人教版八年級數(shù)學下冊教案

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第十六章二次根式

16.1二次根式

第1課時二次根式的概念

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例

?歸納導入如圖是天安門廣場前的大型音樂噴泉的圖片，非常美麗壯觀.仔細觀察圖

片可以發(fā)現(xiàn)：水域部分是正方形，外圍是圓.

(1)若該正方形的面積為30則該正方形的邊長是_A/30m：

(2)若該正方形的面積為Sm2,則該正方形的邊長是_讓@_；

(3)若該圓的面積為Sm2,則用含S的式子表示圓的半徑是一

觀察式子，而，邪,1有什么共同特點？

【歸納】這些式子都含有“廠”(根號)，都表示正數(shù)的算術(shù)平方根.

【教學與建議】教學：從學生熟悉的情景入手，引導學生理解所給的式子的實際意義，

歸納出二次根式的概念.建議：讓學生相互討論，培養(yǎng)學生合作交流的學習習慣.

?復習導入

1.填空：

(1)9的平方根是±3；0的平方根是。；一4沒有平方根:

(2)6的平方根是上也;6的算術(shù)平方根是_通_.

2.想一想：

用帶有根號的式子填空，看看寫出的結(jié)果有什么特點：

(1)面積為5的正方形的邊長為_足；

(2)一個長方形的圍欄，長是寬的3倍，面積為150m2,則它的寬為回_m；

(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間，(單位：s)與開始落下時離地面的

高度h(單位：m)滿足關(guān)系h=5".如果用含有h的式子表示上那么上為

學生思考后回答，教師補充得出答案.

【教學與建議】教學：以回顧舊知的形式引導學生，鞏固所學知識，并導入新課.建議：

及時回顧算術(shù)平方根的概念，再由算術(shù)平方根遷移到二次根式.

二、命題熱點分析與示例!

◎命題角度1識別二次根式

判定一個式子為二次根式，需滿足兩個條件：第一，形式上為“正”的形式；第二，被

開方數(shù)必須是非負數(shù).

【例1】下列式子不是二次根式的是(而

A.yf5B.73一1C.?0.5D.

3

【例2】在式子/，3,\3+2,1,?y>0),-^—3A(KO),,一f和才一1

中，是二次根式的有(⑤

43個6.4個C.5個〃6個

◎命題角度2確定二次根式中被開方數(shù)所含字母的取值范圍

根據(jù)二次根式、瓜有意義的條件要從兩個方面來思考，一是求字母所在的式子有意義時字

母必須滿足的條件,二是求字母所在的實際問題有意義時字母必須滿足的條件.

【例3】式子山一2023有意義時,x應(yīng)滿足的條件為(而

A.導2023B.X22023C.x<2023D.xW2023

【例4】要使二次根式/京有意義，則x的最大值是

◎命題角度3利用二次根式有意義的條件求值

若兩個二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)，則只有它們同時為0時，這兩個式子才能都有

意義.__________

【例5】若叵=T+*VT'+1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X滿足的條件是(。

A.B.xW：C.D.xW：

【例6】若尸立三產(chǎn)L,則(葉)=_匕

?LU<7

◎命題角度4二次根式非負性的應(yīng)用

二次根式、「具有雙重非負性：①被開方數(shù)a20;②它的值此外，常見的非負數(shù)

還有|a|,3(或a的偶次幕).________

【例7】若|1001一川+山一1002=a,則日-10012=1002.

【例8】若擠6滿足實數(shù)1-6々+2426—4=一9,則，7的值為_3_.

高效課堂教學設(shè)計

一、教學目標?

1.理解二次根式的概念，弄清被開方數(shù)是非負數(shù)這一要求.

2.理解二次根式的非負性，會求使二次根式有意義的條件.

3.能初步運用二次根式的概念和基本性質(zhì)解決簡單實際問題.

二、教學重難點!

▲重點

二次根式的概念.

▲難點

利用“F(a20)”解決具體問題.

三、教學設(shè)計，

?活動1新課導入

1.回顧平方根和算術(shù)平方根的概念.

2.若步=9,則*=±3:若4=3,則三土33.

3.若正方形的面積為S,則正方形的邊長為__4.

?活動2探究新知

1.教材P2第1個思考.

提出問題：

(1)你能完成思考中的填空嗎？

(2)所填的式子分別表示什么意義？

(3)這些式子有什么特點？

(4)什么叫二次根式？，成立的條件是什么？

學生完成并交流展示.

