖象經(jīng)過點力(1,m),過點力作/18_Lj,軸于

X

點用且△力切的面積為1.

(1)求m,4的值;

k

(2)若一次函數(shù)y=〃x+2(〃#0)的圖象與反比例函數(shù)y=-的圖象有兩個不同的公共點,

X

求實數(shù)〃的取值范圍.

1k

解：⑴由已知，得酸.=5XlXm=l,解得m=2,把力(1,2)代入尸一,得攵=2；

92

(2)由(1)知反比例函數(shù)解析式是9=-，則-=〃x+2有兩個不同的解，方程去分母，得

X

〃V+2x—2=0,則1=4+8〃>(),解得〃>一；且〃W0.

練習(xí)

1.教材E練習(xí)第1,2題.

k—1

2.反比例函數(shù)尸一與正比例函數(shù)y=2雙在同一個坐標(biāo)系中的圖象不可能是下列選

X

項中的(D)

b

3.如圖，雙曲線曠=-與直線/=-5彳交于九占兩點，且點/(—2,m),則點力的坐

X乙

標(biāo)是(A)

A.(2,-1)B.(1,-2)

4.如圖，已知反比例函數(shù)尸一的圖象的一支位于第一象限.

X

(1)判斷該函數(shù)圖象的另?支所在的象限，并求m的取值范圍；

(2)。為坐標(biāo)原點，點/在該反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，點8與點力關(guān)于大軸對

稱，若△勿8的面積為6,求m的值.

解：(1)根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱知，該函數(shù)圖象的另一支在第三象限，且m

-7>0,則m>7；

(2)設(shè)線段加交x軸于點C,??點8與點力關(guān)于x軸對稱，若△的8的面積為6,則△宏C

的面積為3,??[(m-7)=3,.,.m=13.

?活動5完成附贈手冊

?活動6課堂小結(jié)

1.反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

2.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

3.反比例函數(shù)中系數(shù)左的幾何意義.

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思

1.作業(yè)布置

(1)教材汽習(xí)題26.1第6,7,8題；

(2)學(xué)生用書對應(yīng)課時練習(xí).

2.教學(xué)反思

26.2實際問題與反比例函數(shù)

第1課時利用反比例函數(shù)解決實際生活中的問題

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?情景導(dǎo)入1.小明家離學(xué)校4200m,他騎自行車的速度x(m/min)與時間y(min)之間

的函數(shù)關(guān)系式是什么？若他每分鐘騎450m,需多長時間到校？

2.你還能舉出我們在日常生活、生產(chǎn)或?qū)W習(xí)中遇到的具有反比例函數(shù)關(guān)系的實際應(yīng)用的

例子嗎？

【教學(xué)與建議】教學(xué)：利用學(xué)生熟悉的行程問題中，路程不變的情況下，速度與時間之

間的反比例函數(shù)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生體驗創(chuàng)建反比例函數(shù)模型解決問題.建議：教師復(fù)習(xí)路程=

速度X時間，引導(dǎo)學(xué)生確定速度與時間的函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建反比例函數(shù)模型解決.

?復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.什么是反比例函數(shù)？它的圖象是什么？有哪些性質(zhì)？

2.圓柱體體積一定，底面積S是深度"的』函數(shù)；裝運貨物的總量一定，裝運

速度/是裝運時間￡的反比例一函數(shù).

3.若一個三角形面積為常數(shù)h底邊長y與該邊上的高x的函數(shù)關(guān)系式為一^^一,

JT

它的圖象只分布在第二.象限，是雙曲線的一部分.

4.同學(xué)們，類比前面一次函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，我們將繼續(xù)探究反比例函數(shù)在口

常生活中的應(yīng)用.

【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，類比學(xué)習(xí)一次函數(shù)與

二次函數(shù)的過程和方法，為靈活應(yīng)用反比例函數(shù)解決實際問題奠定基礎(chǔ).建議：學(xué)生回憶所

學(xué)，教師做適當(dāng)補充和輔導(dǎo).

二、命題熱點分析與示例

*命題角度1根據(jù)反比例函數(shù)圖象解決問題

生活中兩個變量的乘積為定值時，構(gòu)建反比例函數(shù)模型.先求出函數(shù)解析式，再解決實

際問題.

【例1】如圖所示是一蓄水池每小時的排水量1/(nf7h)與排完水池中的水所用時間Z(h)

之間的函數(shù)關(guān)系圖象.若要5h排完水池中的水，則每小時的排水量應(yīng)為_2^_/.

r/(m7h)

4-----

O12t/h

【例2】一輛汽車勻速通過某段公路，所需時間￡(h)與行駛速度MAm/h)滿足函數(shù)關(guān)系t

k

=；,其圖象為如圖所示的一段曲線且端點為皿40,1)和仇m,0.5).