2.教材P2第2個思考.

提出問題：

(1)/20成立嗎？為什么？

(2)式子一定成立嗎？

(3)舉例說明是否一定成立？

(4)若有意義，則》的取值范圍是什么？

學生完成并交流展示.

?活動3知識歸納

1.一般地，我們把形如Q20)的式子叫做二次根式,“、廠”稱為二次根號.

2.既是一個二次根式，又表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根，所以而具有“雙

重非負性”，即：a亨Q,>0..

3.判斷一個式子是否為二次根式，應(yīng)該從兩個方面進行考慮：①是否帶有“廠”；②

被開方數(shù)是否為非負數(shù).

?活動4例題與練習

例1教材P2例1.

例2下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？______

(1)A/TT；(2).—5；(3)，3—x(x:3)；(4)：—x(x>0)；⑸，(a—1)；

ft?：(1)(3)(5)是二次根式，［2)(4)不是二次根式.

例3求使下列式子有意義的才的取值范圍.

⑴g7⑵x—2'⑶一

解：(1)由題意，得4—3才>0,解得??當水|時，，-有意義;

3344-3萬

3一X20，、/3—x

(2)由題意，得°口八解得xW3且xW2.???當盡3且杼2時，幺方有意義；

lx-2K0,x—2

(3)由題意，得《一八解得5且萬云0.,,?當才2—5且xWO時，"-----有意

［不盧0,x

例4先觀察下列等式，再回答問題.

(1)類比上述式子，再寫出幾個同類型的式子；

(2)你能看出其中的規(guī)律嗎？用字母表示這一規(guī)律.

解：⑴\^=5/'、用(2)也鼻=、門.

練習

1.教材P3練習第1,2題.

2.下列式子：(D^4；(3>\j3—n；⑥\/加。+3/6,其

中是二次根式的有(B)

41個8.3個C.4個〃5個

3.要使式子［2>—4+七有意義,則一應(yīng)該滿足/22且汗3一.

Xo

4.△4比的三邊長為a,b,c,其中a和。滿足一―46+4+，右=0，求。的取值范

圍.

解：依題意，得(b—2)2+da-5=0,:.b=2,a=5.

又???&b,c為三角形的三邊長，???3<c<7.

?活動5完成附贈手冊

?活動6課堂小結(jié)

1.二次根式的概念.

2.二次根式的非負性及運用.

四、作業(yè)布置與教學反思

1.作業(yè)布置

⑴教材P5習題16.1第1,3,5,7題;

(2)學生用書對應(yīng)課時練習.

2.教學反思

第2課時二次根式的性質(zhì)

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例!

?情景導入如圖是一塊具有民族風的正方形方巾，面積為9,則它的邊長為二,若

面積為&則它的邊長為正方形的邊長是正，則面積為生.你發(fā)現(xiàn)了什么？

【教學與建議】教學：從正方形的邊長引出W的例子，讓學生初步理解《的實際意義.建

議：讓學生談?wù)剬τ?，?—)2的理解.

?置疑導入你能指出下列運算過程中的錯誤嗎？

(1)2=(-1)2,可以寫為笛-5)2=(5弋)2,

兩邊開平方，得、I吟-5)2=、1(5—曙2,

…26261

所以三-一5=5_7_，即￡=一￡?

0000

學了本節(jié)課我們就知道以上運算為什么錯了.

【教學與建議】教學：設(shè)計糾錯問題激發(fā)學生學習的主動性與積極性.建議：鼓勵學生

積極地投入到觀察、分析、計算、討論中.

二、命題熱點分析與示例I

◎命題角度1利用二次根式的性質(zhì)(、「)2=a(a20)解題

將非負數(shù)a的算術(shù)平方根平方，就等于它本身，因此有(、1)2=川420).

【例1】計算(鏡產(chǎn)的結(jié)果是㈤

4mB.2C.372D.4

【例2】(<3)2+1的結(jié)果是［.

◎命題角度2逆用二次根式的性質(zhì)(口)2=4匕20)解題

(、-)2=a(a20)又可以寫成：a=(、6)2Q2o)

【例3】在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)3；(2)X—16；(3)4/Z+4/?.

解：⑴原式=(*+，5)(X一、&；

(2)原式=(V+4)(x+2)(x—2)：

(3)原式=〃(〃+/)2(〃一位)2.

【例4】化簡求值：一2,其中a=3.

aa5

◎命題角度3利用二次根式的性質(zhì)夜=|印解題

在利用函=閭進行化簡時，弄清被開方數(shù)的底數(shù)是正還是負.

【例5】已知二次根式J?的值為3,那么x的值是(功

A.3B.9C.-3D.3或一3

【例6】計算*萬的結(jié)果是2.

【例7】若夜=3,5=2,且助V0,則a—6=-1.

高效課堂教學設(shè)計

一、教學目標?

1.理解、6(a20)是一個非負數(shù)和(、6)2=a(a2o),并利用它們進行計算和化簡.

2.理解QC=a(a20)和技=-a(aWO),并利用它們進行計算和化簡.

3.用&=(、「)2(820)解決具體問題.

二、教學重難點

▲重點

(力)2=a(a20)及校=|H的運用.

▲難點

y[2=|&]的運用.

三、教學設(shè)計

?活動1新課導入

1.回顧二次根式的概念.

2.當x是怎樣的實數(shù)時,F列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(iRl—x；(2)y/2x—3；⑶.+/(4)-^1—/.

3.填空：(啊=9,布=3.

?活動2探究新知

1.教材P3探究.

提出問題：

(D你能完成探究中的計算嗎？

(2)通過計算，你能猜出(//(a)。)的結(jié)果嗎？說說你的理由.

學生完成并交流展示.

2.教材￡探究.

提出問題：

(1)請完成探究中的填空；

(2)通過計算，你能猜出校(420)的結(jié)果嗎？說說你的理由；

⑶當水0時，G的結(jié)果是多少？你是怎樣想的？

(4)二次根式有哪些性質(zhì)？你能歸納出來嗎？

(5)什么樣的式子叫做代數(shù)式？

學生完成并交流展示.

?活動3知識歸納

1.(.\[a)2=a

a(a20),

2.y[7=\a\=

-a(水0).

3.用基本的運算符號(基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方)把數(shù)或表示數(shù)

的字母連接起來的式子,叫做代數(shù)式.

?活動4例題與練習

例1教材P3例2.

例2教材P」例3.

例3計算與化簡：

(1)2(^6)2；(2)(2季尸；(3)”才+2)2；(4)弧；(5)-^/(-2)2；(6)^4X10\

解：(1)原式=12；

(2)原式=24；

(3)原式=才+2：

(4)原式=9；

(5)原式=-2；

(6)原式=().2.

例4已知實數(shù)ab在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：后"+24口干一上一引.

?(?i",?ibi???

-5-4-3-2-1012345

解：從數(shù)軸上a,力的位置關(guān)系可知一2〈水一1,1<從2,且力&故a+l〈O,b—1>0?a

一從0.

.,?原式=Ia+11+2|b—11—\a~b\=—(a+1)+2(b—1)+(a—D)=Z?—3.

練習

1.教材P,練習第1,2題.

2.下列各式中,正確的是(B)

A.y](—4)2=—4B.--^7=—4

C.](±4)2=±4D.0=±4

3.下列式子：①君+6=c；②5乖；③a>0；④其中屬于代數(shù)式的是(B)

A.①@B.@@C.?@?D.①②③④

4.計算：

,、(的21(5丫

5

解：原式=]+§=2；

2

⑵一x(―

9711

解：原式=—/爐￡=一飛

5.已知一個圓柱體的體積為匕高為h,求它的底面半徑N用含有『和h的代數(shù)式表示);

求當勺80n,h=5時，底面半徑r的值.

把K=80n,h=5代入上式，得r=4.

?活動5完成附贈手冊

?活動6課堂小結(jié)

1.理解二次根式的性質(zhì)，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡和計算.

2.利用代數(shù)式的概念判斷哪些式子是代數(shù)式.

四、作業(yè)布置與教學反思

作業(yè)布置

⑴教材Ps習題16.1第2,4,8,9題;

(2)學生用書對應(yīng)課時練習.

2.教學反思

16.2二次根式的乘除

第1課時二次根式的乘法

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例

?置疑導入問題情境：你能解決下面的問題嗎？

如圖，設(shè)長方形的面積為S,相鄰兩邊長分別為a,b,已知a=2b=木,求S

【教學與建議】教學：利用實際問題導入新課，激發(fā)學生學習的積極性.建議：學生相

互討論使學生主動參與到學習活動中來.

?歸納導入請同學們完成下列各題.

1.填空：

(1)A/4XA/25=JO,A/4X25=JO：

(2)V9XA/16=12,.9X16=12:

(3)VT00XA/49=70,A/100X49=70.