⑴求々和m的值；

(2)若行駛速度不得超過60Wh,則汽車通過該路段最少需要多少時間？

解：⑴；點力(40,1)在反比例函數(shù)￡="上，，〃=40,，

VV

又???8(m,0.5)在此函數(shù)的圖象上，???m=80；

404022

(2)由t=—,得r=-.=/W60,，，汽車通過該路段最少需要gh.

*命題角度2反比例函數(shù)與多種函數(shù)結(jié)合的問題

函數(shù)模型有反比例函數(shù)，還有部分圖象是一次函數(shù)或者其他函數(shù)的.解決此類問題的方

法是用待定系數(shù)法求出各部分圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式.

［例3］為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設(shè)生態(tài)文明，某工廠開始限產(chǎn)

進(jìn)行治污改造，其月利潤y(萬元)與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)

圖象的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列選項中錯誤的是(C)

M7元

200X.

110

_____tI!

O\14~~6.月粉

A.4月份的利潤為5。萬元

B.治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元

C.治污改造完成前后共有4個月的利潤低于100萬元

D.9月份該廠利潤達(dá)到200萬元

［例4］制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱到達(dá)60C后，再進(jìn)行操作.設(shè)該材料溫度為

7(℃),從加熱開始計算的時間為x(min).據(jù)了解，該材料加熱時，溫度y與時間x成一次函

數(shù)關(guān)系；停止加熱進(jìn)行操作時，溫度y與時間x成反比例關(guān)系(如圖所示).已知該材料在操

作加工前的溫度為15°C,加熱5min后溫度達(dá)到60℃.

(1)分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時，p與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度低F15。。時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操

作，共經(jīng)歷了多少時間？

。=15,%=9,

解：⑴當(dāng)0W臺5時，設(shè)由＜得|.??y=9x+15.當(dāng)*25

5%+力=60,16=15.

時，設(shè)尸",由x=5時，y=60,知42=300.；

XX

⑵當(dāng)尸15時，由15=二一，得x=20.

X

答：從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了20min.

高效課堂教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1.運用反比例函數(shù)的知識解決實際問題.

2.初步掌握建U反比例函數(shù)模型解決實際問題的思想和方法.

二、教學(xué)重難點

▲重點

運用反比例函數(shù)的意義與性質(zhì)解決實際問題.

▲難點

構(gòu)建反比例函數(shù)模型.

三、教學(xué)設(shè)計

?活動1新課導(dǎo)入

我們知道，確定一個一次函數(shù)尸履的解析式需要兩個獨立.的條件，而確定一個反比

例函數(shù)解析式，則只需一個獨立條件即可，如點(2,3)是一個反比例函數(shù)圖象上的點，則此

反比例函數(shù)的解析式是—二當(dāng)x=4時，y的值為一豆而當(dāng)時，相應(yīng)才的值

為比.用反比例函數(shù)可近反映很多實際問題中的兩人去量之間的關(guān)系，你能舉出一個反

比例函數(shù)的實例嗎？

?活動2探究新知

1.教材％例1.

提出問題：

(1)圓柱的體積K底面積S、高d之間的關(guān)系是什么？

(2)請寫出匕S,d之間的函數(shù)關(guān)系式，它是反比例函數(shù)嗎？

學(xué)生完成并交流展示.

2.教材%例2.

提出問題：

(1)貨物總量(T作總量：)是多少？

(2)工作總量、工作效率(工作速度)與工作時間有怎樣的關(guān)系？

(3)你能獨立完成例2嗎？

學(xué)生完成并交流展示.

?活動3例題與練習(xí)

例1某中學(xué)組織學(xué)生到商場參加社會實踐活動，他們參與了某種品牌運動鞋的銷售工

作.已知經(jīng)運動鞋每雙的進(jìn)價為120元，為尋求合適的俏售價格進(jìn)行了4天的試銷，試銷情

況如表所示：

第1天第2天第3天第4天

售價x(元/雙)150200250300

銷售量，雙)40302420

(1)觀察表中數(shù)據(jù)，x,y滿足什么函數(shù)關(guān)系？請求出這個函數(shù)解析式？

(2)若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價應(yīng)定為多少元？

解：(1)由表中數(shù)據(jù)，得不，=6000,故所求函數(shù)解析式為y=9箜：

X

(2)由題意，得(x—120)y=3000,把尸=色■曬代入，得120)?立■盟=3000,

XX

解得x=240；經(jīng)檢驗*=24()是原方程的根.

答：若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價應(yīng)定為240元.

例2一輛汽車勻速通過某段公路，所需時間Mh)與行駛速度MAm/h)滿足函數(shù)關(guān)系t

k

=7,其