參考上面的結(jié)果，用“>”或“="填空：

74XA/25=A/4X25；木X屏=19X16：

V100XA/49=A/100X49.

2.提出問題：你能說出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

【歸納】兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變,用字母表示：

y[a?y[b=\[ab(0,620).

【教學與建正教學：引導學生在計算、觀察的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.建議：教師的點撥

引導，學生積極開展小組合作學習二交流探索新知.

二、命題熱點分析與示例，

◎命題角度1二次根式的乘法

二次根式相乘，先把根號前面的系數(shù)相乘，再將被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.

【例1】計算/X4的結(jié)果是(〃)

A.773B.3sC.mD.匹

【例2】下列二次根式中，與血的積為無理數(shù)的是(0

A.B.y[12C.V18D.^32

◎命題角度2逆用二次根式乘法法則進行二次根式的化簡

利用/晶=5?5Q20,。20)及，孑=&(a20)進行化簡.

【例3】下列各式化簡后的結(jié)果是3肥的是(4)

A.乖B.限C.標D.相

【例4】化簡A/(-2)2X8X3的結(jié)果是(X

A.2弧B.-2mC.-4^6D.4^6

◎命題角度3二次根式的大小比較

比較兩個二次根式大小的方法：(1)被開方數(shù)比較法，即先將根號外的非負因數(shù)移到根號

內(nèi)，被開方數(shù)大的二次根式大；(2)平方法，即把兩個二次根式分別平方，再比較大??；(3)

計算器求近似值法.

【例5】比較下列各組二次根式的大?。?/p>

(1)3m和4^3；⑵一也和一8巾.

解：(1)3m=參，叭回=我.

??,*〈如，：.3y[5<4y[3；

⑵一以=一的5-8^7=~^/448.

V-7243>-^/448,???一州3〉-8巾.

高效課堂教學設(shè)計

一、教學目標:

1.理解/?銅=迎(々20,620),并運用它進行計算.

2.利用逆向思維，得也強=立?市(a20,620),并運用它進行解題和化簡.

二、教學重難點)

▲重點

-y[b=y[ab(a^0tb20)；y[ab=y[a?y[b(a^0t。20),及它們的運用.

▲難點_

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出｛/幣=y/7i(a20,520).

三、教學設(shè)計

?活動1新課導入

1.回顧二次根式的性質(zhì)和算術(shù)平方根的概念.

2.下列運算正確的是(A)

A."5)2=2B.(fy=一2

C.(-V-2)2=2D.7(-2)2=2

3.計算：⑴5)<m=K，.4X25=1Q:

(2)*X4=12,J16K9=12.

思考：—義南與/4X36的結(jié)果相同嗎?你發(fā)現(xiàn)了什么？

?活動2探究新知

教材R探究.

提出問題：

(1)你能完成探究中的計算嗎？

(2)通過計算，你能得出二次根式的乘法法則嗎？

(3)二次根式的乘法法則反過來還成立嗎？

學生完成并交流展示.

?活動3知識歸納

1.二次根式的乘法法則：,\[b=\[ab心0).

2.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：4益=—也二41-(。2°，62°).

注意：根據(jù)二次根式的乘法法則，類似可得F?、仁?、??、俳巡荻(侖0,62

0,。20,心0).

?活動4例題與練習

教材

快

d1p例

u61.

教材

例

傷d2p

u72.

例

仞

教

d3材P

*u7

仞

計3.

ud4算:

⑴季乂(一29)

5X10x|

解：原式=—2

=T琲;

(2)5-\/45X

解：原式=地范

=a\/2b.

例5比較34與4甫的大小.____

解：方法一：3^/5=?x/32X5=^45,4V5=/2x3=曬

??,木〈礪，/.3^5<4^3；

方法二：V(3A/5)2=45,(44/=48,45<48,

，3乖<4小.

練習

1.教材P7練習第1,2,3題.

2.計算：小又\1^=2.

3.計算：2mX(-3季)=一36.

4.計算：

⑴屏X^20X^12；__________

解：原式=、25><3X4X5X3><4

=6??；

(2)^/(-14)X(-112).

解：原式=-14X112

=-72x7x7

=28^2.

5.一個底面為30anX30的的長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水倒入一個底面

為正方形、高為10金的長方體鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20項，鐵

桶的底面邊長是多少厘米？

解：設(shè)鐵桶的底面邊長是xon.

由題意，得fX10=30X30X20,/=30X30X2,^=^30X30X2=3072.

答：鐵桶的底面邊長是30巾cm.

?活動5完成附贈手冊

?活動6課堂小結(jié)

1.理解二次根式的乘法法則加積的算術(shù)平方根的性質(zhì).

2.二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的應(yīng)用.

四、作業(yè)布置與教學反思

1.作業(yè)布置

(1)教材匕OF習題16.2第.，5,6題；

(2)學生用書對應(yīng)課時練習.

2.教學反思

第2課時二次根式的除法

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例

?歸納導入1.計算：

(1)V5XA/7=A/35；⑵*義/=_應(yīng)_；

(3)^9X727=?^3：(4)5/義4m=gQ/.

2.填空：

3.問題：你能說出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

【歸納】兩個二次根式相除，根指數(shù)—不變被開方數(shù)一相除「?用字母表示

7今(a20,Z?>0).

【教學與建議】教學：利用具體數(shù)據(jù)，通過學生的練習活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根

式的除法法則.建議：教學中教師要注意引導學生自己去發(fā)現(xiàn)、探索、理解.

?類比導入師：我們是怎樣得到二次根式的乘法法則的？

生：從特殊的幾個算式中歸納出來的.

師：接下來，我們用類似的方法來研究二次根式的除法.

問題1計算下列各式，觀察計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？

2

—3—

問題2用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空，并用計算器進行驗算:

⑴

【教學與建議】教學：類比前面二次根式乘法的研究方法來研究二次根式的除法，感受

二次根式除法運算法則.建議：教學時，讓學生交流討論學習二次根式乘法的經(jīng)驗，類比學

習二次根式除法法則.

二、命題熱點分析與示例

◎命題角度1a20,6>0）的計算

兩個二次根式相除，用根號前面的系數(shù)與系數(shù)相除，根號內(nèi)被開方數(shù)相除.要注意將結(jié)

果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式.

【例1】計7；的結(jié)果是(0

23

A.1B.-C.-D.以上答案都不對

【例2】下列運算正確的是⑵

A.^504-^5=10B.y[lC^2y[5=2y[2

C.，:+42=3+4=7D.亞?羽=3

◎命題角度2分母有理化

分母有理化常有兩種方法：一是分子、分母都乘適當?shù)亩胃?；二是根?jù)題目的特點,

把分母或分子適當?shù)胤纸庖蚴?，再約分.

【例3】把下列式子中的分母的根號化去：

⑴I；a—4

⑶熊+2.

33X/3^2

解：⑴

木一小義木一2，

⑵9=4/=44義m=12；

a—4（//一之。（爪+2）（4一2）廣

⑶升=正+2=?+2=+-2.

◎命題角度3最簡二次根式

符合以下兩個條件的根式是最簡二次根式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含

能開得盡方的因數(shù)或因式.

【例4】下列各式是最簡二次根式的是（⑷

A.y[15B..0.7C.y[a2D.A/-

【例5】把下列各個二次根式化為最簡二次根式.

（1）^54=3-\/§；（2）第續(xù)

◎命題角度4二次根式的乘除法楠A運算

二次根式混合運算的技巧與注意點：（1）可先對每一個二次根式化簡，再計算；（2）根號

外的系數(shù)與根號內(nèi)的被開方數(shù)要分步計算；（3）二次根式乘除法混合運算仍是按從左到右的順

序進行,如果有括號.就先算括號里的.

白的結(jié)果正確的是（冷

【例6】計算

乎

4B*C.卓D.羋

【例7】計算：

⑴而+匹X（一標）=-2\[2；

高效課堂教學設(shè)計

一、教學目標

i.心0,力0）,并能利用它們進行計算和化簡.

2.利用具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法法則，并用逆向思維寫出逆向等式,

能利用它們進行計算和化簡.

二、教學重難點

▲重點

二次根式除法公式的理解、運用和逆運用.

▲難點

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索二次根式的除法法則.

三、教學設(shè)計

?活動1新課導入

1.回顧二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì).

2.計算：

（1）V8X^|：（2）VWX^8；（3）^6X8X24.

3.計算下列各題，觀察有什么規(guī)律？

3

4

?活動2探究新知

1.教材P8探究.

提出問題：

(1)你能完成探究中的計算嗎？

(2)通過計算，你能得出二次根式的除法法則嗎？

(3)二次根式的除法法則反過來成立嗎？

學生完成并交流展示.

2.教材Pg例6.

提出問題：

(D觀察例6中的計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么特點？

(2)由此你能得出什么樣的二次根式叫做最簡二次根式?

(3)如何把二次根式化為最簡二次根式？

學生完成并交流展示.

?活動3知識歸納

1.二次根式的除法法則：；￡=

(a20,b>Q),即兩個二次根式相除，把被開方

數(shù)相除，根指數(shù)不變.

_*_(a20,力0),即商的算術(shù)平方根等于被

2.二次根式的除法法則的逆用:

除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

3.最簡二次根式必須滿足下列兩個條件：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

?活動4例題與練習

例1教材PH例4.

例2教材R例5.

例3把下列二次根式化成最簡二次根式：

(1)^/T5；

解：原式=

=叵

=嶇

例4教材P9例7.

例5長方形的長為3，元，面積為30季，要在這個長方形中分割出一個面積最大的正

方形，求該正方形的面積.

解：730^64-3710=2^15,而3迎》2匹，

???正方形的邊長是2代，

:,正方形的面積是(2標)2=60.

練習

1.教材%練習第I,2,3題.

2.若1白，則a的取值范圍是(C)

A.水2B.aW2C.0Wa<2D.a20

3.若，產(chǎn)和"x/k都是最簡二次根式，則m=—2,n=一4

解：Va+/>=—3,ab=2,

???水0,80,

?14一(a+/?)F^—3^23^2

-a+i=ab=~2=2'

?活動5完成附贈手冊

?活動6課堂小結(jié)

1.理解二次根式的除法法則前商的算術(shù)平方根的性質(zhì).

2.二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的應(yīng)用.

四、作業(yè)布置與教學反思

1.作業(yè)布置

⑴教材Pgi習題16.2第2,3,4,7,8題；

(2)學生用書對應(yīng)課時練習.

2.教學反思

16.3二次根式的加減

第1課時二次根式的加減

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例

上7.5dm-

5djfr^^g

?情景導入現(xiàn)有一?塊長為7.5疝、意為一丁曲的木板，能否采用如圖所示的方式，在

這塊木板上截出兩個面積分別是8加2和18加之的正方形木板？

根據(jù)題意，得m+4瓦.怎樣計算這個算式呢？今天我們用二次根式的加減來解決這個

問題.

【教學與建議】教學：通過實際情景，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲望.建議：教學中

采用分組討論、自主探究的方式來解決問題，提高學生自主學習的能力.

?復習導入1.合并同類項：

(l)3a+4a；(2)4，-3才+2才.

解：(1)原式=7卻(2)原式=3」.

這幾道題你是運用什么知識做的？加減法則.

2.化簡：

(D-^yi；⑵倔(3)772^.

解：(1)原式=華；(2)原式=4乖；(3)原式=6叫每.

O

3.二次根式的乘除法，是通過幾個被開方數(shù)相乘或者相除，然后化簡得出結(jié)果.那么，

二次根式的加減法能通過幾個被開方數(shù)相加或相減得出結(jié)果嗎？

提問：小一部=小正確嗎?

在我們學習了本節(jié)課之后你就會明白上面的計算是否正確.

【教學與建議】教學：復習合并同類項，化簡二次根式為二次根式加減打下基礎(chǔ).建議：

將課堂留給學生，讓學生自主學習，自主發(fā)現(xiàn)問題，自主解決問題.

二、命題熱點分析與示例!

◎命題角度1二次根式可以合并的條件

只有被開方數(shù)相同的二次根式才能合并；結(jié)合最簡二次根式的概念列出方程組，即可求

出未知字母的值.

【例1】下列各組二次根式中，化簡后能合并的是(。

A.4正與非B.梅與4C.、口與*D.4屆與如

【例2】若最簡二次根式向質(zhì)與匹二5能合并，則x的值是(向

A.3B.2C.-2D.

乙

◎命題角度2二次根式的加減運算

二次根式加減運算的步驟：(D化簡：將二次根式化成最簡二次板式；(2)判別：找出被

開方數(shù)相同的二次根式；(3)合并：將被開方數(shù)相同的二次根式合并.

【例3】下列計算正確的是(用

A.炳一小二2小B,而+小=#

C.4/-3/=1D.3+2鏡=5啦

【例4】計算3/一胸的結(jié)果是—也_.

◎命題角度3二次根式加減運算的應(yīng)用

根據(jù)題意列出二次根式，再利用二次根式的加減運算解決問題.

【例5】三角形的三邊長分別為q麗cm,^40的,，布ai,則這個三角形的周長為

+2,\y10)cm.

【例6］已知等腰三角形的兩邊長分別為2#和5小，則此等腰三角形的周長為，出士

10\/5.

高效課堂教學設(shè)計

一、教學目標

1.能夠熟練地將二次根式化為最簡二次根式，并進行合并.

2.會進行二次根式的加減運算.

二、教學重難點

▲重點

二次根式的加減運算.

▲難點

將二次根式化簡為最簡二次根式，并會進行二次根式的加減運算.

三、教學設(shè)計!

?活動1新課導入

1.把下列二次根式化為最簡二次根式.

(1)乖；(2)-\/18；(3)^y|；(4)-727：(5)-^|；(6)*^^.

2.計算：

(l)2x+3x=5^；(2)2/—3x2+5「=4?:

(3)x+2x+3y=3x+3y；(4)3/一2一+才=才+J.

3.類比計算：

⑴/+2/=3^/2；⑵3乖一2m+4m=5x/8=10x/2.

今天我們一起學習二次根式的加減.

?活動2探究新知

教材人內(nèi)容.

提出問題：

(1)能否截得兩個正方形，需要我們算出什么？或者是比較哪兩個量之間的大小？

(2)面積是8而2和18加2的正方形的邊長分別是多少？

(3)在橫線上填上每一步計算的依據(jù)；

小十限

=2隹+3也化成最簡二次根式

=(2+3)/分配

=5yf2.

(4)由此你能得出二次根式的加減運算法則嗎？

(5)在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)成立嗎？

學生完成并交流展示.

?活動3知識歸納

二次根式加減時，先將二次根式化成最簡二次根式,再將被開方數(shù)相同的二次

根式進行合并.

強調(diào)：

1.二次根式的加減與整式的加減之間的聯(lián)系與區(qū)別：二次根式的加減是被開方數(shù)相同的

最簡二次根式進行合并，不能合并的保留到結(jié)果；整式的加減是合并同類項，不能合并的保

留到結(jié)果.

2.、「與小不能合并，因為被開方數(shù)不同.

?活動4例題與練習

例1教材％例L

例2教材％例2.

例3計算：(1)41+2，55—41^|一雪；

解:原式邛+地一攣邛=喑;

(2)y/18—(A/3—2)°+y/(l—y/2)2.

解：原式=3m一攣一1一名+1+鏡-1=平一1.

例4已知『2+小，求弓一遍酉亙的值.

▼m-1m-m

解：原式=(2H~D(7_D_I：1?.?m_i=2+m—1=1+L〉0,，原式=m+l+L

1

將m=2+，5代入，得原式=2+15+1—2+9一氏

練習

1.教材%練習第1,2,3題.

2.小明同學在作業(yè)本上做了以下4道題：①小一小=小：②3小一小=3；③2+3小

=5^/1；④\廝一.其中做對的題目的個數(shù)是(A)

A.0B.1C.2D.3

3.下列二次根式中，化簡后不能與第合并的是(填序號)

解：原式=3正+2鎘-2鎘-3#+4

=*;

⑵駕-2標-4匹+率

解：原式=4—羋一2隹+里?

□0

=木;

?活動5完成附贈手冊

?活動6課堂小結(jié)

1.二次根式的合并.

2.二次根式的加減運算.

四、作業(yè)布置與教學反思

1.作業(yè)布置

⑴教材入習題16.3第2,3,5題；

(2)學生用書對應(yīng)課時練習.

2.教學反思

第2課時二次根式的混合運算

教師備課素材示例

一、新課導入建議與示例!

?情景導入母親節(jié)快到了，小勛做了兩張大小不同的正方形壁畫準備送給媽媽.其中

一張面積為600an2,另一張面積為4200國亡他想如果再用金彩帶鑲上邊會更漂亮.他現(xiàn)

在有一條長L2m的金彩帶，請你幫忙算一算，他的金彩帶夠用嗎？若不夠用，還需要購買

多長的金彩帶？

引導學生計算所需金彩帶的總長，列式為4啊+4g而，思考計算方法.

如何計算呢？通過本節(jié)課的學習，我們就會很容易解決這一問題.

【教學與建議】教學：創(chuàng)設(shè)實際問題的問題情境，讓學生感受數(shù)學來源于生活.建議：

引導學生獨立寫出算式，然后討論算式的計算方法.

?類比導入

計算：

(1)(x+0?xy=xy+xy；

(2)(2xy+3xy)+xy=2x+3y；

(3)(x+力(x-y)=x-y；

(4)(*+y)2=四+2燈+1:

（5）（2x+3y）（2>—3y）—4^—97.

思考：如果上述各式中的x,『分別代表著一個二次根式，我們會有哪些新的收獲呢？今

天我們來學習二次根式的混合運算.（同時展示本節(jié)課學習目標）

【教學與建議】教學：用類比的方法探索二次根式混合運算的特點，使學生弄清楚新舊

知識之間的區(qū)別與聯(lián)系.建議：引導學生自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論：在進行二次根式的混合運算時，學

過的整式的乘法法則和乘法公式仍然適用.

二、命題熱點分析與示例!

◎命題角度1二次根式的混合運算

二次根式的混合運算：一般先將每個二次根式化為最簡二次根式，再把括號內(nèi)合并后進

行二次根式的乘除運算，最后進行加減運算.

［例1］計算（標一4）的結(jié)果是⑵

A.-1B.-^3C,小D.1

【例2】下列計算正確的是㈤

A.3VB.="［

C.訴-眄+小=2#D.零一3邸=/

◎命題角度2乘法公式在二次根式混合運算中的應(yīng)用

整式的運算律、乘法法則與乘法公式在二次根式的運算中同樣適用.

【例3】計算：（3—枷產(chǎn)儂（3+訴）2儂的結(jié)果為（功

A.0B.1C.一3-mD.3+V10

【例4】計算（鎘+1）（水一1）的結(jié)果等于二

◎命題角度3與二次根式有關(guān)的化簡求值

與二次根式有關(guān)的化簡求值叵題的常用解題技巧：（1）運用乘法公式；（2）運用因式分解；

（3）運用整體思想；（4）求含字母的代數(shù)式的值時，應(yīng)先化簡，后代入.

【例5】已知a=2+，5,則-+1=4.

【例6】先化簡，再求值：2（a+J5）（a—4）—a（a—6）+6,其中—1.

解：原式=2（3—3）—，+6a+6

=2才一6——+6a+6

=a+6a.

當&=十一1時，原式=（鋪-1）2+6（鏡一1）

=2-2啦+1+6蛆-6

=4*^2—3.

高效課堂教學設(shè)計

一、教學目標:

1.掌握二次根式的加減乘除混合運算法則.

2.正確地運用二次根式加減乘除運算法則及運算律進行運算，并把結(jié)果化簡.

二、教學重難點!

▲重點

熟練翼握二次根式的乘除、乘方等運算法則.

▲難點

由整式運算知識遷移到含二次根式的運算.

三、教學設(shè)計

?活動1新課導入

1.回顧二次根式的加減、乘除運算法則、整式混合運算的法則和相關(guān)公式.

2.計算：⑴乖十版一四;⑵鄧X#；（3）揚+小.

3.計算：（1）（3/+2X+2）-4X=12f+8/+8x；

(2)(2ly+3/)2x+3〉.

4.簡便計算：(1)(2才+3。(2>-30=”―9爐；

(2)(2X+1)2+(2X-1)2=8?+2_.

?活動2探究新知

1.你能類比單項式與多項式乘除法法則計算下列各式嗎？

⑴4X(2木一木);(2)(標一標)4■十.

2.你能根據(jù)多項式乘多項式的法則計算下列式子嗎？

⑴(小一2乖)(2小一爪)；⑵(2■+2小)(小一m).

3.你能說出整式的乘法公式嗎？你能根據(jù)乘法公式計算下列式子嗎？

(1)(小一2小)(木+2木)；⑵(小-2收

4.有理數(shù)的混合運算法則是什么？類似地，你能歸納出二次根式的混合運算法則嗎？

學生完成并交流展示.

?活動3知識歸納

1.二次根式的混合運算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號

的，先算括號內(nèi)的.

2.常見的乘法公式或法則：

(l)m(a+Z?+c)=ma+mb+mc:

⑵(x+a)(x+b)=f+(a+b)x+ab；

(3)(a+Z?)[a—Lf)=a2Z?2；

(4)(a±b)2='±2a6+Z/.

?活動4例.與練習

例1教材Pi.例3.

例2教材幾例4.

例3計算：

解：原式=2*\^3+2；

(2)^2—(m+2).小.

解：原式=/一